Рівностегновимє такою трикутник, У якого довжини двох сторін дорівнює між собою.
При вирішенні завдань на тему "Рівнобедрений трикутник"необхідно користуватися такими відомими властивостями:
1.
Кути, що лежать навпроти рівних сторін, рівні між собою.
2.
Бісектриси, медіани та висоти, проведені з рівних кутів, рівні між собою.
3.
Бісектриса, медіана та висота, проведені до основи рівнобедреного трикутника, між собою збігаються.
4.
Центр вписаного та центр описаного кіл лежать на висоті, а значить і на медіані та бісектрисі, проведеній до основи.
5.
Кути, які є рівними в рівнобедреному трикутнику, завжди гострі.
Трикутник є рівнобедреним, якщо у нього присутні наступні ознаки:
1.
Два кути у трикутника рівні.
2.
Висота збігається із медіаною.
3.
Бісектриса збігається з медіаною.
4.
Висота збігається з бісектрисою.
5.
Дві висоти трикутника рівні.
6.
Дві бісектриси трикутника рівні.
7.
Дві медіани трикутника рівні.
Розглянемо кілька завдань на тему "Рівнобедрений трикутник"і наведемо докладне їхнє рішення.
Завдання 1.
У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, дорівнює 8, а основа відноситься до бічної сторони як 6: 5. Знайти, на якій відстані від вершини трикутника знаходиться точка перетину його бісектрис.
Рішення.
Нехай дано рівнобедрений трикутник АВС (Рис. 1).
1) Оскільки АС: ВС = 6: 5, то АС = 6х та ВС = 5х. ВН - висота, проведена до основи АС трикутника АВС.
Оскільки точка Н – середина АС (за якістю рівнобедреного трикутника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.
ВС 2 = ВН 2 + НС 2;
(5х) 2 = 8 2 + (3х) 2;
х = 2, тоді
АС = 6х = 6 · 2 = 12 і
НД = 5х = 5 · 2 = 10.
3) Так як точка перетину бісектрис трикутника є центром вписаного в нього кола, то
ВІН = r. Радіус вписаного в трикутник АВС кола знайдемо за формулою
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;
p = 1/2 · (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, тоді ВІН = r = 48/16 = 3.
Звідси ВО = ВН - ВІН; ВО = 8 - 3 = 5.
Відповідь: 5.
Завдання 2.
У рівнобедреному трикутнику АВС проведено бісектрису АD. Площі трикутників ABD та ADC дорівнюють 10 та 12. Знайти збільшену втричі площу квадрата, побудованого на висоті цього трикутника, проведеної до основи АС.
Рішення.
Розглянемо трикутник АВС – рівнобедрений, АD – бісектриса кута А (Рис. 2).
1) Розпишемо площі трикутників ВАD та DAC:
S BAD = 1/2 · AB · AD · sin α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.
2) Знайдемо відношення площ:
S BAD / S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB / AC.
Оскільки S BAD = 10, S DAC = 12, то 10/12 = АВ/АС;
АВ/АС = 5/6, тоді нехай АВ = 5х та АС = 6х.
АН = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.
3) З трикутника АВН – прямокутного за теоремою Піфагора АВ2 = АН2 + ВН2;
25х2 = ВН 2 + 9х2;
4) S A ВС = 1/2 · AС · ВН; S A В C = 1/2 · 6х · 4х = 12х2.
Так як S A ВС = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, тоді 22 = 12х2;
х 2 = 11/6; ВН 2 = 16х2 = 16 · 11/6 = 1/3 · 8 · 11 = 88/3.
5) Площа квадрата дорівнює ВН 2 = 88/3; 3 · 88/3 = 88.
Відповідь: 88.
Завдання 3.
У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 4, а бічна сторона дорівнює 8. Знайти квадрат висоти, опущеної на бічний бік.
Рішення.
У трикутнику АВС – рівнобедреному ВС = 8, АС = 4 (Рис. 3).
1) ВН - висота, проведена до основи АС трикутника АВС.
Оскільки точка Н – середина АС (за якістю рівнобедреного трикутника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 4 = 2.
