Площа трикутника. У багатьох завданнях геометрії пов'язаних з обчисленням площ використовуються формули площі трикутника. Їх є кілька, тут ми розглянемо основні.Перерахувати ці формули було б надто просто і користі жодної. Ми розберемо походження основних формул, що використовуються найчастіше.
Перед тим як ознайомитися з висновком формул обов'язково перегляньте статтю про .Після вивчення матеріалу ви легко зможете відновити формули в пам'яті (якщо раптом вони «вилетять» в потрібний вам момент).
Перша формула
Діагональ паралелограма розбиває його на два рівні за площею трикутника:
Отже площа трикутника дорівнюватиме половині площі паралелограма:
Площа трикутника формула
* Тобто, якщо нам буде відома будь-яка сторона трикутника і висота опущена на цю сторону, то ми завжди зможемо обчислити площу цього трикутника.
Формула друга
Як вже було викладено у статті про площу паралелограма формула має вигляд:
Площа трикутника дорівнює половині його площі, отже :
* Тобто якщо будуть відомі будь-які дві сторони у трикутнику та кут між ними, ми завжди зможемо обчислити площу такого трикутника.
Формула Герона (третя)
Цю формулу виводити складно і вам це ні до чого. Подивіться, яка вона красива, можна сказати, що сама запам'ятовується.
*Якщо дано три сторони трикутника, то за даною формулою ми завжди можемо обчислити його площу.
Формула четверта
де r- Радіус вписаного кола
*Якщо відомі три сторони трикутника і радіус вписаного в нього кола, то ми завжди можемо знайти площу цього трикутника.
Формула п'ята
де R- Радіус описаного кола.
*Якщо відомі три сторони трикутника та радіус описаного біля нього кола, то ми завжди можемо знайти площу такого трикутника.
Виникає питання: якщо відомі три сторони трикутника, то чи не простіше його площу знайти за формулою Герона!
Так, буває простіше, але не завжди, іноді виникає складність. Це з вилученням кореня. Крім того, дані формули дуже зручно застосовувати в задачах, де дана площа трикутника, його сторони і потрібно знайти радіус вписаного або описаного кола. Такі завдання є у складі ЄДІ.
Давайте окремо розглянемо формулу:
Вона є окремим випадком формули площі багатокутника, в який вписано коло:
Розглянемо її з прикладу п'ятикутника:
З'єднаємо центр кола з вершинами даного п'ятикутника та опустимо з центру перпендикуляри до його сторін. Отримаємо п'ять трикутників, при чому опущені перпендикуляри є радіусами вписаного кола:
Площа п'ятикутника дорівнює:
Тепер зрозуміло, що якщо йдеться про трикутник, то дана формула набуває вигляду:
Формула шоста
Трикутник – це така геометрична фігура, Що складається з трьох прямих, що з'єднуються в точках, що не лежать на одній прямій. Точки з'єднання прямих – це вершини трикутника, які позначаються латинськими літерами (наприклад, A, B, C). Прямі трикутники, що з'єднуються, називаються відрізками, які також прийнято позначати латинськими літерами. Розрізняють такі типи трикутників:
- Прямокутний.
- Тупокутний.
- Гострокутний.
- Різнобічний.
- Рівносторонній.
- Рівностегновий.
Загальні формули для обчислення площі трикутника
Формула площі трикутника по довжині та висоті
S = a * h / 2,
де а – це довжина сторони трикутника, площу якого потрібно знайти, h-довжина проведеної до основи висоти.
Формула Герону
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
де - це квадратний корінь, p-напівпериметр трикутника, a, b, c - це довжина кожної сторони трикутника. Напівпериметр трикутника можна обчислити за формулою p=(a+b+c)/2.
Формула площі трикутника за величиною кута та довжиною відрізка
S = (a*b*sin(α))/2,
де b,c -цедовжина сторін трикутника, sin(α) - синус кута між двома сторонами.
Формула площі трикутника по радіусу вписаного кола та трьом сторонам
S=p*r,
де p-це напівпериметр трикутника, площу якого потрібно знайти, r-радіус вписаної в цей трикутник кола.
Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного навколо нього кола
S = (a * b * c) / 4 * R,
де a,b,c-це величина довжини кожної сторони трикутника, R-радіус описаної навколо трикутника кола.
