Adams - Englantilainen tähtitieteilijä ja matemaatikko 1800-luvulla, joka oli laajasti mukana taivaan mekaniikassa. Planeettojen erilaisen liikeradan vuoksi hänen oli vähitellen integroitava numeerisesti niiden rukh-taso. Pyrkiessään minimoimaan laskelmia Adams kehitti yhden taloudellisimmista menetelmistä differentiaaliyhtälöiden numeeriseen ratkaisemiseen, jota käsittelemme nyt.

Päästä irti - differentiaalitasauksen päätös. Tässä tarkoituksessa tasa-arvo on oikea paikka

Integroimalla ruudukon kahden pisteen välillä suhde paljastuu

.

Emme voi olla voittajia tässä suhteessa ilman mitään välitystä voittoprosessin siirtymävaiheessa -th grid kohta
-Oh, funktion fragmentteja
ei näy meille. Ajan saamiseksi tämä funktio on suunnilleen korvattava funktiolla, joka voidaan laskea. Kuvataan kuinka tämä ongelma syntyy Adamsin menetelmässä.

Viedään ongelman numeerisen ratkaisun prosessissa kehitys pisteeseen . Tutkimuksemme tuloksena löysimme seuraavat arvot: і
,
. Otetaan kiinteä kokonaisluku
ja käytämme interpolointipolynomia
-th askel, joka otetaan pisteissä ,
merkitys

,
.

Tämä voidaan kirjoittaa Lagrangen kaavalla

,

de
muodon erikoispolynomit

kuten olemme jo nähneet kolmannessa jaksossa.

Adamsin menetelmän pääidea piilee siinä, että kehitystä varten
muuta kaava tyypiksi ja korvaa siinä oleva funktio
interpolaatiopolynomiksi
, Talletukset perustuvat aikaisempien laskelmien tuloksiin. Tämä voidaan pelkistää toistuvaksi kaavaksi

,

.

Tarkastellaanpa tarkemmin kaaviota Cauchyn ongelman numeerisesta ratkaisusta sen yksinkertaisimmissa muodoissa
і
Jos tekniset vaikeudet eivät estä näkemystä menetelmän ideasta. klo
likimäärin funktiota
nollaasteen polynomi on vikorista, eli se on vakio

.

Tällä tavalla kaava voidaan muuntaa Eulerin menetelmän toistuvaksi kaavaksi

,

joka varmistaa ensimmäisen kertaluvun tarkkuuden. Tämä tulos on sinänsä triviaali. Olemme viitanneet tähän vain osoittaaksemme, että Adamsin menetelmälle, samoin kuin Runge-Kutta -menetelmälle, tulospiste on Eulerin menetelmä.

Siirrytään vaihtoehdon lisätutkimukseen
. Millä tavalla funktio likimääräistä
Ensimmäisen vaiheen polynomi, arvostettujen funktioiden taustalla oleva motivaatio, on vikorista kahdessa kohdassa
і
:

Kun se lisätään kaavaan ja integrointi suoritetaan, se poistetaan

.

On tärkeää huomata toistuvan kaavan erikoisuus. Mesh-funktion luonnoksen arvon laajentaminen
on tarpeen tietää arvot kahdessa etupisteessä і
. Siten kaava alkaa toimia vain eri pisteestä. Laske sen avulla Se ei ole mahdollista. Vähittäiskaupan ongelman ratkaisun arvo tulee laskea jollain muulla menetelmällä, esimerkiksi Runge-Kutta -menetelmällä.

Toistuva kaava voidaan kirjoittaa vähittäismyyntiyhtälön muotoon

.

Toivomme uutta lähestymistapaa differentiaaliyhtälön approksimaatioon

Oletetaan, että funktio
Voi olla meille tärkeällä alueella, argumenttien vaihtaminen keskeytyksettä ja muut vastaavat, jotta ongelma ratkeaa
trichy erottuu jatkuvasti. Tallennetaan Taylorin ulkoasu

Lisäämällä ne kaavaan poistamme

.

Voit kirjoittaa arvosanan

,

de
- paikallaan, pääsääntöisesti kolmas liikkuva toiminto
:

,
.

Uskomme, että kunnioituksemme Adamsin menetelmää kohtaan on erittäin hyödyllistä
, Arvioi differentiaaliyhtälön eri tarkkuudella . Runge-Kutta-menetelmän tapaan tämä antaa erilaisen tarkkuusjärjestyksen ratkaisun löytämiseen
kun haudutetaan, mikä on tärkeää , Jos vakuutus ei ole vakio, se lasketaan eri tarkkuudella.