2) З трикутника ВПС – прямокутного за теоремою Піфагора ВС2 = ВН2 + НС2;
64 = ВН 2 + 4;
3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), а так само S ABC = 1/2 · (АМ · ВС), тоді прирівняємо праві частини формул, отримаємо
1/2 · AC · BH = 1/2 · АМ · НД;
АМ = (AC · BH) / НД;
АМ = (√60 · 4) / 8 = (2 - 15 · 4) / 8 = - 15.
Відповідь: 15.
Завдання 4.
У рівнобедреному трикутнику основа та опущена на нього висота, рівні 16. Знайти радіус описаного біля цього трикутника кола.
Рішення.
У трикутнику АВС – рівнобедрена основа АС = 16, ВН = 16 – висота, проведена до основи АС (Рис. 4).
1) АН = НС = 8 (за якістю рівнобедреного трикутника).
2) З трикутника ВПС – прямокутного за теоремою Піфагора
ВС 2 = ВН 2 + НС 2;
НД 2 = 8 2 + 16 2 = (8 · 2) 2 + 8 2 = 8 2 · 4 + 8 2 = 8 2 · 5;
3) Розглянемо трикутник АВС: за теоремою синусів 2R = AB/sin C, де R – радіус описаного біля трикутника АВС кола.
sin C = BH/BC (з трикутника ВНС за визначенням синуса).
sin C = 16/(8√5) = 2/√5, тоді 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; R=10.
Відповідь: 10.
Завдання 5.
Довжина висоти, проведеної до основи рівнобедреного трикутника, дорівнює 36, а радіус вписаного кола дорівнює 10. Знайти площу трикутника.
Рішення.
Нехай дано рівнобедрений трикутник АВС.
1) Так як центр вписаної в трикутник кола є точкою перетину його бісектрис, то О ϵ ВН і АТ є бісектрисою кута А, а струм ВІН = r = 10 (Рис. 5).
2) ВО = ВН - ВІН; ВО = 36 - 10 = 26.
3) Розглянемо трикутник АВН. За теоремою про бісектрису кута трикутника
АВ/АН = ВО/ВІН;
АВ/АН = 26/10 = 13/5, тоді нехай АВ = 13х та АН = 5х.
По теоремі Піфагора АВ2 = АН2 + ВН2;
(13х) 2 = 36 2 + (5х) 2;
169х2 = 25х2 + 362;
144х 2 = (12 · 3) 2;
144х 2 = 144 · 9;
х = 3, тоді АС = 2 · АН = 10х = 10 · 3 = 30.
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Відповідь: 540.
Завдання 6.
У рівнобедреному трикутнику дві сторони дорівнюють 5 і 20. Знайти бісектрису кута при основі трикутника.
Рішення.
1) Припустимо, що бічні сторони трикутника дорівнюють 5, а основа – 20.
Тоді 5+5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (Рис. 6).
2) Нехай LC = х, тоді BL = 20 - х. За теоремою про бісектрису кута трикутника
АВ/АС = ВL/LC;
20/5 = (20 - x) / x,
тоді 4х = 20 - x;
Таким чином, LC = 4; BL = 20 - 4 = 16.
3) Скористаємося формулою бісектриси кута трикутника:
AL 2 = AB · AC - BL · LC,
тоді AL 2 = 20 · 5 - 4 · 16 = 36;
Відповідь: 6.
Залишились питання? Чи не знаєте, як вирішувати геометричні завдання?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Властивості рівнобедреного трикутника виражають такі теореми.
Теорема 1. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.
Теорема 2. У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною та висотою.
Теорема 3. У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою та висотою.
Теорема 4. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є бісектрисою та медіаною.
Доведемо одну з них, наприклад, теорему 2.5.
Доведення. Розглянемо рівнобедрений трикутник ABC з основою ВС і доведемо, що ∠ В = ∠ С. Нехай AD – бісектриса трикутника ABC (рис.1). Трикутники ABD і ACD рівні за першою ознакою рівності трикутників (АВ = АС за умовою, AD – загальна сторона, ∠1 = ∠2, оскільки AD – бісектриса). З рівності цих трикутників випливає, що В = ∠С. Теорема доведена.
