Lineaarisen avaruuden aliavaruus. tehoa

lineaarinen avaruus kutsutaan persoonattomaksi L , Joka tapauksessa operaatiot ovat yhteenlasku ja kertominen luvulla, sitten jokaiselle alkioparille a, bL Se on laulu cL , jota kutsutaan pussikseen ja mille tahansa elementille aL ja mikä luku R onkaan bL otsikot luomalla  päällä a. Lineaarisen avaruuden elementtejä kutsutaan vektorit . Lukujen yhteen- ja kertolaskuoperaatiot tyydyttävät tulevat aksioomit.

Lisätyt aksioomit:  a, b, c  L

a + b = b + a - kommutatiivisuus

(A + b) + c = a + (b + c) - yhdistys

Avaruudessa on elementti nimeltä nollavektori ja on osoitettu 0 , Kuka yhteensä s be-jakki a h L antaa saman elementin a, sitten  0L:  a L 0 + a = a.

mistä tahansa syystä a h L Haaveilee profiilielementti , mitä on ilmoitettu -a, Mitä sitten (-A) + a = 0

( a L  (-a)  L: (-A) + a = 0)

Periytys summauksen aksioomasta:

1. Nollavektori on ainutlaatuinen, joten haluat sen yhdelle a L Ymmärrän kyllä b + a = a, Tuo b = 0.

2. Mille tahansa vektorille aL profiilielementti on ainoa, joten b + a = 0  b = (-a)

Kertolaskuaksioomat:  ,   R  a, b  L

 (a) = ()a

(A + b) =+b- jakavuus (vektorien mukaan)

(+)a =+a- jakavuus (lukujen mukaan)

1a = a

Kertoaksiooman periytyminen:  a L    R

 0 = 0

0 a = 0

(-a) = (-1) a
^

2.1 Lineaaristen avaruuksien soveltaminen

2. Primäärivektorit triviaalassa R 3 johon on lisätty operaatioita "suunnikassääntöä noudattaen" ja kertolaskuja. Siirretään, että kaikkien vektorien alku sijaitsee koordinaattikorvassa, nollavektori on vektori, joka päätyy koordinaattikorvaan

3. Yhdessä muutoksessa 1 olevaa n-asteen polynomia kutsutaan funktioksi

P n ( x ) =  n x +  n-1 x n n-1 + ... +  1 x +  0 ja  n  0

Ilman polynomeja, ei korkeampi askel n muodostaa lineaarisen avaruuden perusoperaatioilla eli yhteenlaskemalla ja kertomalla luvulla. On merkittävää, että polynomien puuttuminen, vaihe n, ei luo lineaarista avaruutta. Oikealla on, että kahden polynomin vaiheen summa, esimerkiksi 3, voi esiintyä polynomin asteena 2 (esim. x 3 + 3) + (– x 3 – 2x 2 + 7) = – 2x 2 + 10 - polynomivaihe 2). Polynomien yhteenlaskeminen voi kuitenkin laskea astetta, mutta ei siirtää sitä ylöspäin, joten polynomeja ei ole, aste ei ole suurempi kuin n, suljettu yksinkertaisesti taitettuna (siis kahden polynomin summa, aste ei ole suurempi kuin n , - aina polynomi, aste ei ole suurempi kuin n) ja luo lineaariavaruuden .
^

2.2 Mitat, kanta, koordinaatit.

2 vektorin järjestelmää kutsutaan lineaarisesti rento , Kuten käy ilmi, näistä vektoreista on olemassa ei-triviaali lineaarinen yhdistelmä, joka on ikivanha 0 . Toisin sanoen on olemassa sellaisia ​​n lukuja  R, että kaikki eivät ole nollia, ja vektorien lineaarinen yhdistelmä kertoimilla on yhtä suuri kuin nollavektori:

Toisessa tapauksessa vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippumaton . Toisin sanoen vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippumaton , yakscho
з  1 e 1 +  2 e 2 + …+ n e n = 0 seuraava  1 =  2 = …= n = 0, silloin on ilmeistä, että näistä vektoreista on olemassa lineaarinen yhdistelmä, joka on vanhempi kuin nollavektori.

avautumassa vektori a vektorijärjestelmän mukaan ( e i) Sitä kutsutaan ilmiöksi a näyttää olevan vektoreiden lineaarinen yhdistelmä ( e i). Toisin sanoen, avata lukko vektori a vektoreilla ( e i) Tarkoittaa sellaisten lukujen  i tuntemista, joten

a = 1 e 1 +  2 e 2 + … k e k

Huomaa, että vektorien ilmoitettu riippumattomuus voidaan antaa seuraavassa muodossa: vektorit ovat riippumattomia, ja vasta sitten, jos ne on asetettu 0 he ovat yhtenäisiä.

Lineaarista avaruutta kutsutaan lopullinen On selvää, että kokonaisluku on n, joten kaikki riippumattomat vektorijärjestelmät tässä avaruudessa eivät sisällä enempää kuin n elementtiä.

koko äärellisulotteinen lineaarinen avaruus L kutsutaan maksimimäärää lineaarisesti riippumattomia vektoreita (merkitty dim L tai himmeä L ). Toisin sanoen lineaarista avaruutta kutsutaan n-mirnim , Yakshcho:

1. ulkoilmassa riippumaton järjestelmä, Mikä on n vektorin summa;

2. olla järjestelmä, joka koostuu n +1 vektorista, lineaarisesti makaavassa.

perusta lineaarinen avaruus L n Sitä kutsutaan itsenäiseksi vektorijärjestelmäksi, jonka elementtien lukumäärä vastaa tilan mittoja.

Lause 1. Jos vektorijärjestelmä on riippumaton, se voidaan laajentaa kantaksi. Tobto, järjestelmänä  L k riippumattomia ja niihin mahtuu vähemmän vektoreita, pienemmät tilan mitat (n  L k, joka yhdistää vektorien kokonaisuuden ( e 1 ,e 2 ,...e n, f 1 ,f 2 ,... f k-n) on riippumaton, sijoittaa k vektoreita ja muodostaa siten perustan L k. ▄ Siten jokaisessa lineaarisessa avaruudessa on monta (todellakin äärettömän monta) kantaa.

Vektorijärjestelmää kutsutaan uudelleen , Aivan sama aL voidaan luokitella järjestelmävektoreiden mukaan (on mahdollista, että jakauma ei ole yhtenäinen).

Minkä tahansa vektorin asettelu itsenäistä järjestelmää pitkin on kuitenkin aina yhtenäinen (tai ei ikuisesti). Tobto

Lause 2 Minkä tahansa vektorin asettelu, joka perustuu lineaariseen avaruuteen Ensinnäkin Se on yksi ja sama. Perustana on siis itsenäinen ja pysyvä järjestelmä. Kertoimet  i vektorin hajotus kannan mukaan ( e i) kutsutaan koordinaatit vektori perustassa ( e i }.▄

Kaikki nollavektorin koordinaatit ovat 0 missä tahansa kannassa.

2.3 Hae

2. Avaruus K n Korkeus n voi olla kokoa n. Vakioperuste tiedemiesten tilassa luodaan vektoreita - sarja vektoreita, joilla on ykköset i:nnessä paikassa ja muilla elementeillä on nollia:

On tehokasta ja helppo ymmärtää, että mikä tahansa pinoaja asetetaan vektorijärjestelmän mukaan yhdessä järjestyksessä, ja näin ollen minkä tahansa pinoamiskertoimen asettelukertoimet ovat yksinkertaisesti yhtä suuret kuin kyseisen pinoamisyksikön samanlaiset elementit.