Tarkempien kaavioiden luomista voidaan jatkaa murto-osalla kustannuksista
. klo
tuloksena oleva kaavio on kolmannen asteen tarkkuudella
- neljäs jne. Neljännen asteen malli, kuten Runge-Kutta -menetelmässä, on yleisimmin käytetty, joten teemme lyhyesti yhteenvedon sen tuloksista ja keskusteluista.

Kuinka kirjoittaa kolmannen asteen interpolaatiopolynomi
verkossa neljästä pisteestä ,
,
,
ja suorita integrointi, toistuva kaava näyttää tältä:

Otetaan käyttöön toinen muoto tämän kaavan tallentamiseksi niin sanottujen lopullisten jakojen kautta

Ensimmäinen, toinen ja kolmas jako muistuttavat läheisesti ensimmäistä, toista ja kolmatta samanlaista toimintoa
. Kaavojen vastaavuus on helppo tarkistaa ilman eroa. Inode-kaava on kätevämpi laskentaprosessin järjestämiseen ja tarkkuuden säätelyyn.

Adamsin menetelmän erikoisuus ilmenee vielä voimakkaammin kaavassa kuin kaavassa. Täällä chergovogo-merkityksen selvittämiseksi
täytyy tietää merkitys useissa etupisteissä - ,
,
,
. Tällä tavalla kaava alkaa toimia vasta neljännestä pisteestä. Laske sen avulla ,,Se ei ole mahdollista. Vähittäiskaupan ongelman ratkaisemisen merkitys on selvitettävä toisella menetelmällä, esimerkiksi Runge-Kutta -menetelmällä.

Siirrytään keskustelemaan järjestelmän tarkkuudesta. Mikä on toiminto
Etsimme jatkuvasti argumenttejamme tärkeällä alueella, jotta voimme muuttaa niitä, joten ongelma on ratkaistu
erotetaan viisi kertaa keskeytyksettä, silloin differentiaalikorjaus approksimoi differentiaalista tasausta neljännen kertaluvun tarkkuudella. . Tämän väitteen todistaminen suoritetaan samalla tavalla kuin eri järjestyksessä oleville järjestelmille, vain nyt tämän tyyppisissä asetteluissa on tarpeen sisällyttää enemmän jäseniä. Neljännen kertaluvun tarkkuus approksimaatiotasaukselle antaa neljännen kertaluvun ratkaisun palautukselle
mitkä ovat Adams-menetelmän tähkäarvot haudutettuna ,,lasketaan samalla tarkkuudella. On tärkeää kiinnittää huomiota, ja on tärkeää, että laskentaprosessin alkuvaiheessa ei aiheuta sellaista virhettä, joka pilaa kaikki myöhemmät tulokset.

Zavdannya 5.

Ratkaistaan ​​Cauchyn ongelma sivuhuomautuksena
krokin kanssa
toisen Adamsin suunnitelman takana ja neljäs järjestyksessä. Vertaa analyysin tuloksia keskenään, Runge-Kutta-kaavion analyysin tuloksiin ja laitoksen analyyttisiin ratkaisuihin.

Jaon tulokset näkyvät taulukon 2 neljännessä ja viidennessä sarakkeessa. On selvää, että neljäs sarake tulee kohdistaa ennen tilaamista toiseen ja kuusi ja viides kolmas ja kuusi sarakkeeseen. On syytä muistaa, että kuudennessa kappaleessa on esitetty tarkasteltavan ongelman analyyttinen ratkaisu (53), joten vertailu siihen antaa mahdollisuuden arvioida lähimmän ratkaisun tarkkuutta käyttämällä Runge-Kutta-kaaviota ja Adamsin kaaviota.

Adamsin erilaisen tarkkuusjärjestyksen kehittäminen alkaa siitä , Neljäs - s . merkitys neljännessä kappaleessa, ,,Viidennessä sarakkeessa heidät on vakuutettu Runge-Kutta -järjestelmän mukaan samassa järjestyksessä, joten taulukossa ne näkyvät samanlaisten tietojen rinnalla toisesta ja kolmannesta sarakkeesta. Kahden menetelmän analyysin tulosten tasaus analyyttisten ratkaisujen kanssa osoittaa, että niiden tarkkuus on suunnilleen sama.

Kaavioiden vertailu neljänteen tarkkuusluokkaan Runge-Kutta- ja Adamsin menetelmässä laskentaprosessin organisoinnin näkökulmasta. Ansaitaksesi yhden tunnin Runge-Kutta-menetelmällä, sinun on arvioitava funktio
useita kertoja, mutta Adamsin menetelmässä vain kerran. Kolmella etupisteellä on tehtävä
on jo laskettu etukäteen, eikä sitä tarvitse laskea uudelleen. Tämä on Adamsin menetelmän suuri etu, jota arvostettiin erityisesti tietokonetta edeltäneellä aikakaudella.

