A tetraédernek egyenlő oldalai vannak. tetraéder

Menelaus tétele lehetővé teszi a sztereometrikus regularizációt.

Menelaus tétele a tetraéderre.

mi az a terület μ összekuszálja a bordákat AB, BC, CDі D.A. tetraéder ABCD pontokon A 1, B 1, C 1, D 1, Azt (2).

Vissza, yakscho a chotirioh ponthoz A 1, B 1, C 1, D 1 Mit feküdjünk a bordáin AB, BC, CD, DA tetraéder, viszkozitás (2), akkor ezek a pontok egy síkban helyezkednek el.

Befejezett.

Helló óra 1, óra 2, óra 3, óra 4- állj a ponthoz A, B, C, D egészen a laposságig μ , Todi; ; ; .

Elveszett szaporodnak a tálcák.

Az esztergálási tétel bizonyítására az A 1, B 1, C 1 síkot használjuk. Ez a sík átfedi a DA élt a T pontban.

Értesítjük , És a mosdó mögött , Tom (és lemi által) pontok Tі D 1 A jóváhagyást közölték.

§2. Chevy tétele

Chevy-tétel a trikutánra.

engedd el a pontokat A 1, B 1, C 1 feküdj az oldalukon Sun, ACі VA tricutanea ABC(Oszt. ábra). Vágások elkészítéséhez AA 1, BB 1, SS 1 Egy ponton összefonódva szükséges és elegendő a kapcsolat kiteljesedéséhez: (3) (vág AA 1, BB 1, SS 1 Néha Chevianaminak hívják).

Befejezett.

Szükségesség. ne felejtsd el a vágásokat AA 1 , BB 1, SS 1 keverjük a lényegre M a tricubitule közepén ABC .

értelmesen keresztül S 1, S 2, S 3 tér trikutniki AMC, SMV, AMV, És keresztül h 1, h 2- állj a ponthoz Aі BAN BEN egyenesre KISASSZONY. akkor hasonló. Az absztrahált arányok szorzata után rekonstruáljuk a tétel érvényességét.

Elegendőség. engedd el a pontokat A 1, B 1, C 1 oldalt feküdjön BC, SA, AS trikutnik és vikonno spivvіdnosheniya (3), M- keresztmetszet pontja AA 1і BB 1, Egy videó CM oldalt tolja AB pontosan K. Todi, értesítünk ,. Megújítom a nyomvonalat és lefutom a pontot Q = C 1. Az elégségességet sikerült elérni.

Térjünk most át Chevy-tétel kiterjesztő megfogalmazására.

Chevy-tétel a tetraéderre.

Helló M- pont a tetraéder közepén ABCD, A A 1, B 1, C 1 és D 1- a lakások keresztlécének pontjai SMD , AMD, AMBі SMV bordákkal AB, B C , CDі D.A. magától értetődően. akkor (4). Zvorotno: pontszerzési hely , Aztán a terület ABC , BCD 1і DAB 1átmenni egy ponton.

Befejezett.

Könnyen el lehet utasítani az igényt, ha tiszteletben tartja ezt a szempontot A 1, B 1, C 1, D 1 ugyanabban a síkban feküdjön (ez a sík egyenesen halad át A 1 C 1і B 1 D 1, Keresztút pontosan M), és mondd el Menelaus tételét. Az elfordulási tétel ugyanúgy igazolható, mint Menelaosz térbeli forgástétele: síkot kell rajzolni a pontokon keresztül A 1, B 1, C 1és hozd a Lemi segítségére, hogy ez az él lapossága D.A. pontosan D 1 .

§3. A tetraéder mediánjainak és bimediánjainak ereje

A tetraéder mediánja az a szakasz, amely a tetraéder csúcsát a proximális felület súlypontjával (a mediánok keresztezési pontjával) köti össze.

Tétel (Menelaosz Zasztosuvannya tétele).

A tetraéder mediánjai ugyanabban a pontban mozognak. Ezen a ponton osszuk el a bőr mediánját 3:1 arányban, a tetején szétterítve.

Befejezett.

Két mediánt fogunk végezni: DD 1 і CC 1 tetraéder ABCD. Ezek a mediánok ütköznek egymással F . C.L.- medián határ ABC , D.L.- medián határ ABD, A D 1 , C 1 - a határok közötti súlypontok ABCі ABD. Menelaus tétele szerint: i. Írjuk fel a trikutnik tételét DLD 1 : ; => A bizonyítást hasonló módon hajtjuk végre bármely más mediánpár esetén.

Tétel (Zastosuvannya of Chevy tétele).

Kezdetben azonosítottuk a tetraéder különböző elemeit. A tetraéder metsző éleinek közepét összekötő szakaszt bimediánnak nevezzük. A bivisotokat (analógia alapján) a metszőbordák ferde merőlegeseinek nevezzük.

Tétel.

A tetraéder bimediánjai ugyanabban a pontban mozognak, mint a tetraéder mediánjai.

Befejezett.

A trikutánnál LDC vágások DCі LF gubanc a helyszínen K. Chevy tétele szerint erre a trükkre: , Tobto, CK = KD, LK - bimedián.

Tisztelet 1.

FL = FK. Menelaus tétele a tricutanre DLK : , , zvidsi LF = FK .

Tisztelet 2.

Krapka F A súlypont a tetraéder. , , Jelenti.

1.2 Tetraédertípusok mészárlása

§1. Pitagorasz tetraedronok

A trikutnikot Pythagorean-nak hívják, mert egy egyenes vágása van, és egyes oldalak elhelyezése racionális (stázisszerűen az egyenes vágású trikutnik minden oldalával eltávolítható).

Ennek analógiájára a tetraédert Pitagorasz-nak nevezzük, mivel az egyik csúcsánál a lapos élei egyenesek, két él elhelyezése pedig racionális (innen ugyanebből az okból választhatunk ki egy egyenes lapos élű tetraédert a a bordák egyik csúcsa és egész völgye).

Próbáljuk meg felírni a „Pitagorasz tetraéderek tanulmányozását”, úgy, hogy három ismeretlen ξ, η, ζ tanulmányozása úgy, hogy bármely Pitagorasz-tetraéder racionális megoldást adjon erre a vizsgálatra, de egy racionálisan megoldott egyenlet Pitagorasz tetraédert ad.

Hadd írjam le most az összes Pythagorean trikután szövetet.

A kicsinek trikutnik OAV- egyenes vágású, dozhni yogo lábak vannak kijelölve Aі b, És Dina hypotenusa - keresztül R. Az (1) számot a végbél tricutan paramétere hívja OAV(Vagy pontosabban a "milyen láb" paraméterrel A"). Vikorist és spivvіdnosheniya p 2 = a 2 + b 2, Maemo:

Ebből a szempontból azonnal elvethetjük azokat a képleteket, amelyek paraméterén keresztül fejezik ki a recticutan tricuputum oldalait:

і (2).

Az (1) és (2) képletekből egyértelmű következtetés vonható le: ahhoz, hogy a téglalap alakú tricubitus pitagoraszi legyen, szükséges és elegendő, hogy a ξ szám racionális legyen. Igaz, mivel a Pythagorean tricubitule, akkor az (1)-ből látjuk, hogy racionális. Vissza, ha racionális, akkor (2) az oldalak oldalai racionálisak, mint a Pitagorasz tricut.

menjünk most OABC- tetraéder, amelynek tetején lapos élek vannak Ról ről egyenes. Dovzhini bordák, amelyek az O csúcsaitól nyúlnak ki, jelentős át a, b, h, És a dovzhini elvesztette a bordáit p, q, r .

Nézzük meg három egyenes vágású tricutlet paramétereit OAV, OVS, OSA:

A következő képletekkel (2) kifejezheti ezeknek az egyenes szeleteknek a nézetét a paramétereiken keresztül:

A Z (4) középen kifelé rezeg, ez a paraméter ξ, η, ζ , Elégedett a kapcsolattal (6). Tse i є galle rivnyannya Pitagorasz tetraéder.

A (3) - (5) képletekből a tetraéder szilárdsága OABC egyenes lapos élekkel a Pythagorean tetején szükséges és elegendő a paraméterekhez ξ, η, ζ (Elégedett a féltékenységgel (6)) racionálisak voltak.

Folytatva a Pythagorean tricutus és a Pitagorasz tetraéderek analógiáját, megpróbáljuk megfogalmazni és kiterjeszteni a Pitagorasz-tételt az egyenes tetraéderekre, ami nyilvánvalóan igaz lesz a Pitagorasz tetraéderekre. Ki tud nekünk segíteni a Lémában?

1. lemma.

Mivel a gazdag bokor területe ősi S, Ekkor a vetületének területe a π területre egyenlő φ - a π sík és a gazdag-cutnik síkja között.

Befejezett.

A lémi keményedése szembetűnő a tricutannál, melynek egyik oldala párhuzamos a π keresztsík vonalával a gazdag szelet síkjával. Igaz, ennek az oldalnak a kiegyensúlyozása a vetítés során nem változik, de a vetítés során rásüllyesztett magasság egyensúlya megváltozik cosφ egyszer.

Most bizonyítsuk be, hogy bármilyen poliéder felosztható a kijelölt típusú tricubitulákra.

Ebből a célból a gyümölcsöskert összes tetején egyenes vonalakat húzunk, párhuzamosan a síkok keresztmetszetének vonalával, a díszes vékonyabb, mint a trikutánban és a trapézban. Ne vágja le a bőrtrapézt a bőr átlói mentén.

1. tétel(Püthagorasz Pitagorasz-tétele).

Egyenes tetraéderben ABCD, Lapos élekkel felül D, Három egyenes lap területének négyzetösszege egyenlő a lapos lapok négyzetével ABC .

Befejezett.

Legyen α - kut a síkságok között ABCі DBC, D"- pontvetítés D a lakásba ABC. akkor S ΔDBC = СosαS ΔАBCі S ΔD "BC = c оsαS ΔDBC(Lemі 1 szerint), hogy c оsα = . S Δ D " IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. = .

Hasonló egyenlőségeket lehet alkalmazni a trikutánra is D "ABі D "AC. Hajtsa össze őket, és nézze meg a trikutniki területének összegét D "nap , D "ACі D "ABősi trikután terület ABC, Határozottan felesleges.

Zavdannya.

Állítsa le az összes lapos pontot a tetején D egyenes; a , b , c- adjunk hozzá több bordát, hogy kijöjjön a tetejéről D a lakásba ABC. akkor

Befejezett.

A téglalap alakú tetraéder Pitagorasz-tétele szerint

A másik oldalon

1= ) => .

§2. ortocentrikus tetrasárkány

A tricut mellett, amelynek magassága mindig egy ponton - az ortocentrum - változik, nem minden víztetraéder hasonlít a hatalomhoz. Ortocentrikusnak nevezzük azt a tetraédert, amelynek magassága egy pontban metszi egymást. Az ortocentrikusság szükséges és elégséges megértése alapján végre kifejlesztettük az ortocentrikus tetraédereket, amelyek az ortocentrikus tetraéder jelentésére vehetők.

(1) A tetraéder magasságai egy ponton váltják egymást.

(2) Helyettesítsd be a tetraéder magasságait a lapok ortocentrumaként.

(3) A tetraéder két bőréle merőleges.

(4) A terület tetraéder protilaterális éleinek négyzetösszege.

(5) Vágások a tetraéder proximális éleinek középpontjainak összekötésére, bordák.

(6) Hozzon létre koszinuszokat az egyenlő részekből álló protilis diéderes metszetekből.

(7) A lapok területének négyzetösszege négyszer kisebb, mint a protilateralis bordák alkotásai négyzetösszege.

Elmondjuk, mit csináltak.

Bizonyítás (3).

Helyezze a tetraéder két protidal élét merőlegesen a bőrre.

Nos, a tetraéder magassága páronként eltolódik. Ha több egyenes vonal páronként kopik, akkor a bűz ugyanabban a síkban van, vagy egy ponton halad át. A tetraéder magassága nem lehet ugyanabban a síkban, mert különben minden csúcsa ugyanabban a síkban lenne, így a bűz egy ponton eltolódik.

Úgy tűnik, hogy ahhoz, hogy a tetraéder magasságai egy pontban metsszék egymást, csak két pár proximális élnek kell a merőlegességét fenntartani. Ennek a tételnek a bizonyítéka közvetlenül a jelenlegi sorrendből következik.

Zavdanya 1.

Adott egy teljes tetraéder ABCD. Hadd tudjam, mit.

Döntés.

Helló a = , b = , z =. akkor , És ennek eredményeképpen a tisztességre feltétlenül szükség van.

Helló a = , B = i s =. féltékenység 2 + 2 = 2 + 2 , mit csinálsz? (A, c) = 0. Az algoritmus alkalmazása a többi elhajló bordapárra nyilvánvalóan elkerülhető keményedés nélkül.

Nézzük a hatalom megnyilvánulásait (6).

A következő tétel bizonyítására:

Szinusztétel. "A tetraéder két protidal élének szilárd teste, amely a melléküregek testére és az ezeknél a bordáknál lévő diéderes vágásokra oszlik, ugyanaz a tetraéder mindhárom protidal élpárjára."

Bertschneider tétele. "Yaksho aі b- dovzhin a tetraéder két egymást metsző éle, és - ezeken az éleken diéder élek, akkor az érték nem a metsző élpár kiválasztásában rejlik.

A szinusztételt a tetraéderhez és a Bertschneider-tételhez felhasználva azt a következtetést vonjuk le, hogy a protidal diéderélek koszinuszai egyenlőek, és csak akkor, ha a protidal élek négyzetösszege egyenlő, és így Id igazságossági hatvány (6) ortocentrikus tetraéder.

Az ortocentrikus tetraéderről szóló pont végén valószínűleg sok munka van ebben a témában.

Zavdanya 2.

Mutassuk meg, hogy az ortocentrikus tetraéder összefüggő ВІН 2 = 4R 2 -3d 2, de Ról ről- a leírt gömb középpontja, H- a pont keresztezi a magasságot, R- a leírt gömb sugara, d - álljon a proximális bordák középpontjai között.

Döntés.

Helló Előttі L- bordák közepe ABі CD magától értetődően. Krapka Nátjárható síkságon fekszik CD merőleges AB, Egy pont Ról ről- áthaladó síkságon Előtt merőleges AB.

Ezek a síkok szimmetrikusak a tetraéder közepére - a szakasz közepére KL. Az ilyen síkokat minden élre nézve egyértelmű, hogy a pontok Nі Ról ről szimmetrikus stílus M, ami azt jelenti KLMO- paralelogramma. Oldalainak négyzete egyenlő azzal. Nézi a keresztlécet, hogy áthaladjon a ponton M párhuzamosan ABі CD, Vigyük el AB 2 + CD 2 = 4d 2 .

Itt adhatja hozzá, hogy pontosan mire kell fektetni a pontokat Ó, Mі N, Nevezze meg az ortocentrikus tetraéder Euler-egyenesét.

Tisztelet.

Az Euler-egyenes sorrendje tekinthető az ortocentrikus teraéder Euler-gömbeinek eredetének, amelyekről a jövőben tárgyalunk.

Zavdanya 3.

Hozza ki, hogy egy kör ortocentrikus tetraéderére a bőrfelület 9 pontja ugyanazon a gömbön fekszik (a gömb 24 pont). Ahhoz, hogy ez a feladat sikeres legyen, be kell fejezni a következő feladat végrehajtását.

Zavdanya 4.