3. Polynomien avaruuden, jonka aste ei ole suurempi kuin n, mitta on n + 1. Vakioperuste tässä tilassa:

(). Itse asiassa polynomiasteen n arvosta on selvää, että mikä tahansa polynomi, jonka aste ei ole suurempi kuin n, on selkeästi esitetty vektoreiden lineaarisella yhdistelmällä, ja lineaarisen yhdistelmän kertoimet ovat yksinkertaisesti kerroinarvoja polynomi (jos polynomin k aste on pienempi kuin n, niin pysy n-k tason 0 kertoimet).
^

2.4 Lineaaristen avaruuksien isomorfismi

On helppo ymmärtää, että vektorien sisällyttäminen L n johtaa koordinaattien sisällyttämiseen kantaan; tarkoittaa vektorien summaa L n Tämä vahvistaa mielestämme tietyntyyppisten tavaroiden määrän K n ; Samanlainen sääntö koskee i:tä luvulla kertomisessa.

Kahden tilan elementtien välistä vastaavuutta ja merkintöjen tallentamista näihin tiloihin kutsutaan operaatioksi isomorfismi . Isomorfismi, kuten mustasukkaisuus, voima Transitiivinen (transitiivinen): kuin avaruus L n isomorfinen K n , Ja tila K n isomorfinen avoimeen tilaan nähden M n , Se ja L n isomorfinen M n .

Lause 3. Onko n-ulottuvuuden lineaarinen avaruus isomorfinen K n, Transitiivisuudesta johtuen myös kaikki n-mitan lineaariset laajuudet ovat isomorfisia keskenään. ▄

Isomorfiset objektit ovat matematiikan näkökulmasta pohjimmiltaan vain yhden kohteen erilaisia ​​"toteutuksia" (toteutuksia), ja ne ovat tosiasia, todiste mille tahansa tilalle, pätevä mihin tahansa muuhun avaruuteen, isomorfinen ensimmäiselle.

2.5 Alitila

M 

ilmeisesti, 0 M , yakscho M- aliavaruus L , Nollavektori kuuluu siis mihin tahansa aliavaruuteen 5.

Lineaarisen avaruuden ihoalue on itsessään lineaarinen tila. persoonaton ( 0 ) Ja aliavaruus (kaikki lineaariavaruuden aksioomit ovat identtisiä, koska avaruus koostuu yhdestä elementistä - nollavektorista) 6.

Lineaarinen ihoalue, aseta kaksi triviaali aliavaruus: itse avaruus ja tyhjä aliavaruus ( 0 ); Muita aliavaruuksia kutsutaan ei-triviaali .

Kahden aliavaruuden leikkauspiste on aliavaruus. Kahden aliavaruuden yhdistäminen aliavaruudella ei ilmeisesti tarkoita esimerkiksi kahden koordinaattikorvan läpi kulkevan suoran yhdistämistä, ei sisällä vektorien summaa, jotka sijaitsevat eri suorilla viivoilla (sellainen summa on välillä suorat viivat) 7.

Mennään, n L k . Sitten näiden vektorien kaikkien lineaaristen yhdistelmien lukumäärä, jotta kaikki vektorit pidetään mielessä

a =  1 f 1 +  2 f 2 + … n f n

Luo n-maailmallisen aliavaruuden G {f 1 , f 2 ,... f n), jota kutsutaan lineaarinen kuori vektorit ( f 1 , f 2 ,... f n).

Lause 4. Minkä tahansa aliavaruuden perustaa voidaan täydentää minkä tahansa tilan pohjaksi. Tob päästää minut menemään M n L k aliavaruus, ulottuvuus n - kanta in M n . sitten sisään L k On olemassa sellainen joukko vektoreita  L k , Mikä on vektorijärjestelmä ( f 1 , f 2 ... f n , g 1 , g 2 , ... g k-n) 8 on lineaarisesti itsenäinen ja sijoittaa k alkiota, joka sitten luo perustan. ▄
^

2.6 Aliavaruuksien sovellukset.

2. Ihmisten laajuudessa K 3 Näkemyksen mukaan ne, joiden kolmas koordinaatti on 0, luovat aliavaruuden, joka on ilmeisen isomorfinen avaruuden kanssa. K 2 stovptsiv, korkeus 2.

3. Avaruudessa P n polynomit, vaihe ei ole suurempi kuin n, polynomit, vaihe ei ole suurempi kuin 2, vahvista trivimirne aliavaruus (heillä kullakin on kolme kerrointa).

4. Triviaalitilassa P 2 polynomit, taso enintään 2, polynomit, jotka muuttuvat 0:ksi tietyssä pisteessä x 0, luovat kaksiulotteisen aliavaruuden (selvä!).

5. Zavdannya. Avaruudessa K 4 persoonaton M Se koostuu pisteistä, joiden koordinaatit tyydyttävät mielen 1 2 + 2 + 3 = 0 (*). Kerro minulle mitä M triviaali aliavaruus K 4 .

Päätös. Katsotaan mitä M aliavaruus Ei hätää, mennään A M , b M , Joten a 1 2a 2 + a 3 = 0, b 1 2b 2 + b 3 = 0. Noudatetaan vektorien yhteenlaskemissääntöä ( A + b) i= a i+b i. Tähti värisee, mikä sopii vektoreille Aі b umova (*) vikonano, sitten minä puolesta A + b Tsya umova vikonan. On niin selvää, mitä se tarkoittaa sadalla A umova (*) vikono, sitten vono vikono i ja stovptsya A. Löysin, nollavektorin persoonallisuus M käy makaamaan. M Tällä tavalla se saatiin aikaan M aliavaruus Katsotaanpa, että se on kolmiulotteinen. On tärkeää, että mikä tahansa vektori a mentaliteetin vuoksi (*) on koordinaatti (**). Hei 1 = , mentaliteetin vuoksi (*) on koordinaatti (**). Hei 2 m =, A 4 h mentaliteetin vuoksi (*) on koordinaatti (**). Hei 1 =. Osoitetaan, että vektorijärjestelmä ( 2 , m 4 , h M ) Luon perustan sisään mentaliteetin vuoksi (*) on koordinaatti (**). Hei 1 + 2 mentaliteetin vuoksi (*) on koordinaatti (**). Hei 2 +=, A 4 . Lisätään lineaarinen yhdistelmä 1 A h M = Tyytyväisillä kertoimilla. Ilmeisesti vektorista mikä tahansa mentaliteetin vuoksi (*) on koordinaatti (**). Hei 1 =. Osoitetaan, että vektorijärjestelmä ( 2 , m 4 (Div. (**)) järjestetty sarjan mukaan ( mentaliteetin vuoksi (*) on koordinaatti (**). Hei 1 =. Osoitetaan, että vektorijärjestelmä ( 2 , m 4 ); jolle riittää, että kertoimet-ruutuun valitaan vektorin laajennetut koordinaatit 1 = a 1, 2 = a 2, 4 = a 4. Yhdessä lineaarisessa vektoreiden yhdistelmässä mentaliteetin vuoksi (*) on koordinaatti (**). Hei 1 =. Osoitetaan, että vektorijärjestelmä ( 2 , m 4 , joka on verrattavissa nollavektoriin, on yhdistelmä nollakertoimilla: 1 = 0, 2 = 0, 4 = 0. Yhdessä taittamaton nollavektori johtaa ( A M ) Vektorijärjestelmä on riippumaton. Ja siksi, että kaikki mentaliteetin vuoksi (*) on koordinaatti (**). Hei 1 =. Osoitetaan, että vektorijärjestelmä ( 2 , m 4 on asetettu järjestelmän mukaan ( M ), Viplivaє, että järjestelmä on täysin erilainen. Täydellinen ja itsenäinen järjestelmä luo perustan aliavaruuteen M . Joten koska tämä kanta yhdistää kolme vektoria, niin

triviaali aliavaruus.

