このようなベクトル空間に似ています。 最初の金額は週末のこの統計から取得されます。
N(\表示スタイル n)-世界のユークリッド空間が指定されています E n, (\displaystyle \mathbb (E)^(n),)この指定は、別の意味で使用されることもよくあります (文脈から、広がりがユークリッド構造を持っていることが明らかなため)。
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✪ 04 - 線形代数。 ユークリッド空間
✪ 非ユークリッド幾何学。 ペルシャの一部。
✪ 非ユークリッド幾何学。 友人の一部
✪ 01 - 線形代数。 線形(ベクトル)空間
✪ 8. ユークリッド空間
字幕
正式に指定された
ユークリッド空間を定義するには、スカラー作成の基本概念を考慮するのが最も簡単です。 ユークリッド ベクトル空間は、実数のフィールド上の有限次元ベクトル空間として定義され、そのベクトル上で実数値関数が指定されます。 (⋅, ⋅), (\displaystyle (\cdot,\cdot),) Volodya は前進する 3 つの当局に対して何を行っているか:
ユークリッド空間の尻 - 座標空間 R n, (\displaystyle \mathbb (R)^(n),)実数のさまざまなタプルで構成されているもの (X 1, x 2, ..., x n), (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots,x_(n)),)次の式で示されるスカラー加算 (X, y) = Σ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n。 (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots + x_(n) y_(n)。)
ドヴジニ・イ・クティ
ユークリッド空間で与えられるスカラー創造は、dovzhin と kut の幾何学的概念を導入するのに十分です。 ドブジナベクトル u (\displaystyle u)として示される (U, u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))そして示されている | あなた | 。 (\displaystyle |u|.)スカラーの正の値は、非ゼロ ベクトルの値が非ゼロであることを保証し、双線形トレースは次のようになります。 | う | = | | | あなた | , (\displaystyle |au |=|a ||u|,)その場合、比例ベクトルの大部分は比例します。
ベクトル間をカットする u (\displaystyle u)і v (\displaystyle v)式で示される φ = arccos ((x, y) | x | | y |)。 (\displaystyle \varphi =\arccos \left ((\frac ((x, y)) (| x || y |)) \ right)。コサイン定理から、2 次元ユークリッド空間 ( ユークリッド平面) 約束が与えられた最も基本的なものを避けるべき場所。 直交ベクトルは、3 次元空間内のベクトルと同様に、それらの間のベクトルとして定義できます。 π 2. (\displaystyle (\frac (\pi) (2)).)
コーシー、ブニャコフスキー、シュワルツの緊張と三皮筋の緊張
この重要な場所で、一つの隙間が失われています。 arccos ((x, y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left ((\frac ((x, y)) (| x || y |))\right))つまり不平等をなくす必要がある | (X, y) | × | | y | | ⩽ 1. (\displaystyle \left | (\frac ((x, y)) (| x || y |)) \right | \leqslant 1.)この不等式は、実質的にかなりユークリッド空間で表現され、コーシー-ブニャコフスキー-シュワルツの不等式と呼ばれます。 この凹凸は、三皮の凹凸の痕跡です。 | u + v | ⩽ | あなた | + | v | 。 (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|)三皮の不安は、ドージン当局の過剰保険と相まって、ベクトルのドージンがユークリッドベクトル空間における標準であり、関数 d(x, y) = | x - y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)ユークリッド空間上の計量空間の構造を定義します（この関数をユークリッド計量と呼びます）。 ゾクレマ、要素（点）の間に立つ x (\表示スタイル x)і y (\表示スタイル y)座標空間 R n (\displaystyle \mathbb (R)^(n))は次の式で与えられます d (x, y) = ‖ x - y ‖ = Σ i = 1 n (x i - y i) 2. (\displaystyle d(\mathbf (x),\mathbf (y))=\ | \mathbf (x) -\mathbf(y)\|=(\sqrt(\sum_(i=1)^(n)(x_(i)-y_(i))^(2)).)