Adams-menetelmän suurin haittapuoli on jo todettu: kun ensimmäiset askeleet jäätyvät, joudut työskentelemään toisella menetelmällä, esimerkiksi Runge-Kutta -menetelmällä, ja vasta sen jälkeen voit siirtyä Adamsin kehittämiseen. järjestelmä. Näin ollen Adams-menetelmää käyttävän Cauchyn ongelman ratkaisuohjelman tulee sisältää elementtinä Runge-Kutta-menetelmän ohjelma ongelmien ratkaisemiseksi. cob vaiheessa laskentaprosessi.

Tähän Adamsin menetelmän erikoisuuteen liittyy toinenkin ongelma. Differentiaaliyhtälöä numeerisesti integroitaessa on usein tarpeen muuttaa kynnystä . Runge-Kutta -menetelmässä ei ole vaikeuksia, ihon palaset hajoavat edellisestä riippumatta. Adamsin menetelmällä on eri tilanne. Tässä joudutaan joko ohjelmoimaan alusta alkaen täydentämään taittokaava leikkauksen muutoksella, ja leikkauksen ihonvaihdon jälkeen piirrä uudelleen kolme ensimmäistä pistettä Runge-Kutta -menetelmällä. Vasta sitten voit vaihtaa vakiokehykseen Adams-menetelmällä. Nämä puutteet johtavat siihen, että nykyään tietokonesovelluksissa etu on usein manuaalisemmalle Runge-Kutta-menetelmälle.

Adamsin menetelmä

Etsi Cauchyn ongelmaa varten jollakin tavalla (esimerkiksi Euler- tai Runge-Kutta-menetelmällä) halutun funktion kolme viimeistä arvoa

Laskettavat määrät.

Adamsin menetelmän avulla voit selvittää ongelman ratkaisun - funktion - funktiotaulukosta. Poistetun taulukon jatko neljällä pisteellä perustuu Adamsin ekstrapolointikaavaan:

Sitten tarkennus suoritetaan Adamsin interpolointikaavalla:

Adamsin menetelmää voidaan helposti laajentaa järjestelmiin erotustasot. Adamsin menetelmän ongelma on samaa luokkaa kuin Runge-Kutta-menetelmässä.

Differentiaaliyhtälöiden määrittely pienellä parametrilla parantamaan epälineaarisia transsendentaalisia ja algebrallisia yhtälöitä

Asetetaanko funktio ilman keskeytys-differointia. On tarpeen kehittää epälineaarinen tai transsendenttinen näkemys asiasta

Käytännössä tutkimusta ei voida tehdä suorilla menetelmillä, joten useimmiten käytetään iteratiivisia menetelmiä. Kaikki iteratiiviset menetelmät muodon (31) transsendentaalisten ja algebrallisten ongelmien ratkaisemiseksi voidaan jakaa kahteen ryhmään:

diskreetit ratkaisumallit.

non-stop-ratkaisusuunnitelmia.

Diskreettejä ratkaisumalleja harkittiin useammin. Huomaa, että ylivakuutusmenetelmien suurimmat haitat ovat:

tähkien välinen aika ja juuren alkuperän välinen aika;

jatkuvasti alhainen likviditeetti;

mitään ei sanota säännöistä, jotka koskevat siirtymistä rivin (31) juuresta juurille samaan aikaan kuin niiden desimaali.

Kun pysyvät kaaviot yhtälön (31) ratkaisemiseksi on muodostettu, etenee juurien etsintäprosessi korkeimman samanaikaisen differentiaaliyhtälön suuntaan

Olkoon se merkityksellistä ja yksitoikkoista loppukampanjan alun kanssa. Aikaisempi juurien löytö (31), joka on pysyvä analogi yksinkertaiselle iteraatiomenetelmälle, voidaan nähdä rajana Cauchyn ongelman ratkaisemisessa.

koska niiden välillä on rako. Se on merkittävä Cauchyn ongelman (33) ratkaisun kautta, - yhtälön (31) ratkaisun kautta. Sitten voi syntyä samankaltaisuus. Toipumisaikojen syöttäminen ja poistuminen (33) muusta laskennasta

Järjestämällä Taylor-sarjaan pisteen ympärille lineaarisia termejä säilyttäen ja korvaamalla lausekkeen johdannaiset lausekkeessa (34), yhtälöissä on selkeästi differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisu saattaa ilmetä

Bachimo, mikä on henkistä heikkoutta juureen asti, on vimoga, niin kuin tässä tilanteessa, ja sitten. Koska se on yksitoikkoinen, jäljellä oleva taso voidaan laajentaa kattamaan koko tarkastelun kohteena olevan alueen. Siten keskeytymättömien piirien henkinen perustaminen yksinkertaisten iteraatioiden (33) menetelmällä on

Jatkuvat ratkaisupiirit tarjoavat suuremman nopeuden ja suuremman ratkaisun tarkkuuden verrattuna vastaaviin erillispiireihin. Mutta ongelma tähkämielten vanhenemisesta ja sääntöjen puutteesta siirtymiselle juuresta juurille, kun yhtälöllä (31) on useampi kuin yksi ratkaisu, jää auki.