Hozd a háromszög oldalainak közepét, a csúcsok magasságait és vágási magasságának közepét a keresztszáruk pontjáig, hogy egy körre feküdjenek - egy 9 pontos körre (Euler).

Befejezett.

Helló ABC- dán trikutnik, N- a kereszt pontja a jógo magassága, A 1, B 1, C 1- a vágások közepe AN, VN, SN; AA 2- magasság, A 3- középső Nap. Az egyértelműség kedvéért ezt figyelembe vesszük ABC- állami trikutnik. töredékek B 1 A 1 Z 1 = TEі ΔB 1 A 2 Z 1 = ΔB 1 NS 1, Azt B 1 A 2 Z 1 = B 1 NS = 180 ° - B 1 A 1 Z 1, Tobto pontok A 1, B 1, A 2, C 1 feküdj egy karóra. Azt is könnyű bevinni B 1 A 3 Z 1 = B 1 NS = 180 ° - B 1 A 1 Z 1, Tobto pontok A 1, B 1, A 3, C 1 Ugyanazon (és ez azt jelenti, hogy ugyanazon) körön is feküdhet. A csillag azt mutatja, hogy mind a 9 pont, amely az elmében van, egy karón fekszik. A tompaszögű tricutaneum viphacusa ABC hasonlóan néz ki.

Tiszteletben, a 9 pontos kör homotetikus a leírt téttel, amelynek középpontja H-ban és együtthatója van (maguk az ún. kötött háromszögek ABCі A 1 B 1 C 1). A másik oldalon a 9 pontból álló kör homotetikus a leírt karóval, a középpont a tricutellum mediánjai közötti keresztezési pontban van. ABCés egy együttható (az ún. ABC-háromszögek és az oldalai közepén csúcsokkal rendelkező háromszög).

Most 9 pont megjelölése után továbbléphet a 3. feladat elvégzésére.

Befejezett.

Az ortocentrikus tetraéder keresztrúdjának a protidal bordákkal párhuzamos síknak kell lennie, és ugyanolyan távolságra kell elmennie ezektől a bordáktól, valamint egy végbélnek, amelynek átlói a tetraéder protidalis bordáinak középpontjai közé nyúlnak (ezek mindegyike egyenlővé válik egymással, lásd: Szükséges és elégséges mentális ortocentricitás (5.) Nyilvánvaló, hogy egy ortocentrikus tetraéder minden élének középpontja egy olyan gömb felületén fekszik, amelynek középpontja közel van ennek a tetraédernek a középpontjához, és a átmérője a tetraéder protilaterális éleinek középpontja között van, ami azt jelenti, hogy mindegyik 9 pont a gömb felületén fekszik.

Zavdanya 5.

Hozd el egy ortocentrikus tetraéder súlypontját és a lapok magasságainak hevederezési pontját, valamint azokat a pontokat, amelyek a tetraéder bőrmagasságának szakaszait a csúcstól a szalag hevederének pontjáig osztják el. a kapcsolat magassága 2: 1, feküdjön egy gömbön (gömb 12 pont ).

Befejezett.

engedd el a pontokat Ó, Mі N- látszólag a leírt mag középpontja, a súlypont és az ortocentrikus tetraéder ortocentruma; M- a vágás közepe VIN(2. felosztás). A tetraéder lapjainak középpontjai egy homotetikus tetraéder csúcsaiként szolgálnak, ahol a homotitás középpontja a pontban van Més egy együttható ezzel a homotheitási ponttal Ról ről menj a lényegre Körülbelül 1, Roztashovanu egy csemegének MNés akkor mi van , Körülbelül 1 a gömb középpontja átmegy a lapok súlypontjain.

Másrészt azok a pontok, amelyek a tetraéder magasságát a csúcsoktól az ortocentrumig 2:1 arányban osztják el, egy tetraéder csúcsaiként szolgálnak, amelyek homotetikusak ezzel a tetraéder középpontjával. Nés egy együttható. Ezzel a homotéziával a lényeg Ról ről, Yak easy bachiti, menj ugyanarra a pontra Körülbelül 1. Ily módon mind a tizenkét pont a gömb felületén fekszik úgy, hogy a középpontja pont Körülbelül 1és egy sugár, amely háromszor kisebb, mint egy tetraéder közelében leírt gömb sugara.

Lássuk, hogy ennek a gömbnek a felületén fekszenek a bőrél magassági pontjai.

Helló ó', N'і M`- a leírt karó középpontja, a magasságok keresztlécének pontja és bármely határ középpontja. O`і N'є pontok vetületei Ról rőlі N a határ vastagságára és a vágásra M` osztja fel a szakaszt O`N` 1:2 összefüggésben, harsányan O`(Ez egy planimetrikus tény). Most már könnyű felborulni (div. ábra), tehát a vetítés Körülbelül 1 a határpont területére O`1 elkerüli a vágás közepét M`N`, Tobto Körülbelül 1 Pontosan eltávolítva innen M`і N', Amire szükség volt.

§3. Keret tetraedrics

A keretet tetraédernek nevezik, amelyhez van egy gömb, amely a tetraéder mind a hat éléből áll. Nem minden tetraéder van bekeretezve. Például könnyen érthető, hogy lehetetlen olyan gömböt létrehozni, amely egy izoéder tetraéder összes élét tartalmazza, ahogyan azt „hosszú” paralelepipedonként írják le.

Felülírjuk a keret tetraéder hatványát.

(1) Van egy gömb, amely a tetraéder összes éléből áll.

(2) Sumi dovzhin a folyó keresztbordáiról.

(3) Sumi diéderes vágások a bordák protidal bordáinál.

(4) Kóla, a határokba írva, páronként összebújva.

(5) Leírjuk a tetraéder rozettáin megjelenő összes kutikulát.

(6) A beléjük írt egyenesek középpontjából a lapokra kiterjesztett merőlegesek egy pontban metszik egymást.

Vegyük fel a keret teraéder hatványainak számát.

Bizonyítás (2).

Helló Ról ről- a gömb középpontja, amelynek a belső pontjain négy él van. Kedvesem, most mi értelme x végezze tovább XPі xq a középponttal rendelkező gömbhöz Ról ről, Aztán a pontok Rі K szimmetrikus víztartó síkok egyenesen haladjanak át XOés a vágás közepe PQ, Ami a területet jelenti ROHі QOX létrehozni a felszín mögött XPQ Rivne Kuti.

Rajzolunk 4 olyan síkot, amelyek áthaladnak az O ponton, és láthatjuk a tetraéder éleit. A bűz két diéder kutira töri a bőrt, ha ránézünk a diéderes kutira. Fentebb látható, hogy a diéder oldalait levágtuk, és a tetraéder egyik lapjára illesztjük, egymással egyenlően. Mind az egyik, mind a másik figyelembe vett biéderköteg-zacskóba írjon be egy vágott köteget a tetraéder bőréléhez. Hasonló összevonást végezve más metsző élpárokra is, tagadjuk a (2) hatvány érvényességét.

Találjuk ki a leírt chotirukutnik erejének számadatait:

a) A lapos chorikutnik csak akkor és csak akkor lesz leírva, ha a régió teljes oldalát összegezzük;

b) Mivel az átlós átló két tricubitulára oszlik, akkor a tricubitulákba írt körök metszik egymást

Ezt az erőt tekintve könnyű más erőket is bevinni a kerettetraéderbe. A tetraéder teljesítménye (3) közvetlenül a (b) hatványból, a (4) pedig a tetraéder (a) és hatványából (1) származik. Hatóság (5) jogosultsággal (3). Igaz, még akkor is, ha a körök a tetraéder közé vannak írva, és a lapok hálója a gömbbe úgy, hogy az élek találkoznak, nyilvánvaló, hogy a körök közötti feliratok középpontjában elhelyezkedő merőlegesek elkerülhetetlenül átfedés ennek a gömbnek a közepén.

Zavdanya 1.

Bordás gömb AB, BC, CDі D.A. tetraéder ABCD pontokon L, M, N, K,є a négyzet csúcsai. Mutassuk meg, hogy ennek a gömbnek vannak élei AC, Aztán nyűgös és bordázik BD .

Döntés.

Apropó KLMN- négyzet. Húzzuk végig a pontokat K, L, M, N azokat a síkokat, ahol a gömbök egymáshoz illeszkednek. Mert mindezek a síkok azonban a síkra redukálódnak KLMN, Aztán a bűz egy ponton eltolódik S, Egyenesen elforgatva MENJ 1, De a gömb középpontja, és Körülbelül 1- a tér közepe. A négyzetek a négyzet felületén mozognak KLMN négyzet szerint TUVW, Az oldalak középpontjai pontok K, L, M, N. Az S csúcsú, fazettált vugilla STUVW-ban minden lapos él egyenlő, és a pontok K, L, M, N sík felületeinek felezőire feküdjön, és SK = SL = SM = SN. Nos, hát,

SA = SCі SD = SB, ami azt jelenti AK = AL = CM = CNі ВL = BM = DN = DK. A mosdó mögött AC ott is nagy a felhajtás, szóval A C = AK + CN = 2AK. És olyan jak S.K.- felező kuta DSA, Azt DK: KA = DS: SA = D B: AC. buzgalommal AC = 2AK most mi lesz D B = 2DK. Helló R- a vágás közepe D B, akkor R feküdj egy egyenes vonalon ÍGY. tricutnik DOKі DOP egyenlő, ezért DK = DPі DKO = DPO = 90°. Tom BP = OK = R, de R- a gömb sugara, ami azt jelenti D.B. A gömb is felbolydult.

4. §. izoéderes tetrasárkány

Az egyenlő oldalú tetraédert tetraédernek nevezzük, minden lapja egyenlő. Az izoéder tetraéder azonosságának felfedéséhez a papírból egy kellően kerek trikettet veszünk, és eltávolítjuk a középvonalak mögül. Ekkor a három csúcs egy ponton összefolyik, és az oldalak felei összezáródnak, és a tetraéder oldaléleit alkotják.

(0) Az arcok egybevágóak.

(1) Metsző bordák párban.

(2) Háromszög alakú gerincek.

(3) A protidalis diéder cutis egyenlő.

(4) Két lapos kuta, amelyek az egyik szélén spiráloznak, síkság.

(5) A lapos kutívák összege a bőrcsúccsal 180°.

(6) Rozgorka-tetraéder - háromszögletű vagy paralelogramma.

(7) Paralepiped Orectum leírásai.

(8) A tetraédernek három szimmetriatengelye van.

(9) A metszőbordák keresztirányú merőlegesei párban

merőleges.

(10) A középvonalak páronként merőlegesek.

(11) A sík felületeinek kerülete.

(12) A sík felületeinek területei.

(13) A régió tetraéderének magasságai.

(14) Vágások, amelyek összekötik a csúcsokat a megnyúló lapok, a vonalak súlypontjaival.

(15) A folyó közeli oldalainak leírásának sugarai.

(16) A tetraéder súlypontja megközelíti a leírt gömb középpontját.

(17) A súlypont megközelíti a beírt gömb középpontját.

(18) A leírt gömb középpontja megközelíti a beírt gömb középpontját.

(19) Egy gömb 100 lappal van felírva a leírásaik középpontjába.

arcok kіl.

(20) Külső egyszeres normálisok összege (egy vektorok,

az arcokra merőlegesen), nullára.

(21) Az összes diéder összege nulla.

Az izoéder tetraéder szinte minden hatványa belőle folyik

Ez azt jelenti, hogy csak néhány cselekedet kerül napvilágra belőlük.

Bizonyítás (16).

Tetraéder töredékek ABCD egyenlő oldalú, akkor a hatvány szerint (1) AB = CD. menjünk teljesen Előtt videó AB, Egy pont L a vágás közepén DC, Videók a videóból KL bimedián tetraéder ABCD, A tetraédernyom mediánjainak tekintélyeinek jelei, mi a lényeg Ról ről- a vágás közepe KL, a tetraéder súlypontja ABCD .

Addig a tetraéder mediánjai pontosan a vaga közepén tolódnak el Ról ről, És oszd el ezt a pontot 3:1 arányban, felülről emelkedve. Továbbá az elhangzottakat és az izoéderes tetraéder (14) erejét nézve nyilvánvaló a szakaszok féltékenységének kezdete. AT = VO = CO = DO, Mi a nyom, mi a lényeg Ról rőlє a leírt gömb középpontja (a leírt gömb határain túl).

Vissza. Helló Előttі L- bordák közepe ABі CD nyilván, pont Ról ről- a tetraéder leírt gömbjének középpontja, amely a metszet közepe KL. Oskolki Ról ről- a tetraéder leírt gömbjének középpontja, majd a trikután AOBі TŐKEHAL.- egyenlő szárú, egyenlő oldalú és egyenlő mediánnal rendbenі OL. Tom ΔAOB =ΔCOD. Ami azt jelenti AB = CD. Hasonló módon határozzuk meg a többi lehajló bordapár egyenlőségét, amelyből az (1) izoéder tetraéder hatványa szerint a shukane következik.

Bizonyítás (17).

Vessünk egy pillantást a peremre vágott diéder felezőpontjára AB, Ossza el a DC szakaszokat az élek területe szerint ABDі ABC .

Tetraéder töredékek ABCD egyenlő oldalú, majd a hatványhoz (12) S ΔABD = S ΔABD => DL = LC, A csillagok felezőként ragyognak ABLálljon bosszút a bimedián KL. Ugyanez igaz a többi diédermetszetre is, és figyelembe véve azt a tényt, hogy a tetraéder felezői egy pontban metszik egymást, ami a beírt gömb középpontja, egyértelmű, hogy ez a pont lesz elkerülhetetlenül ennek a pontnak a súlypontja. izoéder tetraéder.

Vissza. Mivel a vaga középpontját és a beírt gömb középpontját a támadás elkerüli: DL = LC => SABD = SADC. Ha hasonló módon demonstráljuk az összes lap egyenlő méretét, valamint egy izoéderes tetraéder stagnálását és teljesítményét (12), eltávolítjuk az adatokat.

Most hozzuk a hatalmat (20). Ehhez szükséges egy elegendő tetraéder hatványát hozni.

tetraédertétel iskolai kézikönyv

1. lemma.

Mivel a tetraéder lapjaira merőleges vektorok többsége numerikusan megegyezik ugyanazon lapok területével, ezért ezeknek a vektoroknak az összege nulla.

Befejezett.

Helló x- a gazdagéder belső i pontja, h i (i = 1,2,3,4)- álljon előtte a szintig én- oh határok.

Vágjuk a richaédert csúcsos piramisra x, Az alapok, amelyek ezt a határt szolgálják. tetraéder V ezen piramisok kötelezettségeinek legnagyobb összege, akkor 3 V = Σh i S i, de S i terület én- oh határok. Hadd menjen, n i- az i-edik határ külső normálisának egyetlen vektora, M i - ennek a határnak a megfelelő pontja. akkor h i = (Хm i, S i n i), azt 3V = Σh i S i = Σ (Хm i, S i n i) = (ХО, S i n i) + (ОМ i, S i n i) = (ХО, ΣS i n i) + 3V, de Ról ről- a tetraéder pontja rögzített, akkor ΣS i n i = 0 .

Nyilvánvaló továbbá, hogy az izoéder tetraéder hatványát (20) kerekíti a jelzett lemy, de megjelenése. S 1 = S 2 = S 3 = S 4 => n 1 = n 2 = n 3 = n 4, És mivel a lapok síkjai nem egyenlőek nullával, levezetjük a helyes egyenlőséget n 1 + n 2 + n 3 + n 4 = 0 .