Формула площі трикутника за декартовими координатами точок
Декартові координати точок - це координати в системі xOy, де x-це абсциса, y-ордината. Декартовою системою координат xOy на площині називають взаємно перпендикулярні числові осі Oх і Oy із загальним початком відліку в точці О. Якщо задані координати точок на цій площині у вигляді A(x1, y1), B(x2, y2) та C(x3, y3) ), то можна обчислити площу трикутника за такою формулою, яка отримана з векторного добутку двох векторів.
S = | (x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3) |
де || позначає модуль.
Як знайти площу прямокутного трикутника
Прямокутний трикутник – це трикутник, у якого один кут становить 90 градусів. Такий кут трикутника може бути лише один.
Формула площі прямокутного трикутника за двома катетами
S = a * b / 2,
де a, b – це довжина катетів. Катетами називаються сторони, що належать до прямого кута.
Формула площі прямокутного трикутника з гіпотенузи та гострого кута
S = a * b * sin (α) / 2,
де a, b – це катети трикутника, а sin(α) – це синус кута, в якому перетинаються прямі a, b.
Формула площі прямокутного трикутника по катету та протилежному куту
S = a*b/2*tg(β),
де a, b – це катети трикутника, tg(β) – це тангенс кута, де з'єднуються катети a, b.
Як обчислити площу рівнобедреного трикутника
Рівностегновим називається такий трикутник, який має дві рівні сторони. Ці сторони називаються бічними, а інша сторона є основою. Для обчислення площі рівнобедреного трикутникаможна використовувати одну з таких формул.
Основна формула для обчислення площі рівнобедреного трикутника
S=h*c/2,
де с - це основа трикутника, h-це висота трикутника, опущеного до основи.
Формула рівнобедреного трикутника збоку та основи
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
де с - основа трикутника, a- величина однієї з бічних сторін рівнобедреного трикутника.
Як знайти площу рівностороннього трикутника
Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони рівні. Для обчислення площі рівностороннього трикутника можна використати таку формулу:
S = (√3 * a * a) / 4,
де a-це довжина сторони рівностороннього трикутника.
Наведені вище формули дозволять обчислити потрібну площу трикутника. Важливо пам'ятати, що для обчислення помилки трикутників потрібно враховувати тип трикутника та доступні дані, які можна використовувати для обчислення.
Трикутник – добре знайома всім постать. І це, незважаючи на багате розмаїття його форм. Прямокутний, рівносторонній, гострокутний, рівнобедрений, тупокутний. Кожен із них чимось відрізняється. Але для кожного потрібно дізнаватися площу трикутника.
Загальні для всіх трикутників формули, в яких використовуються довжини сторін або висот
Позначення, прийняті в них: сторони - а, в, с; висоти на відповідні сторони н а, н в, н с.
1. Площа трикутника обчислюється, як добуток, сторони і висоти, опущеної на неї. S = ½ * а * н а. Аналогічно слід записати формули для двох інших сторін.
2. Формула Герона, у якій фігурує напівпериметр (його прийнято позначати маленькою літерою р, на відміну повного периметра). Напівпериметр необхідно порахувати так: скласти всі сторони і розділити їх на 2. Формула напівпериметра: р = (а + в + с) / 2. Тоді рівність для площі фігури виглядає так: S = √ (р * (р - а) * ( р - в) * (р - с)).
3. Якщо не хочеться використовувати напівпериметр, то стане в нагоді така формула, в якій присутні тільки довжини сторін: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с - а) * (а + с - в) * (а + в – с)). Вона трохи довша за попередню, але виручить, якщо забулося, як знаходити напівпериметр.
Загальні формули, у яких фігурують кути трикутника
Позначення, які потрібні для прочитання формул: α, β, γ – кути. Вони лежать навпроти сторони, в, з, відповідно.
1. По ній половина добутку двох сторін та синуса кута між ними дорівнює площі трикутника. Тобто: S = ½ а * в * sin γ. Так само слід записати формули для двох інших випадків.
2. Площа трикутника можна обчислити по одній стороні та трьом відомим кутам. S = (а 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. Існує ще формула з однією відомою стороною та двома прилеглими до неї кутами. Вона виглядає таким чином: S = з 2/(2 (ctg α + ctg β)).
Дві останні формули є не найпростішими. Запам'ятати їх досить складно.
Загальні формули для ситуації, коли відомі радіуси вписаних чи описаних кіл
Додаткові позначення: r, R – радіуси. Перший використовується для радіусу вписаного кола. Другий – для описаної.
1. Перша формула, за якою обчислюється площа трикутника, пов'язана із напівпериметром. S = р*r. Інакше її можна записати так: S = ½ r * (а + + с).
