функція- це залежність однієї змінної від іншої. Функції можна задавати способом таблиці, словесним способом, графічний, формулою.
Функції поділяються на такі види:
- лінійна функція
- квадратична функція
- кубічна функція
- Тригонометрична функція
- Степенева функція
- показова функція
- логарифмічна функція
Область визначення функції D (у)- це безліч всіх допустимих значень аргументу x (незалежної змінної x), при яких вираз, що стоїть в правій частині рівняння функції y = f (x) має сенс. Іншими словами, це область допустимих значень виразу f (x).
Щоб за графіком функції y = f (x) знайти її область визначення, потрібно, рухаючись зліва направо вздовж осі ОХ, записати все проміжки значень х, на яких існує графік функції.
Безліч значень фнкцій Е (у) - це множина всіх значень, які може приймати залежна змінна y.
Щоб за графіком функції y = f (x) знайти її безліч значень, потрібно, рухаючись знизу вгору вздовж осі OY, записати все проміжки значень y, на яких існує графік функції.
зворотна функція- функція y = g (x), яка виходить з даної функції y = f (x), якщо з відносини x = f (у) висловити y через x.
Щоб для даної функції y = f (x) знайти зворотну, треба:
- У співвідношенні y = f (x) замінити x на y, а y - на x: x = f (у).
- В отриманому виразі x = f (у) висловити y через x.
Функції f (x) і g (x) - взаємно протилежні. Розглянемо це на прикладі
Приклади знаходження зворотних функцій:
Область визначення і область значень функцій f і g міняються місцями: область визначення f є областю значень g, а область значень f - областю визначення g.
Чи не для будь-якої функції можна вказати зворотну. Умова оборотності функції - її монотонність, тобто функція повинна тільки зростати або тільки зменшуватися. Якщо функція не є монотонною на всій області визначення, але монотонна на деякому проміжку, тоді можна задати зворотну їй функцію тільки на цьому проміжку.
Властивості взаємно обернених функційВідзначимо деякі властивості взаємно обернених функцій. 1) тотожності.
нехай fі g- взаємно зворотні функції. тоді: f (g (y)) = уі g (f (x)) = х. 2) Область визначення.
нехай fі g- взаємно зворотні функції. Область визначення функції fзбігається з областю значень функції g, І навпаки, область значень функції fзбігається з областю визначення функції g. 3) монотонність.
Якщо одна з взаємно обернених функцій зростає, то і інша зростає. Аналогічне твердження вірне і для спадних функцій. 4) графіки.
Графіки взаємно обернених функцій, побудовані в одній і тій же системі координат, симетричні одна одній щодо прямої у = х.
Перетворення графіків функцій - це лінійні перетворення функції y = f(x) Або її аргументу xдо виду y = af(kx + b) + m, А також перетворення з використанням модуля.
Знаючи, як будувати графіки функції y = f (x), де
можна побудувати графік функції y = af (kx + b) + m.
Питання до конспектів
Y = 0,5x - 4
Знайдіть область визначення функції:
Знайдіть область визначення функції:
Визначити парність і непарність функції:
Вирішіть для дробу раціональне рівняння:
Знайдіть зворотну функцію даної функції:
Знайдіть значення виразу 6f (-1) + 3f (5), якщо
Відповідні вирази, які звертаються один в одного. Щоб розібратися в тому, що це означає, варто розглянути конкретний приклад. Припустимо, маємо y = cos (x). Якщо взяти від аргументу косинус, то можна знайти значення y. Очевидно, для цього необхідно мати ікс. Але що якщо спочатку дан ігрек? Саме тут справа доходить до суті питання. Для виконання завдання потрібно використання зворотної функції. У нашому випадку це арккосинус.
Після всіх перетворень отримаємо: x = arccos (y).
Тобто, щоб знайти функцію, зворотну даної, досить просто висловити з неї аргумент. Але це працює тільки за умови, якщо отриманий результат буде мати єдине значення (про це далі).
В Загалом виглядіможна записати цей факт так: f (x) = y, g (y) = x.
визначення
Нехай f - функція, областю визначення якої є безліч X, а областю значень - безліч Y. Тоді, якщо існує g, чиї області виконують протилежні завдання, то f є оборотною.
Крім того, в такому випадку g - єдина, що означає, що існує рівно одна функція, яка задовольнить цій властивості (не більше, не менше). Тоді її називають зворотною функцією, і на листі позначають так: g (x) = f -1 (x).
Іншими словами, їх можна розглядати як двійкове ставлення. Оборотність має місце бути тільки тоді, коли одному елементу множини відповідає одне значення з іншого.
Не завжди існує зворотна функція. Для цього кожен елемент y є Y повинен відповідати не більше ніж одному x є X. Тоді f називається взаємно-однозначної або ін'єкцією. Якщо f -1 належить Y, то кожен елемент цієї множини повинен відповідати деякого x ∈ X. Функції з такою властивістю називаються сюр'єкція. Воно виконується за визначенням, якщо Y - зображення f, але це не завжди так. Щоб бути зворотною, функція повинна бути як ін'єкцією, так і сюр'єкція. Такі вирази називаються біекція.
Приклад: квадратні і кореневі функції
Функція визначена на)