代数の権威
正規直交基底
空間とオペレーターをつなぐ
ベベクトル x (\表示スタイル x)ユークリッド空間は線形関数によって定義されます。 x * (\displaystyle x^(*))として指定されるどの空間にあるのか x * (y) = (x, y)。 (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y)。)この合成は、ユークリッド空間と
ユークリッド空間
T.A. ヴォルコバ、T.P. クニシュ。
私は二次形式
ユークリッド空間
セントピーターズバーグ
査読者: 技術科学候補者、Shkadova A.R. 准教授
ユークリッド空間と二次形式: 講義ノート。 - サンクトペテルブルク: SPGUVK、2012 - z。
他学部学生向け講義ノート010400.62「応用数学とコンピュータサイエンス」、学部1年生向け講義ノート090900.62「情報セキュリティ」。
方向010400.62の分野「幾何学と代数」のセクションの1つと、方向090900.62の分野「代数と幾何学」のセクションの1つに新しい講義ノートを配置する可能性があります。 主任Pos_bnik分野の作業プログラム、指定された専門分野の基準に対応しており、学生の試験対策や寄稿にも活用できます。
© サンクトペテルブルク州
水通信大学、2012 年
幾何学的に収束する物体のパワーの豊富さは、刃先と直線間の領域の間での消滅の可能性と密接に関係しています。 線形空間ではまだそのような絶滅を引き起こすことができず、その結果としてその領域は停滞しています。 舞台裏の理論幾何学や他の多くの数学的分野への線形展開は非常に重要です。 これは単純な構造ではありませんが、2 つのベクトルのスカラー加算の概念を導入するために導入できます。 あなた自身に関しては、行動のための直線的で平和な空間を作りましょう。 ベクトルのスキンペアのタイプ、実際の番号、番号の名前を入れます。 スカラーの作成今後のメリットに満足しているため、ベクトル i を作成します。
1. (交換法則).
3. あらゆる行動に対して.
4. ゼロ以外のベクトルに対して.
スカラー式には適切な名前が付けられています 2 つのベクトル引数の数値関数, I.E. 関数、その意味は数字の本質です。 したがって、このようなベクトル引数の数値関数をスカラー作成、つまり可能な 1 ～ 4 を満たす引数の任意の値に対する任意のアクションの値と呼ぶことができます。
アクション 線形空間, スカラー tvir はどのような意味で呼ばれますか ユークリッドそしてスルーして登場します。
ユークリッド空間では、任意のベクトルに対するゼロ ベクトルのスカラー立体がゼロに等しいことが重要です。 効果的であり、3 の力によるものです。敬意を表して、私たちはそれを否定します。 ズヴィツィ、ゾクレマ、。
1. Nehai - 点に隠れた穂軸を持つ幾何学的ベクトルの基本的に自明な広がり。 で 解析幾何学このような 2 つのベクトルのスカラー積は実際の数と呼ばれ、i は 2 つのベクトル i とベクトル間の値に等しく、どの数について 1 ～ 4 のすべての可能性が満たされるかが結論付けられます。
このようにして、スカラー作成の概念を、幾何学的ベクトルのスカラー作成というより形式化された概念に導入しました。
2. 有効な座標を持つワールド行の空間を見て、各ペアとそのようなベクトル行の外観を有効な数で設定しましょう
この数値について、可能性 1 ～ 4 がすべて満たされていることを確認するのは簡単です。
そして同様に。 探し出す、
したがって、少なくとも、数値の 1 つは明らかにゼロを上回っています。
この数値は行 i のベクトルのスカラー作成であり、そのようなスカラー積を導入した後、空間はユークリッドになることに注意してください。
3. - 直線的な行動 - 平和な空間、そして - この基礎をしましょう。 ベクトルのスキンペアのタイプ、有効な数を設定します。 次に、空間はユークリッドに変わります。つまり、数値はベクトル i のスカラー作成になります。 真実：
他の方法で空間をユークリッドに変換することは可能です。たとえば、ベクトルのペアを表面上に置くことができます。
そして、そのような数については、スカラー固体を特徴付けるすべての可能性 1 ～ 4 が満たされると信じるのは簡単です。 ここで（同じ基底で）異なる数値関数を定義した場合、異なる「測度決定」を伴う異なるユークリッド空間が現れます。
4. 嫉妬によって決定される数値関数を見てみましょう。 結果 4 が破棄されるため、この関数はもはやスカラー作成ではありません。ベクトルが古い場合、 a. ティム自身、ここではユークリッドの広がりから逃れることはできません。
