Трапеція – це плоский чотири косинець, У якого дві протилежні сторони паралельні. Вони називаються підставами трапеції, а дві інші сторони – бічними сторонами трапеції .
Інструкція
1. Завдання знаходження довільного кута в трапеціївимагає достатньої кількості додаткових даних. Розглянемо приклад, в якому відомі два кути при основі трапеції. Нехай вести кути ∠BAD та ∠CDA, виявимо кути ∠ABC та ∠BCD. Трапеція має таку властивість, що сума кутів при будь-якій бічній стороні дорівнює 180 °. Тоді ∠ABC = 180°-∠BAD, а ∠BCD = 180°-∠CDA.
2. В іншому завданні може бути зазначено рівність сторін трапеціїі будь-які додаткові кути. Скажімо, як на малюнку, може бути відомо, що сторони AB, BC і CD рівні, а діагональ становить з нижньою основою кут ∠CAD = α.Розглянемо тре косинець ABC, він рівнобедрений, тому що AB = BC. Тоді ∠BAC = ∠BCA. Позначимо його x для стислості, а ∠ABC – y. Сума кутів всякого тре косинецьа дорівнює 180 °, з цього випливає, що 2x + y = 180 °, тоді y = 180 ° - 2x. Водночас із властивостей трапеції: y + x + α = 180 ° і відтак 180 ° - 2x + x + α = 180 °. Отже, x = α. Ми виявили два кути трапеції: ∠BAC = 2x = 2α і ∠ABC = y = 180° – 2α. Так як AB = CD за умовою, то трапеція рівнобока або рівнобедрена. Отже, діагоналі рівні й рівні кути під час основ. Таким чином, ∠CDA = 2α, а ∠BCD = 180° – 2α.
Діагональ багато косинця– відрізок, той, що з'єднує дві вершини фігури, що не межують між собою (тобто несуміжні вершини або не належать одній стороні багато) косинця). У паралелограмі, знаючи довжину діагоналей і довжину сторін, можна розрахувати кути між діагоналями .
Інструкція
1. Для комфорту сприйняття інформації накресліть на аркуші паперу довільний паралелограм АВСD (паралелограм – це чотирикутник, протилежні сторони якого попарно рівні та паралельні). Об'єднайте протилежні вершини відрізками. Отримані АС та ВD – діагоналі. Позначте точку перетину діагоналей буквою О. Потрібно виявити кути ВОС (АОD) та СOD (АОВ).
2. Паралелограм має цілу низку математичних якостей:- діагоналі точкою перетину діляться навпіл; – діагональ паралелограма ділить його на два рівні косинця;- сума всіх кутів у паралелограмі дорівнює 360 градусів;- сума кутів, що належать до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180 градусам;- сума квадратів діагоналей дорівнює двоїстий сумі квадратів його суміжних сторін.
3. Щоб виявити кути між діагоналями, скористайтеся теоремою косінусів з теорії елементарної геометрії (Евклідова). Відповідно до теореми косінусів, квадрат сторони тре косинця(A) можна отримати, склавши квадрати 2-х інших сторін (B і C), і з отриманої суми відняти подвійне твір цих сторін (B і C) на косинус кута між ними.
4. Стосовно трикутника ВОС паралелограма АВСD теорема косінусів буде виглядати наступним чином: Квадрат ВС = квадрат ВО + квадрат ОС – 2*ВО*ОС*cos кута ВOC Звідси соs кута BOC = (квадрат ВС – квадрат ВО – квадрат ОС) / (2*ВО *ОС)
5. Виявивши значення кута ВОС (АОD) легко обчислити значення іншого кута, укладеного між діагоналями- СОD (АОВ). Для цього від 180 градусів відніміть значення кута ВОС (АТD) – т.к. сума суміжних кутів дорівнює 180 градусам, а кути ВОС та СОD та кути АОD та АОВ – суміжні.