Az izoéder tetraéderről szóló előadásunk végén beszéljünk egy kicsit erről a témáról.

Zavdanya 1.

A tetraéder középpontján és a leírt kerek gömb középpontján áthaladó egyenes vonal összefonja az éleket ABі CD. Hadd tudjam, mit AC = BDі AD = Kr. e .

Döntés.

A tetraéder közepe a bordák közepét összekötő egyenes vonalon fekszik ABі CD .

Ezért ezen az egyenesen fekszik a tetraéder leírt gömbjének középpontja, ami azt jelenti, hogy az élekre merőleges egyenest jelöltünk ki. ABі CD. Helló C`і D`- vetítési pontok Cі D egyenesen átjárható lakásba AB párhuzamosan CD. Oskolki AC`BD`- paralelogramma (z pobudovi), majd AC = BDі A D = Kr. e .

Zavdanya 2.

Helló h- izoéder tetraéder magassága, h 1і h 2- bevágások, amelyeknél a határ egyik magasságát elosztjuk az adott határ magasságának keresztpontjával. Hozd fel h 2 = 4 óra 1 óra 2; Arra is ügyeljen, hogy a tetraéder magasságának alapja és a határmagasságok keresztrúdjának pontja, ahol ezt a magasságot leengedjük, szimmetrikus legyen a határ körül leírt karó középpontjával.

Befejezett.

Helló ABCD- Dánium-tetraéder, D.H.- jógo magasság, DA 1, DB 1, DC 1- az arcok magassága felülről leengedve D oldalán BC, SA és AB .

Vágjuk fel a bordák kantárjainak tetraéderének felületét DA, DB, DC, összetöröm a rozettát. Magától értetődően Nє a trikután magasságú keresztszár pontja D 1 D 2 D 3. Helló F- a tricutan magasságú keresztszár pontja ABC, AK- ennek a trükknek a magassága, АF = h 1, FК = h 2. akkor D 1 H = 2 óra 1, D 1 A 1 = h 1 - óra ​​2 .

Szóval a töredékek h- tetraéderünk magassága, h 2 = DN 2 = DA 2 - NA 1 2 = (h 1 + h 2) 2 - (h 1 - h 2) 2 = 4 óra 1 óra 2. menjünk most M- a vaga tricutaneum közepe ABC(Ez a tricutan véna közepe D 1 D 2 D 3), Ról ről- a leírt tét középpontja. Vidomo F, Mі Ról ről ugyanazon az egyenesen (Euler-egyenes), és M- között Fі Ról ről , FM =2MO, Másrészt trikutnik D 1 D 2 D 3 homotetikustól tricutitig ABC középre helyezve Més együttható (-2), ami azt jelenti MH = 2FM. Miért gyere ki? VIN = FO .

Zavdanya 3.

Állítsuk be, hogy egy izoéderes tetraéderben a magasságok, a magasságok felezőpontjai és a lapok magassági keresztlécének pontjai egy gömb felületén fekszenek (a gömb 12 pont).

Befejezett.

A 2. fő feladatban arra a következtetésre jutottunk, hogy a tetraéderen leírt gömb középpontja a vágás közepén a bőrélre vetül, a magasság végeit erre az élre engedjük, a keresztmagasság pontja pedig ezt a határt. És a töredékek a tetraéder körül leírt gömb középpontjából a határig emelkednek, ahol h- a tetraéder magassága, a leírt gömb középpontja ezektől a pontoktól a távolságig, ahol A- álljon a magasságok keresztlécének pontja és a határ körül leírt karó közepe közé.

§5. Incentrikus tetradry

A tetraéder lapjainak súlypontját a proximális csúcsokkal (a tetraéder mediánjaival) összekötő vágások mindig egy pontban metszik egymást, ez a pont a tetraéder középpontja. Ha az elmédben az arcok súlypontjait az ortocentrumaira cseréled, akkor az ortocentrikus tetraéder új jelentésébe fogsz átalakulni. Ha lecseréljük őket a körök közötti feliratok középpontjaira, amelyeket néha középpontoknak neveznek, akkor a tetraéderek új osztályát rendeljük hozzá - a centrikusakhoz.

A centrikus tetraéderek osztályának jelei is megtalálhatók itt.

(1) A tetraéder csúcsait a proximális lapokba írt pontok középpontjaival összekötő metszetek egy pontban metszik egymást.

(2) két él felezőpontja, rajzolja meg ezen lapok ellenélét, rajzolja meg az ellenélt.

(3) Készíts egy dovzhint a folyó protilegális bordáiból.

(4) Trikutnik, más pontokkal létrehozva három borda keresztlécét, amelyek egy csúcsból jönnek ki, valamiféle gömbbel, amely ezeknek a bordáknak a három végén halad át, páros oldalúan.

Bizonyítás (2).

Hatalommal (1), mert DF, BE, CF, AM- az alárendelt kutívák felezése a tricutan régiókban ABCі FBD, Aztán a vágások KSі LD anya leszek Eltalálom a helyet én(Oszt. ábra). Mit szólnál egyenesen DKі CL ne tapogatózz pontosan F, Akkor nyilván KSі D.L. ne keverd, amit nem tudsz (az incentrikus tetraéder jelentésén túl).

Bizonyítás (3).

Ha a (2) és a nem szektor hatalmát nézzük, egyértelmű összefüggés van:

; .

6. §. sport tetraedries

A tetrakat arányosnak nevezzük, amelyben

(1) Bivisoty rivni.

(2) Tetraéder vetülete a bimediánra vagy rombuszra merőleges síkra.

(3) A leírt paralelepipedon lapjai egyenlő méretűek.

(4) 4a 2 a 1 2 - (b 2 + b 1 2 -c 2 -c 1 2) 2 = 4b 2 b 1 2 - (c 2 + c 1 2 -a 2 -a 1 2) 2 = 4c 2 c 1 2- (a 2 + a 1 2 -b 2 -b 1 2) 2, de Aі egy 1 , bі b 1 , hі z 1- töltse fel a protill bordákat.

Az (1) - (4) értékek egyenértékűségének kiegészítéséhez vegye figyelembe, hogy a tetraéder magassága megegyezik a paralelogramma magasságával, amely a hatóságok által előrejelzett vetület (2), és a leírt magasságok magasságával. paralelepipedon, és a négyzet laposabb, mint a paralelepipedon, hogy elférjen, mondjuk, egy él Val vel, modernebb, és a skaláris szilárdtestet a tetraéder élein keresztül fejezzük ki a (4) képlet szerint.

Itt adunk hozzá még két arányosság-érzéket:

(5) Egy pár protidal bordapár esetén az egyiken áthúzott sík tetraédere, a másikon a közepe merőleges.

(6) Az arányos tetraéder paralelepipedonjának leírásaiban gömböt írhatunk.

§7. helyes tetras

Mivel a tetraéder élei egyenlőek egymással, a tetraéder élei háromszögűek, kétéderek és laposak lesznek. Ebben a helyzetben a tetraédert szabályosnak nevezzük. Az is fontos, hogy egy ilyen tetraéder ortocentrikus, keretes, ekviéderes, centrikus vagy hasonló legyen.

Tisztelet 1.

Ha a tetraéder izoéder, és a következő tetraédertípusok egyikéhez tartozik: ortocentrikus, keret, centrikus, szimmetrikus, akkor ez helyes.

Tisztelet 2.

A tetraéder helyes, mert legfeljebb kétféle tetraédert tartalmaz: ortocentrikus, keretes, centrikus, szimmetrikus, ekviéderes.

Szabályos tetraéder hatványa:

A bőrcsúcs három tricután szövet csúcsa. Ez azt jelenti, hogy a bőr csúcsán lévő lapos vágások összege 180º lesz

(0) U szabályos tetraéder Lehet oktaédert írni, sőt, bár az oktaéder nyolc határvonala össze lesz kapcsolva a tetraéder lapjaival, az oktaéder mind a hat csúcsa kombinálódik a tetraéder hat élének középpontjaival.

(1) Egy szabályos tetraéder egy beírt oktaéderből (középen) és négy tetraéderből (a csúcsokban) áll, és ezeknek a tetraédereknek és oktaédereknek az élei kétszer olyan kicsik, mint a szabályos tetraéderek élei.

(2) Egy szabályos tetraéder kétféleképpen írható egy kockába, sőt, a tetraéder több csúcsa a kocka több csúcsával kombinálódik.

(3) Egy ikozaéderbe szabályos tetraéder írható be, továbbá, hogy a tetraéder csúcsai az ikozaéder ugyanazokkal a csúcsaival kombinálódnak.

Zavdanya 1.

Győződjön meg arról, hogy a szabályos tetraéder metsző élei merőlegesek egymásra.

Döntés:

Helló DH- egy szabályos tetraéder magassága, a H pont a szabályos tetraéder középpontja Δ ABC . Ekkor az AD szakasz vetülete az ABC alapterületére metszet lesz B.H. . Oskolki B.H. A.C. , akkor a tétel szerint körülbelül három merőleges BD A.C. .

Zavdanya 2.

Adott egy szabályos tetraéder MAVSéltől 1. keresse meg az egyenesek közötti helyzetet ALі MO, de L középső erezet KISASSZONY , Ról ről- középső határ ABC.

Döntés:

1. Álljon két egymást metsző egyenes közé - a merőleges megkettőzésével, egy egyenesről leeresztve, ezzel az egyenessel párhuzamos és egymás elé helyezett egyenes síkra.

2. Projekció leszünk A.K. videó AL a lakásba ABC. laposság AKL merőleges a síkra ABC, Az egyenesekkel párhuzamosan M.O.és közvetlenül álljon bosszút AL. Ez azt jelenti, hogy a shukana dovzhina a merőleges dovzhina TOVÁBB, A pontból kimaradva O előtt A.K. .

3. Tudjuk S Δ KHA kétféleképpen.

S Δ = .

A másik oldalon: S Δ KHA =

hogy ρ.

tudjuk TOVÁBB : ρ= .

Zavdanya 3.

A trikután piramis bőrbordája PABC idősebb 1; BD- tricutan magasság ABC. Páros tricutnik BDE feküdj a sarkot létrehozó lakásban ϕ a széle mögött A.C., Sőt, a pontokat Pі E feküdjön a gép egyik oldalán ABC. Keresse meg a pontok közötti távolságot Pі E .

Döntés. A piramis összes élének töredékei PABC Rivni, ez egy szabályos tetraéder. Helló M- az állvány közepe ABC , N- a csúcs ortogonális vetülete E egyenlő oldalú tricubitus BDE a lakásba ABC ,K- középső BD ,F- egy pontból leejtett merőleges alapja E fent magasan DÉLUTÁN. tetraéder PABC. Szóval jak E.K. BD, Ekkor a tétel szerint körülbelül három merőleges N.K. BD, azt EKN- diéderes gerinc lineáris gerince, laposokkal kitöltve ABCі BDE, És ehhez NK || A.C., Azt EKN = ϕ . A következőket mondhatjuk:

BD = , M.D. = , KD = , BD = , DÉLUTÁN. = ,

K.M. = KD - M.D. = - = , E.K. = BD · = , HU = E.K. bűn ϕ = bűn ϕ ,

NK = EKcos ϕ = kötözősaláta ϕ , MN 2= NK 2+KM 2 = kötözősaláta 2ϕ + ,

P.E. 2= EF 2+PF 2= MN 2 + (PM - MF)2= MN 2 + (PM - EN)2 =

= kötözősaláta 2ϕ + + ( - bűn ϕ )2 = kötözősaláta 2ϕ + + - bűn ϕ + bűn 2ϕ == + + - bűn ϕ = - bűn ϕ = - bűn ϕ .

Nos, hát,

PE = = .

Zavdanya 4.

Keresse meg a tetraéder szomszédos lapjainak metszőmagasságai közötti útvonalakat!

Döntés.

Vipadok 1. sz.

Helló B.K.і DF- élek magassága ABCі BCD. BK, FD = α . Jelentősen dovzhinu szélén a tetraéder jak a. kerül végrehajtásra FL || B.K., akkor α = DFL . KL = LC.

Δ DLF :

; ; ; .

2. esés (a magasság másképp van beállítva).

B.K.і CN- élek magassága ABCі BCD. kerül végrehajtásra FP || CNі FL || B.K. . ; . tudjuk LP .DO- szabályos tetraéder magassága, DO = , K- kivetítés P a lakásba ABC , . ,

Írjuk fel a koszinusz tételt Δ LFP :

Tehát hogyan haladjunk a célpontok mögötti egyenesek között?

fejezet II. Tetraéder a középiskolai matematika tanfolyamon

§1. Hasonló jellemzője azoknak a „tetraédereknek” az iskolai kézikönyvekben való bemutatásának

Egy iskolai geometria tanfolyam sok időt vesz igénybe, amíg elsajátítja a Tetraéder alapjait. Ennek a feladatnak a végrehajtásában gyakorlatilag nincs módszertani probléma, hiszen kiderül, hogy egy olyan piramis (beleértve a trikutánt is), mint a matematika kezdetének múlt kőzeteinek propedeutikai tanfolyamaiból, így élet tanúságtétele. A szabályos tetraéder lapos analógjához - egy szabályos tricubitulához - kapcsolódik, az oldalak egyenlősége pedig az élek vagy lapok egyenlőségéhez kapcsolódik.

A tanulók számára azonban felmerülnek megértési problémák, amelyeket a különböző tanárok különböző módon (az elméleti anyag sorrendjében, a feladat összetettségében stb.) próbálnak megoldani. Adjuk meg röviden a geometria kiszélesedését a tetraéder csavarodás szempontjából.

Hozzájárulás a „Tetraéder” témakörökhöz a „Geometria” kézikönyvben 10-11 évfolyamos Atanasyan L. S. és in.

BAN BEN alapvető a „Geometria” tanárnak az Atanasyan L. S. középiskola 10-11 évfolyamára és in. A tetraéderekkel kapcsolatos információk 7 pontban találhatók (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).

A kézikönyv szerzői a tetraédert négy mellékfolyóval összehajtott felszínként határozzák meg. A 10. osztályos kézikönyv elméleti alapjaiból ismereteket gyűjthet a tetraéder lapjairól, éleiről és csúcsairól, a tetraéder felületéről, a tetraéder számított felületéről, beleértve a tetraédert. és csonka (III. fejezet, 2. § „Piramis”).

A kézikönyv elméleti anyagát tömören és stílusosan egységesen mutatja be. Az elméleti anyagok egy részét a kézikönyv gyakorlati része is kiterjeszti (egyes tételek bizonyítása feladatokban történik). A markolat praktikus anyaga két összecsukhatósági szintre oszlik (az ún. „egyedi összecsukhatóság”, speciális „*” szimbólummal jelölve). Ezen kívül a kézikönyv végén található egy problémafüzet nagy bonyolultságú feladatokkal, amelyekből tetraéderek illeszkednek egymáshoz. Vessünk egy pillantást az asszisztensi iroda tevékenységére.

A feladatok változata.

Zavdannya 1 (300. sz.). A megfelelő mellékági piramisnál DABC pontokat E, F iP- az oldalak közepe IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. , AB és Kr. u. Ellenőrizze a keresztrúd nézetét és keresse meg a területét, mivel a piramis alapjának oldala ősi a, Az oldalborda ősi b.

Döntés.