Kuten differentiaaliyhtälöstä (33) ja yhtälöstä (31) voidaan nähdä, jäljellä olevan osan vasen osa korvataan toissijaisella. Ratkaistun tehtävän (33) karkeat approksimaatiot annetaan lopulliselle tehtävälle (31). Tämä ei merkitse vain suurta laskelmien menetystä, vaan myös talouden likviditeetin laskua.

Kirjoita rivnyannya (31) uudelleen näkyville

de - pieni parametri.

Siirtymä tehtävästä (31) tehtävään (37) alustaa teoreettisesti siten, että integraalikäyrät, jotka ratkaisevat yhtälön pienellä parametrilla (37), kulkevat kaikkien yhtälön (31) ratkaisujen läpi. Tämän yhtälön juurten aikaisempi löytö voidaan nähdä yksinkertaisten iteraatioiden menetelmän keskeytymättömänä yksittäisanalogina käyttöliittymänä Koshyan ongelman ratkaisemisessa.

koska niiden välillä on rako.

Suorittamalla merkinnän, kuten merkintä, osoitamme sen, poistamme sen, jotta ratkaisu vastaa (37) näkökulmaa:

Tässä tapauksessa henkinen kapasiteetti (36) riistetään itsestään.

Klassisten kaavioiden modifikaatio on poistettu, jotta se ei jää alun mielessä ja saattaa johtaa ratkaisun tarkkuuteen. Tehokkuuden nopeuden todistamiseksi on hyväksyttävää, että iteratiivisten menetelmien soveltaminen ei anna tarkkaa ratkaisua ja ratkaisun tarkkuus otetaan käyttöön. Klassisilla ja modifioiduilla menetelmillä tarkan ratkaisun löytämisen hetket ovat merkittäviä, koska i. Vikoristiset ratkaisut (35) ja (39), kirjoitetaan muodon epäyhtälöt

Tästä on selvää, että i. Nämä ovat merkityseroja ja mikä tärkeintä, toiminnan nopeus kehittyneillä muokkausmenetelmillä on paljon suurempi kuin klassisilla.

Adamsin menetelmät ovat tällä hetkellä yksi lupaavimpia numeerisen integroinnin menetelmiä Cauchyn ongelman ratkaisemiseksi. On todistettu, että kun Adamsin runsaita numeerisia menetelmiä käytetään Cauchyn ongelman ratkaisemiseen 12. asteeseen asti, stabiliteettialue muuttuu. Kun järjestys kasvaa edelleen, vastusalue ja menetelmän tarkkuus kasvavat. Lisäksi samalla tarkkuudella rikkaille menetelmille yhdellä integrointivaiheella on tarpeen laskea vähemmän differentiaaliyhtälöiden oikeita osia kuin Runge-Kutta-menetelmissä. Adamsin menetelmien etuna on, että niillä voidaan helposti muuttaa integrointiaikaa ja menetelmäjärjestystä.

Käytännössä käytetään laajasti kahdenlaisia ​​Adamsin menetelmiä - eksplisiittisiä ja implisiittisiä. Eksplisiittiset menetelmät tunnetaan Adams-Beshfort-menetelmänä, implisiittiset menetelmät Adams-Moulton-menetelmänä.

Katsotaanpa joukko numeerisia menetelmiä Cauchyn ongelman ratkaisemiseksi

Korkeimman tehtävän (2. 1) tapauksessa yksitermimenetelmillä yn + 1:n arvot tallennetaan vain eteenpäin pisteen xn tietoihin. Voidaan olettaa, että suurempi tarkkuus voidaan saavuttaa käyttämällä tietoa etupisteistä xn, xn-1 ... xn-k. Tämä ajatus on rikkaan menetelmän perusta.

Suurin osa rikkaista menetelmistä perustuu hyökkäävään lähestymistapaan. Jos laitat yhtälön (2. 1) täsmälleen ratkaisuun y (x) ja integroimme yhtälön leikkaukseen, peruutamme:

Korvaamalla funktio f (x, y (x)) kaavassa (2.2) interpolaatiopolynomilla P (x), approksimaatiomenetelmä poistetaan.