З використанням теореми 1 встановлюється така теорема.
Теорема 5. Третя ознака рівності трикутників. Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 2).
Зауваження. Пропозиції, встановлені у прикладах 1 та 2, виражають властивості серединного перпендикуляра до відрізка. З цих пропозицій випливає, що серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці.
приклад 1.Довести, що точка площини, що рівно віддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.
Рішення. Нехай точка М рівновіддалена від кінців відрізка АВ (рис. 3), тобто AM = ВМ.
Тоді Δ АМВ рівнобедрений. Проведемо через точку М та середину Про відрізка АВ пряму р. Відрізок МО з побудови є медіана рівнобедреного трикутника АМВ, отже (теорема 3), і висота, т. е. пряма МО, є серединний перпендикуляр до відрізку АВ.
приклад 2.Довести, що кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від його кінців.
Рішення. Нехай р – серединний перпендикуляр до відрізка АВ та точка О – середина відрізка АВ (див. рис. 3).
Розглянемо довільну точку М, що лежить прямий р. Проведемо відрізки AM та ВМ. Трикутники АОМ і ВОМ рівні, оскільки вони кути при вершині О прямі, катет ОМ загальний, а катет ОА дорівнює катету ОВ за умовою. З рівності трикутників АОМ та ВОМ випливає, що AM = ВМ.
приклад 3.У трикутнику ABC (див. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; у трикутнику DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.
Порівняти трикутники ABC та DEF. Знайти відповідно рівні кути.
Рішення. Дані трикутники дорівнюють за третьою ознакою. Відповідно рівні кути: А та Е (лежать проти рівних сторін ВС та FD), В та F (лежать проти рівних сторін АС та DE), С та D (лежать проти рівних сторін АВ та EF).
приклад 4.На малюнку 5 АВ = DC, НД = AD, ∠B = 100°.
Знайти кут D.
Рішення. Розглянемо трикутники ABC та ADC. Вони рівні за третьою ознакою (АВ = DC, ВС = AD за умовою та сторона АС – загальна). З рівності цих трикутників випливає, що ∠ В = ∠ D, але кут В дорівнює 100 °, отже, і кут D дорівнює 100 °.
Приклад 5.У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC зовнішній кутпри вершині C дорівнює 123 °. Знайдіть величину кута ABC. Відповідь дайте у градусах.
Відео-рішення.
Насамперед, трикутник – це геометрична фігура, Яка утворюється трьома, що не лежать на одній прямій, точками, які з'єднані трьома відрізками. Щоб визначити, чому дорівнює висота трикутника, необхідно, перш за все, визначити його тип. Трикутники розрізняються величиною кутів та кількістю рівних кутів. За величиною кутів трикутник може бути гострокутним, тупокутним та прямокутним. За кількістю рівних сторін виділяють рівнобедрений, рівносторонній та різнобічний трикутники. Висота – це перпендикуляр, який опущений протилежний бік трикутника з його вершини. Як знайти висоту трикутника?
Як знайти висоту рівнобедреного трикутника
Для рівнобедреного трикутника характерна рівність сторін і кутів при його підставі, тому проведені до боків висоти рівнобедреного трикутника завжди рівні один одному. Також висота цього трикутника одночасно є медіаною та бісектрисою. Відповідно, висота ділить основу навпіл. Розглядаємо той, що вийшов прямокутний трикутникі знаходимо бік, тобто висоту рівнобедреного трикутника, за допомогою теореми Піфагора. Скориставшись наступною формулою, обчислюємо висоту: H = 1/2*√4*a 2 − b 2 де: а - бічна сторона даного рівнобедреного трикутника, b - основа даного рівнобедреного трикутника.
Як знайти висоту рівностороннього трикутника
Трикутник з рівними сторонаминазивається рівностороннім. Висоту такого трикутника виводять із формули висоти рівнобедреного трикутника. Виходить: H = √3/2*a де a - сторона даного рівностороннього трикутника.