Lesz egy keresztlécünk, ami elég lapos ahhoz, hogy áthaladjon a pontokon E, F, P. Rajzoljuk meg a tricubitus középső vonalát ABC , E.F. || A.C. ,

E.F. || AC, A A C feküdj be pl. D C.A., jelenti E.F. || pl. DCA. Terület a vágáson túl a határon DCA egyenes vonalban P.K.

A keresztrúd töredékeinek egyenesen át kell menniük E.F. párhuzamos a síkkal DCAés áthalad a felszínen DCA, akkor átlépem a határt PK párhuzamos az egyenessel E.F.

Maradjunk a kettő között BDA videó FP,és között BDC- videó E.K. chotiricutnik EFOKÉs shukane peretin. E.F. || AC, PK || E.F. || AC, , , jelenti.

Oskolki PK || EF és PK = E.F. Hogy EFPK- paralelogramma. Ilyen módon EK || EP, EP- a tricután középvonala BCD .

Vágás a keresztező egyenesek között D.B.і C.A.ősibb 90 °. Tegyük ezt át. Határozzuk meg a piramis magasságát DO. Krapka O- a szabályos tricuputum közepe ABC. tartós videó B.O. ezen az oldalon a küszöbhöz A.C. pontosan M. A jobb oldali trikutniknál ABC: BM- magasság, medián és felező, stb. Lehetséges, hogy akkor egy egyenes és egy sík merőlegességének jele szerint , Todi.

Oskolki, PK || C.A.і E.K. || BD, Ez az EFPK- függőlegesen.

.

Zavdannya 2 (692. sz.).

A piramis alapja egy egyenes vonalú tricut lábakkal aі b. Az oldalsó borda bőrét a vágás alatt az alap síkjához vékonyítjuk φ . Keresse meg a piramis térfogatát!

Döntés:

ABCD- piramis, kut ABC- egyenes vágás , AC = b, BC = a, cootie DAO, DBO, DCO Rivni. tudjuk VDABC0.

1) ΔDAO = ΔADC = ΔDBO az oldal és a meleg oldal mentén, ez azt jelenti AO = OC = OB = R kóla, fentebb leírtuk ΔABC. mert . ΔABC - akkor egyenesen .

2) Z ∆ DOC : ; .

3) ; ; .

A „Tetraéder” témakörök hozzájárulása a „Geometria” kézikönyvhez a 7-11. osztályos Pogorelova A.V.

Egy másik alap asszisztensben A.V. Pogorelov és más elméleti anyagok ebben és más világokban a 176–180., 186., 192., 199., 200. bekezdésekben található „tetraéderek” alá tartoznak.

A „Szabályos poliéderek” 180. bekezdése tartalmazza a „szabályos tetraéder” fogalmának jelentését („A tetraéder egy mellékgúla, amelynek minden éle egyenlő”), a piramisra vonatkozó különféle tekintélyek és tételek bizonyítását karosszékek illusztrálják. traedra. Ebben a kezdeti referenciakönyvben azonban nem a bevésett figurákra helyezik a hangsúlyt, és ebben az értelemben annak információtartalma (mint egy tetraéder) alacsonynak értékelhető. A kézidarab gyakorlati anyaga kellő számú feladatot tartalmaz, így vannak piramisok, amelyek a kiterjesztett tricuput (amely lényegében egy tetraéder) alapján épülnek fel. Ügyeljünk arra, hogy feltárjuk a vezetők tetteit.

A feladatok változata.

Zavdannya 1 (41. a „Bagatogranniki” ponttól).

piramis alap - equifemoralis tricut Amelyben az alap 12 cm hosszú, az oldala pedig 10 cm. Az oldalszélek az alap mögött egyenlő kétszögű vágásokkal vannak kialakítva úgy, hogy 45°-ban helyezkedjenek el. Keresse meg a piramis magasságát.

Döntés:

rajzoljunk merőlegest ÍGY az alap és a merőlegesek négyzetére S.K., S.M.і SN az oldalakra ΔABC. Todi a három merőlegesről szóló tételen rendben BC, OM AC és ON AB.

todi, SKO = SMO = SNO = 45° - mint a lineáris vágások és a diéderes vágások. És akkor egyenes vágású trikutnik SKO, SMO Az ISNO egyenlő a láb és a hot cut mögött . És akkor mi van OK = OM = BE, ez a lényeg Ról ről a karó közepe be van írva ΔABC.

Vislovimo tér a téglalap alakú növény ABC:

A másik oldalon , . És akkor mi van ; OK = r = 3 cm. Szóval jak az egyenes vágású trikutnikban SOK gostrium kut egyenlő 45°-kal , Hogy ΔSOKє egyenlőszárú і SO=OK= 3 (cm) .

Zavdannya 2 (43. szám a „Gazdag arcok obsyagija” című bekezdésből).

Keresse meg a piramis térfogatát, amely a tricubitus alapja, annak két darabja! a i β; a leírt karó sugara R. A gúla oldalbordáit a vágás alatt az alap síkjáig felhalmozzuk γ.

Döntés.

Mivel a piramis összes oldalbordája az alapsíkig egy és ugyanazon cölöp alatt épül fel, akkor a gúla magassága O 1 Oátmennek a fent leírt kör középpontján. És akkor mi van

Az ΔABC-nél. Ez igaz a szinuszok tételére

És akkor mi van , , =

=.

Tricutan terület :

akkor .

A „Tetraéder” témakörök hozzájárulása a „Geometria” kézikönyvhez 10-11 évfolyamos Aleksandrov A.D.

Vessünk egy pillantást a főasszisztensre, Alexandrova A.D. ta be. „Geometria: kézikönyv 11. osztályos tanulóknak. h temessük el magunkat matematika." Ebben a kézikönyvben nincs más bekezdés a tetraédernek szentelve, de a téma jelen van más bekezdések töredékeinek megjelenésében.

A tetraéder első ötlete a 21.3. Az ebben a részben található anyag a poliéder háromszögelésének tételét vizsgálja, mint egy konvex piramis háromszögelése esetében. Maga a „richtaéder” fogalma a kézikönyvben kétféleképpen értelmezett, a fogalom másik jelentése közvetlenül a tetraéderhez kapcsolódik: „A richtaéder olyan alakzat, amely a tetraéderek végszámát egyesíti...”. A helyes piramis és a tetraéder szimmetriájának bizonyos vonatkozásai a 23. §-ban találhatók.

A 26.2 § leírja az Euler-tétel („a szabályos mértékekről”) definícióját szabályos poliéderekre (beleértve a tetraédert is), a 26.4 § pedig az ezekre az ábrákra jellemző szimmetriatípusokat vizsgálja.

Ezenkívül a kézikönyvben információkat talál a tetraéder középvonaláról, a tömegközéppontról (§35.5) és az izoéder tetraéderek osztályáról. Az 1. és 2. nemzetségbe tartozó rukhokat a tetraéderekkel kapcsolatos legfontosabb tanítás során mutatják be.

Az útmutató figyelemre méltó jellemzője a tudományosság magas szintje, amelyet a szerzőknek sikerült a jelentés hozzáférhető és világos szerkezetével közvetíteniük. Ügyeljünk arra, hogy feltárjuk a vezetők tetteit.

A feladatok változata.

Zavdanya 1.

Addig is a helyes triquate csonka piramis Az a oldaléllel elhelyezhet egy gömböt, amely minden élt lefed, és egy gömböt, amely minden élt lefed. Találd meg a piramis oldalait.

Döntés.

A karosszéken elképzelhető egy piramis. Adott a piramis, - a „megújított” piramis magassága, - része a felső alapig csonka. A tervezés planimetrikusra redukálódik, ebben az esetben nem kell ezeket a gömböket átfesteni. Ennek eredményeként a csonka gúlába beleírható egy gömb, így az összes él benne van, majd az oldallapjába kör írható. Jelentősen (az alfejezet érthetősége érdekében) és a leírt chotirikutnik miatt eltávolítjuk a jeleket

A feliratos pálya alapja, amely alapvetően körül van, trapézszerűen van kiterítve (a „megújult” piramis apotémája) úgy, hogy a középpontja középen, maga pedig a többi mellett áll. három oldala trapéz alakú.

Center kuli, i - dotik pontok. akkor . Nyilvánvaló, hogy a mennyiséget a ta-n keresztül fejezzük ki. Z:. Z:. A trapézból: . Eltávolítható féltékenység:

.(2)

Az (1) és (2) egyenlőségrendszer felállítása után világos, hogy az oldalak egyenlőek.

zavdannya 2 .

Szabályos tetraéder közepe éllel a Az egyenlő gömbök úgy vannak kiterjesztve, hogy a bőrgömböt három másik gömb és a tetraéder három lapja egyesíti. Határozza meg ezeknek a gömböknek a sugarát.

Döntés .

Dánia tetraéder, - magassága, - a gömbök középpontja, - egy egyenes sík keresztlécének pontja. Illetve, az egyenlő gömbök középpontjai, ahol a síkok találkoznak, attól távolságra egyenlő távolságokon bőrrel kapcsolatosak a culus sugarával (átl. x). Ez azt jelenti, hogy a síkok párhuzamosak, és így tovább.

Az ale jak egy él mögötti szabályos tetraéder magassága; mekkora egy szabályos tetraéder, amelynek éle 2 x ; .

Elveszett vislovity. Fontos, hogy a pont a háromszög alakú vágás közepén helyezkedjen el, és távol legyen a felülettől, és a háromszög alakú vágás lapos metszete egy vonalban legyen. Nem könnyű megszabadulni ezektől a dolgoktól. Elérkeztünk a szintre:

, A csillagok elköszönés után eltávolíthatók.

A „Tetraéder” témakörök hozzájárulása a „Geometria” kézikönyvhez 10-11 évfolyamos Smirnova I.M.

A „Tetraéder” témakört felveszem Smirnova I.M. bölcsészettudományi profiljának 10-11 osztályára vonatkozó kézikönyvébe. A következő tevékenységeknek szentelve: 18, 19, 21, 22, 28-30, 35.

Miután befejeztük azt a tételt, miszerint „Bármilyen konvex poliéder összehajtható egy oldalsó csúcsú gúlával, amelynek alapjai alkotják a poliéder felületét”, Euler tételét több ilyen gazdag éder, zokrema, vykonannaya tételre is figyelembe vettük. ez a háromrészes piramisra vonatkozik, amely lényegében і є tetraéder.

Előnye, hogy láthatók benne a topológia és topológiailag szabályos richéderek (tetraéder, oktaéder, ikozaéder, kocka, dodekaéder), amelyek ugyanazon az elméleten alapulnak, mint az Euler-tétel.

Kézikönyvében bevezette a „helyes piramis” fontos fogalmát; Megfontolásra kerülnek a tetraéder beírt és leírt gömbjei, a szimmetriahatalom létrehozására vonatkozó tételek, amelyek a tetraédert összetartják. Az utolsó leckében (35) felvázoljuk a trikután piramis megtalálásának képletét.

ezért kezdeti segítő Jellemző a szemléltető és történeti anyag iránti nagy elkötelezettség, valamint a gyakorlati anyag iránti kis elkötelezettség, az ezermester közvetlenségének megértése. Nézzük meg Smirnova asszisztensét is, I.M. ta be. 10-11 természettudományos osztályra.

A „Tetraéder” témakörök hozzájárulása a „Geometria” kézikönyvhez 10-11 évfolyamos Smirnova I.M. ta be.

Az első segélynyújtástól kezdve a kompozíciók és az elrendezések azonos összetettsége a legmagasabb specifikációra bővül. Kivételes különlegesség Az anyag összefoglalása „félévekre” van felosztva, amelyek a kézikönyvben találhatók. A tetraéder a legelső bekezdésben ("Bevezetés a sztereometriába"), a "piramis" fogalma a 3. §-ban kerül bevezetésre.

Első kézből származó gyakorlati anyagként a feladatok kiegészítéséhez egy csomó sztereometrikus ábrával. A 26. §-ban található anyagban található egy tétel a tetraéderbe írt gömbről. A Reshta elméleti anyagot, amely egy tetraéder, valójában egy kézi anyag anyagaival kombinálják, amelyet magasabb minőség jellemez.

A feladatok változata.

Zavdanya 1.

Keresse meg a legrövidebb utat egy szabályos tetraéder felületén ABCDösszeköti a pontokat Eі F, Az oldallapok magasságában 7 cm-re elforgatva a tetraéder felső csúcsaitól. A tetraéder éle 20 cm hosszú.

Döntés.

Nézzük meg a tetraéder három lapjából álló csoportot. A legrövidebb út a pontokat összekötő vágás lesz Eі F. Yogo dovzhina 20 cm.

Zavdanya 2.

A piramis tövében egy egyenesen kivágott tricut fekszik, az egyik lába körülbelül 3 cm, a másik oldala körülbelül 30 fokos. A piramis minden oldalbordája az alapsíkhoz képest 60 fokos vágás alatt van. Keresse meg a piramis térfogatát!

Döntés.

Az ABC területe régebbi. A középső magassági alapként szolgál. Tricutnik SAC - páros. .

Nos, akkor az ősi piramisokat használtuk.

Visnovok.

Az asszisztens Atanasyan L.S. különlegességével. і ін. Vannak olyanok, amelyeknél a tetraéder morfiumozása korán befejeződik, az anyag szétszórva jelenik meg a tanfolyamon és az előadásokon különböző bonyolultsági szinteken. Pogorelov asszisztensénél A.V. Az anyag tömören kidolgozott, a „tetraéder” fogalma, valamint a többi tágas figura fogalma, a legteljesebb mértékben bevezetve (10. évfolyam végén), gyakorlatias anyag, prezentációk a kezében, egy kis megszállottság. Smirnova asszisztensnél I.M. ta be. Az elméleti, valamint a gyakorlati anyag kis volumenű, gyakorlatias és alacsony bonyolultságú, a kézikönyv nagyon sok matematikatörténeti anyaghoz kapcsolódik. Alexandrov asszisztenssel A.D. ta be. Az anyag hajtogathatósága nagyobb, maga az anyag változatosabb, személytelenebb gyakorlati megrendeléseket Az elmélet ezen részének megfogalmazása szerint rendkívüli problémák és problémák vannak a táplálkozás megjelenésében, ami egyértelműen megmutatja őt mások levéltetűjén.

§2. A tágas kialakítás fejlesztésének tesztelése középiskolákban

Az intelligencia a tudás és a megértés lényege, amely minden emberben közös. Vannak, akik a nagyobb világban élvezik, mások a kisebbikben, de mindenki élete során gyakorlatilag változtatás nélkül megőrzi. Az értelemnek magának kell helyesen cselekednie, és figyelnie kell annak előnyeire.

A pszichológiában az intelligencia a tudás befogadásának és más, alapvetően új helyzetekben való felhasználásának képessége. Általában a teszt képes meghatározni, hogy egy személy milyen sikeresen alkalmazkodik a vészhelyzetekhez. Az intellektuális fejlődés fontossága ennél a tesztnél az, hogy egy óra munka fontosságát és fontosságát teljessé tegye, így a munka szövegében az intelligenciatesztelés módszertanának egy része lesz, ami a tágas elme fejlődését jelzi Nya. Az univerzum tere a mentális tevékenység egy sajátos típusa, amelynek a legmagasabb rendje van, és amely orientációt hoz létre a gyakorlati és az elméleti térben (látható és képzeletbeli egyaránt). A legfejlettebb formájukban vannak olyan képek, amelyek megragadják a hatalom és a tekintély kiterjedtségét. Más alapon létrehozott kimeneti képekkel operálva az elme biztosítja azok módosítását, átalakítását és új képek létrehozását, amelyek helyettesítik a kimenetet.