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php Lі M Hei R.

- kaksi aliavaruutta L+M Suma kutsutaan vektoreiden moninkertaiseksi x+y x∈Lі , de∈M y . Ilmeisesti mikä tahansa vektorien lineaarinen yhdistelmä L+M . Ilmeisesti mikä tahansa vektorien lineaarinen yhdistelmä erääntyä . Ilmeisesti mikä tahansa vektorien lineaarinen yhdistelmä, sitten Rє aliavaruus R).

(Voit paeta tilaa L∩M spandreli Lі M aliavaruuksia Lі M kutsutaan joukoksi vektoreita, jotka sijaitsevat samanaikaisesti avaruuden alla

(Vain nollavektori voidaan laskea yhteen). Lause 6.1. Lі Määrellisulotteinen lineaarinen avaruus R Suurten alitilojen mittojen summa

näiden aliavaruuksien summan suhteelliset mitat ja näiden aliavaruuksien välin mitat:

himmeä L + himmeä M = himmeä (L + M) + himmeä (L∩M). Valmis. merkittäväі F = L + M G = L∩M . Hei G g G⊂Lі G⊂M- rauhallinen tila. Vibermo uudella pohjalla. Niin jakki G, Otje perusteella L voidaan lisätä pohjaan M ja pohjalle L. Anna pohja avaruudelle M ja antaa pohjan tilalle

. Näytämme mitä vektoreita F = L + M kuuluvat aliavaruuteen . Toiselta puolelta vektorista v G:

voidaan tunnistaa avaruuden alla olevien kantavektoreiden lineaarisella yhdistelmällä L Johtuen aliavaruuden perustan lineaarisesta riippumattomuudesta

äiti: lineaarisesti riippumaton. Olkoon se vektori h z F kutsutaan vektoreiden moninkertaiseksi x+y (Määritellyn alitilojen määrän takana) näet määrän x∈L, y∈M x. Sinun sydämellesi , de- vektorien lineaarinen yhdistelmä. Samat vektorit (6.10) generoivat aliavaruuksia z. Päätimme, että vektorit (6.10) määrittävät perustan Valmis. merkittävä.

Erilaisia ​​aliavaruuksien pohjaa Lі M ja aliavaruuden perusta Valmis. merkittävä(6.10), moi: himmeä L = g + l, himmeä M = g + m, himmeä (L + M) = g + l + m. otzhe:

himmeä L + himmeä M-dim (L∩M) = himmeä (L + M). ■

2 Vektorien teho ja lineaarioperaattorin arvojen teho.

http://www.studfiles.ru/preview/6144691/page:4/

Vektoria X ≠ 0 kutsutaan tehokkaalla vektorilla lineaarinen operaattori matriisilla A, jos on sellainen luku, että AX = LX.

Kun tähän numeroon soitetaan Vlasnymien merkitykset vektoria x vastaava operaattori (matriisi A).

Toisin sanoen tehovektori on vektori, joka lineaarioperaattorin vaikutuksesta muuttuu kolineaariseksi vektoriksi niin, että se yksinkertaisesti kertoo luvulla. Uuden valossa hallitsemattomat vektorit muuntuvat monimutkaisemmin.

Kirjataan ylös tehovektorin arvo tasojärjestelmän näkökulmasta:

Siirrämme kaikki varastot vasempaan osaan:

Jäljelle jäävä järjestelmä voidaan kirjoittaa matriisimuotoon seuraavasti:

(A - l E) X = O

Kun järjestelmä hylätään, sillä on aina nollaratkaisu X = O. Sellaisia ​​järjestelmiä, joissa kaikki vapaat jäsenet saavuttavat nollan, kutsutaan ns. identtinen. Koska tällaisen järjestelmän matriisi on neliö ja sen ensisijainen arvo ei ole nolla, niin Cramerin kaavojen takaa poistetaan aina yksi ratkaisu - nolla. Voidaan päätellä, että järjestelmässä on nollasta poikkeavia ratkaisuja ja vain niin, jos tämän matriisin lähde on yhtä suuri kuin nolla, niin

| A - l E | = = 0

Seremonia tuntemattoman kanssa kutsutaan tyypillinen rivnyannya(ominaispolynomi) Matriisi A (lineaarinen operaattori).

Voidaan päätellä, että lineaarioperaattorin karakteristinen polynomi ei ole kantavalinnassa.

Tiedämme esimerkiksi matriisin A = määrittämän lineaarioperaattorin arvot ja vektorit.

Kenelle uskollisuus on ominaista | A - l E | = = (1 - 1) 2 - 36 = 1 - 2 I + 1 2 - 36 = 1 2 - 2 1 - 35; D = 4 + 140 = 144; voimassa olevat arvot 1 = (2 - 12) / 2 = -5; l 2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Tehovektorien tuntemiseksi on olemassa kaksi kohdistusjärjestelmää

(A + 5E) X = O

(A - 7 E) X = O

Ensimmäisen kohdalla matriisia on laajennettu, joten voin nähdä

,

tähdet x 2 = s, x 1 + (2/3) s = 0; x 1 = - (2/3) s, sitten X (1) = (- (2/3) s; s).

Toisen matriisi on laajennettu, kuten näet

,

tähdet x 2 = z 1, x 1 - (2/3) z 1 = 0; x 1 = (2/3) x 1, sitten X (2) = ((2/3) x 1; x 1).

Siten tämän lineaarisen operaattorin tehovektorit ovat kaikki vektoreita muotoa (- (2/3) s; s) tehoarvoilla (-5) ja kaikki vektorit muotoa ((2/3) s 1; s 1) tehoarvoilla 7 .

Voidaan päätellä, että kannassa oleva operaattorin A matriisi, joka koostuu sen tehovektoreista, on diagonaalinen ja sen muoto on:

,

missä l i on matriisin arvo.

Se on totta ja käänteinen: jos matriisi A missä tahansa kannassa on diagonaalinen, niin kaikki tämän kannan vektorit ovat tämän matriisin tehovektoreita.

Sellainen on mahdollista tuoda, operaattori on toukokuun nyznikh, Verusniye on tieto, sitten VISTROM VOUTORI LINININID ja toimitusjohtajan matriisi Vidpovye basic Vigilassa.

Selvitetään hinta etupuolen takaosassa. Ota riittävä määrä nollasta poikkeavia arvoja s ja 1, jotta vektorit X (1) ja X (2) ovat lineaarisesti riippumattomia perustan luomiseksi. Olkoon esimerkiksi z = z 1 = 3, sitten X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3). Muunnetaan näiden vektorien lineaarisessa riippumattomuudessa:

12 ≠ 0. Tässä uudessa perustassa matriisi A on muodossa A * =.

Päästäkseen samaan paikkaan sitä kiihdytetään kaavalla A * = C -1 AC. Alusta alkaen tunnemme C -1:n.

Z1 = ;

Tenttilippu nro 11

1. Siirtyminen uuteen tukikohtaan lineaarisessa avaruudessa. Siirtymämatriisi.

http://www.studfiles.ru/preview/6144772/page:3/

Siirtyminen uudelle pohjalle

Purtovilla R:n avaruudessa on kaksi kantaa: vanha e l, e 2, ... e n ja uusi e l *, e 2 *, ... e n *. Uuden kannan vektori voidaan esittää lineaarisena yhdistelmänä vanhan kannan vektoreista:

Siirtymä vanhalta pohjalta uuteen voidaan määrittää siirtymämatriisi

On tärkeää, että kertoimet kertomalla uusia kantavektoreita vanhalla kantalla luovat sarakkeita, eivät saman matriisin rivejä.