Як знайти висоту різнобічного трикутника
Різностороннім називають трикутник, у якого будь-які дві сторони не є рівними одна одній. У такому трикутнику всі три висоти будуть різними. Розрахувати довжини висот можна за допомогою формули: H = sin60 * a = a * (sgrt3) / 2, де а - сторона трикутника або спочатку порахувати площу конкретного трикутника за формулою Герона, яка виглядає як: S = (p * (pc) * (pb)*(pa))^1/2, де а, b, з – сторони різнобічного трикутника, а p – його напівпериметр. Кожна висота = 2*площа/сторона
Як знайти висоту прямокутного трикутника
Прямокутний трикутник має прямий кут. Висота, яка проходить до одного з катетів, водночас є другим катетом. Тому щоб знайти висоти, що лежать на катетах, потрібно скористатися зміненою формулою Піфагора: a = √(c 2 − b 2), де a, b - це катети (a - катет, який необхідно знайти), c - довжина гіпотенузи. Для того щоб знайти другу висоту треба поставити отримане значення a на місце b. Для знаходження третьої, що лежить усередині трикутника, висоти застосовується наступна формула: h = 2s/a, де h - висота прямокутного трикутника, s - його площа, a - довжина сторони, до якої перпендикулярна висота.
Трикутник називається гострокутним у разі, якщо всі його кути гострі. У такому разі всі три висоти розташовуються усередині гострокутного трикутника. Трикутник називається тупокутним за наявності одного тупого кута. Дві висоти тупокутного трикутника знаходяться поза трикутником і падають на продовження сторін. Третя сторона знаходиться усередині трикутника. Висота визначається за допомогою тієї ж теореми Піфагора.
Загальні формули, як обчислення висоти трикутника
- Формула для знаходження висоти трикутника через сторони: H= 2/a √p*(pc)*(pb)*(pb), де h - висота, яку потрібно знайти, а, b та c – сторони даного трикутника, p – його напівпериметр, .
- Формула для знаходження висоти трикутника через кут та бік: H=b sin y = c sin ß
- Формула для знаходження висоти трикутника через площу та сторону: h = 2S/a, де a – це сторона трикутника, а h – побудована до сторони а висота.
- Формула для знаходження висоти трикутника через радіус та сторони: H=bc/2R.
Так як висота рівнобедреного трикутника, опущена на основу, є одночасно бісектрисою і медіаною, отже, вона ділить основу і кут при вершині на дві рівні частини, утворюючи прямокутний трикутник зі сторонами a і b/2. З теореми Піфагора в такому трикутнику можна знайти саму основу, а потім розрахувати решту можливих даних. (рис.88.2) h^2+(b/2)^2=a^2 b=√(a^2-h^2)/2
Щоб обчислити периметр рівнобедреного трикутника, треба до двох боків додати основу або наведений вище радикал через висоту. P=2a+b=2a+√(a^2-h^2)/2
Площа рівнобедреного трикутника через висоту та основу за визначенням обчислюється як половина їх твору. Замінивши основу на відповідний вираз, отримуємо площу через висоту і бічну сторону рівнобедреного трикутника. S=hb/2=(h√(a^2-h^2))/4
У рівнобедреному трикутнику рівні не тільки бічні сторони, а й кути при основі, а так як у сумі вони дають завжди 180 градусів, то будь-який з кутів можна знайти, знаючи інший. Перший кут обчислюється за теоремою косінусів, наведеною для рівних бічних сторін, а другий можна знайти через різницю від 180. (рис.88.1) 2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a cosβ=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2)=(2a^2 -b^2)/(2a^2) α=(180°-β)/2 β=180°-2α
Центральні медіана та бісектриса, опущені на основу збігаються з висотою, а бічні медіани, висоти та бісектриси можна знайти за такими формулами для рівнобедрених трикутників. Щоб обчислити їх через висоту та бічну сторону, потрібно замінити основу на еквівалентний вираз. (рис. 88.3) m_a=√(2a^2+2b^2-a^2)/2=√(a^2+2b^2)/2
Висота, опущена на бічну сторону, через висоту, опущену на основу та бічну сторону рівнобедреного трикутника. (рис.88.8) h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a=(√(a^2-h^2) √((4a^2-a^2+h^2) )))/2a=√((a^2-h^2)(3a^2+h^2))/2