2. У другому випадку потрібно перемножити всі сторони трикутника і розділити їх на чотиризначний радіус описаного кола. У буквеному виразі це виглядає так: S = (а * в * с) / (4R).
3. Третя ситуація дозволяє обійтися без знання сторін, але знадобляться значення всіх трьох кутів. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.
Частковий випадок: прямокутний трикутник
Це найпростіша ситуація, оскільки потрібне знання лише довжини обох катетів. Вони позначаються латинськими літерами а і в. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині площі добудованого щодо нього прямокутника.
Математично це має такий вигляд: S = ½ а * в. Вона запам'ятовується найпростіше. Тому що виглядає як формула для площі прямокутника, тільки з'являється ще дріб, що означає половину.
Частковий випадок: рівнобедрений трикутник
Оскільки в нього дві сторони рівні, деякі формули для його площі виглядають дещо спрощеними. Наприклад, формула Герона, за якою обчислюється площа рівнобедреного трикутника, набуває такого вигляду:
S = ½ в √((a + ½ в)*(a - ½ в)).
Якщо її перетворити, то вона стане коротшою. У такому разі формула Герона для рівнобедреного трикутника записується так:
S = ¼ в √ (4 * a 2 - b 2).
Дещо простіше, ніж для довільного трикутника, виглядає формула площі, якщо відомі бічні сторони та кут між ними. S = ½ a 2 * sin β.
Окремий випадок: рівносторонній трикутник
Зазвичай у завданнях про нього відома сторона або її можна дізнатися. Тоді формула, за якою знаходиться площа такого трикутника, виглядає так:
S = (а 2 √3)/4.
Завдання на знаходження площі, якщо трикутник зображений на папері.
Найпростішою є ситуація, коли прямокутний трикутник накреслено так, що його катети збігаються з лініями паперу. Тоді потрібно просто порахувати кількість клітин, що укладаються в катети. Потім перемножити їх і поділити на два.
Коли трикутник гострокутний чи тупокутний, його потрібно домалювати до прямокутника. Тоді в фігурі, що вийшла, буде 3 трикутники. Один - той, що дано в задачі. А два інші — допоміжні та прямокутні. Визначити площі двох останніх потрібно за описаним вище способом. Потім порахувати площу прямокутника і відняти від нього ті, що обчислені для допоміжних. Площу трикутника визначено.
Набагато складнішою є ситуація, в якій жодна зі сторін трикутника не збігається з лініями паперу. Тоді його потрібно вписати у прямокутник так, щоб вершини вихідної фігури лежали на його сторонах. В цьому випадку допоміжних прямокутних трикутників буде три.
Приклад завдання на формулу Герона
Умови. У деякого трикутника відомі сторони. Вони дорівнюють 3, 5 і 6 см. Необхідно дізнатися про його площу.
Тепер можна обчислювати площу трикутника за зазначеною вище формулою. Під квадратним коренем виявляється добуток чотирьох чисел: 7, 4, 2 і 1. Тобто площа дорівнює √(4 * 14) = 2 √(14).
Якщо не потрібна велика точність, то можна витягти квадратний корінь із 14. Він дорівнює 3,74. Тоді площа дорівнюватиме 7,48.
Відповідь. S = 2√14 см 2 або 7,48 см 2 .
Приклад задачі із прямокутним трикутником
Умови. Один катет прямокутного трикутника більший, ніж другий на 31 см. Потрібно дізнатися про їх довжину, якщо площа трикутника дорівнює 180 см 2 .
Рішення. Прийде вирішити систему з двох рівнянь. Перше пов'язане із площею. Друге — із ставленням катетів, яке дано у завданні.
180 = ½ а * в;
а = + 31.
Спочатку значення «а» слід підставити на перше рівняння. Вийде: 180 = ½ (в + 31) * ст. У ньому лише одна невідома величина, тому його легко вирішити. Після розкриття дужок виходить квадратне рівняння: в 2 + 31 в - 360 = 0. Воно дає два значення для "в": 9 і - 40. друге число не підходить як відповідь, так як довжина сторони трикутника не може бути негативною величиною.
Залишилося обчислити другий катет: додати до отриманого числа 31. Виходить 40. Це шукані завдання величини.
Відповідь. Катети трикутника дорівнюють 9 і 40 см.
Завдання на знаходження сторони через площу, бік та кут трикутника
Умови. Площа деякого трикутника 60 см2. Необхідно обчислити одну з сторін, якщо друга сторона дорівнює 15 см, а кут між ними дорівнює 30º.