Matriisi A ei ole erillinen, koska muuten sen sarakkeet (ja siten kantavektorit) näyttäisivät olevan lineaarisesti vanhentuneita. No, siellä on porttimatriisi A -1.

Olkoon vektorilla X koordinaatit (x l, x 2, ... x n) vanhaan kantaan ja koordinaatit (x l *, x 2 *, ... x n *) uuteen kantaan, niin X = x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n = x l * e l * + x 2 * e 2 * + ... + x n * e n *.

Keskellä olevat sijaiset tarkoittavat e l *, e 2 *, ... e n * etujärjestelmästä:

xlel + x 2 e 2 + ... + xnen = xl * (a 11 el + a 12 e 2 + ... + a 1n en) + x 2 * (a 21 el + a 22 e 2 + ... + + a 2n en) + ... + xn * (a n1 el + a n2 e 2 + ... + a nn en)

0 = el (xl * a 11 + x 2 * a 21 + ... + xn * a n1 - xl) + e 2 (xl * a 12 + x 2 * a 22 + ... + xn * a n2 - x 2) + + ... + fi (xl * a 1n + x 2 * a 2n + ... + xn * a nn - xn)

Vektorien e l, e 2, ... e n lineaarisesta riippumattomuudesta johtuen kaikkien kertoimien niiden kanssa tulee pysyä nollana. Tähti:

tai matriisimuodossa

Kerrotaan loukkaavat osat A -1:llä, vähennetään:

Oletetaan esimerkiksi, että kanta el, e 2, e 3 määrittää vektorin a 1 = (1, 1, 0) ja 2 = (1, -1, 1) ja 3 = (-3, 5, -6 ) ja b = (4; -4; 5). Osoita, että vektorit a l, a 2 ja 3 voivat myös muodostaa kannan ja määrittää vektorin b tässä kannassa.

Osoitetaan, että vektorit a l, a 2 ja 3 ovat lineaarisesti riippumattomia. Tästä syystä harkitkaamme uudelleen, että niistä koostuvan matriisin arvo on kolminkertainen:

Merkittävää on, että lähtömatriisi ei ole muuta kuin siirtymämatriisi A. Itse asiassa kantojen e l, e 2, e 3 ja a l, a 2 ja 3 väliset yhteydet voidaan ilmaista järjestelmällä:

A -1 on laskettavissa.

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

Toisin sanoen kannassa a l, a 2, a 3 vektorib = (0,5; 2; 0,5).

2 Dovzhina-vektori ja kut vektorien välillä euklidisessa avaruudessa.

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=evklidovy-prostranstva

Viznachennya. lineaarinen avaruus numerokentän yli Ennen kutsutaan persoonattomaksi R elementtejä, joita kutsutaan vektoreiksi ja jotka merkitään , ja niin edelleen, kuten:

Näistä aksioomista seuraa, että:

lineaariset kuoret

Viznachennya.lineaarinen kuori vektoriperheitä kutsutaan ilman lineaarisia yhdistelmiä lineaarisessa avaruudessa L.

On helppo varmistaa, että lineaarisessa kuoressa on lineaarista tilaa L.

lineaarinen kuori kutsutaan myös aliavaruudeksi, joka ulottuu vektoreista tai jonka muodostavat perheen vektorit. Se voidaan myös määritellä kaikkien aliavaruuksien risteytykseksi L, Miksi kostaa kaikille sijoitus Vektoriperhettä kutsutaan sen lineaarisen kuoren ulottuvuudeksi.

Ensimmäinen ominaisuus on perustan voima: Tätä lineaarista kuorta vältetään huolellisestiL.

aliavaruus

Viznachennya. Lineaarinen aliavaruus tai vektori ei-aliavaruus- ei tyhjä K lineaarinen avaruus L mitä sitten K itsessään on lineaarinen tila suhteessa kappaleisiin L Lisää ja kerro skalaarilla. Kaikkien alitilojen persoonallisuus tarkoittaa Lat ( L ) . Jotta aliavaruus olisi aliavaruus, se on välttämätöntä ja riittävää

Loput kaksi linnoitusta vastaavat hyökkäävää:

Zokrema, tila, joka koostuu yhdestä elementistä - minkä tahansa tilan aliavaruudesta; mikä tahansa avaruus on itsessään aliavaruus. Tilaa, jossa ihmiset eivät juoksentele, kutsutaan voimakas tai muuten ei-triviaali.

aliavaruuksien voima

Toiminnallinen analyysi maailman laajuudessa näkyy erityisesti suljetut tilat.

Vektorien lineaarinen sijainti

Viznachennya. Vektoriperhettä kutsutaan lineaariseksi riippumaton, Koska ei-triviaali lineaarinen yhdistelmä ei ole nolla, niin

jäljitä, että kaikki = 0. Muuten sitä kutsutaan lineaariseksi tunkkainen. Perheen lineaarinen itsenäisyys tarkoittaa sitä Nollavektoria edustaa yksiselitteisesti perheen elementtien lineaarinen yhdistelmä. Silloin millä tahansa muulla vektorilla voi olla joko yksi ilmentymä tai samanlainen. On selvää, että kaksi ilmiötä ovat samanarvoisia

Tulos seuraa toista ominaista tehoperustetta: Sen elementit ovat lineaarisesti riippumattomia. Näiden kahden auktoriteetin merkitys on yhtä suuri kuin perustan tärkeys.

Rakas sko vektoriperhe on lineaarisesti riippumaton vain, jos se luo pohjan lineaariselle kuorelleen.

Perhe on ilmeisen lineaarinen, koska keskivektori on nolla tai kaksi.

Lemma 1. Vektoriperhe on tavalla tai toisella lineaarinen vain, jos yksi vektoreista on muiden lineaarinen yhdistelmä.

Valmis.

Yakshto i

sitten navpaki, yakscho

Lemma 2. lineaarisesti, niin se on lineaarinen yhdistelmä.

Valmis.

Jos se ei ole sama, se on pakollista, muuten hylkäämme ei-triviaalin viiveen

Lineaarinen (vektori) avaruutta kutsutaan joukoksi itsenäisiä elementtejä, joita kutsutaan vektoreiksi, jolloin operaatio, jossa vektorit lasketaan yhteen ja kerrotaan vektori luvulla siten, että kaksi vektoria \mathbf (u) ja (\mathbf (v)) määrätään toisilleen on vektori \Mathbf (u) + \mathbf (v), Nimetty vektorien \mathbf (u) ja (\mathbf (v)), minkä tahansa vektorin (\mathbf (v)) ja minkä tahansa luvun \lambda summalla reaalilukukentästä \mathbb (R) -määritykset tyyppiin vektorista \Lambda\mathbf(v), Nimeää vektorin \mathbf (v) luomisen numerolla \lambda; Pudotetaan siis päämme:

1. \Mathbf (u) + \mathbf (v) = \mathbf (v) + \mathbf (u)\, ~ \forall \mathbf (u), \mathbf (v) \in V(taiton kommutatiivisuus);
2. \Mathbf (u) + (\mathbf (v) + \mathbf (w)) = (\mathbf (u) + \mathbf (v)) + \mathbf (w)\, ~ \forall \mathbf (u), \mathbf (v), \mathbf (w) \in V(Assosiatiivisuus lisätty);
3. V:ssä on sellainen elementti \ mathbf (o) \, jota kutsutaan nollavektoriksi, \Mathbf (v) + \mathbf (o) = \mathbf (v)\, ~ \forall \mathbf (v) \in V;
4. ihovektorille (\mathbf (v)) on sellainen vektori, joka on samanlainen kuin vektori \mathbf (v), joten \Mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \Lambda (\mathbf (u) + \mathbf (v)) = \lambda \mathbf (u) + \lambda \mathbf (v)\,~\forall \mathbf (u),\mathbf (v)\in V , ~\forall\lambda\in\mathbb(R);
6. (\Lambda + \mu)\mathbf (v) = \lambda \mathbf (v) + \mu \mathbf (v)\,~\forall \mathbf (v)\in V,~\forall \lambda,\mu \in\mathbb(R);
7. \Lambda (\mu \mathbf (v)) = (\lambda \mu)\mathbf (v)\,~\forall \mathbf (v)\in V,~\forall \lambda,\mu \in \mathbb ( R);
8. 1\cdot\mathbf (v) =\mathbf (v)\,~\forall\mathbf (v)\in V.