Відео на тему
Для вирішення цього завдання способами векторної алгебри, вам потрібно знати наступні уявлення: геометрична векторна сума та скалярний добуток векторів, а також слід пам'ятати якість суми внутрішніх кутів чотирикутника.
Вам знадобиться
- - Папір;
- - Ручка;
- - Лінійка.
Інструкція
1. Вектор – це спрямований відрізок, тобто величина, що вважається заданою повністю, якщо задана його довжина та напрямок (кут) до заданої осі. Розташування вектора більш нічим не обмежене. Рівними вважаються два вектори, що володіють ідентичними довжинами та одним напрямком. Отже при застосуванні координат вектори зображують радіус-векторами точок його кінця (передмова розміщується на початку координат).
2. За визначенням: результуючим вектором геометричної суми векторів називається вектор, що виходить з початку першого і має кінець наприкінці другого, за умови, що кінець першого суміщений з початком другого. Це можна продовжувати і далі, будуючи ланцюжок подібно до розташованих векторів. Зобразіть цей чотирикутник ABCD векторами a, b, c та d відповідно до рис. 1. Мабуть, що при такому розташуванні результуючий вектор d=a+b+c.
3. Скалярне твір у разі комфортніше кожного визначити з урахуванням векторів a і d. Скалярне твір, що позначається (a, d) = | a | | d | cosф1. Тут ф1 - кут між векторами і d. Скалярний добуток векторів, заданих координатами, визначається такими виразами: (a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2 = dx^2+ dy^2, тоді cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).
4. Основні уявлення векторної алгебри в прив'язці до поставленої задачі, призводять до того, що для однозначної постановки цієї задачі досить завдання 3 векторів, розташованих, можливий, на AB, BC і CD, тобто a, b, c. Можна фінально відразу задати координати точок A, B, C, D, але даний метод є надлишковим (4 параметри замість 3-х).
5. приклад. Чотирьохкутник ABCD заданий векторами його сторін AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2). Виявити кути між його сторонами. Рішення. У зв'язку з висловленим вище, 4-й вектор (для AD) d(dx,dy)=a+b+c=(ax+bx+cx, ay+by+cy)=(1,3). За методикою обчислення кута між векторами аcosф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), ф1=arcos(1/ sqrt(10)).-cosф2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ by^2))=1/sqrt2, ф2=arcos(-1/sqrt2 ), ф2=3п/4.-cosф3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ by^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), ф3=arcos( -1/sqrt(10))=п-ф1. Відповідно до примітки 2 – ф4=2п-ф1 – ф2-ф3=п/4.
Відео на тему
Зверніть увагу!
Примітка 1. Визначення скалярного твору застосовується кут між векторами. Тут, скажімо, ф2 – це кут між АВ та ВС, а між a та b даний кут п-ф2. сos(п-ф2)=- сosф2. Подібно до ф3.Примітка 2. Відомо, що сума кутів чотирикутника дорівнює 2п. Отже ф4 = 2п-ф1 - ф2-ф3.
Завдання з трапецією не здаються складними у низці постатей, вивчених раніше. Як окремий випадокрозглядається прямокутна трапеція. А при пошуку її площі іноді буває зручніше розбити її на дві вже знайомі: прямокутник та трикутник. Варто трохи подумати, і рішення обов'язково знайдеться.
Визначення прямокутної трапеції та її властивості
У довільної трапеції основи паралельні, а бічні сторони можуть мати довільне значення кутів до них. Якщо розглядається прямокутна трапеція, то в ній одна із сторін завжди перпендикулярна до основ. Тобто два кути в ній дорівнюватимуть 90 градусам. Причому вони завжди належать суміжним вершинам або, інакше кажучи, одній бічній стороні.
Інші кути в прямокутній трапеції – це завжди гострий та тупий. Причому їхня сума завжди дорівнюватиме 180 градусам.
