Тема урока
бісектриса кута
Мета уроку
Поповнити знання школярів про бісектрисі кута і її властивості;
Ознайомити з новою інформацією про бісектрисі кута;
Розширити знання учнів про те, що теорему про властивості бісектриси можна доводити різними способами;
Розвивати логічне мислення, інтерес до математичних наук, наполегливість і здатність до аналізу.
завдання уроку
Розширити знання учнів про бісектрисі кута;
Закріпити навички побудови бісектриси кута за допомогою креслярських інструментів;
Отримати додаткові і цікаві відомості з даної теми;
Дати відомості про значення теореми в розвитку математики;
Закріпити отримані знання шляхом вирішення завдань;
Виховувати посидючість, допитливість і бажання вивчати математичні науки.
план уроку
1. Розкриття головної теми уроку про бісектрисі кута;
2. Повторення пройденого матеріалу;
3. Цікава інформація про бісектрисі.
4. Історична довідка, Грецька геометрія.
5. Домашнє завдання.
бісектриса кута
Сьогоднішній урок ми з вами присвятимо темі бісектриси. Давайте згадаємо визначення бісектриси.
Биссектрисой є геометричне місце точок, рівновіддалене від сторін кута.
Якщо говорити простіше, то бісектриса - це лінія, що розділяє кут навпіл.
Биссектрисой кута - промінь, що виходить з вершини кута і ділить його на два інших рівних кута.
Слово «бісектриса» в перекладі з французької мовипозначає, як надвоє розсікає або равноделящих кут навпіл.
бісектриса трикутника
Крім бісектриси кута ще буває бісектриса трикутника, адже трикутник містить цілих три кути, відповідно кожен трикутник може мати три різних бісектриси.
Що ж таке бісектриса трикутника? Бісектриса трикутника є відрізком бісектриси кута, що з'єднує в трикутнику його вершину з точкою на протилежній стороні.
Бісектриса трикутник має певні унікальні властивості. Так, наприклад, вона розділяє протилежну сторону на відрізки, які являють пропорційними іншим двом сторонам.
Що стосується прямокутного трикутника, То його бісектриси саме гострих кутів, коли перетинаються, утворюють кут саме в 45 градусів.
До того ж, не варто забувати і таку властивість биссектрис трикутника, як то, що перетинаються вони строго в центрі вписаного в трикутник кола.
Ну а найцікавіше те, що для рівнобедреного трикутникалінія, яка проведена до основи, буде і бісектрисою, і медіаною, і висотою. Відповідно і зворотне правило, що якщо медіана, висота і бісектриса, яке проведено з однієї вершини трикутника, збігаються, то перед нами трикутник.
А які ви можете згадати властивості прямокутного і рівнобедреного трикутника?
побудова бісектриси
Бісектрису кута будується за допомогою транспортира, при использовния його градусної міри. Щоб приступити до побудови бісектриси, ми беремо і ділимо градусну міру навпіл і, відклавши на одній стороні вершини градусну міру половинного кута, і тоді друга половина стає биссектрисой заданого кута.
Беремо заданий кут, який має градусну міру в дев'яносто градусів, і за допомогою бісектриси отримуємо два побудованих кута по 45 градусів.
Розгорнутий кут за допомогою бісектриси поділяє кут на 2 прямих кута. Тупий же кут при побудові бісектриси поділяє його на 2 гострих кута.
З визначення бісектриси нам відомо, що вона є променем, що розділяє кут навпіл. Щоб побудувати бісектрису, значить, потрібно кут розділити навпіл.
Алгоритм побудови бісектриси кута
1. Спочатку креслимо коло з центром у вершині кута таким чином, щоб вона перетинала його боку.
3. Креслимо 2 кола радіусом так, щоб вони мали точку перетину всередині цього кута.
4. Тепер проводимо з вершини кута промінь таким методом, щоб він проходив через точку перетину цих кіл. Цей промінь і є бісектрисою даного кута.
А тепер давайте спробуємо довести, що отриманий промінь є бісектрисою цього кута. Візьмемо на прикладі двох трикутників, у яких одна сторона спільна, тобто відрізок від вершини до точки перетину кіл, яку ми отримали в 3п.
2-я пара відповідних сторін - це отримані в 1п., Відрізки, які йдуть від вершини кута до точок перетину кола з його сторонами.
Третя пара відповідних сторін - це відповідно відрізки, отримані в 1п. від точок перетину кола, до точки перетину кіл, але отриманих в 3п.
Отже, 2 пари даних відрізків рівні, оскільки є радіусами однієї або двох кіл, але з однаковим радіусом. Звідси випливає, що за всіма трьома сторонами трикутники рівні. Відомо, що коли трикутники рівні, то рівні і їх кути. Тому при вершині два нових кута і даних кута за умовою задачі рівні, отже, що побудований промінь буде бісектрисою.