スカラー作成の値に含まれる 2 と 3 を使用すると、次の式を簡単に導き出すことができます。
はい、ベクトルの 2 つの完全なシステムです。 Zvidsi、zokrema、ベクトルの任意のペアに対して十分な基底 i で終了します。
で。 式(1)の右辺の式は多項式であり、次のように呼ばれます。 双一次形式 vіdi（皮膚їїメンバーє線形、その後の最初の段階、同様に）。 双一次形式は次のように呼ばれます。 対称的な, 表皮係数に関しては、精神的な対称性が関係します。 このような形で スカラーテレビル 十分な根拠に基づいて ベクトル座標に関して双一次対称形式で表現されます。 , アクティブな係数を使用した場合。 アレックはまだ足りない。 そして私たちは熱意からそれを丁重に拒否します (1)。
学校でも、すべての生徒は「ユークリッド幾何学」の概念に精通しています。その主な規定は、点、平面、直線、角度などの幾何学要素に螺旋を描くいくつかの公理に焦点を当てています。 すべての音が一緒になって、「ユークリッド空間」という用語で長い間知られている音を形成します。
ユークリッドはスカラー乗算ベクトルの仮定に基づいており、多くの可能性を満たす線形 (アフィン) 空間によって補完されます。 まず第一に、ベクトルのスカラー加算は完全に対称であるため、座標 (x; y) のベクトルは座標 (y; x) のベクトルと同一ですが、直線のすぐ後ろにあります。
それ以外の場合、この場合、ベクトルのスカラー テストがそれ自体で実行されると、結果は肯定的になります。 唯一の問題は、ベクトルの穂軸と尾部の座標がゼロに等しいことです。この場合、同じ値はゼロに等しいです。
第三に、スカラー作成には分配性があるため、座標の 1 つを 2 つの値の合計に拡張することができます。これにより、ベクトルのスカラー倍算の部分和の結果は変化しません。 4 番目に、ベクトルを 1 倍にすると、スカラー加算も同じ倍に増加することがわかります。
この場合、すべてが頂点に達するので、私たちの前にはユークリッドの広がりがあると誇らしげに言うことができます。
実用的な観点から見たユークリッド空間は、特定の特徴によって特徴付けることができます。
- 最も単純な結果は、幾何学とスカラー作成の基本法則に基づいたベクトルの非人格性の暴露です。
- ユークリッド空間はこのように表示されます。ベクトルの下で、実数のスカラー和または立体を記述する特定の式から、実数の最終的な不変性が理解されるからです。
- 両方のベクトルのスカラー和はゼロに等しいため、ユークリッド空間をゼロ空間としてトレースにラベルを付けます。
ユークリッドの広がりは比累乗がまったく低いです。 まず第一に、スカラー乗数は、スカラー作成の最初の要素と別の要素の両方からアームによって取得でき、その結果は変更を必要としません。 言い換えれば、スカラー作成の最初の分配要素の順序は、他の要素の分配性に等しいです。 また、ベクトルのスカラー和だけでなく、ベクトルの分布と同時に分布も起こります。 第三に、ベクトルにゼロをスカラー乗算すると、結果もゼロになることを確認します。
したがって、ユークリッド空間は最も重要な幾何学的概念であり、スカラー立体など、どの概念が使用されるかを特徴付けるために、ベクトルの相互回転の問題を同じ方法で解決する際に使用されます。
§3. ベクトル空間の次元と基底
ベクトルの線形結合
自明な線形結合と自明ではない線形結合
線形独立ベクトルと線形独立ベクトル
ベクトル空間のパワーはベクトルの線形分布に関連しています
P- 平和なベクトル空間
ベクトル空間の次元
に基づいてベクトルをレイアウトします。
§4. 新たな基盤への移行
古い基準から新しい基準への移行のマトリックス
新しい基底でのベクトル座標
§5. ユークリッド空間
スカラー tvir
ユークリッド空間
ベクトルの Dovzina (ノルム)
パワー ドヴジニ ベクトル
ベクトル間をカットする
直交ベクトル
正規直交基底
§3. ベクトル空間の次元と基底
フィールド上の実ベクトル空間 (V、Å、∘) を見てみましょう R。 それらを乗数 V の要素とし、次にベクトルとします。
線形結合ベクトルは任意のベクトルと呼ばれ、フィールドの追加要素に対するこれらのベクトルの作成の古代の合計です。 R(スカラーの Tobto):
すべてのスカラーがゼロに等しい場合、そのような線形結合は次のように呼ばれます。 つまらない（最も単純な方法で）i.
ゼロから 1 つのスカラーを減算する場合は、線形結合が呼び出されます。 重要な.