Бісектриси, спрямовані в бічні сторони, можуть бути виражені через бічну сторону і центральну висоту трикутника. (рис. 88.4) l_a=√(ab(2a+b)(a+ba))/(a+b)=√(a(a^2-h^2)(2a+√(a^2-h^) 2)))/(a+√(a^2-h^2))
Середня лінія проводиться паралельно будь-якій стороні трикутника, з'єднуючи середини бічних щодо сторін. Таким чином, вона завжди виявляється дорівнює половині паралельної їй сторони. Замість невідомої основи у формулу можна підставити використовуваний радикал, щоб знайти середню лінію через висоту та бічну сторону рівнобедреного трикутника (рис. 88.5) M_b=b/2=√(a^2-h^2)/2 M_a=a/2
Радіус кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, починається від точки на перетині бісектрис і йде перпендикулярно до будь-якої зі сторін. Щоб його знайти через висоту та бічну сторону трикутника, треба замінити основу у формулі на радикал. (рис. 88.6) r=1/2 √(((a^2-h^2)(2a-√(a^2-h^2)))//2a+√(a^2-h^2) ))
Радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, також виводиться із загальної формули шляхом підстановки радикала через висоту та бічну сторону замість основи. (рис. 88.7) R=a^2/√(3a^2-h^2)
Перші історики нашої цивілізації – давні греки – згадують Єгипет як місце зародження геометрії. Важко з ними не погодитися, знаючи, з якою приголомшливою точністю зведені гігантські усипальниці фараонів. Взаємне розташування площин пірамід, їх пропорції, орієнтація з боків світу - досягти такої досконалості було б немислимо, не знаючи основ геометрії.
Саме слово "геометрія" можна перекласти як "вимір землі". Причому слово «земля» виступає як планета - частина Сонячної системи, бо як площину. Розмітка площ під ведення сільського господарства, швидше за все, і є найпершою основою науки про геометричні фігури, їх види та властивості.
Трикутник - найпростіша просторова фігура планіметрії, що містить лише три точки - вершини (менше не буває). Основа основ, можливо, тому й мерехтить у ньому щось таємниче і давнє. Всевидюче око всередині трикутника - один із найраніших з відомих окультних знаків, причому географія його поширення та часові рамки просто вражають уяву. Від стародавніх єгипетських, шумерських, ацтекських та інших цивілізацій до більш сучасних спільнот любителів окультизму, розкиданих по всій земній кулі.
Якими бувають трикутники
Звичайний різносторонній трикутник - це замкнута геометрична фігура, що складається з трьох відрізків різної довжини та трьох кутів, жоден з яких не є прямим. Крім нього, розрізняють кілька особливих видів.
Трикутник гострокутний має всі кути завбільшки менше 90 градусів. Іншими словами – всі кути такого трикутника гострі.
Прямокутний трикутник, над яким у всі часи плакали школярі через велику кількість теорем, має один кут з величиною 90 градусів або, як його ще називають, прямий.
Тупокутний трикутник відрізняється тим, що один з його кутів тупий, тобто його величина - більше 90 градусів.
Рівносторонній трикутник має три сторони однакової довжини. У такої фігури рівні також усі кути.
І нарешті, у рівнобедреного трикутника з трьох сторіндві рівні між собою.
Відмінні особливості
Властивості рівнобедреного трикутника визначають і його основна, головна відмінність - рівність двох сторін. Ці рівні одна одній сторони прийнято називати стегнами (або, частіше, бічними сторонами), а третя сторона носить назву «основа».
На аналізованому малюнку a = b.
Друга ознака рівнобедреного трикутника випливає з теореми синусів. Так як рівні сторони a і b, рівні синуси їх протилежних кутів:
a/sin γ = b/sin α, звідки маємо: sin γ = sin α.
З рівності синусів випливає рівність кутів: γ = α.
Отже, другою ознакою рівнобедреного трикутника є рівність двох кутів, що прилягають до основи.
Третя ознака. У трикутнику розрізняють такі елементи, як висота, бісектриса та медіана.
Якщо в процесі розв'язання задачі з'ясовується, що в трикутнику два будь-яких з цих елементів збігаються: висота з бісектрисою; бісектриса з медіаною; медіана з висотою – однозначно можна робити висновок, що трикутник рівнобедрений.