Рішення. З прийнятих позначень, шукана сторона «а», відома «в», заданий кут “γ”. Тоді формулу площі можна переписати так:
60 = ½ а * 15 * sin 30 º. Тут синус 30 градусів дорівнює 0,5.
Після перетворень «а» виявляється рівним 60/(0,5*0,5*15). Тобто, 16.
Відповідь. Потрібна сторона дорівнює 16 см.
Завдання про квадрат, вписаний у прямокутний трикутник
Умови. Вершина квадрата зі стороною 24 см збігається із прямим кутом трикутника. Дві інші лежать на катетах. Третя належить гіпотенузі. Довжина одного з катетів дорівнює 42 см. Чому дорівнює площа прямокутного трикутника?
Рішення. Розглянемо два прямокутні трикутники. Перший - заданий у завданні. Другий – спирається на відомий катет вихідного трикутника. Вони подібні, тому що мають загальний кут та утворені паралельними прямими.
Тоді відносини їхніх катетів рівні. Катети меншого трикутника дорівнюють 24 см (сторона квадрата) і 18 см (заданий катет 42 см відняти сторону квадрата 24 см). Відповідні катети великого трикутника — 42 см та х см. Саме цей «х» потрібен для того, щоб обчислити площу трикутника.
18/42 = 24/х, тобто х = 24*42/18 = 56 (см).
Тоді площа дорівнює творам 56 і 42, поділеному на два, тобто 1176 см 2 .
Відповідь. Шукана площа дорівнює 1176 см 2 .
Часом у житті зустрічаються такі ситуації, коли доводиться копатися у пам'яті у пошуках давно забутих шкільних знань. Наприклад, потрібно визначити площу земельної ділянки трикутної форми або прийшла черга чергового ремонту в квартирі або приватному будинку, і потрібно порахувати, скільки піде матеріалу для поверхні з трикутною формою. Був час, коли ви могли вирішити таке завдання за пару хвилин, а тепер намагаєтеся пригадати, як же визначити площу трикутника?
Не варто через це переживати! Адже це цілком нормально, коли мозок людини вирішує перекласти знання, що давно не використовуються, кудись у віддалений куточок, з якого часом їх не так і легко витягти. Щоб вам не довелося мучитися з пошуком забутих шкільних знань для вирішення такого завдання, у цій статті зібрані різні методи, які дозволяють легко знайти потрібну площу трикутника.
Загальновідомо, що трикутником називають такий вид багатокутника, який обмежений мінімально можливою кількістю сторін. В принципі, будь-який багатокутник можна розділити на кілька трикутників, з'єднавши його вершини відрізками, які не перетинають його сторони. Тому, знаючи трикутника, можна порахувати площу практично будь-якої фігури.
Серед усіх можливих трикутників, які зустрічаються в житті, можна виділити такі окремі види: і прямокутний.
Найпростіше площа трикутника розраховується, коли один з його кутів прямий, тобто у випадку прямокутного трикутника. Неважко помітити, що він є половиною прямокутника. Тому його площа дорівнює половині добутку сторін, які утворюють між собою прямий кут.
Якщо нам відомі висота трикутника, опущена з однієї з його вершин на протилежний бік, і довжина цієї сторони, яку називають основою, площа розраховується як половина твору висоти на основу. Записується це за допомогою такої формули:
S = 1/2*b*h, у якій
S - потрібна площа трикутника;
b, h - відповідно, висота та основа трикутника.
Так легко розрахувати площу рівнобедреного трикутника, оскільки висота ділитиме протилежну сторону навпіл, і її легко можна буде виміряти. Якщо визначається площа то як висота зручно брати довжину однієї зі сторін, що утворюють прямий кут.
Все це звичайно добре, але як визначити, чи є один із кутів трикутника прямим чи ні? Якщо розмір нашої фігури невеликий, можна скористатися будівельним кутом, креслярським трикутником, листівкою або іншим предметом з прямокутною формою.
Але що робити, якщо маємо трикутну земельну ділянку? У цьому випадку надходять таким чином: відраховують від вершини передбачуваного прямого кута по одній зі сторін відстань кратну 3 (30 см, 90 см, 3 м), а по іншій стороні відміряють у тій же пропорції відстань кратна 4 (40 см, 160 см, 4 м). Тепер потрібно виміряти відстань між кінцевими точками цих двох відрізків. Якщо вийшло значення кратне 5 (50 см, 250 см, 5 м), можна стверджувати, що кут прямий.