A teszt ("Mini-teszt a térbeli intelligencia fejlesztésére" az "Első teszt az intelligencia fejlesztésére", F. Carter, K. Russell) univerzális minden korosztály számára, és kis időt vesz igénybe (30 percet). ). A teszt szövege és kulcsai az oklevél előtti „1. sz. Mellékletben” találhatók.

Egy szabályos tetraédernek minden diéder éle van az élekben és minden háromszög él a csúcsokban

A tetraédernek 4 lapja, 4 csúcsa és 6 éle van.

A szabályos tetraéder alapképleteit a táblázat tartalmazza.

de:
S - Egy szabályos tetraéder felülete
V - kötet
h - magasság, leengedve az alapra
r - a tetraéderbe írt kör sugara
R - a leírt karó sugara
a - dovzhina borda

praktikus popsi

Döntés.
A tricut piramis összes bordájának töredéke egyenlő – az egyik a helyes. A szabályos trikután piramis felülete S = a 2 √3.
akkor
S = 3√3

Megerősítés: 3√3

zavdannya.
A szabályos trikután gúla minden bordája egyenlő 4 cm-rel. Határozza meg a gúla térfogatát

Döntés.
A töredékek a megfelelő háromrészes piramisban, a gúla magasságát az állvány közepébe vetítjük, amely egyben a leírt karó középpontja is, majd

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3/3

Ily módon az OM piramis magassága az egyenes vonalú háromkután AOM-ból kereshető

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2 / √3

A piramis képlete: V = 1/3 Sh
Ehhez a helyettesítés területe az S = √3 / 4 a 2 képlettel kereshető

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

Megerősítés: 16√2 / 3 cm

Fénymodell - két konvergens fénytetraéder

Kezdjük a kurzus legösszetettebb és talán legfontosabb témájával: két konvergens fénytetraéder modelljei. Ezeket a pontokat nagyon gyakran, sőt röviden érintjük, hiszen ennek a modellnek a hozzájárulása folyamatosan fontos a nagy kurzus kapcsán. Itt ismertetjük azokat az alapvető beszédeket is, amelyek a Teremtés 7. Napjáról a 8. Napra, majd a 9. Napra és a 10. Napra való átmenet folyamatainak megértéséhez szükségesek.

A tetraéderek konvergenciájának modellje:

• metafizikai , A világ legnagyobb léptékű modellje, amely leírja szent elvek felébreszteni valamiféle valóságot világunkban;
• tsilova egy modell, amely leírja mindenki interakcióját elemeketі alapelvek a teremtés szempontjából;
• egyetemes a rendszer szerint működő modell hasonló: mindent így irányítanak - egy személyt, egy családpárt, legyen az csoport vagy élettársi kapcsolat.

Ábrahám Uniója

Ezt a modellt Ábrahám ősatyjának Istene alkotta meg a fektetés előtt egyesülés a különböző részek között:

És ezt mondta neki [Ábrahámnak]: Én vagyok az Úr, aki a káldeusok Urából nemzettelek, hogy neked adjam Volodin földjét. Azt mondta: Uram, Uram! Miért hiszem, hogy szerelmes leszek belé? Az Úr mondta korábban: Vigyél egy hároméves üszőt, egy hároméves kecskét és egy hároméves kost, egy teknős galambot és egy fiatal galambot. Ha ezeket leszedjük, levágjuk, és a bőrt a másikhoz hasonló részhez adjuk, különben nem vágódik a termék. І madarak csaptak le a holttestekre; ale Avram vidganyav ich. Amikor a nap lenyugodott, nagy álom borult Ábrámra, és nagy sötétség borult rá. És monda az Úr Ábrámnak: Tudd jól, hogy utódaid bevándorlók lesznek egy olyan földön, amely nem az övék, és a bűzt szolgálják, és több száz évig gyötrődnek, különben elítélem azokat az embereket, akiket a bűz okoz. szolgálni fogok; Miután ez a bűz nagy jellel kijön, és napod előtt világra jössz, siratják majd szép öregkorodban, és a negyedik nemzedékben fordulsz ide, mert az amoriták törvénytelenségének világa. még nincs kitöltve. Amikor a nap lenyugodott, és besötétedett, a füsttengely, mintha a sütőből és a tűz feléből származott volna, áthaladt az áldozat ezen darabjai között. Azon a napon az Úr megdicsőítette Ábrámmal a parancsolatot...
(Buttya 15:7-18)

Ez Ogienko fordítása, és itt az üszőről, kecskéről és kosról (kosról) azt mondják, hogy a bűz „triric”. Ez a jelentősége azonban távol áll a héber szövegtől, amely fordítók generációit helyezi vak sarokba. Héberül ezt írják: מְשֻׁלֶּשֶׁת ( meshuleshet), szó szerint „tricutna” vagy „trikutnik” (üszőről és kecskéről, női sorról) és מְשֻׁלָּשׁ ( meshulash), „Trikutny” vagy „tricutnik” (kosról, emberi fajról). Elvileg ezek a szavak ugyanúgy fordíthatók, mint „hármas”, „hármas”, „hármas”; az orosz nyelvű zsidó fordításoknál használhatja a „háromoldalú” opciót. De a fő jelentés továbbra is a tricutánhoz kapcsolódik: ez egy tricutan vagy valami, aminek háromkután alakja van.

Egyébként a Biblia szövege szó szerint így hangzik:

... Vegye fel a trikutnik-tel(Eléggé olvasott trikutna üsző), Tricutnik-kecske(vagy trikutna kecske), Trikutnik-ram(vagy tricuta ram), Turtledove és fiatal galamb.

A szöveg helyes megértéséhez emlékeznünk kell arra, hogy Ábrahám Sumerból származott, és Sumerben a matematika nagy jelentőséggel bírt. Másrészt a szarvasmarha-kultúra képviselője volt. Ily módon Ábrahám teljesen megérthette a geometriai képeket, amelyekhez közel állt a szarvasmarha terminológiája.

Csodálkozzunk el még egyszer a עֶגְלָה מְשֻׁלֶּשֶׁת képletben, üsző. Logikusan ezt nem egy, hanem kétféleképpen lehet megérteni. Az első egy üsző, hasonló a tricutánhoz, amely tricutan alakú, mint egy nisenetnitsa. Egy másik módja - üszőszerű trikutnik. Információink alapján a másik lehetőség a helyes. Nyilvánvalóan gereblye és galamb - leírom a teknős galambhoz és a galambhoz hasonló figurákat is. Isten úgy tűnik:

...vegyél egy triquet-et, mint egy üszőt, egy kecskét, mint egy kecskét, és egy bárányt, mint egy kost, és egy galambot és egy fiatal galambot.

Miért hasonlíthat a trikutnik üszőre, kecskére vagy kosra? Általában semmi, kivéve egy dolgot: méret. Az üsző (tehén) még nagyobb, a kecske sokkal kisebb, a kos (kos) még kisebb. A gereblye és a kék pöttyök pedig még kisebbek náluk, gyakorlatilag pöttyök. Így jutottunk el a trónhoz, amelyet Isten megmutatott Ábrahámnak:

Most meg kell értenünk, mit jelent „hirtelen boncolgatni”. Persze nem számít szétválasztani a trikutnikot, elég egy ilyen egyenes vonalba "vágni". Például a magasság két kisebb részre osztja a tricubitint Ortokután tricutanea. Ebben az esetben óhatatlanul elveszti teljesen egyoldalú formáját. Ha azonban a trikutnikot nem végtelenül vékony figurának tekinted, hanem anyaglemeznek, amely egyfajta sokoldalúsággal bír (ami nagyon természetes a korszak matematikai elméje számára), akkor van egy másik módja a megkülönböztetésnek: lemezhasítás. Ha a felülete mentén felhasítjuk a páros oldalú tricuta lemezt, akkor letépjük két egyenlő oldalú mez két kisebb kötelék:

Információink alapján éppen ezt a „boncolást” mutatták meg Ábrahámnak.

... És elviszi őket[Három mez és két pont] Rozsik yogo fele[A trikután fák felosztása a felületük mentén] és az egyik részt egymás után a másikra helyezve csak a foltok nem válnak el[És két pont elhelyezése, egyik a másikkal szemben].

A boncolási töredékek pedig „egyvonalban”, egyenes vonalban, a tricumus síkjára merőlegesen voltak, ekkor logikus az „egy ellentéte” ugyanabba az irányba elhelyezni. Elérkeztünk a jelenlegi konfigurációhoz:

Böngésző frissítés

Információink szerint pontosan ezt a tervet mutatta meg Isten Ábrahámnak, amikor létrehozta vele a híres „egyesülést a különböző részek között”. Egy „üsző” két fele - az alsó tetraéder alsó része és a felső felső része, egy „kecske” fele és egy „kos” fele - az alsó tetraéder felső része, a hevederben tartva ezek közül a tetraéderek, narchok, egy „galamb” és egy „galamb” dra, valamint a felső alsó csúcsa, egymás ellen.

Két tetraéder modelljének felépítése

ezt a modellt két tetraéder összefolyik, Amely leírja a világ szerkezetét és változásait a Teremtés Napjai változásának folyamatában. Kicsit később értjük meg, hogy miért „konvergálnak” a tetrayok, de egyelőre lényeges, hogy a konfiguráció szimmetrikus, de nem tükörszimmetrikus, hanem központi. Ahogy rácsodálkozik a fenevadra, a felső tetraéder 180°-kal elforgatva jelenik meg az alsó felé, és állványaik a hatszög megfelelő csillagába vetülnek - hexagramok vagy Dávid csillag (két „madár” pont jelenik meg a központja):

Böngésző frissítés

Ugyanaz a két fénytetraéder modell össze van hajtva, az alsó vezetés magasabb, mint a fotel. A modell egészének befejezéséhez össze kell hajtanunk a széket:

• két tetraéder szaglászás az egyik oldalon, és hozza létre a keresztmetszeti területet;
• a tetraéderek szélein és több tricubitula oldalain heveder van hozzáadva 38 kulcspont vagy elem;
• Két tetraéder keresztezése hoz létre Shekhini jelenlétének szférája.

A tengely így néz ki a teremtés 7. napján (nézd meg ezt a tervet elölről és egy kicsit a fenevadról):

Böngésző frissítés

Az alsó konfiguráció színesen látható további vonalakkal a kulcspontok összekapcsolásához. Az elülső szék előtt egy középső vetület található: a bábu középen, a tetraéderek állványai között van úgy, hogy a felső tetraéder felső állványa felette, az alsó tetraéder alsó része alatta található. azt:

tetraéder
שמיים
(Sámán)
ég

tetraéder
ארץ (Yeretz)
föld

יצר (yetzer):
alkotás, kreativitás

אב ולב (Av ve Lev):
egyéni választási pont

שלום (Shalom):
egyensúly,
sértetlenség

דין (Dékán):
törvény, eszmény,
mi történhet
de én

אמת (van):
igazság,
valóság,
azok, amelyek

נשמה (neshamah):
dátum
a zavarásig
küldetés

גוף (Guf):
materializálás, infúzió

עוז (oz):
m_ts, energia

38 legfontosabb pont(A baba bűzt színes táskákkal ábrázolják) javasolják minden fő kategória, vagy elem pop. bőrpont elem A nevem héberül van, és az egyedi értelmem. A jelentésvonalak és pontok is megjelennek. pontok- elemeketösszejönni modulok, Mit tehetsz a babádért:

• egyenes vonalak, amelyeken két vagy több pont található - elsőrendű modulok;
• helyes tricubitules - eltérő sorrendű modulok;
• a szabályos tetraéderek harmadrendű modulok (beleértve az utolsó két nagy tetraédert is).

Támogathatja: a tetraéderek, a harmadrendű modulok száma 12-vel egyenlő, ami Izrael törzseinek száma. Ez 2 nagy tetraéder, 4 altetraéderük, amelyeket a felső/alsó csúcsok és a tricutan keresztdarabok hoznak létre, valamint 3 kis tetraéder a nagy tetraéder „csomóiban”, amelyeket a tetraéder alapjának egyik csúcsa hoz létre (in az alsó piros tetraéder), kettő szomszédos pontokkal az állomány oldalain (a chervona alsó tetraéderében) és a nagy tritunika keresztrúdhoz legközelebbi csúcsa (a narancs alsó tetraéderében).

Mindezek a modulok, valamint a pontelemek mély értelmet közvetítenek; Leírják az elemek kölcsönhatásának alapelveit. Kár, hogy ezen a helyen nem ragadhatunk; Ez a tanfolyam témája.

Ez a konfiguráció lehetővé teszi a leírást legyen az folyamat vagy valóság a világban, mind statikusan, mind dinamikában, a Teremtő tervének szemszögéből.

Jelentősen röviden:

• a felső tetraéder neve שמיים ( Sámán), Mit jelent a „mennyország” a Biblia legelső verséből ( „A csutkán teremtette Isten az eget és a földet”, Buttya 1:1);
• az alsó tetraédert ארץ ( Yeretz), Tobto „föld” ugyanabból a csúcsból;
• az alsó tetraéder felső csúcsát יצר-nek hívják ( yetzer);
• a felső tetraéder alsó csúcsát אב ולב ( Av ve Lev).

A kijelölt két csúcs fontos lesz a későbbi számításhoz. (Ábrahám próféciájában ugyanezek a „madarak nincsenek megosztva”.)

Jelentős az is, hogy ebben a konfigurációban 6 vízszintes sík található, amelyeken 6 vízszintes tricube fekszik, amelyek Ábrahám három teremtményének feldarabolt részeit képviselik: az alsó tetraéder alsó részét, a felső tetraéder felső részét és 4 kötött. keresztek. Ez a 6 sík a teljes kiterjedést 7 régióra osztja, ill Rivniv- az alsó alap alatti terület, a síkok közötti 5 terület és a felső alap feletti terület. A térnek 7 területe van – nem több 7 fokozatú világítás, Leírások a „A menóra, avagy hétszintű világkép” bevezető cikkben.

A képen az illusztráció kedvéért további 6 pontot jelöltünk meg - a felső és az alsó tetraéder csúcsait. Már gyakran ismerjük őket az alsó háromból. neshamah, Gufі oz Az alsó alap teteje a három támaszték, amelyek mind megegyeznek a Menorival. Ott a lámpatest három oszlopának nevezik őket, és a karosszéken hatékonyan „tartják magukon” a teljes konfigurációt - a lámpa modelljét. Nyilvánvaló, hogy ezt a három pontot a „minden nem véletlen” képlet írja le ( neshamah), „Minden megvalósul” ( Guf) І „minden fejlődik” ( oz).

A karosszéken a tricube az alsó tetraéder alapja, melynek felső csúcsát ún. yetzer, Ami azt jelenti, hogy „kreativitás, kreativitás”. Ez a tetraéder részben ismerős számunkra – ez Noach tetraéder, Leírások a „Noé és a Blues” külön leckében. Noé, ill harmónia, A csúcsokat jelöli yetzer- Csak harmóniában van az alkotás lehetséges helyes folyamata. Shem, etika- tse neshamah, A megértés előtt építeni; Yaphet, esztétika- tse Guf, Hogy a forma beszívódjon az anyagba, és Sonka, energia- tse oz, Ami szó szerint energiát, energiát jelent. Ezek az interakciók nem triviálisak, és mély érzékre utalnak, de fejezzük be ezt a kirándulást. Térjünk vissza a tetraéderek egészének leírásához.