Цікава інформація про бісектрисі
Чи знали ви, що існує така наука, яка називається мнемоніка, що в перекладі з грецької мови означає мистецтво запам'ятовування. І щоб краще запам'ятати визначення бісектриси існує таке мнемонічне правило, за яким бісектриса - це щур, яка бігає по кутах і ділить кут навпіл.
Чи відомо вам, що ще Архімед використовував теорему про бісектрисі. Він її застосовував для поділу підстави на частини, які пропорційні бічних сторонах з метою визначення довжини підлозі сторін дванадцяти кутника, 24-кутника і т. Д.
Легенда про бісектрисі кута
Казка про двох Кутах і бісектриси, або Освіта суміжних кута.
Одного разу два кута зустрілися на одній площі. Старшому кутку було близько 130 градусів, а молодшому всього п'ятдесят. Так як це казка, то замінимо роки на градуси. Ось вони зустрілися і почали сперечатися, хто з них краще і важливіше. Старший вважав, що пріоритет на його стороні, так як він старший, мудріший і більше на своєму віку бачив за свої 130 °. Молодший навпаки твердив, що він молодший, тому сильніше і витривалішими. І щоб спір не тривав вічність, вони прийняли рішення провести турнір. Про ці змаганнях дізналася Бісектриса і вирішила перемогти своїх ворогів одночасно і очолити Геометрія.
І ось настав довгоочікуваний час турніру, на якому було 2 Кута. У момент повного розпалу битв з'явилася Бісектриса і вирішила взяти участь. Але тут в бій з Биссектрисой вступив спочатку старший Кут, потім підтягнувся і молодший, і перемога все одно виявилася на стороні бісектриси.
Усередині кута, рівновіддалених від сторін кута.
мнемонічне правило
Бісектриса - це щур, яка бігає по кутах і ділить кут навпіл.
Полегшує запам'ятовування формулювання. Найчастіше вживається дітьми.
Wikimedia Foundation. 2010 року.
Синоніми:- Словник термінів планіметрії
- вписана окружність
Дивитися що таке "Бісектриса" в інших словниках:
бісектриса- и, ж. bissectrice f. матем. Пряма лінія, що проходить через вершину кута і ділить її навпіл. БАС 2. Креслити бісектрису. Васюкова 1999. Бісектриса це такий пацюк, яка бігає по кутах і ділить кут навпіл. 1994. Белянин. Лекс. Брокг. ... ... Історичний словник галліцізмов російської мови
бісектриса- математичка, лінія, пряма Словник російських синонімів. бісектриса ім., кол під синонімів: 3 лінія (182) ... Словник синонімів
Фабрика вікон та дверей- (від лат. Bis двічі і seco розсікаю) кута полупрямая (промінь), яка виходить із вершини кута і ділить його навпіл ... Великий Енциклопедичний словник
Фабрика вікон та дверей- [Ісі], бісектриси, дружин. (Від лат. Bissectrix січна поперек) (мат.). 1. У вугіллі пряма лінія, що ділить кут навпіл. 2. У трикутнику пряма лінія, проведена від якого-небудь кута до протилежної сторони і ділить цю сторону на частини, прямо ... ... Тлумачний словник Ушакова
Фабрика вікон та дверей- вікон та дверей, и, дружин. В математиці: промінь (в 3 знач.), Що виходить із вершини кута і ділить його навпіл. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 ... Тлумачний словник Ожегова
бісектриса- вікон та дверей, и, ж. Вчителька математики в школі. З шк ... Словник російської арго
бісектриса- - [А.С.Гольдберг. Англо російський енергетичний словник. 2006 г.] Тематики енергетика в цілому EN mean line ... Довідник технічного перекладача
Фабрика вікон та дверей- промінь, що виходить з вершини кута і ділить його навпіл; будь-яка точка Б. одно віддалена від сторін кута. Три Б. кутів трикутника перетинаються в одній очку центрі вписаною в трикутник кола ... Велика політехнічна енциклопедія
бісектриса- (фр. Bissectrice лат. Bis sectrix (bissectricis) надвоє розсікає) геом. промінь, що проходить через вершину кута в який ділив його навпіл. новий словникіноземних слів. by EdwART, 2009. бісектриса [Ісі], бісектриси, ж. [Від латин. bissectrix - ... ... Словник іншомовних слів російської мови
бісектриса- и; ж. [Франц. bissectrice від лат. bis двічі і secare розсікати] Матем. Луч, що виходить з вершини кута і ділить його навпіл. * * * Бісектриса (від лат. Bis двічі і seco розсікаю) кута, полупрямая (промінь), яка виходить із вершини кута і ділить його ... енциклопедичний словник
книги
- Бісектриса - це такий пацюк ..., Наталя Цитроновая. Перша книга автора - оповідання й есе про лихих дев'яностих роках ... Написано легко, з гумором, без кривавих і постільних сцен ...