Umovi 1-8 kutsutaan lineaarisen avaruuden aksioomat. Vektorien välinen tasa-arvo tarkoittaa, että vasemmalla ja oikea osa Saman persoonallisuuden elementin V yhtäläiset esitykset, sellaisia ​​vektoreita kutsutaan yhtäläisiksi.

Nimetyssä lineaariavaruudessa reaaliluvuille otetaan käyttöön vektori kertominen luvulla. Tätä tilaa kutsutaan lineaarista tilaa toimintakentän (puheen) numeroiden yläpuolella, Abo, lyhyesti sanottuna, puheen lineaarinen avaruus. Jos otat kentän reaalilukujen määrätystä kentästä \ mathbb (R), ota kenttä kompleksiluvut\ Mathbb (C), sitten eliminoitu lineaariavaruus kompleksilukujen kentän päällä, Abo, lyhyesti sanottuna, monimutkainen lineaarinen avaruus. Numerokenttään voit valita rationaalilukujen kentän \ mathbb (Q), joka poistaa lineaariavaruuden rationaalisten lukujen kentän yläpuolelta. Lisäksi, ellei toisin mainita, puheen lineaariset välilyönnit ovat näkyvissä. Joissakin tapauksissa johdonmukaisuuden vuoksi puhumme avaruudesta, jättäen pois sanan lineaarinen, aivan kuten kaikki alla näkyvät avaruudet ovat lineaarisia.

kunnioitus 8.1

1. Aksioomit 1-4 osoittavat, että lineaarisella avaruudella on ryhmäkommutatiivisuus ennen summausoperaatiota.

2. Aksioomat 5 ja 6 osoittavat vektorin luvulla kertomisoperaation distributiivisuutta suhteessa vektorien yhteenlaskuoperaatioon (aksiooma 5) tai lukujen yhteenlaskuoperaatioon (aksiooma 6). Aksiooma 7, jota joskus kutsutaan luvulla kertomisen assosiaatiolakiksi, määrittelee yhteyden kahden eri operaatioon: vektorin kertomisen luvulla ja numeroiden kertomisen. Aksiooman 8 määrittelemää tehoa kutsutaan vektorin luvulla kertomisen operaation unititeetiksi.

3. Lineaariavaruus ei ole tyhjä, joten nollavektorin asettaminen on pakollista.

4. Operaatioita, joissa vektorit lasketaan yhteen ja kerrotaan luvulla, kutsutaan lineaarisiksi vektoreiksi.

5. Vektorien \mathbf (u) ja \mathbf (v) summa on vektorin \mathbf (u) ja lähivektorin (- \mathbf (v)) summa, ja se on merkitty: \Mathbf (u) - \mathbf (v) = \mathbf (u) + (- \mathbf (v)).

6. Kahta nollasta poikkeavaa vektoria \mathbf (u) ja \mathbf (v) kutsutaan kollineaariseksi (suhteelliseksi), koska on olemassa luku \lambda, joka \Mathbf(v)=\lambda\mathbf(u). Kollineaarisuuden käsite laajenee vektorien lopullisen lukumäärän mukaan. Nollavektori \ mathbf (o) on kollineaarinen minkä tahansa vektorin kanssa.

Lineaarisen avaruuden aksioomien periytyminen

1. Lineaarisessa avaruudessa on yksi nollavektori.

2. Lineaarisella avaruudella mille tahansa vektorille \ mathbf (v) \ V:ssä on yksipituinen vektori (-\mathbf(v))\in V.

3. Luku nolla yksi nollavektorille on siis riittävästi vektoriavaruutta 0\cdot\mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall\mathbf(v)\in V.

4. Tvirin nollavektori missä tahansa numero yksi nollavektorissa, sitten mille tahansa luvulle \ lambda.

5. Tämän vektorin vieressä oleva vektori on sama kuin tämän vektorin lisäys numeroon (-1), jolloin (-\mathbf (v)) = (- 1)\mathbf (v)\, ~ \forall \mathbf (v)\in V.

6. U virazakh vigladu \Mathbf(a+b+\ldots+z)(Vektoreiden päätemäärän summa) tai \Alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot\mathbf (v)(Vektoreiden lukumäärä kertoimien lopussa) voit järjestää käsivarret mihin tahansa järjestykseen tai et voi määrittää niitä.

Katsotaanpa esimerkiksi kahta ensimmäistä auktoriteettia. Nollavektorin ainutlaatuisuus. Koska \mathbf (o) ja \mathbf (o) " ovat kaksi nollavektoria, voimme aksioomalla 3 poistaa kaksi yhtälöä: \Mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" tai muuten \Mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), Vasemmat osat ovat yhtä suuret aksiooman 1 mukaan. Siksi oikeat osat ovat yhtä suuret, joten \Mathbf(o)=\mathbf(o)". Protiilivektorin ainutlaatuisuus. Koska vektori \mathbf (v) \in V sisältää kaksi rinnakkaista vektoria (- \mathbf (v)) ja (- \mathbf (v)) ", niin niiden samankaltaisuus määritetään aksioomien 2, 3, 4 mukaan:

(-\mathbf (v)) "= (-\mathbf (v))" + \alijaviiva (\mathbf (v) + (-\mathbf (v)))_(\mathbf (o)) = \alleviiva ( (-\mathbf (v)) "+\mathbf (v))_(\mathbf (o)) + (-\mathbf (v)) = (-\mathbf (v)).

Viranomaisten päätös toteutetaan samalla tavalla.

Käytä lineaarisia välilyöntejä

1. Merkittävästi \ (\mathbf (o)\) - persoonaton, joka asettaa yhden nollavektorin operaatioineen \Mathbf(o)+\mathbf(o)=\mathbf(o)і \Lambda\mathbf(o)=\mathbf(o). Operaatioiden merkityksessä aksioomat 1-8 ovat yhtä suuret. Persoonaton \ (\ mathbf (o) \) on lineaarinen avaruus minkä tahansa numeerisen kentän yläpuolella. Koko lineaarista laajuutta kutsutaan nollaksi.

2. Merkittävästi V_1, \, V_2, \, V_3 - persoonattomia vektoreita (suunnattuja leikkauksia) suoralla, tasolla, avaruudessa, riippuen merkittävistä vektorien yhteenlasku- ja luvulla kertomisoperaatioista. Lineaarisen avaruuden aksioomien 1-8 tutkimus on integroitu alkeellisen geometrian kurssiin. No, V_1, \, V_2, \, V_3 persoonattomat avaruudet ovat lineaarisia puheavaruuksia. Erilaisten vektoreiden sijasta voidaan tarkastella samanlaisia ​​neutraalin sädevektoreita. Esimerkiksi tasossa, jossa kypsä tähkä sijaitsee, ei ole vektoreita, joten ne asettuvat yhteen kiinteään tason pisteeseen eli puheen lineaariseen avaruuteen. Yhden vuoden kasvottomat sädevektorit eivät luo lineaarista avaruutta, koska millekään näistä vektoreista summa \Mathbf (v) + \mathbf (v)älä mene lankaan katsomalla persoonallisuutta.