Кожна діагональ утворює з її меншою бічною стороною прямокутний трикутник. А висота, проведена з вершини з тупим кутом, ділить фігуру на дві. Одна з них — прямокутник, а інша — прямокутний трикутник. До речі, ця сторона завжди дорівнює висоті трапеції.
Які позначення прийняті у поданих формулах?
Всі величини, що використовуються в різних виразах, які описують трапецію, зручно одразу обумовити та подати у таблиці:
Формули, що описують елементи прямокутної трапеції
Найпростіша з них пов'язує висоту та меншу бічну сторону:
Ще кілька формул для цієї сторони прямокутної трапеції:
с = d * sinα;
c = (a - b) * tg α;
c = √ (d 2 - (a - b) 2).
Перша випливає із прямокутного трикутника. І говорить про те, що катет до гіпотенузи дає синус протилежного кута.
У тому ж трикутнику другий катет дорівнює різниці двох основ. Тому справедливим є твердження, яке прирівнює тангенс кута до відношення катетів.
З того ж трикутника можна вивести формулу, виходячи з знання теореми Піфагора. Це третій записаний вираз.
Можна записати формули для іншого боку. Їх також три:
d = (a - b) /cosα;
d = c/sin α;
d = √ (c 2 + (а - b) 2).
Перші дві знову виходять із співвідношення сторін у тому ж прямокутному трикутнику, а друга виводиться із теореми Піфагора.
Яку формулу можна скористатися для розрахунку площі?
Тієї, що дана для довільної трапеції. Тільки треба врахувати, що висотою є сторона, перпендикулярна до основ.
S = (a + b) * h/2.
Ці величини який завжди дано явно. Тому, щоб обчислити площу прямокутної трапеції, потрібно виконати деякі математичні викладки.
Як бути, якщо потрібно визначити діагоналі?
В цьому випадку потрібно побачити, що вони утворюють два прямокутні трикутники. Отже, завжди можна скористатися теоремою Піфагора. Тоді перша діагональ виражатиметься так:
d1 = √ (з 2 + b 2)
або по-іншому, замінивши "с" на "h":
d1 = √ (h 2 + b 2).
Аналогічним чином виходять формули для другої діагоналі:
d2 = √ (з 2 + b 2)або d 2 = √ (h 2 + а 2).
Завдання №1
Умова. Площа прямокутної трапеції відома і дорівнює 120 дм2. Її висота має довжину 8 дм. Необхідно вирахувати всі сторони трапеції. Додатковою умовою є те, що одна основа менша за іншу на 6 дм.
Рішення.Оскільки дана прямокутна трапеція, в якій відома висота, то відразу ж можна сказати про те, що одна із сторін дорівнює 8 дм, тобто менша бічна сторона.
Тепер можна порахувати іншу: d = √ (з 2+(а – b) 2). Причому тут одразу дано і сторону, і різницю підстав. Остання одно 6 дм, це відомо з умови. Тоді d дорівнюватиме квадратному кореню з (64 + 36), тобто зі 100. Так знайдена ще одна бічна сторона, що дорівнює 10 дм.
Суму підстав можна знайти із формули для площі. Вона дорівнюватиме подвоєному значенню площі, розділеному на висоту. Якщо рахувати, то виходить 240/8. Отже, сума підстав — це 30 дм. З іншого боку, їхня різниця дорівнює 6 дм. Об'єднавши ці рівняння, можна порахувати обидві підстави:
а + b = 30 та а - b = 6.
Можна висловити як (b + 6), підставити їх у першу рівність. Тоді вийде, що 2b дорівнюватиме 24. Тому просто b виявиться 12 дм.
Тоді остання сторона дорівнює 18 дм.
Відповідь.Сторони прямокутної трапеції: а = 18 дм, b = 12 дм, = 8 дм, d = 10 дм.
Завдання №2
Умова.Дано прямокутну трапецію. Її велика бічна сторона дорівнює сумі підстав. Її висота має довжину 12 см. Побудований прямокутник, сторони якого рівні підстав трапеції. Необхідно обчислити площу цього прямокутника.