Якщо відомо значення довжини кожної із трьох сторін нашої фігури, то площу трикутника можна визначити, використовуючи формулу Герона. Для того, щоб вона мала більш простий вигляд, застосовують нову величину, яка називається напівпериметром. Це сума всіх сторін нашого трикутника, розділена навпіл. Після того, як напівпериметр порахований, можна приступати до визначення площі за формулою:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), де
sqrt – квадратний корінь;
p - значення напівпериметра (p = (a + b + c) / 2);
а,b,с - ребра (сторони) трикутника.
Але що робити, якщо трикутник має неправильну форму? Тут можливі два способи. Перший полягає в тому, щоб спробувати розділити таку фігуру на два прямокутні трикутники, суму площ яких порахувати окремо, а потім скласти. Або ж, якщо відомий кут між двома сторонами та розмір цих сторін, то застосувати формулу:
S = 0.5 * ab * sinC, де
a, b - Сторони трикутника;
с – величина кута між цими сторонами.
Останній випадок на практиці зустрічається рідко, проте в житті все можливо, тому наведена вище формула не буде зайвою. Успіхів у розрахунках!
Щоб визначити площу трикутника, можна скористатися різними формулами. З усіх способів найлегший і найчастіше застосовуваний - це множення висоти на довжину основи з наступним розподілом отриманого результату на два. Однак цей метод далеко не єдиний. Нижче ви зможете прочитати, як знайти площу трикутника, використовуючи різні формули.
Окремо ми розглянемо способи обчислення площі специфічних видів трикутника – прямокутного, рівнобедреного та рівностороннього. Кожну формулу ми супроводжуємо коротким поясненням, яке допоможе зрозуміти її суть.
Універсальні способи знаходження площі трикутника
У наведених нижче формулах використовуються спеціальні позначення. Ми розшифруємо кожне з них:
- a, b, c – довжини трьох сторін розглянутої нами фігури;
- r – радіус кола, яке може бути вписано в наш трикутник;
- R – радіус того кола, яке може бути описано навколо нього;
- α - величина кута, утвореного сторонами b та с;
- β - величина кута між a та c;
- γ - величина кута, утвореного сторонами а та b;
- h – висота нашого трикутника, опущена з кута на сторону а;
- p – половина суми сторін a, b та с.
Логічно зрозуміло, чому можна знаходити площу трикутника цим способом. Трикутник легко добудовується до паралелограма, в якому одна сторона трикутника виконуватиме роль діагоналі. Площа паралелограма знаходиться множенням довжини однієї з сторін на значення висоти, проведеної до неї. Діагональ поділяє цей умовний паралелограм на 2 однакові трикутники. Отже, цілком очевидно, що площа нашого вихідного трикутника має дорівнювати половині площі цього допоміжного паралелограма.
S = ½ a · b · sin γ
Відповідно до цієї формули, площа трикутника знаходиться множенням довжин двох сторін, тобто а і b, на синус утвореного ними кута. Ця формула логічно виводиться із попередньої. Якщо опустити висоту з кута β на бік b, то, згідно з властивостями прямокутного трикутника, при множенні довжини сторони на синус кута γ отримуємо висоту трикутника, тобто h.
Площа розглянутої фігури знаходимо шляхом множення половини радіусу кола, яке в нього можна вписати, на його периметр. Іншими словами, знаходимо твір напівпериметра на радіус згаданого кола.
S = a · b · с/4R
Згідно з цією формулою, необхідну нам величину можна знайти шляхом поділу твору сторін фігури на 4 радіуси кола навколо неї описаної.
Ці формули універсальні, оскільки дозволяють визначити площу будь-якого трикутника (різностороннього, рівнобедреного, рівностороннього, прямокутного). Можна це зробити і за допомогою складніших обчислень, на яких ми докладно зупинятися не станемо.
Площі трикутників зі специфічними властивостями
Як знайти площу прямокутного трикутника? Особливістю цієї постаті є те, що дві її сторони одночасно є її висотами. Якщо а і b є катетами, а з стає гіпотенузою, то площу знаходимо так:
Як знайти площу рівнобедреного трикутника? У ньому дві сторони з довжиною і одна сторона з довжиною b. Отже, його площу визначити можна шляхом поділу на 2 добутки квадрата сторони, а на синус кута γ.
Як знайти площу рівностороннього трикутника? У ньому довжина всіх сторін дорівнює а, а величина всіх кутів – α. Його висота дорівнює половині добутку довжини сторони на корінь квадратний з 3. Щоб знайти площу правильного трикутника, потрібно квадрат сторони а помножити на корінь квадратний з 3 і розділити на 4.