3. Merkittävästi \ mathbb (R) ^ n - persoonaton matriisi, jonka koko on n \ kertaa1, jossa on operaatioita, joissa matriisi lisätään ja matriisi kerrotaan luvulla. Aksioomit 1-8 lineaarista avaruutta varten laaditaan tälle multiplisiteettille. Nollavektori tässä moninkertaisuudessa on nolla-alkio o = \begin (pmatriisi) 0 & \cdots & 0 \end (pmatriisi) ^T. No, persoonaton \ mathbb (R) ^ n є puheen lineaarinen avaruus. Vastaavasti persoonaton \ mathbb (C) ^ n tyyppistä kokoa n \ kertaa1 kompleksisilla elementeillä є kompleksinen lineaariavaruus. Näkymättömiä aktiivisia elementtejä sisältävien matriisitukien puuttuessa ei kuitenkaan ole lineaarista tilaa, jotta taustalla olevat vektorit eivät mahdu mukaan.

4. Merkittävästi \ (Ax = o \) - homogeenisen järjestelmän persoonaton ratkaisu Ax = o lineaarinen algebralliset tasot tuntemattomien kanssa (jossa A on järjestelmän aktiivinen matriisi), joka nähdään n \ times1:n anonyyminä ulottuvuutena matriisin lisäämisen ja matriisin kertomisen luvulla operaatioilla. Huomaa, että nämä operaatiot mitataan tehokkaasti kertoimella \ (Ax = o \). Yksijärjestelmäjärjestelmän ratkaisun 1 potenssista (jako 5.5) nähdään, että yksijärjestelmäjärjestelmän kahden ratkaisun ja niiden ratkaisujen summa yksijärjestelmäjärjestelmän myös ratkaisujen lukumäärään, joten että kerroin \ (Ax = o\). Lineaarisen avaruuden aksioomit osallistujille päätetään (jako piste 3 lineaariavaruuden päissä). Siksi yksiriviselle järjestelmälle, jossa on lineaarinen puhetila, ei ole ratkaisua.

Epähomogeenisen järjestelmän persoonaton \ (Ax = b \) ratkaisu Ax = b, ~ b \ ne o ei kuitenkaan ole lineaarinen avaruus, jotta ei sijoitettaisi nolla-alkiota (x = o ei ole ratkaisu epähomogeeniseen järjestelmään).

5. Merkittävästi M_ (m\kertaa n) - persoonaton matriisi dimensioilla m\kertaa n, jossa on operaatioita matriisin yhteenlasku ja matriisin luvulla kertominen. Aksioomit 1-8 lineaarista avaruutta varten laaditaan tälle multiplisiteettille. Nollavektori on erikokoinen nollamatriisi O. No, persoonallisuus M_ (m\kertaa n) on lineaarinen laajuus.

6. Merkittävästi P (\mathbb (C)) - ilman yhden muuttujan polynomeja kompleksikertoimilla. Operaatiot, joissa lasketaan yhteen monta termiä ja kerrotaan polynomi luvulla, jota pidetään nollaasteen polynomina, on tarkoitettu täyttämään aksioomat 1-8 (yksinkertaisesti sanottuna nollavektori on polynomi, joka on myös yhtä suuri kuin nolla). Siksi persoonaton P (\mathbb (C)) on lineaarinen avaruus kompleksilukukentän päällä. Myös aktiivisten kertoimien polynomien persoonaton P (\mathbb (R)) on lineaariavaruus (tai ilmeisesti aktiivisten lukujen kentän yläpuolella). Polynomien persoonaton P_n (\mathbb (R)) taso ei ole korkeampi, alempi n, aktiivisin kertoimin ja myös puhelineaarisen avaruuden kanssa. On tärkeää, että termien yhteenlaskeminen lasketaan tällä kertoimella, koska polynomien summan taso ei paina lisätermien tasoja.

Polynomien persoonallisuus, vaihe n, ei ole lineaarinen avaruus, koska tällaisten polynomien summa voi esiintyä polynomina pienemmässä maailmassa, mikä ei esiinny kasvottomuudessa. Ilman kaikkia polynomeja aste ei ole suurempi, mutta positiivisilla kertoimilla sillä ei myöskään ole lineaarista avaruutta, koska kun tällainen polynomi kerrotaan negatiivisella luvulla, poistetaan polynomi, joka ei kuulu tähän monikertaisuuteen.

7. Merkittävää on, että C (\mathbb (R)) on ei-toiminnallinen funktio, joka on merkittävä ja keskeytymätön funktiossa \mathbb (R). Suma (f + g) funktiot f, g ja solid \ lambda f funktiot f toimintonumerolla \ lambda lasketaan yhtälöillä:

(F + g) (x) = f (x) + g (x), \quad (\lambda f)(x) = \lambda \cdot f(x) kaikille x\in\mathbb (R)

Nämä operaatiot määritellään käytännössä C:ssä (\mathbb (R)) ei-päättyvien funktioiden ja useiden ei-päättyvien funktioiden kokonaisfunktion summana, sitten C:n elementit (\mathbb (R) ). Varmistetaan lineaarisen avaruuden aksioomit. Reaalilukujen yhteenlaskun kommutatiivisuudesta seuraa tasa-arvon oikeudenmukaisuus f(x) + g(x) = g(x) + f(x) mille tahansa x:lle \in \mathbb (R). Siksi f + g = g + f, niin aksiooma 1 on johdonmukainen. Aksiooma 2 on samanlainen kuin taittamisen yhdistäminen. Nollavektori on funktio o (x), joka on myös yhtä suuri kuin nolla, joka tietysti on jatkuva. Jokaiselle funktiolle f määritetään yhtälö f (x) + o (x) = f (x), jolloin aksiooma 3 on tosi. Vektorin f lähivektori on funktio (-f) (x) = -. f (x). Silloin f + (- f) = o (aksiooma 4 on johdonmukainen). Aksioomat 5, 6 johtuvat reaalilukujen yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden distributiivisuudesta ja aksiooma 7 - lukujen kertomisen assosiatiivisuudesta. Jäljelle jäävä aksiooma on johdonmukainen, koska kertominen yhdellä ei muuta funktiota: 1\cdot f (x) = f (x) mille tahansa x\in\mathbb (R), niin 1\cdot f = f. Tällä tavalla kasvoton C (\ mathbb (R)), jossa on esitellyt operaatiot, nähdään lineaarisena puheavaruutena. Se on samanlainen C^1 (\mathbb (R)), C^2 (\mathbb (R)), \ldots, C^m (\mathbb (R))- persoonattomat toiminnot, joita ensimmäisen, toisen jne. tilaukset, tietenkin, samoin kuin lineaariset tilat.