Рішення.Почати потрібно з шуканого. Потрібна площа визначиться як добуток a та b. Обидві ці величини невідомі.
Потрібно використовувати додаткові рівність. Одне побудовано затвердженні з умови: d = а + b. Необхідно скористатися третьою формулою цієї сторони, яка дана вище. Вийде: d 2 = з 2 + (a - b) 2 або (a + b) 2 = з 2 + (a - b) 2 .
Необхідно зробити перетворення, підставивши замість його значення з умови - 12. Після розкриття дужок і приведення подібних доданків виходить, що 144 = 4 ab.
На початку рішення йшлося у тому, що а*b дає шукану площу. Тому в останньому вираженні можна замінити цей твір на S. Простий розрахунок надасть значення площі. S = 36 см2.
Відповідь.Шукана площа 36 см 2 .
Завдання №3
Умова.Площа прямокутної трапеції 150√3 см². Гострий кут дорівнює 60 градусів. Таке саме значення має кут між маленькою основою та меншою діагоналлю. Потрібно вирахувати меншу діагональ.
Рішення.З якості кутів трапеції виходить, що її тупий кут дорівнює 120 º. Тоді діагональ поділяє його на рівні, бо одна його частина вже 60 градусів. Тоді і кут між цією діагоналлю та другою основою теж 60 градусів. Тобто трикутник, утворений великою основою, похилою бічною стороною та меншою діагоналлю, є рівностороннім. Таким чином, шукана діагональ дорівнюватиме а, як і бічна сторона d = а.
Тепер слід розглянути прямокутний трикутник. У ньому третій кут дорівнює 30 градусів. Отже, катет, що лежить проти нього, дорівнює половині гіпотенузи. Тобто менша основа трапеції дорівнює половині шуканої діагоналі: b = a/2. З нього ж потрібно знайти висоту, рівну бічній стороні, перпендикулярній до основ. Сторона тут катет. З теореми Піфагора:
з = (a/2) * √3.
Тепер залишилося лише підставити всі величини у формулу площі:
150√3 = (a + a/2)*(a/2*√3)/2.
Вирішення цього рівняння дає корінь 20
Відповідь.Найменша діагональ має довжину 20 см.
Трапеція – це геометрична фігура, чотирикутник, який має дві паралельні лінії. Інші дві лінії паралельними не можуть, у разі це був би паралелограм.
Види трапецій
Трапеції бувають трьох видів: прямокутна, коли два кути трапеції складають по 90 градусів; рівностороння, у якій дві бічні лінії рівні; різнобічна, де бічні лінії різної довжини.
Працюючи з трапеціями, можна навчитися обчислювати їхню площу, висоту, розмір ліній, а також розібратися в тому, як знаходити кути трапеції.
Прямокутна трапеція
Прямокутна трапеція має два кути по 90 градусів. Сума решти двох кутів дорівнює 180 градусів. Тому є спосіб, як знайти кути прямокутної трапеції, знаючи розмір одного з кутів. Нехай вона становить, наприклад, 26 градусів. Лише потрібно від загальної суми кутів трапеції - 360 градусів - відняти суму відомих кутів. 360-(90+90+26) = 154. Шуканий кут становитиме 154 градуси. Можна вважати простіше: оскільки два кути — прямі, то у сумі вони становитимуть 180 градусів, тобто половину 360; сума непрямих кутів також дорівнюватиме 180, тому можна порахувати простіше і швидше 180 -26 =154.
Рівнобедрова трапеція
Рівнобедрена трапеція має дві рівні сторони, які є підставами. Є формули, які пояснюють, як знайти кути рівнобедреної трапеції.