Shekhini jelenlétének szférája megmutatja, hogy a világ mely elemeiben és mely világban ismerhetik fel és érzékelhetik az emberek a Teremtő jelenlétét. Ez a gömb két tetraéder számára elég nagy belső teret képvisel. A fotelfüzeten „beírni” egyet az énekvilágig; a gömb bosszút áll az egész rejtett területükön. Matematikailag a gömb átmérőjével egy olyan szakaszba jön létre, amely összeköti két tetraéder csúcsát yetzerі Av ve Lev; A székek teteje zöld színnel van ábrázolva (böngésző frissítése).

A személy és a Teremtő közötti interakció ebben a modellben a következő, még rejtélyes szabályokkal is leírható.

1. Az emberek nem tudják felfogni és érzékelni a Teremtő jelenlétét kulcsfontosságú pontokon - a világ elemeiben, amelyek a Shekina szférájában helyezkednek el.
2. Az ember, ha szükséges, egy tájékozott választás és a Teremtővel folytatott párbeszéd eredményeként képes megérteni és érzékelni a Teremtő jelenlétét kulcsfontosságú pontokon - a világ elemeiben, amelyek a Shekina szféra felszínén helyezkednek el.
3. Az emberek mindig tanulmányozzák és érzékelik a Teremtő jelenlétét kulcsfontosságú pontokon - a fény világának elemeiben, amelyek a Shekina szféra közepén helyezkednek el.

Kedves: nincs interakció a Teremtővel és a fénybudovába való beáramlás a 2. és 3. szakaszban csoda, Ez normális, csak egy rendes robot! Csoda (héberül נס, NES) - ez nem Vinyatkov helyzete, Isten közvetlen ajándéka, amelyet az adott séma nem korlátoz.

Két tetraéder modellje a dinamikában

Itt az ideje, hogy elmagyarázzuk, miért hívják a modellt modellnek konvergálnak tetraéderek. A jobb oldalon látható, hogy a bőr átmenete során a teremtés 7. napjáról a 8. napra, a 8. napról a 9. napra és a 9. napról a 10. napra két tetraed egyenként káromkodva egymást: Yeretz(Föld) i Sámán(Az ég) egyre közeledik, egytől egyig egyre görbül. Milyen ponton yetzerі Av ve Lev nem érteni, akkor egyre többé válni Shekhini jelenlétének szférái .

Tetrahedri Svitobudovy: 0. nap

Nézzük meg, hogyan változott a két fénytetraéder modellje a kezdetektől, a Teremtés 1. Napjától. Pontosabban nem az 1-től, hanem a 0-tól (nulladik nap). Ez nem kegyelem. Információink szerint a Biblia legnagyobb verse nem az első naphoz kapcsolódik, hanem a teremtés hét napját megelőző helyzethez, például a nulladik napig. Ennek a csúcsnak a tengelye:

Isten a csutkára teremtette az eget és a földet.

Az idő-óra folyamokról szóló tájékoztatóban már jeleztük (div. Greater section "Föld"), hogy a "föld" és az "ég", amelyek csúcsaiban jelöltük, nem a mi bolygónk és az ő egük. Nyilvánvaló, hogy Isten adott egy kis időt az „ég” és a „föld” fogalmának újbóli bevezetésére, jelentést adva nekik: „És Isten a csillagokat „égnek” nevezte... (Buttya 1:8), „És Isten száraz földnek nevezik..." (Buttya 1:10). ég(héberül Sámán) і föld (Yeretz) Az 1. tetejétől - minden más. Biztosak vagyunk benne, hogy mi folyik itt teremtő két metafizikai tetraéder a világnak. Egyébként látszólag a Buttya offensive könyv 1. versének értelme:

A csutkán (a teremtés 1. napja előtt) Isten megteremtette a fényrügy Sámán tetraéderét és a fénybimbó Erets tetraéderét.

A tengely és a tetraéderek még mindig rosszul orientáltak, és nem kapcsolódnak egymáshoz:

Frissített böngésző Frissített böngésző

Ez a bővítés azt a helyzetet szemlélteti, amikor projekt Tíz nap még nem kezdődött el, és belső rendje még nem nyilvánult meg; dátum szerint projekt Káosz leszek: " A föld [Erec] káoszban és pusztaságban volt, és sötét volt a mélység színe fölött, és a halott Isten a vizek színe fölött lebegett..."(Buttya 1:2, Freeman Gurfinkely fordítása).

Tetrahedri Svitobudovy: 1. nap

A teremtés 1. napján a káosz helyén rend jön:

És Isten azt mondta: így lesz világos. És könnyű volt. És Isten világosságot hozott a sötétből, és Isten világosságot hozott a sötétből. És hívta Isten a világosságot nappal, és nevezte a sötétséget: Nich. Este van, reggel van, első nap.
(1. könyv: 3-5; itt és alább a Biblia zsinati változatára térünk ki)

Nyilvánvaló, hogy ez a szöveg megfelel az Univerzum általunk ismert valóságának. Őszintén szólva, jelenlegi kozmológiánkban a következőképpen lehetne leírni: a Nagy Vibukh lett, és az újonnan született Univerzum a fizika jól ismert törvényei szerint kezdett fejlődni. A fény (viprominyuvanya) elnyelődött az anyagba (a tömeget mosó részbe), az Univerzumot pedig világos és sötét régiókra (az elsődleges galaxisokra és a köztük lévő kiterjedésre) osztották. Módszerünk azonban nem fizikai, hanem metafizikai megértése a bibliai fejlődésnek, azoknak a mély metafizikai folyamatoknak, mint a kozmológiai folyamatok és bolygónk további fejlődése. A táplálkozás metafizikai oldalára fogunk koncentrálni; Amint azt a „Csatka füle” részben már említettük, fizikai szempontból az egész Bibliát a nem sürgős vizsgálatoknak szentelték.

A fénytetraéderek modellje metafizikai kategóriák részhalmazával rendelkezik fényі sötétben Ez abban is megmutatkozik, hogy a tetraéderek szigorúan egymás ellen, egy „felül” helyezkednek el ( Sámán, „Ég”), a másik „lent” ( Yeretz, „Föld”), oldalaik párhuzamosak (és egy-egy arányban 180 °-kal elforgatva), és a felső tetraéder alsó csúcsa szigorúan az alsó felső csúcsa felett van:

Böngésző frissítés

szegély fényі sötétben megemlékezett a csutkáról projekt, Amit ezen a tanfolyamon tárgyalunk: a teremtés tíz napja projekt.

Tetrahedri Svitobudovy: 2. nap

A Teremtés 2. Napján kialakul a fénystruktúra, amelyben különböző szintek vannak:

És monda Isten: így lesz egy csillag a víz közepén, és hozzon vizet a vízből. És teremté Isten a csillagokat, és kiöntötte a vizet, mint a kripták alatt, és a vizet, mint a kripták felett. És azzá lett. Istent az ég csillagának neveztem. És lesz este, és lesz reggel, egy másik nap.
(Buttya 1:6-8)

A tetraéder modell rendelkezik külön területek, A tetraéderek alsó és felső bázisának felületével együtt a teljes kiterjedés 7 szintre van osztva, vagy „felül”:

Böngésző frissítés

Tetrahedri Svitobudovy: 3. nap

A Teremtés 3. Napján Isten megalkotja a világot, új elemeket vezetve be: szárazföldet és tengert, ágakat, mindenféle „fát”:

És monda Isten: Emelkedjék fel a víz az égből egy helyre, és hadd menjen el és váljon láthatóvá. És azzá lett. És az Istent hívva kiszáradt: Földnek, és az összegyűjtött vizek helyét tengernek nevezve. Kérdeztem Istent, mi a jó. És monda Isten: Tiltsd meg a földnek, hogy füvet teremjen, hogy ez az élet kikeljen, és a fát, hogy gyümölcsöt teremjen, amely gyümölcsöt terem nemzedékének, amely az ő új életében van a földön. És azzá lett. És zöld a föld, a fű is a maga fajtájából való, és a fa, amely gyümölcsöt terem, a maga fajtája. Kérdeztem Istent, mi a jó. Este és reggel volt, harmadik nap.
(Buttya 1:9-13)

A könnyű költségvetésű modellnek 38 kulcseleme van, egyébként úgy tűnik, mindegyik megjelenik szempontokat Svetobudovi:

Böngésző frissítés

Tetrahedri Svitobudovy: 4. nap

A 4. Teremtés Napjának fő változása a projekt órájának „bekapcsolása”, minden folyamat beindítása az örökké éneklő ritmusok szerint: nappal és éjszaka, hónapok és sorsok változása. Szokták mondani, hogy ebben a pillanatban kezdődik az óra első folyása nefesh.

És monda Isten: Legyenek fények az égen, hogy elválasszák a nappalt az éjszakától, és legyenek órák, napok és sorsok jelei; És álljon a bűz az égen, és ragyogjon a földön. És azzá lett. És teremtett Isten két nagy fényt, egy nagy fényt, hogy az nappal világítson, és egy kis fényt, hogy a semmiben világítson, és a hajnalokat is, és Isten az ég mennyezetére helyezte őket, hogy világítsanak a földet, és ragyogjon éjjel-nappal És, és hozzon világosságot a sötétségből. Kérdeztem Istent, mi a jó. Első este, kora reggel, negyedik nap.
(Buttya 1:14-19)

Átmenet a teremtés 3. napjáról a 4. napra – ez tetraéderek mozgatása előtt. A bűz egyenként omlik össze, és a keresztléc területe esni kezd. A 2. napon kialakult fényvilág 7 „teteje” közül ez a központi, a negyedik szint, amely a hétszintű világképben egy párbeszédet és egy órát jelent.

Böngésző frissítés

Tetrahedri Svitobudovy: 5. nap

Az 5. napon a modell kreatív szerkezete nem változik, de a világ egyes elemei és aspektusai eltűnnek neveket, pelyhesedés fogalmak.

És monda Isten: Engedjétek el a kúszónövényeket, élem a lelkemet; És a madár, amely a föld felett repül az ég kriptája alatt. És teremtette Isten a nagy halat, és minden élőlényt, amely víz, neme szerint, és minden szárnyas madarat neme szerint. Kérdeztem Istent, mi a jó. És megáldotta őket Isten, mondván: Szaporodjatok és sokasodjatok, töltsétek fel a tenger vizeit, és sokasodjatok a nyáj a földön. Este van, reggel van, péntek van.
(Buttya 1:20-23)

A könnyű tetraéderek a 8 legnagyobb alapelemet kapják: a felső 4 csúcsa és az alsó tetraéder 4 csúcsa. Ez ugyanaz a 8 név, amelyet a 7. nap modelljének színes képén jelzett. A csúcsok nevét nem ismételjük meg a széken, hanem színekkel válasszuk el a pontokat:

Böngésző frissítés

Tetrahedri Svitobudovy: 6. nap

A teremtés 6. napján a neveket eltávolítják, felállnak fogalmak, Már az összes kulcsfontosságú pontot.

És monda Isten: Lássa a föld az élő lelket a maga nemében, vékony és lebegő, és a földi fenevadat a maga nemében. És azzá lett. És teremtette Isten a föld vadállatait nemük szerint, és a soványságot nemük szerint, és mindent, ami a földön lebeg, fajtájuk szerint. Kérdeztem Istent, mi a jó. És monda Isten: Teremtsünk embereket a mi képünkre, hasonlatosságunkra, és ne essünk félelembe a tenger halai, az ég madarai, a soványság, az egész föld és az egész csúszómászó miatt. dolgok, amelyek a földön kúsznak. És Isten a maga képére teremtette az emberiséget, Isten képmására teremtette őket, férfit és nőt egyaránt. És megáldotta őket Isten, és Isten így szólt hozzájuk: Szaporodjatok és sokasodjatok, töltsétek be a földet és öntözzetek, és uralkodjatok a tenger halain, az ég madarain és minden élőlényen, amely a földön él. föld. És monda Isten: Neked adtam mindazt a forrást, amely az egész földön terem, és a bőrfát, amely a falvak új plédjében nő, amely napsütésben terem - tiéd lesz; És a földi vadállatokat és az összes mennyei szárnyast, és a bőrt, amely a földön kúszik, hogy a lélek éljen benne, minden zöld füvet a sündisznónak adtam. És azzá lett. És Isten hozzáadott mindenhez, amit teremtett, és ez még jobb volt. Este van, kora reggel van, hat napja.
(Buttya 1:24-31)

A fénytetraéderek elrendezése a hatodik napon csak azért van megosztva, mert ezúttal az összes csúcs neve van. Kérjük, engedje, hogy túllépjünk ennek a tanfolyamnak a keretein; Jelentősen megváltoztatjuk a helyzetet, ha az összes kulcsfontosságú pontot kiszínezzük:

Böngésző frissítés

Tetrahedri Svitobudovy: 7. nap

A 7. napon a teremtett tetraéderrendszer kiteljesedik, és Isten az Ő hivatkozásaira „támaszkodik”.

Ég és föld eltűnt, és minden eltűnt. És elvégezte Isten ezt a napot minden munkájától, amelyet végzett, és megpihent ezen a napon minden munkájától, amelyet végzett. És Isten megáldotta és megszentelte ezt a napot, mert ebben megerősítette minden munkáját, amelyet Isten teremtett.
(Buttya 2:1-3)

A fénybarát tetraéderek mai modellje a fennmaradó kulcselemekkel rendelkezik: Shekhini jelenlétének szférája. A 7. napot már részletesen idéztük és elemeztük. Ismételjük meg, részletek nélkül:

Böngésző frissítés

Még mindig nincsenek itt olyan elemek (kulcspontok), amelyek a Shekina gömb közepén fekszenek. Minden elem vagy a határai mögött, vagy a felületén található. (A székek mögött látható, hogy 3 sötét és 3 sötét pont a gömb közepén fekszik, így csak a vetítésben jelenik meg: valójában a gömb felületén fekszenek.)

Az ábrahámi vallásokban ezt a helyzetet az a gondolat fejezi ki, hogy az isteni jelenlétet az emberek kapják: csak kevesen vannak kapcsolatban Istennel, és tudnak tudatosan kapcsolatba lépni vele.

Tetrahedri Svitobudovy: 8. nap

A 8. napon a tetraéderek kreatív konfigurációja egyenként konvergál, így a kis mellékfolyók egy síkban jelennek meg, a csúcsok pedig yetzerі Av ve Lev; (Zöld pöttyök indítják újra a böngészőt) „duzzanak” a proximális tetraéderek alapjaiba:

Böngésző frissítés

A Shekina jelenléti szféra tetraéder sugarának közelsége következtében a 7. nappal 4/3 ≈1,33-szorosára nő, és „Isten jelenlétének nagyságát” jelképezi életünkben. , - 64/27-nél ≈2,37-szer.

Itt jelennek meg először azok a pontok, amelyek a Shekina-gömb közepén helyezkednek el. A „radar alá kerülés” ezen kategóriái teljesen természetesnek tűnnek, mint egy lehelet. Ezek az elemek a Teremtővel való állandó kapcsolat láthatatlan részét képezik. Ilyen módon most bőr Az emberek örökké párbeszédben és közösségben maradnak Istennel.

Ebben az esetben a gömb testtartásának olyan elemei vesznek el, amelyek nem fekszenek az emberekre, és nem ösztönöznek változásokra egy ilyen párbeszéd eredményeként, például az Univerzum fizikai törvényei. Ebben a szakaszban, amint az „A teremtés tíz napjának megőrzése” részben már elhangzott, egységes etikai emberiség alakul ki.