Merkittävästi - ilman trigonometristä binaarista (taajuus \ omega \ ne0) aktiivisilla kertoimilla, sitten ilman funktiota muodossa f(t) = a\sin\omega t + b\cos\omega t x+y a\in\mathbb (R), ~ b\in\mathbb (R). Tällaisten binomien summa on noin todellisen luvun binomiaalin ja trigonometrisen binomiaalin vahvistaminen. Tietyn persoonallisuuden lineaarisen avaruuden aksioomat yhdistyvät (kuten T_(\omega)(\mathbb(R))\alajoukko C(\mathbb(R))). Kukaan ei välitä siitä T_(\omega)(\mathbb(R)) Nämä funktion kannalta välttämättömät operaatiot ovat yhteen- ja kertolasku luvulla sekä puheen lineaariavaruus. Nollaelementti on binomi o(t) = 0\cdot\sin\omega t + 0\cdot\cos\omega t, Sama kuin nolla.

Ilman aktiivisia funktioita, merkitseviä ja monotonisia \ mathbb:ssä (R), ei ole lineaarista tilaa, koska kahden monotonisen funktion välinen ero voi johtaa ei-monotoniseen funktioon.

8. Merkittävästi \ mathbb (R) ^ X - persoonaton toimintafunktio, arvot X:n moninkertaisuudessa, operaatioineen:

(F + g) (x) = f (x) + g (x), \ quad (\ lambda f) (x) = \ lambda \ cdot f (x) \ quad \ forall x \ in X

Puheessa on lineaarinen avaruus (todistus on sama kuin edellisessä esimerkissä). Tässä tapauksessa X voidaan valita riittävästi. Zokrema, yakscho X = \(1,2,\lpisteet,n\), Sitten f (X) - numeroiden järjestys f_1, f_2, \ldots, f_n x+y f_i = f(i), ~i = 1,\ldots,n Tällainen joukko voidaan esittää matriisilla, jonka mitat ovat n \ kertaa 1, joten se on persoonaton \Mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\)) välttää persoonallisuutta \ mathbb (R) ^ n (jako lineaariavaruuksien sovellusten kohta 3). Koska X = \mathbb (N) (oletettavasti \mathbb (N) on persoonaton luonnollinen luku), lineaariavaruus voidaan päätellä \Mathbb(R)^(\mathbb(N))- persoonattomia numerosarjoja \(F(i)\)_(i=1)^(\infty). Lisäksi numeeristen sekvenssien konvergenssi luo myös lineaarista avaruutta, koska kahden vierekkäisen sekvenssin summa konvergoi ja kun konvergentin sekvenssin kaikki termit kerrotaan, konvergentti jono otetaan huomioon luvulla. Ilman erillisiä sekvenssejä ei kuitenkaan ole lineaarista avaruutta, koska esimerkiksi sekvenssien määrät voivat poiketa toisistaan.

9. Merkittävästi \ mathbb (R) ^ (+) - positiivisten reaalilukujen lukumäärä, joissa summa a \ oplus b і tvir \ lambda \ ast a (merkityksissä, joissa tapauksessa eroavat alkuluvuista) yhtäläisyyksien kanssa: a\oplus b=ab,~\lambda\ast a=a^(\lambda), Toisin sanoen alkioiden summa ymmärretään lukujen kiinteäksi osaksi, ja alkion kertominen luvulla on kuin pelkistystä askeleeksi. Molemmat operaatiot ilmaistaan ​​tehokkaasti kertoimella \mathbb (R) ^ (+), koska positiivisten lukujen kiinteä osa on positiivinen luku ja positiivisen luvun aktiivinen vaihe on positiivinen luku. Varmistetaan aksioomien pätevyys. intoa

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus (b\oplus c)=a (bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

osoittavat, että aksioomat 1 ja 2 ovat johdonmukaisia. Tämän persoonallisuuden nollavektori on yksi, koska a\oplus1=a\cdot1=a, Tobto o = 1. Lähin vektori a:lle on vektori \frac (1) (a), joka on arvoista, niin on myös a \ne o. Totta, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Varmistetaan seuraavat aksioomit 5, 6, 7, 8:

\begin(koottu)\mathsf(5))\quad\lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)=a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) =\lambda\ast a\oplus\lambda\ast b\,; \hfill\\\mathsf(6))\quad (\lambda +\mu)\ast a=a^(\lambda +\mu)=a^(\lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda \ast a\oplus\mu\ast a\,; \hfill\\\mathsf(7))\quad\lambda\ast (\mu\ast a)=(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda \cdot\mu)\ast a\,; \hfill\\\mathsf (8))\quad 1\ast a = a^1 = a\,. \hfill\end (kerätty)

10. Nehai V - puheen lineaarinen avaruus. Katsotaanpa kasvottomia kappaleita V lineaarisilla skalaarifunktioilla ja sitten funktiolla f\colon V\to\mathbb(R), jotka saavat toimivia merkityksiä ja tyydyttävät mielen:

f (\mathbf (u) + \mathbf (v)) = f (u) + f (v) ~~ \forall u, v \in V(Additiivisuus);

f (\lambda v) = \lambda \cdot f (v) ~~ \forall v \in V, ~\forall \lambda \in \mathbb (R)(Yksinäisyys).

Lineaaristen funktioiden lineaarioperaatiot määritellään samalla tavalla kuin lineaariavaruuksien sovellusten kappaleessa 8. Summa f + g і tvir \ lambda \ cdot f määräytyy yhtälöillä:

(F + g) (v) = f (v) + g (v) \ quad \ forall v \ in V; \qquad (\lambda f) (v) = \lambda f (v)\quad \forall v\in V, ~\forall \lambda \in \mathbb (R).

Lineaarisen avaruuden aksiooma vahvistetaan samalla tavalla kuin kappaleessa 8. Ei väliä lineaariset funktiot, Lineaariavaruuden V ja lineaarisen avaruuden arvot. Tätä avaruutta kutsutaan kytketyksi avaruuteen V ja se on merkitty V ^ (\ast). Joogoelementtejä kutsutaan kovektoreiksi.

Esimerkiksi ei ole olemassa n muuttuvaa lineaarista muotoa, joita pidetään vektoriargumentin ei-persoona-skalaarifunktioina, eikä lineaarista avaruutta, joka on yhdistetty avaruuteen \ mathbb (R) ^ n.

Jos merkitsit palveluksen, ystävän suosion tai ehdotuksia, kirjoita kommentteihin.

Anna minun mennä - lineaarisen avaruuden avaruuteen.

aliavaruuksien spandreli Ja sitä kutsutaan vektorien poissaoloksi, jotka liittyvät toisiinsa ja samaan aikaan, niin että aliavaruuksien poikkileikkaus määritellään kahden tekijän alkuperäiseksi poikkileikkaukseksi.

Algebrallinen aliavaruuksien summa Ja sitä kutsutaan ei-persoonalliseksi vektoriksi mielessä. Alebrallinen summa (lyhyesti sanottuna vain summa) aliavaruuksista on määritetty

Vektoridataa ilmeisesti kutsutaan avautuva vektori ei aliavaruutta і.

kunnioitus 8.8

1. Risti aliavaruuksien ja aliavaruuksien välillä. Tästä syystä ymmärrämme mitat, perustan jne. jäykistyä painumiseen asti.

2. Aliavaruuksien summa on aliavaruus. Tästä syystä ymmärrämme mitat, perustan jne. pysähtyä summaan asti.

Todellakin, on tarpeen näyttää lineaaristen operaatioiden sulkeutuminen moninkertaisuudessa. Anna kahden vektorin olla yhdessä niin, että niiden iho asettuu tilan poikki:

Tiedämme summan: Siis jakki, ah. No, persoonallisuus on suljettu suhteessa operaatioon ennen lisäystä. Tutustu Twitteriin:. Siis jakki, a. No, persoonallisuus sulkeutuu luvulla kertomisen suhteen. Tällä tavalla - lineaarinen aliavaruus.