Геометричні властивості фігури
1. Властивості рівнобедреного трикутника. Однією з відмінних якостей фігури є рівність кутів, що прилягають до основи:
<ВАС = <ВСА.
2. Ще одна властивість розглянуто вище: медіана, бісектриса та висота в рівнобедреному трикутнику збігаються, якщо вони побудовані від його вершини до основи.
3. Рівність бісектрис, проведених з вершин на підставі:
Якщо АЕ – бісектриса кута ВАС, а CD – бісектриса кута BCA, то: AE = DC.
4. Властивості рівнобедреного трикутника передбачають також рівність висот, які проведені з вершин на підставі.
Якщо побудувати висоти трикутника АВС (де АВ = ВС) з вершин А та С, то отримані відрізки CD та АЕ дорівнюватимуть.
5. Рівними також виявляться і медіани, проведені з кутів на підставі.
Тож якщо АЕ і DC - медіани, тобто AD = DB, а BE = EC, то АЕ = DC.
Висота рівнобедреного трикутника
Рівність бічних сторін і кутів при них привносить деякі особливості обчислення довжин елементів аналізованої фігури.
Висота в рівнобедреному трикутнику ділить фігуру на 2 симетричні прямокутні трикутники, гіпотенузами у яких виступають бічні сторони. Висота в такому випадку визначається згідно з теоремою Піфагора, як катет.
У трикутника можуть бути рівними всі три сторони, тоді він називатиметься рівностороннім. Висота в рівносторонньому трикутнику визначається аналогічно, тільки для розрахунків достатньо знати лише одне значення - довжину сторони цього трикутника.
Можна визначити висоту та іншим шляхом, наприклад знаючи основу та прилеглий до нього кут.
Медіана рівнобедреного трикутника
Тип трикутника, що розглядається, завдяки геометричним особливостям, вирішується досить просто по мінімальному набору вихідних даних. Так як медіана в рівнобедреному трикутнику дорівнює його висоті, і його бісектрисі, то алгоритм її визначення нічим не відрізняється від порядку обчислення даних елементів.
Наприклад, визначити довжину медіани можна по відомій бічній стороні та величині кута при вершині.
Як визначити периметр
Так як у планіметричної фігури, що розглядається, дві сторони завжди рівні, то для визначення периметра достатньо знати довжину основи і довжину однієї зі сторін.
Розглянемо приклад, коли потрібно визначити периметр трикутника за відомою основою та висотою.
Периметр дорівнює сумі основи та подвоєної довжини бічної сторони. Бічна сторона, своєю чергою, визначається з допомогою теореми Піфагора як гіпотенуза прямокутного трикутника. Довжина її дорівнює кореню квадратному із суми квадрата висоти та квадрата половини основи.
Площа рівнобедреного трикутника
Не викликає, як правило, труднощів та обчислення площі рівнобедреного трикутника. Універсальне правило визначення площі трикутника як половини твору основи на його висоту можна застосувати, звичайно ж, і в нашому випадку. Однак властивості рівнобедреного трикутника знову полегшують завдання.
Припустимо, що відомі висота та кут, що прилягає до основи. Необхідно визначити площу фігури. Зробити це можна в такий спосіб.
Так як сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 °, то визначити величину кута не складе труднощів. Далі, скориставшись пропорцією, складеною згідно з теоремою синусів, визначається довжина основи трикутника. Все, основа та висота - достатні дані для визначення площі - є.
Інші властивості рівнобедреного трикутника
Положення центру кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, залежить від величини кута вершини. Так, якщо рівнобедрений трикутник гострокутний, центр кола розташовується усередині фігури.
Центр кола, що описано навколо тупокутного рівнобедреного трикутника, лежить поза ним. І, нарешті, якщо величина кута при вершині дорівнює 90°, центр лежить рівно на середині основи, а через саму основу проходить діаметр кола.
Для того щоб визначити радіус кола, описаного біля рівнобедреного трикутника, достатньо розділити довжину бокової сторони на подвоєний косинус половини величини кута при вершині.