Tetrahedri Svitobudovy: 9. nap

A teremtés 9. napján a tetrák még jobban „költöznek” egymásba:

Böngésző frissítés

A Shekhina jelenléti gömb sugara a 7. nappal 14/9 ≈1,56-szorosára és (14/9) 3 ≈3,76-szorosára nő.

Most a legtöbb az elemek vagy a Shekhini gömb közepén helyezkednek el, vagy bekapcsolódnak rajta. Ellenkező esetben láthatóan a fénylények kategóriáinak nagy része az ember és a Teremtő közötti interakció láthatatlan részévé válik. Csak hat a legalapvetőbb dolog, amit meg kell érteni – három talány, amelyek a világ alappillérei neshamah, Gufі ozés a felső tetraéder három megfelelő kategóriája Sámán- megfosztjuk a megváltoztathatatlantól: az ember és Isten párbeszédébe „beömlő gömb” pózát. Ez a „Tíznapos teremtés földje” részben már elmondott módon egy új típusú emberek megjelenéséhez vezet, akik „szuperhatalmakkal” vezetik mindennapjainkat - a világ levitái.

Tetrahedri Svitobudovy: 10. nap

Nyilvánvaló, hogy a Teremtés 10. Napján a tetraedrik maximális szinten „költöznek” egymásba. Központjaik egyesülnek, és egy csodálatos konfiguráció alakul ki, amely úgy néz ki, mint egy csillagoktaéder:

Böngésző frissítés

Mivel szabályos szimmetrikus richaéderről van szó, nyilvánvaló, hogy a Shekhini gömb (amelynek átmérője is két protilaterális csúcson alapul yetzerі Av ve Lev) Egyszerűen egy fényes oktaéder gömbje írja le. Ez azt jelenti, hogy most már az abszolút mindent A fénykategóriák vagy a Shekhini gömb felszínén (az oktaéder csúcsai), vagy a közepén (minden többi pont) jelennek meg. A 7. nappal egy időben a Shekini gömb sugara 2-szeresére, a sugara pedig 8-szorosára nő. Ez az isteni jelenlét maximális kinyilatkoztatása, maximum rebarbara Ember és Isten kapcsolata, ha tájékozott, választás és párbeszéd Istennel lehetővé teszi, hogy az ember eljuthasson a világ alapvető alapjaihoz. tse emberek A teremtés tizedik napjának alkotó népe.

Ljudina a Teremtő, Bore Ádám, A Mindenhatóval együttműködve fényt teremtünk, új lehetőségeket formálva Yeretz(Ég) i Sámán(Föld) most már tisztában van azokkal a törvényekkel, amelyeket ezekre a Minden Világokra lebontottak. Grafikusan a következőképpen fejezhető ki: pontok yetzerі Av ve Lev messze túlléptek a „szűkült” tetraéderek határain, a tetraéderek csúcsai „átvágták” egymás alapjait, és két új „kis” tetraédert alkottak - potenciál Sámánі Yeretzúj világ:

Hadd mutassuk meg még egyszer a tetraéderek elrendezését a Teremtés négy Napjára, 7., 8., 9. és 10., de ezúttal lényeges, hogy a kulcselemek kibővültek a Shekina szférához képest:

• a vörös szín azokat az elemeket jelöli, amelyek a Shekina gömbjének pózában helyezkednek el (ezeken a pontokon az ember nem látja és nem érzékeli a Teremtő jelenlétét);
• Ugyanez a szín jelöli a Shekina szféra felszínén elhelyezkedő elemeket (itt az emberek szükség esetén tudatos választás és a Teremtővel folytatott párbeszéd eredményeként értékelhetik és érzékelhetik a Teremtő jelenlétét);
• A zöld szín azokat az elemeket jelöli, amelyek a Shekina gömb közepén helyezkednek el (ezeken a pontokon kezdik az emberek felfogni és érzékelni a Teremtő jelenlétét).

A teremtés 7. napja:

Böngésző frissítés

A teremtés 8. napja:

Böngésző frissítés

A teremtés 9. napja:

Böngésző frissítés

A teremtés 10. napja:

Böngésző frissítés

A végén egy videót mutatunk be, amely bemutatja a Fénybimbó-tetraéder progresszív megközelítését és a Shekhini szféra megnyílását:

Azok számára, akik pontosan szeretnék megérteni a modell geometriáját, bemutatunk néhány matematikai összefüggést.

Vezessünk be egy derékszögű koordinátarendszert, amelyben minden z Av ve Levі yetzer, És a környék xy illeszkedjenek az alsó tetraéder alsó bázisának síkságához. jelentős h bőrtetraerek magassága Yeretzі Sámán. todi:

1. két pont - elem a bőrön a tetraéder alsó bázisának három oldalán Yeretz osztja ezt az oldalt három egyenlő részre; Ily módon összesen 9 pont (a csúcsokkal együtt) található a kör kerületén;
2. folt- elem a bőrön a tricuputin három oldalán, a tetraede mentén tartva Yeretz két lap alja (az Ábrahám próféciájában szereplő „kivágott kecske” két fele) ezt az oldalt osszuk két egyenlő részre; egyszerre 6 pont van a tricubitula kerületén (beleértve a csúcsokat is);
3. az alsó sík, mint egy tetraéder keresztezi Yeretzés a hevederben 6 elemből álló tritunikát hoz létre a kerület mentén (az Ábrahám próféciájának „kivágott kecske” két felének egyike), amely a síkságon helyezkedik el. z= 1 / 3 h(A tetraéder teljes magasságának egyharmada);
4. egy másik sík, mint egy tetraéder keresztezi Yeretzés a hevederben három elemből álló tritubust hoz létre a tetején (az Ábrahám próféciájának „vágott kos” két felének egyike), amely a síkságon helyezkedik el. z= 1 / 2 h(A tetraéder teljes magasságának fele);
5. felső csúcs yetzer tetraéder Yeretz(Ábrahám próféciájának két „nem megosztott madara” közül az egyik) a szinten található z=h(Ez egyszerűen a tetraéder magassága, és az alaphoz 0 magasságot rendeltünk);
6. két pont - elem tetraede az oldalbordák bőrén Yeretz Osszuk ezt az oldalt három egyenetlen részre 3:1:2 arányban.

pontokban bі c Nyilvánvaló, hogy a tricubitulák kicsik, mivel konfigurációjukban a tetraéder alsó bázisán és oldallapjainak alsó részében vannak, egyenlő oldalúak.

felső tetraéder Sámán Pontosan ugyanaz, mint a Budova, és központilag szimmetrikusan nő, mint az Erets-tetraéder. A bőr tetraéder belső geometriája stabil és nem változik a teremtés 7., 8., 9. és 10. napján. Kölcsönös tengelyhelyzetük megváltozik z. A 7. és 8. napról tájékoztatjuk Önöket.

A teremtés hetedik napja:

1. alsó csúcs Av ve Lev felső tetraéder Sámán a csúcson lenni z= 1 / 4 h;
2. Nos, a felső tetraéder felső alapja Sámán a csúcson lenni z= 5 / 4 h(Hozzá kell adni a tetraéder magasságát, egyenlő h) - 5/4-ig álljon a tetraéderek alapjai között h;
3. A felső tetraéder oldalbordái átfedik a három elemből álló tricuputin oldalait a tetraéderen keresztül Yeretz a másik (felső) két síkkal (Ábrahám próféciájának „vágott kos” alsó fele), és hasonlóképpen az alsó tetraéder oldalbordáihoz és a szimmetrikus tricubitushoz („vágott kos”) a tetraéderben Sámán;
4. ebben az esetben - találd ki - a legfelső csúcs yetzer alsó tetraéder Yeretz a csúcson lenni z=h;
5. Gyerünk, állj a pontok közé yetzerі Av ve Lev drágább 3/4 h;
6. Ezenkívül a Shekhini gömb sugara 3/8 h, A її köteles 9/128 π h 3 ;
7. egy szabályos tetraéder közepe látszólag a magasságában fekszik, 1/4 távolságra h alvásból, ami azt jelenti, hogy a bőrnek két csúcsa van Av ve Levі yetzer pontosan a protilis tetraéder közepén fekszik; Ily módon álljunk a tetraéderek középpontjai közé a 3/4-tel azonos szinten h.

bekezdés a pontból logikusan levezethető c, Ami a fotelből jól látszik. Így van, a másik vízszintes sík az, ami a tetraédernek van a hevederben Yeretz 3 elemből álló trikutnik (Ábrahám próféciájának „rózsás kosának” alsó fele), egy felső tetraéderrel ellátott hengerben Sámán létrehozza az elülső tricubitule középső tricubituláját, amely szintén kétszer kisebb, mint az alsó. És magának a 3 elemű tricube töredékei kétszer kisebbek, mint a tetraéder, akkor a középső tricube 4-szer kisebb, ami a csúcsot jelenti Av ve Lev a felső tetraéder a tetraéder magasságának 1/4-e, majd a magasságának 1/2-e h− 1 / 4 h= 1 / 4 h.

A teremtés nyolcadik napja:

1. alsó csúcs Av ve Lev felső tetraéder Sámán a csúcson lenni z= 0 - a nyert „fenék” a tetraéder alapjába kerül Yeretz; hasonlóan tetraéder Yeretz eléri a csúcsát yetzer a tetraéder felső alapja Sámán;
2. nyilvánvalóan a felső tetraéder felső alapja Sámán a csúcson lenni z=h- álljon a tetraéderek alapjai közé azok egyik magasságában (így h);
3. egy másik lapos gerenda alul, ami tetraéderrel adja be a gerendát Yeretz Egy 3 elemből álló trikó ("boncolt kos"), egy másik, lapos szövedékkel rendelkező állattal fut össze, amely egy tetraéderes hálóban hasonló tricubeot ad. Sámán(A „vágott kos” másik fele) - a sértettség bűze a legmagasabb z= 1 / 2 h(Ábrahám próféciájának „vágott kosának” két fele egyesülni fog);
4. ennek eredményeként két 3 elemből álló tritubus átfedi az alsó és felső tetraédert, egymás tetején, és egy 6 elemű hexagramot (Dávid csillagát) hoznak létre;
5. álljon a pontok közé yetzerі Av ve Lev egy h;
6. Ezenkívül a Shekhini gömb sugara 1/2 h, A її köteles 1/6 π-vé válni h 3 - akkor az „isteni jelenlét birtoklása” a 7. naphoz képest 64/27 ≈2,37-szeresére nő;
7. a tetraéderek középpontjai most a magaslatokon fekszenek z= 1 / 4 hі z= 3 / 4 h, És álljon közéjük 1/2 h- ugyanazon a napon, mint a 7. napon, másodszor is gyorsul (3/2).

A teremtés 9. és 10. napjára fordított székről azt is könnyű biztosítani, hogy a pontok között álljon yetzerі Av ve Lev(Egyenlő a Shekhini gömb átmérőjével) egyenlő 7/6 h a 9. napon és 3/2 h a 10. napon. Nyilvánvaló, hogy a gömb területének növekedése a 7. naphoz igazodva nyilvánvalóan (14/9) 3 ≈3,76 és 2 3 = 8-szoros lesz.

Állj a tetraéderek középpontjai közé, és a felületek megváltoznak, ahogy a csúcsok közötti távolság nő yetzerі Av ve Lev, egyenlővé válik az 1/3 h(9. nap) і 0 (10. nap). Megjegyzendő, hogy a középpontok távolsága a 7. napról a 8. napra való átmenet és a 8. napról a 9. napra való átmenet során pontosan másodszorra gyorsul fel, és a 10. napon a megmaradt közeli tetraéderekkel csíkszerű változtatások nullára – „megszámlálhatatlan” sokszor. Ennek a ténynek fontos következményei vannak, de nem lépi túl a jelen áttekintés kereteit.

Mutassuk meg, hogy a teremtés 7. napján a Shekhini szféra felszínén, a Krím-félszigeten yetzerі Av ve Lev(Ők határozzák meg a gömb átmérőjét), a két „belső” trikutniknak 6 csúcsa van, hasonlóan az Ábrahám próféciájában szereplő „vágott kos” feléhez, valamint 6 felezőpontja a két nagy oldalának. trikutnik, hasonló a „rossi” „Chenoy kecske” feléhez. Úgy tűnik, az összes többi pont a gömb határain kívül található.

Az előző megjegyzéshez hasonlóan itt is bemutatjuk a derékszögű koordinátarendszert, ahol minden z alulról felfelé halad át a tetraéderek csúcsain Av ve Levі yetzer a Yeretzі Sámán h=(2 / 3) 0,5 a

Böngésző frissítés

Helló O- a Shekhini gömb középpontja, J yetzer ABC- a felső (kisebb) trikutnik a retina. Sebességváltásra van szükség, hogy felkeljünk | O.J.| régi épületek | O.A.| (Nyilvánvalóan | O.A.|=|O.B.|=|O.C.|).

Helló d- állj fel a csúcsra A ABC, Egyébként látszólag a tengelyhez z; Helló w- állj a pont elé O Milyen messze van a központ? todi | O.A.| 2 = d 2 + w 2 .

Tricutum oldala ABCősibb a/ 2, akkor mi van d = a√3 / 6. Az előző megjegyzésből tudjuk, hogy a terület ABC oszd el a tetraéder magasságát teljesen, és állj fel | O.J.| = 3 / 8 h(A gömb sugara). jelenti, w = 1 / 8 h.

Ilyen módon

|O.A.| 2 = d 2 + w 2 = 3 / 36 a 2 + 1/64 2/3 a 2 = (1 / 12 + 1 / 96) a 2 = 3 / 32 a 2 .

Másrészt | O.J.| 2 = 9/64 2/3 a 2 = 3 / 32 a 2. Otje, | O.A. = |O.B.| = |O.C.| = |O.J.|.

Helló L, M, N- az alsó (nagyobb) kötött darab oldalainak közepére, d"- álljon bármelyikük elé a trikutnik közepéig (ugyanaz a központ LMN), Tobto a tengelyhez z, Gyerünk w"- állj a pont elé O melyik központba? todi | OL| 2 = d" 2 + w" 2. Ez a háromhártya a magasság 1/6-ával a felső alatt van, úgyhogy w" = w + 1 / 6 h= 7/3 8 h. Azt is könnyű tudni d" = a√3 /9.

támogatás:

|OL| 2 = d" 2 + w" 2 = 1 / 27 a 2 + 49 / 3² 64 2/3 a 2 = (1/27 + 49/27 32) a 2 = 81/27 32 a 2 = 3 / 32 a 2 .

Ez ugyanaz, ugyanaz, | OL = |OM| = |TOVÁBB| = |O.J.|.

Mutassuk meg, hogy a teremtés 8. napján a Shekhini szféra felszínén, a Krím-félszigeten yetzerі Av ve Lev(Állítják a gömb átmérőjét), két nagy háromrészes nadrágnak 6 csúcsa van, hasonlóak az Ábrahám-prófécia „kivágott kecske” feléhez. Úgy tűnik, a pont egy része (a szék alsó részén, zöld színnel jelölt) a gömb közepén található, egy része pedig a Shekhina gömb határain kívül.

Az előző megjegyzésekhez hasonlóan itt is bemutatjuk a derékszögű koordinátarendszert, ahol minden z alulról felfelé halad át a tetraéderek csúcsain Av ve Levі yetzer(Én nyilván a bázisuk központjain keresztül). jelentős a dovzhinu rib skin z tetraers Yeretzі Sámán; Akkor a magasságuk azonos lesz h=(2 / 3) 0,5 a. A középpontban az alsó tetraéder áll (a felsőnél pontosan ugyanaz a helyzet).