Розрахунок 1, якщо дані розміри сторін трапеції
Вони позначаються літерами A, і C: A - розміри бічних сторін, і - розміри підстави, меншого і більшого відповідно. Трапецію слід назвати АВСD. Для обчислень необхідно провести висоту Н з кута В. Утворився прямокутний трикутник ВНА, де АН та ВН – катети, АВ – гіпотенуза. Тепер можна визначити розмір катета АН. І тому необхідно від більшої основи трапеції відняти меншу, і розділити навпіл, тобто. (с-b)/2.
Щоб знайти гострий кут трикутника, необхідно використовувати функцію cos. Cos шуканого кута (β) буде дорівнює а/((с-b)/2). Щоб дізнатися про розмір кута β, необхідно скористатися функцією arcos. β = arcos 2а/с-b. Т.к. два кути рівносторонньої трапеції рівні, то вони становитимуть: кут ВАD = кут СДА = arcos 2а/с-b.
Розрахунок 2. Якщо дані розміри підстав трапеції.
Маючи значення підстав трапеції - і b, можна скористатися тим самим методом, що у попередньому рішенні. З кута необхідно опустити висоту h. Маючи розміри двох катетів щойно створеного трикутника, можна скористатися схожою тригонометричною функцієютільки в цьому випадку це буде tg. Щоб перетворити кут і отримати значення, необхідно скористатися функцією arctg. З формул, отримуємо розміри шуканих кутів:
β = arctg 2h/с-b, а кут α = 180 - arctg 2h/с-b/
Звичайна різнобічна трапеція
Є спосіб, як знайти більший кут трапеції. Для цього потрібно знати розміри обох гострих кутів. Знаючи їх, і знаючи, що сума кутів за будь-якої підстави трапеції становить 180 градусів, робимо висновок, що шуканий тупий кут складатиметься з різниці 180 – розмір гострого кута. Також можна знайти й інший тупий кут трапеції.
Кути рівнобедреної трапеції. Вітаю! У цій статті мова піде про розв'язання задач із трапецією. Ця група завдань входить до складу іспиту, завдання прості. Обчислюватимемо кути трапеції, основи та висоти. Рішення низки завдань зводиться до розв'язання, як кажуть: куди ми без теореми Піфагора?
Працюватимемо з рівнобедреною трапецією. У неї рівні бічні сторони та кути при підставах. Про трапецію є стаття на блозі.
Зазначимо невеликий та важливий нюанс, який у процесі вирішення самих завдань докладно не розписуватимемо. Подивіться, якщо у нас дано дві основи, то більша основа висотами, опущеними до нього, розбивається на три відрізки – один дорівнює меншій основі (це протилежні сторони прямокутника), дві інші рівні один одному (це катети рівних прямокутних трикутників):
Простий приклад: дано дві основи рівнобедреної трапеції 25 і 65. Більша основа розбивається на відрізки таким чином:
*І ще! У завданнях не введено літерних позначень. Це зроблено навмисне, щоб не перевантажувати рішення алгебраїчними вишукуваннями. Згоден, що це математично неписьменно, але мета донести суть. А позначення вершин та інших елементів ви завжди можете зробити самі та записати математично коректне рішення.
Розглянемо завдання:
27439. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 51 і 65. Бічні сторони дорівнюють 25. Знайдіть синус гострого кута трапеції.
Щоб знайти кут необхідно побудувати висоти. На ескізі позначимо дані за умови величини. Нижня основа дорівнює 65, висотами воно розбивається на відрізки 7, 51 і 7:
У прямокутному трикутнику нам відома гіпотенуза та катет, можемо знайти другий катет (висота трапеції) і далі вже обчислити синус кута.
По теоремі Піфагора зазначений катет дорівнює:
Таким чином:
Відповідь: 0,96
27440. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 43 і 73. Косинус гострого кута трапеції дорівнює 5/7. Знайдіть бічну сторону.
Побудуємо висоти та відзначимо дані в умові величини, нижня основа розбивається на відрізки 15, 43 та 15:
27441. Більша основа рівнобедреної трапеції дорівнює 34. Бічна сторона дорівнює 14. Синус гострого кута дорівнює (2√10)/7. Знайдіть меншу основу.