Polynomin P (x) muodostamiseksi on hyväksyttävää, että yn, yn-1 ... yn-k on lähimpänä kärkeä pisteissä xn, xn-1 ... xn-k. On tärkeää, että solmut xi piirretään tasaisesti solmun h kanssa. Sitten fi = f (xi, yi), (i = n, n-1 .. n-k) - є lähestyy f (x, y (x)) pisteissä xn, xn-1 ... xn-k.

Koska P (x) on sopiva interpolointipolynomiaste, k tyydyttää mielen

Jos integroimme tämän polynomin eksplisiittisesti, seuraava menetelmä hylätään:

Kun k = 0, polynomi P (x) on vakio, joka on yhtä suuri kuin fn, ja kaava (2.4) muuttuu Eulerin ensisijaiseksi menetelmäksi.

Kun k = 1, polynomi P (x) on lineaarinen funktio, joka kulkee pisteiden (xn-1, fn-1) ja (xn, fn) läpi, ts.

Polynomin integrointi xn:stä xn + 1:een kaksitermimenetelmällä

mikä vikoryst-informaatio kahdessa pisteessä xn ja xn + 1.

Jos k = 2, niin P (x) on neliöpolynomi, tiedot (xn-2, fn-2), (xn-1, fn-1) ja (xn, fn) interpoloidaan. Voidaan osoittaa, että samanlainen menetelmä näyttää

Jos k = 3, niin toinen menetelmä saadaan kaavalla

Kun k = 4 maєmo

Merkittävää on, että menetelmä (2.7) on kolmivaiheinen, (2.8) nelivaiheinen ja (2.9) viisivaiheinen. Kaavat (2.6) - (2.9) perustuvat Adams-Beshfortin menetelmään. Menetelmällä (2.6) on erilainen tarkkuusjärjestys, joten sitä kutsutaan eri järjestyksessä olevaksi Adams-Beshfortin menetelmäksi. Samoin menetelmiä (2. 7), (2. 8) ja (2. 9) kutsutaan kolmannen, neljännen ja viidennen asteen Adams-Beshfortin menetelmiksi.

Jatkamalla tätä prosessia jatkuvasti kasvavalla eteenpäin suuntautuvien pisteiden määrällä sekä korkeamman asteen interpolaatiopolynomilla Adams-Beshfortin menetelmä hylätään välttämättömänä korkealuokkaisena.

Monikrokaaliset menetelmät aiheuttavat vaikeuksia, joita ei aiheudu yksittäisten menetelmien valinnasta. Näistä vaikeista asioista tulee järkeviä, esimerkiksi ne kääntyvät viidennen asteen Adams-Beshfortin menetelmiin (2.9).

Tehtävälle (2. 1) annetaan cob-arvo y0, mutta kun n = 0 kaavalle (2. 9) on tarvittava tieto pisteistä x-1, x-2, x-3, x-4, joka on luonnollisesti samana päivänä. Ensisijainen ulospääsy tästä tilanteesta on luottaa mihin tahansa saman tarkkuuden kertaluonteiseen menetelmään, kuten Runge-Kutta -menetelmään, kunnes monipistemenetelmän työlle on löydetty riittävä arvo. Tai voit käyttää yksivaiheista menetelmää ensimmäisessä vaiheessa, kaksivaiheista menetelmää toisessa ja niin edelleen, kunnes kaikki aloitusarvot on poistettu. Tässä tapauksessa on oleellista, että lähtöarvot lasketaan samalla tarkkuudella kuin jäännösmenetelmä. Joidenkin aloitusmenetelmien tarkkuus voi olla pienempi, aluksi on tarpeen toipua lyhyemmässä ajassa ja valita enemmän välipisteitä.

Menetelmien (2. 6) - (2. 9) uusiminen perustuen funktion f (x, y) korvaamiseen interpolaatiopolynomilla P (x). On selvää, että lause on paikallaan, mikä johtaa interpolointipolynomin perustaan ​​ja ykseyteen. Jos muuttujat x0, x1 ... xn ovat erilaisia, niin millä tahansa f0, f1 ... fn:llä on yksi polynomin P (x) -aste, joka ei ole suurempi kuin n, jolloin P (xi) = fi, i = 0, 1, ..n.

Vaikka interpolointipolynomi on yhtenäinen, on monia tapoja lähettää tämä polynomi. Useimmiten käytetään Lagrangen polynomeja, mutta ne näyttävät myös olevan käsittämättömiä, koska tietojoukkoon on lisättävä (tai poistettava mistä tahansa) tietojoukko. Tässä tapauksessa interpolointipolynomilla on toinen ilmentymä. Newtonin ilmiö

Polynomi Pn + 1 (x) voidaan kirjoittaa muotoon

Interpolaatiopolynomin esittäminen muodossa (2.11) voi useissa tapauksissa olla käytännössä erityisen vaikeaa.