3. Rethread-operaatio suoritetaan useille kaikille lineaarisen avaruuden aliavaruuksille. Tämä on kommutatiivista ja assosiatiivista. Minkä tahansa aliavaruusperheen V risteys on lineaarinen aliavaruus, ja virazan käsivarret voivat olla melko erillään toisistaan ​​tai olla sijoittamatta päihin.

4. Minimaalinen lineaarinen aliavaruus , Eli äärellisulotteisen lineaarisen avaruuden osajoukkoa kutsutaan kaikkien aliavaruuksien poikkileikkaukseksi, toisin sanoen. Tämän seurauksena on välttämätöntä välttää nolla-aliavaruutta, kunhan se sijaitsee missä tahansa aliavaruudessa. Jos se on lineaarinen aliavaruus, niin määritettyä verkkokalvoa vältetään, jolloin fragmentit sijaitsevat risteävien aliavaruuksien ihossa (ja yhden niistä:).

Lineaarisen kuoren minimiteho: lineaarinen kuori olla mikä tahansa alalaji äärellisulotteinen lineaarinen avaruus minimaalisella lineaarisella aliavaruudella , Tobto .

Tehokas, merkityksellinen . On tarpeen tuoda kahden tekijän tasa-arvo: Joten jakki (jakolauseke 6, kunnioitus 8.7), sitten. Otetaan se käyttöön. Lisäelementti saattaa ilmestyä, de. Päästä irti - ole vapaa kostamaan. Voit sijoittaa kaikki vektorit ja minkä tahansa niiden lineaarisen yhdistelmän (osio 7, kunnioitus 8.7), zokrema, vektori. Tämä vektori kuuluu mihin tahansa aliavaruuteen, joka kostaa. Tämä tarkoittaa, että tällaiset alitilat on määritettävä uudelleen. Tällä tavalla...

5. Sinun on kytkettävä molemmat päälle ja sinun täytyy olla kateellinen.

6. Taittuvien aliavaruuksien toiminta suoritetaan lineaarisen avaruuden kaikkien aliavaruuksien joukolle. Tämä on kommutatiivista ja assosiatiivista. Siksi alitilojen lopullisen lukumäärän summissa käsivarret voivat olla erillään tai olla sijoittamatta taakse.

7. On mahdollista määritellä aliavaruuksien yhdistäminen persoonallisiksi vektoreiksi, jotka kuuluvat joko avaruuteen tai avaruuteen (tai molempiin aliavaruuksiin). Alaavaruuksien yhdistäminen zagalny-termissä ei kuitenkaan ole aliavaruus (se on aliavaruus vain lisämielellä tai). Välilyöntejä vältetään niiden kokonaisuuden lineaarisella kuorella. On selvää, että sisällyttäminen tulee merkityksestä. Mikä tahansa persoonallisuuden elementti voi näyttää olevan kahden persoonallisuuden vektorin lineaarinen yhdistelmä. Viedään kipeä seuraavaan vaiheeseen. Mikä tahansa elementti saattaa ilmestyä

, De. Jaamme tämän summan kahteen osaan ja lisäämme kaikki varastot ensimmäiseen summaan. Reshtan varastot taittelevat kassin ystävälle:

Persha Suma on aktiivinen vektori, toinen Suma on aktiivinen vektori. Ozhe,. Tarkoittaa,. Tutkittujen populaatioiden mustasukkaisuudesta voidaan puhua kahdesta osasta. Lause 8.4 aliavaruuksien summan mitoista. і yakscho , Silloin aliavaruuksien summan mitta on sama kuin niiden mittojen summa ilman niiden poikkipalkin mittaa (Grassmannin kaava ):

Itse asiassa, anna minun muuttaa perustetta. Lisäksi järjestetty joukko vektoreita aliavaruuden kantaan ja järjestetty joukko vektoreita aliavaruuden kantaan. Tällainen lisäys on mahdollista Lauseen 8.2 mukaan. Kolmen vektorijoukon merkityksestä luodaan joukko järjestyksiä vektorit. Osoittakaamme, että nämä vektorit luovat tilaa. On selvää, että mikä tahansa vektori, jonka avaruus esiintyy järjestetyn joukon vektorien lineaarisena yhdistelmänä

Ozhe,. Katsotaan mitä tehdä lineaarisesti riippumaton ja siksi haju on tilan perusta. On tehokasta ja helppoa muotoilla näiden vektorien lineaarinen yhdistelmä ja rinnastaa ne nollavektoriin:

Kaksi ensimmäistä summaa ovat merkitseviä - tämä on reaalivektori z, loppusumma on merkitsevä - tämä on todellinen vektori z. Kateus (8.14): tarkoittaa, että vektori kuuluu myös avaruuteen. Tarkoittaa,. Tämän vektorin hajottaminen kannan taakse, tiedämme . Tarkasteltaessa tämän vektorin laajennusta kohdassa (8.14), voimme poistaa

Jäljelle jäänyt mustasukkaisuus voidaan nähdä nollavektorin hajoamisena aliavaruuden perusteella. Kaikki tällaisen asettelun kertoimet ovat nollia: i. Korvaamalla kohdan (8.14), voimme poistaa sen. Tämä on mahdollista vain triviaalisesti, koska vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton (se on aliavaruuden perusta). Näin ollen mustasukkaisuus (8.14) päättyy triviaaliin lopputulokseen vain, kun kaikki kertoimet saavuttavat nollan samanaikaisesti. No, vektoreiden kokonaisuus Se on lineaarisesti riippumaton, joten se on avaruuden perusta. Arvioimme aliavaruuksien summan koon:

mitä piti tuoda esiin.

Pekka 8.6. Sädevektorien avaruudessa, jossa on piilotettu tähkä aliavaruuden määrittelypisteessä: i - kolme kasvotonta sädevektoria, jotka leikkaavat suorien viivojen ja viivojen pisteessä; i - kaksi neutraalia sädevektoria, jotka sijaitsevat leikkaavilla tasoilla i; suora, tasaisella viivalla, suora viiva tasaisella viivalla, tasainen viiva suoralla viivalla (kuva 8.2). Selvitä ihon koko ja nauha viiden aliavaruuden merkityksestä.

Päätös. Tiedämme summan. Lisäämällä kaksi päällekkäin olevaa vektoria voidaan vähentää tasossa oleva vektori. Päinvastoin, mikä tahansa seuraava vektori (jako kuva 8.2) voidaan esittää visuaalisesti vektorin projektioina suorilla viivoilla ja yhdensuuntaisesti. Tämä tarkoittaa, että jos mikä tahansa alueen sädevektori asetetaan aliavaruuden i päälle, niin . Samoin päätellään, että a - ilman sädevektoreita, jotka sijaitsevat tasossa, joka kulkee suorien viivojen i kautta.

Tiedämme summan. Be-vektoriavaruus voidaan jakaa aliavaruuteen i. Itse asiassa sädevektorin pään läpi piirretään suora, yhdensuuntainen suoran kanssa (jako kuva 8.2), niin että siitä tulee vektorin projektio tasoon. Sitten laitamme vektorin siihen näin. Ozhe,. Siis jakki. Samoin voimme sanoa sen. Reshta sumi on helppo tietää:. Kunnioittavasti scho.

Vikoristin lause 8.4 on todennettavissa esimerkiksi koon yhtäläisyys. Kun Grassmannin kaavaan korvataan i, on selvää, että havaittiin seuraava.

Aliavaruuksien jänneväli tunnetaan kuvasta 1. 8.2, kuinka verkkokalvon geometriset kuviot tehdään:

de - nollasädevektori.

Vain summa tilaa. Suoran summan kriteerit.