бісектриса трикутника - відрізок бісектриси кута трикутника, укладений між вершиною трикутника і противолежащей їй стороною.
властивості бісектриси
1. Бісектриса трикутника ділить кут навпіл.
2. Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону щодо, рівному відношенню двох прилеглих сторін ()
3. Точки бісектриси кута трикутника рівновіддалені від сторін цього кута.
4. Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці - центрі вписаною в цей трикутник кола.
Деякі формули, пов'язані з бісектрисою трикутника
(Доказ формули -)
, де
- довжина бісектриси, проведеної до сторони,
- сторони трикутника проти вершин відповідно,
- довжини відрізків, на які бісектриса ділить сторону,
запрошую подивитися видеоурок, В якому демонструється застосування всіх зазначених вище властивостей бісектриси.
Завдання, що розглядаються у відеоролику:
1.В трикутнику АВС зі сторонами АВ = 2 см, ВС = 3 см, АС = 3 см проведена бісектриса ВМ. Знайти довжини відрізків АМ і МС
2. Бісектриса внутрішнього кута при вершині А і бісектриса зовнішнього кута при вершині С трикутника АВС перетинаються в точці М. Знайдіть кут BMC, якщо кут В дорівнює 40, кут С - 80 градусів
3. Знайти радіус кола, вписаного в трикутник, вважаючи боку квадратних клітин рівними 1 
Можливо, вам буде цікавий і невеликий видеоурок, де застосовується одна з властивостей бісектриси
Биссектрисой трикутника називається відрізок, який ділить кут трикутника на два рівних кута. Наприклад, якщо кут трикутника 120 0, то провівши бісектрису, ми побудуємо два кута по 60 0.
А так як в трикутнику є три кути, то можна провести три бісектриси. Всі вони мають одну точку заходу. Ця точка є центром кола, вписаного в трикутник. По-іншому цю точку перетину називають інцентром трикутника.
При перетині двох биссектрис внутрішнього і зовнішнього кута, виходить кут 90 0. зовнішній кутв трикутнику кут, суміжний з внутрішнім кутом трикутника.
Мал. 1. Трикутник, в якому проведено 3 бісектриси
Бісектриса ділить протилежну сторону на два відрізки, які мають зв'язок зі сторонами:
$$ (CL \ over (LB)) = (AC \ over (AB)) $$
Точки бісектриси рівновіддалені від сторін кута, це означає, що вони знаходяться на однаковій відстані від сторін кута. Тобто, якщо з будь-якої точки бісектриси опустити перпендикуляри на кожну зі сторін кута трикутника, то ці перпендикуляри дорівнюватимуть ..
Якщо з однієї вершини провести медіану, бісектрису і висоту, то медіана буде найдовшим відрізком, а висота найкоротшим.
Деякі властивості бісектриси
У певних видах трикутників, бісектриса має особливі властивості. В першу чергу це відноситься до рівнобедреного трикутника. Ця фігура має дві однакові бічні сторони, а третя називається підставою.
Якщо з вершини кута рівнобедреного трикутника провести бісектрису до основи, то вона буде мати властивості одночасно і висоти і медіани. Відповідно, довжина бісектриси збігається з довжиною медіани і висоти.
визначення:
- Висота- перпендикуляр, опущений з вершини трикутника до протилежної сторони ..
- медіана- відрізок, який з'єднує вершину трикутника і середину протилежної сторони.
Мал. 2. Бісектриса в трикутник
Це стосується і рівностороннього трикутника, тобто трикутника, в якому всі три сторони рівні.
приклад завдання
У трикутнику ABC: BR бісектриса, причому AB = 6 см, BC = 4 см, а RC = 2 см. Відняти довжину третьої сторони.
Мал. 3. Бісектриса в трикутнику
Рішення:
Бісектриса ділить сторону трикутника в певній пропорції. Скористаємося цією пропорцією і висловимо AR. Після знайдемо довжину третьої сторони як суму відрізків, на які цей бік поділила бісектриса.
- $ (AB \ over (BC)) = (AR \ over (RC)) $
- $ RC = (6 \ over (4)) * 2 = 3 см $
Тоді весь відрізок AC = RC + AR
AC = 3 + 2 = 5 см.
У трикутник бісектриса, проведена до основи, ділить трикутник на два рівних прямокутних трикутника.
Що ми дізналися?
Вивчивши тему бісектриси, ми дізналися, що вона ділить кут на два рівних кута. А якщо її провести в равнобедренном або рівнобічному трикутнику до основи, то вона буде мати властивості і медіани і висоти одночасно.
Тест по темі
оцінка статті
Середня оцінка: 4.2. Всього отримано оцінок: 157.