Böngésző frissítés

hadd hívjalak O- a Shekhini gömb középpontja, J- a tetraéder felső csúcsa (pont yetzer, Mi rejlik a jelentések mögötti szférán), ABC- az alsó (nagyobb) trikutnik keresztmetszetű. Sebességváltásra van szükség, hogy felkeljünk | O.J.| régi épületek | O.A.|.

Helló d- állj fel a csúcsra A Kifeszítem a keresztlécet a trikutnik közepéig ABC, Egyébként látszólag a tengelyhez z; Helló w- állj a pont elé O Milyen messze van a központ? todi | O.A.| 2 = d 2 + w 2 .

Tricutum oldala ABC drágább 2/3 a, és akkor mi van d = 2a√3 / 9. Korábbi megjegyzésekből tudjuk, hogy a vastagság ABC oszd el a tetraéder magasságát 1:3 arányban, és emelkedj | O.J.| = 1 / 2 h(A gömb sugara). jelenti, w = 1 / 6 h.

Ilyen módon

|O.A.| 2 = d 2 + w 2 = 4 / 27 a 2 + 1/36 2/3 a 2 = (4 / 27 + 1 / 54) a 2 = 1 / 6 a 2 .

Másrészt | O.J.| 2 = 1/4 2/3 a 2 = 1 / 6 a 2. Otje, | O.A. = |O.B.| = |O.C.| = |O.J.|.

A teremtés 9. napján a Shekhini szféra felszínén, a Krím-félszigeten yetzerі Av ve Lev(A gömb átmérőjének beállításához) a tetraéderek oldalain 12 közbenső pont található. A legtöbb pont (a szék alsó részén zöld színnel jelölve) a gömb közepén található, és a tetraédereknek csak 6 csúcsa található a Shekhini gömb határain kívül.

Böngésző frissítés

Szék tengelye az alsó tetraéderhez. A bizonyítás pontosan ugyanúgy elvégezhető, mint a 7. és 8. napon, a Shekhini gömb új átmérője 7/6 h. Ezt jobbra kell olvasnunk.

Vessünk egy pillantást az ABC háromszögre és a D pontra, hogy ne ennek a tricubenak a laposságában feküdjön. Úgy kapcsoljuk össze, hogy a pontot az ABC háromszög csúcsaival levágjuk. Ennek eredményeként az ADC, CDB, ABD triculumok eltávolításra kerülnek. A felszínt négy háromkután szerkezet veszi körül: ABC, ADC, CDB és ABD, amelyet tetraédernek neveznek és DABC-nek neveznek.
Azokat a trikulumokat, amelyekből a tetraéderek képződnek, arcának nevezzük.
Ezeknek a hártyáknak az oldalait a tetraéder éleinek nevezzük. A csúcsaik pedig egy tetraéder csúcsai

tetraéder 4 arc, 6 bordaі 4 csúcs.
Két olyan bordát, amelyek nem érintik az oldalsó csúcsokat, protidalnak nevezzük.
Leggyakrabban a könnyebb hivatkozás kedvéért a tetraéder egyik lapját hívják egy beállítással, És három oldala van egymás melletti oldalakkal.

Így a tetraéder a legegyszerűbb poliéder, amelynek lapjai háromszög alakúak.

Az is igaz és bizonyos, hogy a háromszínű piramis tetraéder. Az is igaz, hogy tetraédernek hívják piramis, melynek alapja a tricubitus.

tetraéder magassága vágásnak nevezzük, amely egy csúcsot összeköt a proximális lapra rajzolt és arra merőleges ponttal.
a tetraéder mediánja vágásnak nevezzük, amely összeköti a csúcsot a meghosszabbítási felület mediánjainak keresztpontjával.
Bimedián tetraéder a tetraéder metsző éleinek közepét összekötő szakaszt nevezzük.

Mivel a tetraéder egy háromrészes alappal rendelkező piramis, így bármely tetraéder megmagyarázható a képlettel

• S- bármely él területe,
• H- magasság, a qiu széléig süllyesztve

Szabályos tetraéder – a tetraéder privát típusa

Egy tetraédert, amelynek minden lapja egyenlő oldalú, tricubitumnak nevezzük helyes.
Szabályos tetraéder hatványa:

• Minden oldal egyenlő.
• A szabályos tetraéder minden lapos része 60 ° -kal egyenlő
• Mivel a bőrcsúcs három szabályos tricuputae csúcsa, ezért a lapos bőr és a bőrcsúcs összege 180°.
• Ha egy szabályos tetraéder csúcsát a protidal lap ortocentrumába (a tricutan magasságok keresztezésének pontjába) vetítjük.

Adhatunk-e egy szabályos ABCD tetraédert egyenlő élekkel a. DH – Yogo Visota.
További részleteket adunk hozzá: BM - az ABC tricube magassága és DM - az ACD tricube magassága.
Magasság BM régi BM és régi
Vessünk egy pillantást a BDM tetraéderre vagy DH-ra, amely a tetraéder magassága és ennek a tetraédernek a magassága.
Az MB oldalra süllyesztett tricutule magasságát a képlet kiszámításával találhatjuk meg

, de
BM=, DM=, BD=a,
p = 1/2 (BM + BD + DM) =
Helyettesítse a ci értékeket a magassági képletben. kivehető


Vinesemo 1/2a. eltávolítható

Állítsuk fel a négyzetek különbségének képletét

Kisebb változtatások után törölhető


Bármely tetraéder ötlete elemezhető a képlet segítségével
,
de ,

Az értékek behelyettesítése után eltávolíthatjuk őket

Így működik a képlet egy szabályos tetraéderre

de a- tetraéder éle

Tetraéder számítása csúcsainak koordinátái alapján

Adjuk meg a tetraéder csúcsainak koordinátáit

A csúcsokból vektorokat rajzolunk,,.
Ezen vektorok bőrének koordinátáinak megtalálásához a vég koordinátáitól a cső koordinátáiig vesszük át. eltávolítható

Az egyenlő oldalú tetraédert tetraédernek nevezzük, minden lapja egyenlő. Az izoéder tetraéder azonosságának felfedéséhez a papírból egy kellően kerek trikettet veszünk, és eltávolítjuk a középvonalak mögül. Ekkor a három csúcs egy ponton összefolyik, és az oldalak felei összezáródnak, és a tetraéder oldaléleit alkotják.

(0) Az arcok egybevágóak.

(1) Metsző bordák párban.

(2) Háromszög alakú gerincek.

(3) A protidalis diéder cutis egyenlő.

(4) Két lapos kuta, amelyek az egyik szélén spiráloznak, síkság.

(5) A lapos kutívák összege a bőrcsúccsal 180°.

(6) Rozgorka-tetraéder - háromszögletű vagy paralelogramma.

(7) Paralepiped Orectum leírásai.

(8) A tetraédernek három szimmetriatengelye van.

(9) A metszőbordák keresztirányú merőlegesei párban

merőleges.

(10) A középvonalak páronként merőlegesek.

(11) A sík felületeinek kerülete.

(12) A sík felületeinek területei.

(13) A régió tetraéderének magasságai.

(14) Vágások, amelyek összekötik a csúcsokat a megnyúló lapok, a vonalak súlypontjaival.

(15) A folyó közeli oldalainak leírásának sugarai.

(16) A tetraéder súlypontja megközelíti a leírt gömb középpontját.

(17) A súlypont megközelíti a beírt gömb középpontját.

(18) A leírt gömb középpontja megközelíti a beírt gömb középpontját.

(19) Egy gömb 100 lappal van felírva a leírásaik középpontjába.

arcok kіl.

(20) Külső egyszeres normálisok összege (egy vektorok,

az arcokra merőlegesen), nullára.

(21) Az összes diéder összege nulla.

Az izoéder tetraéder szinte minden hatványa belőle folyik

Ez azt jelenti, hogy csak néhány cselekedet kerül napvilágra belőlük.

Bizonyítás (16).

Tetraéder töredékek ABCD egyenlő oldalú, akkor a hatvány szerint (1) AB = CD. menjünk teljesen Előtt videó AB, Egy pont L a vágás közepén DC, Videók a videóból KL bimedián tetraéder ABCD, A tetraédernyom mediánjainak tekintélyeinek jelei, mi a lényeg Ról ről- a vágás közepe KL, a tetraéder súlypontja ABCD.

Addig a tetraéder mediánjai pontosan a vaga közepén tolódnak el Ról ről, És oszd el ezt a pontot 3:1 arányban, felülről emelkedve. Továbbá az elhangzottakat és az izoéderes tetraéder (14) erejét nézve nyilvánvaló a szakaszok féltékenységének kezdete. AT = VO = CO = DO, Mi a nyom, mi a lényeg Ról rőlє a leírt gömb középpontja (a leírt gömb határain túl).

Vissza. Helló Előttі L- bordák közepe ABі CD nyilván, pont Ról ről- a tetraéder leírt gömbjének középpontja, amely a metszet közepe KL. Oskolki Ról ről- a tetraéder leírt gömbjének középpontja, majd a trikután AOBі TŐKEHAL.- egyenlő szárú, egyenlő oldalú és egyenlő mediánnal rendbenі OL. Tom IGEN=ДCOD. Ami azt jelenti AB = CD. Hasonló módon határozzuk meg a többi lehajló bordapár egyenlőségét, amelyből az (1) izoéder tetraéder hatványa szerint a shukane következik.

Bizonyítás (17).

Vessünk egy pillantást a peremre vágott diéder felezőpontjára AB, Ossza el a DC szakaszokat az élek területe szerint ABDі ABC.

Tetraéder töredékek ABCD egyenlő oldalú, majd a hatványhoz (12) S IgenABD = S IgenABD => DL = LC, A csillagok felezőként ragyognak ABLálljon bosszút a bimedián KL. Ugyanez igaz a többi diédermetszetre is, és figyelembe véve azt a tényt, hogy a tetraéder felezői egy pontban metszik egymást, ami a beírt gömb középpontja, egyértelmű, hogy ez a pont lesz elkerülhetetlenül ennek a pontnak a súlypontja. izoéder tetraéder.

Vissza. Mivel a vaga középpontját és a beírt gömb középpontját a támadás elkerüli: DL = LC => SABD = SADC. Ha hasonló módon demonstráljuk az összes lap egyenlő méretét, valamint egy izoéderes tetraéder stagnálását és teljesítményét (12), eltávolítjuk az adatokat.

Most hozzuk a hatalmat (20). Ehhez szükséges egy elegendő tetraéder hatványát hozni.

tetraédertétel iskolai kézikönyv

Mivel a tetraéder lapjaira merőleges vektorok többsége numerikusan megegyezik ugyanazon lapok területével, ezért ezeknek a vektoroknak az összege nulla.

Befejezett.

Helló x- a gazdagéder belső i pontja, h én (I = 1,2,3,4)- álljon előtte a szintig én- oh határok.

Vágjuk a richaédert csúcsos piramisra x, Az alapok, amelyek ezt a határt szolgálják. tetraéder V ezen piramisok kötelezettségeinek legnagyobb összege, akkor 3 V=? H én S én, de S én terület én- oh határok. Hadd menjen, n én- az i-edik határ külső normálisának egyetlen vektora, M i - ennek a határnak a megfelelő pontja. akkor h én = (Хm én , S én n én ) , azt 3V =? H én S én =? (Xm én , S én n én ) = (XO, S én n én ) + (OM én , S én n én ) = (XO,? S én n én ) + 3V, de Ról ről- a tetraéder pontja rögzített, akkor ? S én n én =0 .

Nyilvánvaló továbbá, hogy az izoéder tetraéder hatványát (20) kerekíti a jelzett lemy, de megjelenése. S 1 = S 2 = S 3 = S 4 => N 1 = n 2 = n 3 = n 4 , És mivel a lapok síkjai nem egyenlőek nullával, levezetjük a helyes egyenlőséget n 1 + n 2 + n 3 + n 4 =0 .

Az izoéder tetraéderről szóló előadásunk végén beszéljünk egy kicsit erről a témáról.

A tetraéder középpontján és a leírt kerek gömb középpontján áthaladó egyenes vonal összefonja az éleket ABі CD. Hadd tudjam, mit AC = BDі AD = Kr. e.

A tetraéder közepe a bordák közepét összekötő egyenes vonalon fekszik ABі CD.

Ezért ezen az egyenesen fekszik a tetraéder leírt gömbjének középpontja, ami azt jelenti, hogy az élekre merőleges egyenest jelöltünk ki. ABі CD. Helló C`і D`- vetítési pontok Cі D egyenesen átjárható lakásba AB párhuzamosan CD. Oskolki AC`BD`- paralelogramma (z pobudovi), majd AC = BDі A D = Kr. e.

Helló h- izoéder tetraéder magassága, h 1 і h 2 - bevágások, amelyeknél a határ egyik magasságát elosztjuk az adott határ magasságának keresztpontjával. Hozd fel h 2 = 4 óra 1 h 2 ; Arra is ügyeljen, hogy a tetraéder magasságának alapja és a határmagasságok keresztrúdjának pontja, ahol ezt a magasságot leengedjük, szimmetrikus legyen a határ körül leírt karó középpontjával.

Befejezett.

Helló ABCD- Dánium-tetraéder, D.H.- jógo magasság, D.A. 1 , D V 1 , DC 1 - az arcok magassága felülről leengedve D oldalán BC, SA és AB.

Vágjuk fel a bordák kantárjainak tetraéderének felületét DA, DB, DC, összetöröm a rozettát. Magától értetődően Nє a trikután magasságú keresztszár pontja D 1 D 2 D 3 . Helló F- a tricutan magasságú keresztszár pontja ABC, AK- ennek a trükknek a magassága, АF = h 1 , FC = h 2 . akkor D 1 H = 2 óra 1 , D 1 A 1 = h 1 -h 2 .

Szóval a töredékek h- tetraéderünk magassága, h 2 = DН 2 =DA 2 -NA 1 2 = (H 1+ h 2 ) 2 - (h 1 -h 2 ) 2 = 4 óra 1 h 2. menjünk most M- a vaga tricutaneum közepe ABC(Ez a tricutan véna közepe D 1 D 2 D 3 ), Ról ről- a leírt tét középpontja. Vidomo F, Mі Ról ről ugyanazon az egyenesen (Euler-egyenes), és M- között Fі Ról ről, FM=2MO, Másrészt trikutnik D 1 D 2 D 3 homotetikustól tricutitig ABC középre helyezve Més együttható (-2), ami azt jelenti MH = 2FM. Miért gyere ki? VIN = FO.

Állítsuk be, hogy egy izoéderes tetraéderben a magasságok, a magasságok felezőpontjai és a lapok magassági keresztlécének pontjai egy gömb felületén fekszenek (a gömb 12 pont).

Befejezett.

A 2. fő feladatban arra a következtetésre jutottunk, hogy a tetraéderen leírt gömb középpontja a vágás közepén a bőrélre vetül, a magasság végeit erre az élre engedjük, a keresztmagasság pontja pedig ezt a határt. És a töredékek a tetraéder körül leírt gömb középpontjából a határig emelkednek, ahol h- a tetraéder magassága, a leírt gömb középpontja ezektől a pontoktól a távolságig, ahol A- álljon a magasságok keresztlécének pontja és a határ körül leírt karó közepe közé.