Збудуємо висоти. Для того щоб знайти меншу основу нам необхідно знайти чому дорівнює відрізок, що є катетом у прямокутному трикутнику (позначений синім):
Можемо обчислити висоту трапеції, а потім знайти катет:
По теоремі Піфагора обчислюємо катет:
Таким чином, менша основа дорівнює:
27442. Підстави рівнобедреної трапеції дорівнюють 7 і 51. Тангенс гострого кута дорівнює 5/11. Знайдіть висоту трапеції.
Побудуємо висоти та відзначимо дані за умови величини. Нижня основа розбивається на відрізки:
Що робити? Виражаємо тангенс відомого нам кута при основі у прямокутному трикутнику:
27443. Менша основа рівнобедреної трапеції дорівнює 23. Висота трапеції дорівнює 39. Тангенс гострого кута дорівнює 13/8. Знайдіть більшу основу.
Будуємо висоти і обчислюємо чому дорівнює катет:
Таким чином більша основа дорівнюватиме:
27444. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 17 і 87. Висота трапеції дорівнює 14. Знайдіть тангенс гострого кута.
Будуємо висоти та відзначаємо відомі величини на ескізі. Нижня основа розбивається на відрізки 35, 17, 35:
За визначенням тангенсу:
77152. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 6 і 12. Синус гострого кута трапеції дорівнює 0,8. Знайдіть бічну сторону.
Побудуємо ескіз, побудуємо висоти та відзначимо відомі величини, більша основа розбивається на відрізки 3, 6 та 3:
Виразимо гіпотенузу позначену як х через косинус:
З основної тригонометричної тотожності знайдемо cosα
Таким чином:
27818. Чому дорівнює більший кут рівнобедреної трапеції, якщо відомо, що різниця протилежних кутів дорівнює 500? Відповідь дайте у градусах.
З курсу геометрії нам відомо, що якщо маємо дві паралельні прямі та січну, що сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 0 . У нашому випадку це
З умовою сказано, що різниця протилежних кутів дорівнює 50 0 тобто
Трапеція - це плоский чотири косинець, У якого дві протилежні сторони паралельні. Вони називаються основами трапеції, а дві інші сторони - бічними сторонами трапеції.
Інструкція
Завдання знаходження довільного кута в трапеціїпотребує достатньої кількості додаткових даних. Розглянемо приклад, у якому відомі два кути на підставі трапеції. Нехай відомі кути &ang-BAD та &ang-CDA, знайдемо кути &ang-ABC та &ang-BCD. Трапеція має таку властивість, що сума кутів при кожній бічній стороні дорівнює 180°-. Тоді &ang-ABC = 180°--&ang-BAD, а &ang-BCD = 180°--&ang-CDA.
трапеції" class="lightbx" data-lightbox="article-image">
В іншому завданні може бути зазначено рівність сторін трапеціїі якісь додаткові кути. Наприклад, як на малюнку, може бути відомо, що сторони AB, BC і CD рівні, а діагональ складає з нижньою основою кут ang-CAD = α-. Розглянемо тре косинець ABC, він рівнобедрений, тому що AB = BC. Тоді &ang-BAC = &ang-BCA. Позначимо його x для стислості, а ang-ABC - y. Сума кутів будь-якого тре косинецьа дорівнює 180 ° -, з цього випливає, що 2x + y = 180 ° -, тоді y = 180 ° - - 2x. Водночас із властивостей трапеції: y + x + α- = 180 ° - і отже 180 ° - - 2x + x + α- = 180 ° -. Отже, x = α-. Ми знайшли два кути трапеції: &ang-BAC = 2x = 2α- та &ang-ABC = y = 180°- - 2α-. Оскільки AB = CD за умовою, то трапеція рівнобока або рівнобедрена. Значить,