Геометрія - одна з найбільш складних і заплутаних наук. У ній те, що здається на перший погляд очевидним, дуже рідко виявляється правильним. Бісектриси, висоти, медіани, проекції, дотичні - величезна кількість дійсно непростих термінів, заплутатися в яких дуже легко.
Насправді при належному бажанні можна розібратися в теорії будь-якої складності. Коли справа заходить про бісектрисі, медіані і висоті, потрібно розуміти, що вони властиві не тільки трикутниках. На перший погляд це прості лінії, але у кожної з них є свої властивості і функції, знання яких суттєво спрощує вирішення геометричних задач. Отже, що ж таке бісектриса трикутника?
визначення
Сам термін "бісектриса" відбувається з поєднання латинських слів "два" і "січ", "різати", що вже побічно вказує на її властивості. Зазвичай, коли дітей знайомлять з цим променем, їм пропонується для запам'ятовування коротенька фраза: «Бісектриса - це щур, яка бігає по кутах і ділить кут навпіл». Природно, таке пояснення не підійде для школярів старшого віку, до того ж у них зазвичай запитують не про вугіллі, а про геометричній фігурі. Так що бісектриса трикутника - це промінь, який з'єднує вершину трикутника з протилежною стороною, при цьому розділяючи кут на дві рівні частини. Точка протилежного боку, в яку приходить бісектриса, для довільного трикутника вибирається випадковим чином.
Базові функції і властивості
Основних властивостей у цього променя небагато. По-перше, через те, що бісектриса трикутника ділить кут навпіл, будь-яка точка, що лежить на ній, буде знаходитися на рівній відстані від сторін, що утворюють вершину. По-друге, в кожному трикутнику можна провести три бісектриси, по числу наявних кутів (отже, в тому ж чотирикутнику їх буде вже чотири і так далі). Точка, в якій всі три промені перетнуться, є центром кола, вписаного в трикутник.
властивості ускладнюються
Трохи ускладнити теорію. Ще одна цікава властивість: бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, відношення яких дорівнює відношенню утворюють вершину сторін. На перший погляд це складно, але насправді все просто: на запропонованому малюнку RL: LQ = PR: PK. До речі, ця властивість отримало назву "Теорема про бісектрисі" і вперше з'явилося ще в роботах давньогрецького математика Евкліда. Згадали його в одному з російських підручників тільки в першій чверті сімнадцятого століття.
Ще трохи складніше. У чотирикутнику бісектриса відсікає трикутник. На цьому малюнку позначені всі рівні кути для медіани AF.
А ще в чотирикутнику і трапеції бісектриси односторонніх кутів перпендикулярні один одному. На представленому кресленні кут APB становить 90 градусів.
У трикутник
Бісектриса рівнобедреного трикутника - набагато більш корисний промінь. Вона одночасно є не тільки делителем кута навпіл, але і медіаною, і висотою.
Медіана - це відрізок, який виходить з якогось кута і падає на середину протилежної сторони, розділяючи її тим самим на рівні частини. Висота - це перпендикуляр, опущений з вершини на протилежну сторону, саме з її допомогою будь-яке завдання можна звести до простої і примітивної теоремі Піфагора. У даній ситуації бісектриса трикутника дорівнює кореню з різниці квадрата гіпотенузи й іншого катета. До речі, саме ця властивість зустрічається в геометричних задачах найчастіше.
Для закріплення: в даному трикутнику бісектриса FB є медіаною (AB = BC) і висотою (кути FBC і FBA складають 90 градусів).
В загальних рисах
Отже, що ж потрібно запам'ятати? Бісектриса трикутника - це промінь, який ділить його вершину навпіл. На перетині трьох променів знаходиться центр кола, вписаного в даний трикутник (єдиний мінус цієї властивості в тому, що воно не має практичної цінності і служить тільки для грамотного виконання креслення). Вона ж ділить протилежну сторону на відрізки, відношення яких дорівнює відношенню сторін, між якими пройшов цей промінь. У чотирикутнику властивості трохи ускладнюються, але, зізнатися, вони практично не зустрічаються в задачах шкільного рівня, тому зазвичай не зачіпаються в програмі.
Бісектриса рівнобедреного трикутника - межа мріянь будь-якого школяра. Вона одночасно є і медіаною (тобто ділить протилежну сторону навпіл), і висотою (перпендикулярна цій стороні). Рішення задач з такою биссектрисой зводиться до теореми Піфагора.
Знання базових функцій бісектриси, а також основних її властивостей необхідно для вирішення геометричних задач як середнього, так і високого рівня складності. Насправді зустрічається цей промінь тільки в планіметрії, так що не можна говорити про те, що зазубрювання інформації про нього дозволить справлятися з усіма типами завдань.