Adams-Beshfortin menetelmä näyttää jo tunnetut arvot pisteissä xn, xn-1 ... xn-k. Interpolaatiopolynomia käytettäessä voit valita pisteet xn, xn, xn-1 ... xn-k. Tämä johtuu implisiittisten m-vaihemenetelmien luokasta, joka tunnetaan Adams-Moulton-menetelmänä.

Jos k = 0, niin P (x) - lineaarinen funktio Mitä kulkea pisteiden (xn, fn) ja (xn + 1, fn + 1) läpi ja vastaava menetelmä

є Adams-Moultonin menetelmä eri järjestyksessä.

Kun k = 1, 2, 3, voidaan valita seuraavat menetelmät

kolmas, neljäs ja viides kertaluku. Vertailu (2. 12) - (2. 15) Arvon yn + 1 haku on implisiittistä, joten niiden toteuttamiseen on käytettävä iteratiivisia menetelmiä.

Käytännössä on tärkeää olla luottamatta tiukasti yhtälöihin (2.12) - (2.15), vaan käyttää selkeästi eksplisiittisiä ja implisiittisiä muotoja, jotka johtavat ennustamis- ja korjausmenetelmään.

Esimerkiksi Adamsin menetelmälle eri järjestyksessä, vikoristiset arvot, joissa r on iteraationumero, voimme käyttää laskentakaavaa r = 1:

Tätä prosessia kutsutaan PECE-menetelmäksi (P tarkoittaa profeetallisen kaavan pysähtymistä, C - stasis korjaa kaavan, E - funktion f laskeminen). Voit nopeuttaa laskentaprosessia lisäämällä jäljellä olevan kaavan. Tämä tuo meidät niin sanottuun PEC-menetelmään.

Katsotaanpa toista menetelmää rivejen purkamiseksi (2.12) - (2.15). Kaavat (2.12) - (2.15) voidaan kirjoittaa uudelleen näkymästä

de gn paikka koon mukaan. On todistettu, että jos L on Lipshitsin vakio, yhtälölle (2.17) on yksi ratkaisu, joka voidaan saada käyttämällä lisä iteratiivista prosessia

de - riittää.

Iteraatiot lausekkeessa (2. 18) jatkuvat, kunnes onnistuminen on saavutettu. Tässä vaiheessa funktion f laskema luku muuttuu pisteestä toiseen ja voi nousta suureksi numeroksi.

Toisaalta, jos muutat h:n arvoa, vahvistus voidaan saavuttaa kiinteällä iteraatiomäärällä. Tätä menetelmää kutsutaan korjaukseksi arkuuspisteeseen.

Ensi silmäyksellä saatat ajatella, että ilmeinen rikas menetelmä on yksinkertaisin tapa laskea näkökulmasta. Käytännössä eksplisiittisiä menetelmiä käytetään kuitenkin harvoin. Implisiittinen Adams-Moulton-menetelmä on tarkempi kuin eksplisiittinen Adams-Beshfort-menetelmä. Esimerkiksi viidennen asteen Adams-Moulton-menetelmän laskentakaavio näyttää tältä:

Adamsin menetelmiä viidennen kertaluvun luokkaan asti voidaan käyttää primääridifferentiaaliyhtälöiden parantamiseen, koska ne eivät vaadi suurta tarkkuutta.

Kuten Adams-Beshfort-menetelmässä, toisin kuin Adams-Moulton-menetelmässä, tärkeitä näkökohtia ovat integrointiajan ja menetelmän järjestyksen optimaalisen yhdistelmän valinta. On huomattava, että luomalla tehokkaita algoritmeja ja ohjelmia menetelmä paranee ja integrointiaika lyhenee.

Monimutkaisempia tehtäviä varten on tarpeen soveltaa Adamsin menetelmiä korkeampaan luokkaan. Taulukossa 2.1 on kerroinarvot Adamsin menetelmille. Ensimmäinen rivi näyttää menetelmän järjestyksen; toisessa - alemman järjestyksen k kertoimien arvot Ck; seuraavilla riveillä - Adams-Beshfort- ja Adams-Moulton-menetelmien kertoimet Bkj ja Mkj ovat yhdenmukaisia. Sitten taulukon 2. 14 tietojen mukaan lausekkeen kertoimet

k:nnen kertaluvun Adams-Beshfortin menetelmälle löytyy suhteesta

ja k:nnen kertaluvun Adams-Moultonin menetelmälle käyttäen samanlaista kaavaa

Adamsin ennustaja-korjausmenetelmän kaavat 6. ja 14. asteen välillä näyttävät tältä:

• 6. järjestys:
• 7. järjestys:
• 8. järjestys:
• 9. järjestys:
• 10. tilaus:
• 11. järjestys:
• 12. tilaus:
• 13. tilaus:
• 14. tilaus:
• 15. tilaus:
• 16. tilaus:

Kaavoja käytetään todennäköisemmin ratkaisujen muotoiluun primääridifferentiaaliyhtälöille tai ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöjärjestelmille, joilla on tasainen integrointiaika. Koska integraation tason nostoprosessissa integrointiaikaa muutetaan, niin Adamsin menetelmille on olemassa erityisiä tekniikoita uuden datan asettamiseen integrointiaikaa muuttaessa.

klo S= 1 kaava (6.16) Ymmärrän

yakscho K= 2, hylkäämme laskentasäännön:

Käytä käytännössä ekstrapolointikaavaa (6.18) ja säädä sitten kaavan (6.23) takana oleva arvo. I jos määritetyn arvon tulos ei ole suurempi kuin sallittu ryöstö, niin H kunnioitus on hyväksyttävää .

Tietokoneella laajentamista varten terminaalihartsinäkymän kaavat (6.18) ja (6.23) eivät ole manuaalisia. Ne voidaan visualisoida (6.21)

(6.24)

Vakiintuneilla kaavoilla voidaan saavuttaa suuri tarkkuus. Järjestyksen tuhoamisen haju ~ Noin(H4), Ale varkauden arviointikaavat on taitettu. Välitön kidnappaus voidaan arvioida Rungen säännön avulla.

Pekka 6.2. Valitse erotusvertailu leikkaamiseen maissintähkällä Y(X= 0) = 1. Etsi Adamsin menetelmä (korjauksella) tarkasti X4 , Käytä kolmessa ensimmäisessä kohdassa Runge Kutta -menetelmää ja ota krokkaus.

Päätös. Funktion arvot neljässä ensimmäisessä pisteessä voidaan ottaa taulukosta. 6.1 (div. Butt etuosassa). Nyt kävi selväksi, että näissä kohdissa tallensimme ensimmäisen marssin arvot (jakokaavat (6.24)).

X4 = X3 + H= 0.15 + 0.05 = 0.2;

Tulosten nopeuttamiseksi on tarpeen laskea samankaltaisuuden arvot tässä vaiheessa:

Selvitetään nyt arvot interpolointikaavalla (tai et ehkä halua, muuten menetelmän vauriot ovat suuremmat):

Joten koska funktion uusi merkitys on korjattu, niin obov'yazkovo Seuraava askel on yliarvioida tuoton arvo. Meidän tapauksessamme ekstrapolointi- ja interpolointikaavojen erotusmoduuli on pienempi kuin ε , Mikä mahdollistaa laskutuksen jatkamisen samalla summalla.

Ruokaa itsetarkastukseen

· Muotoile Cauchyn ongelma ensimmäisen kertaluvun alkudifferentiaaliyhtälöille.

· Mitkä ovat differentiaaliyhtälöiden ratkaisut: a) yleisessä matematiikassa, b) sovelletussa matematiikassa?

· Mitä differentiaalivertailumenetelmiä kutsutaan yksikroisiksi, monikroisiksi? Osoita peppuasi.

· Kohdista, lajittele ensimmäinen ja toinen vaihe Eulerin, Runge-Kuttan ja Taylorin sarjojen menetelmillä (vaikeusaste, menetys...).

· Kuinka arvioida zastovovannogo-menetelmän tuhoaminen? Miten voin muuttaa sen?

· Tasaa yksi- ja rikasverisiä menetelmiä erilaisten suhteiden kehittämiseen, osoittaen ensimmäisten ja muiden edut ja haitat.

· Mitä ovat Adamsin ekstrapolointi- ja interpolointimenetelmät (kaavat)?

· Voit käyttää: a) vain Adamsin ekstrapolointimenetelmiä,
b) vain interpolointi?

· Voit käyttää seuraavia menetelmiä: a) Multi-crocal menetelmät ilman yksikrokaalisia;
b) yksirajaisia ​​menetelmiä ilman monirajattuja?

· Jos Adamsin menetelmää käyttävä differentiaalitasaus 27. askeleella on korkea, kynnystä on tarpeen muuttaa. Kuinka voit ansaita rahaa?

Meillä on edelleen sama Cauchyn ongelma edessämme.

f (1) (t)=F(t, f(t)), a£ t£ b, f(a)=f a.