ベクトルは呼ばれます 線形独立, これらのベクトルの自明な線形結合だけが古いので、次のようになります。
ベクトルは呼ばれます 直線的に横たわっている, 結局のところ、これらのベクトルの比較可能な 1 つの非自明な線形結合が必要です。
お尻。 4 つの実数の順序集合を見てみましょう。これは実数フィールド上のベクトル空間です。 Zavdannya: z'yasuvati、chi є ベクトル 
, 
і 
直線的に古い。
決断.
これらのベクトルの線形結合を加算してみましょう: ここで、 - 未知の数。 この線形結合がゼロ ベクトルと等しいことが重要です。
この場合、ベクトルを数値の形式で記述します。
方程式が等しい数値が存在し、数値の 1 つがゼロに等しくない場合でも、これは線形結合と線形積分されたベクトルが自明ではないことを意味します。
ヴィコナエモ ディイ:
このランクにより、部門はシステムの最上位に昇格します 線形レベル:
おそらく、次の場合は拒否されます。
ピア システムの拡張マトリックスとメイン マトリックスのランク 少ない数不明ですが、システムは非個人的な決定を下す可能性があります。
さあさあ。
また、これらのベクトルには、たとえばゼロ ベクトルよりも古いため、自明ではない線形結合が存在します。これは、これらのベクトルが線形従属であることを意味します。
重要なアクション ベクトルの線形分布に関連するベクトル空間の力:
1. ベクトルが線形の場合、そのうちの 1 つは他のベクトルの線形結合になります。
2. ベクトルの中央がゼロ ベクトルの場合、これらのベクトルは線形です。
3. いくつかのベクトルが直線上にあるのと同様に、すべてのベクトルも直線上にあります。
ベクトル空間 V は次のように呼ばれます。 P-平和なベクトル空間, ニューヨークで出会うにはどうしたらいいでしょうか？ P線形独立ベクトル、および ( P+ 1) ベクトルは直線状に並んでいます。
番号 P呼ばれた ベクトル空間のサイズ、私が指定されています ディム(V)英語の「dimension」から - 寸法（寸法、寸法、サイズ、大きさ、長さなど）。
全体性 P線形独立ベクトル P平和なベクトル空間と呼ばれます 基礎.
|
式 (*) は次のように呼ばれます。 展開ベクトル 根拠によって、そして数字 – ベクトル座標どのような根拠に基づいて .
ベクトル空間には、複数の塩基または無限の数の塩基を含めることができます。 新しい基底はそれぞれ同じベクトルと異なる座標を持ちます。
§4. 新たな基盤への移行
線形代数では、古い基底の座標に基づいて新しい基底のベクトルの座標を規定することがよくあります。
活動しているようですね P- フィールド上のワールド ベクトル空間 (V、+、·) R。 この空間に古い拠点と新しい拠点が二つありますように 
.
コマンド: 新しい基底のベクトルの座標を見つけます。
新しい基底のベクトルが古い基底で乱雑になるようにします。
,
行列内のベクトルの座標は、システムに記録されるように行ではなく列に書き込みます。
マトリックスはと呼ばれます 遷移行列古い基盤から新しい基盤へ。
遷移行列は、古い基底と新しい基底のベクトルの座標を現在の関係に関連付けます。
,
de - 新しい基底でベクトルの座標を見つけます。
したがって、新しい基底のベクトルの座標の知識は、最高の行列レベルにまで削減されます。 バツ- 古い基底のベクトル座標の行列、 あ- 古い基底から新しい基底への遷移行列、 バツ* - 新しい基底のベクトル座標のシュカナ行列。 行列方程式から次のものを削除できます。
オッチェ、 ベクトル座標 新しい基盤で嫉妬する：
.
お尻。これに基づいて、ベクトルは次のように配置されます。
基底内のベクトルの座標を見つけます。
決断.
1. 新しい基底への移行のための行列を書き、次に古い基底のベクトルの座標を段階的に書き込みます。
2. マトリックスを知る あ –1:
3. Vikonamo 乗算、de - ベクトルの座標:
確認: 
.
§5. ユークリッド空間
活動しているようですね P-実数フィールド上のワールドベクトル空間 (V、+、・) R。 この広大さの活動的な基盤を手放してください。
このベクトル空間で導入される メトリック, そのため、生活習慣やライフスタイルの育て方が重要になります。 スカラー作成の概念は誰にとっても重要です。