Yhden kruunun menetelmillä on arvoja f(tk+1) pidettiin vain eturintamassa olevana tiedona tk. Päätöksen tarkkuutta näyttää olevan mahdollista parantaa käyttämällä tietoa useista edistyneistä kohdista, kun niitä on saatavilla. Näin löydämme itsemme menetelmistä, joita kutsutaan nimellä rich-croc. Ensimmäisellä silmäyksellä ongelman muotoilusta käy selväksi, että aloitushetkellä t=t a On vain yksi tähkä ja jos päätämme työskennellä kahden, kolmen tai useamman etupisteen kanssa, ei ole selvää kuinka erottaa toisistaan, paitsi yksikerroksisten menetelmien vicorization. Niin se menee; "Monimutkainen" ratkaisualgoritmi voi näyttää tältä:

Ensimmäisessä vaiheessa poista toinen piste yksivaiheisella menetelmällä, toisaalta poista kolmas kaksivaiheisella menetelmällä, kolmannessa - neljäs käyttämällä kolmivaiheista lisämenetelmää jne., kunnes päämenetelmä, joka siirretään voittajalle, johtopisteitä on tarpeeksi.

Toinen vaihtoehto on, että koko aloituspistejoukko noudattaa samaa yksivaiheista menetelmää, esimerkiksi neljännen asteen Runge-Kutta. Monikroonisen menetelmän fragmentit ovat tarkempia, aloituskroon menetelmässä käytä suurempaa määrää välipisteitä, jolloin työskentelet lyhyemmällä ajalla.

Tällaisia ​​algoritmeja voidaan luoda monia. Vrahovoyuchi scho

f(tk +1)=f(tk)+ ,

voidaan integroida numeerisesti integraalimerkin alle oikeus osakkeisiin ODU. Jos käytämme suorakulmaista menetelmää (integroidun funktion interpolointipolynomi on vakio), alkuperäinen Euler-menetelmä hylätään. Kuinka valita 2 pistettä ja ensimmäisen asteen interpolaatiopolynomi

s(x)= ,

sitten integrointi trapetsoidimenetelmään tk ennen tk+1 antaa loukkaavan algoritmin:

f(tk +1)=f(tk)+0.5h(3F k-F k -1).

Samoin kolmen pisteen osalta matemaattisesti neliö interpoloi datan takana olevan polynomin ( tk -2 , F k -2), (tk -1 , F k -1), (tk, F k) І integraatio Simpsonin menetelmän jälkeen antaa algoritmin:

f(tk +1)=f(tk)+ (23F k–16F k -1 +5F k -2).

Neljälle pisteelle polynomi on kuutio ja sen integrointi antaa:

f(tk +1)=f(tk)+ (55F k–59F k -1 +37F k -2 –9F k -3).

Periaatteessa meitä olisi voitu pureskella näin pitkään.

Ehdotetut algoritmit perustuvat toisen, kolmannen ja neljännen kertaluvun Adams-Bashforth-menetelmiin.

Muodollisesti voimme käyttää interpolaatiopolynomia N Jo vakuutettuja pisteitä vikoristovat ja paljon muuta R Maybutnikh tk +1 , tk+2; yksinkertaisimmalla tavalla, soita

tk +1 , tk, tk -1 ,…, tk -N .

Tästä syntyy niin kutsuttujen Adams-Moulton-menetelmien luokka. Nelivaiheisessa vaihtoehdossa käytät tietoja ( tk +1 , F k +1), (tk, F k), (tk -1 , F k -1), (tk -2 , F k-2) ja sen algoritmi:

f(tk +1)=f(tk)+ (9F k +1 +19F k–5F k -1 +F k -2).

On selvää, että päivittäiseen dataan perustuva analyysi on mahdotonta, joten Adams-algoritmit voidaan yhdistää Adams-Bashforthin ja Adams-Moultonin algoritmien sekvenssiin, jotka sulkevat pois ennustus- ja korjausmenetelmät. Esimerkiksi neljännen asteen ennuste- ja korjausmenetelmä näyttää tältä: aluksi se ennustetaan Adams-Bashforth-algoritmin avulla, jossa on useita ohituspisteitä

f(tk +1)=f(tk)+ (55F k–59F k -1 +37F k -2 –9F k -3).

Sitten laskelmien mukaan yhtälön oikean puolen arvot ovat lähellä

F k +1 =F(tk +1 , f(tk +1).

I, nareshti, koriguemo f(tk+1) s vikoristannyam yogo lähellä merkitystä

f(tk +1)=f(tk)+ (9F k +1 +19F k–5F k -1 +F k -2).

Tehokkaimmat tietokoneohjelmat, joilla voit muuttaa menetelmän aikaa ja järjestystä, perustuvat korkealuokkaisiin Adams-menetelmiin (yli 10). Näiden ohjelmien käytöstä saatu näyttö osoittaa, että erot niiden toteutuksessa voivat vaikuttaa enemmän menetelmien tarkkuuteen, vähemmän itse menetelmien sisäisiin viranomaisiin.