Angka geometri. Piramid dipendekkan

Fahami piramid

Pelantikan 1

Angka geometri, dihiasi dengan bagatokutnik dan titik, yang tidak sepatutnya terletak berhampiran flat, untuk membalas dendam bugaboo ini, dipanggil piramid (Rajah 1).

Bagatokutnik, dari mana piramid dilipat, dipanggil asas piramid, yang, apabila dihubungkan dengan titik, tricutnik adalah muka manik piramid, sisi tricutnik adalah sisi piramid, dan titik yang paling penting untuk semua tricutnik ialah bahagian atas piramid.

Lihat piramid

Fallow, dalam bentuk sejumlah kecil kutivs di dasar piramid її, boleh dipanggil trikutnaya, chotirikutnaya nipis (Rajah 2).

Bayi 2.

Satu lagi jenis piramid - piramid itu betul.

Mari kita perkenalkan yang membawa kuasa kepada piramid yang betul.

Teorem 1

Misai muka bichni piramid biasa dengan trikot rіvnofemoral, yakі rіvnі antara mereka sendiri.

Membawa.

Mari kita lihat piramid $n-$boomed biasa dengan bucu $S$ curl $h=SO$. Mari kita terangkan dalam beberapa perkataan asas colo (Rajah 4).

Bayi 4.

Mari kita lihat tricutnik $SOA$. Untuk teorem Pythagoras, kita ambil

Adalah jelas bahawa sangat penting untuk menjadi tulang rusuk bіchne. Otzhe, semua tulang rusuk bіchnі adalah sama antara mereka sendiri, jadi semua bіchnі muka trikot rіvnofemoral. Katakan mereka berbau busuk sesama sendiri. Asas oskіlki ialah bagatokutnik yang betul, maka asas semua muka bіchnih adalah sama di antara mereka. Otzhe, semua bіchnі vіchnі bіchnі vіdіvnyuyut untuk tanda III keseimbangan trikutnikіv.

Teorem telah selesai.

Mari kita perkenalkan sekarang pelantikan sedemikian, terikat dengan pemahaman piramid yang betul.

Pelantikan 3

Apotema piramid kanan dipanggil ketinggian ambang bіchnoi.

Adalah jelas bahawa di sebalik teorem semua apotema adalah sama antara mereka sendiri.

Teorem 2

Luas segi empat sama pada permukaan piramid biasa ditunjukkan sebagai dobutok pada perimeter asas apotema.

Membawa.

Secara ketara, sisi tapak $n-$piramid kasar melalui $a$, dan apotema melalui $d$. Otzhe, dataran bіchnoi ambang dorivnyuє

Jadi, menurut Teorem 1, semua sisi adalah sama, maka

Teorem telah selesai.

Satu lagi jenis piramid ialah piramid terpotong.

Pelantikan 4

Jika anda melukis satah melalui piramid besar, selari dengan tapak її, kemudian berdiri, menetap di antara satah ini, satah asas itu dipanggil piramid terpotong (Rajah 5).

Malyunok 5

Muka sisi piramid terpotong ialah trapezium.

Teorem 3

Luas segi empat sama pada permukaan piramid yang kelihatan kanan ditunjukkan sebagai sumi sumi nap_perimeter_v yang menyokong apotema.

Membawa.

Secara ketara, sisi asas piramid $n-$vugіlnoї melalui $a\ і \ b$ adalah jelas, dan apotema melalui $d$. Otzhe, dataran bіchnoi ambang dorivnyuє

Oskіlki vsі bіchnі sisi rіvnі, kemudian

Teorem telah selesai.

punggung pengurus

punggung 1

Ketahui luas segi empat sama permukaan piramid trikot terpotong, kerana ia terputus dari piramid yang betul di sisi tapak 4 dan apotema 5 dengan laluan dengan kerataan yang melalui garis tengah muka kumbang.

Penyelesaian.

Mengikut teorem tentang garis tengah, ia diambil kira bahawa tapak atas piramid terpotong ialah $4\cdot \frac(1)(2)=2$, dan apotema ialah $5\cdot \frac(1) (2)=2.5$.

Kemudian, mengikuti Teorem 3, kita ambil

pengurus

Penyelesaian.

Piramid ini berdasarkan tricutnik yang dipotong lurus. Pusat pancang yang diterangkan di atas trikot berpotongan lurus berbaring pada hipotenus yoga. Vidpovidno, AB = 10 cm, AO = 5 cm.

Ketinggian Oskіlki ON \u003d 12 cm, maka saiz tulang rusuk AN dan NB lebih
AN 2 = AO 2 + ON 2
AN 2 = 5 2 + 12 2
AN = √169
AN=13

Oskіlki kami nilai vіdoma AO = OB = 5 cm dan nilai salah satu kaki pangkal (8 cm), kemudian ketinggian, diturunkan ke hipotenus, lebih
CB2 = CO2 + OB2
64 = CO2 + 25
CO2 = 39
CO = √39

Jelas sekali, nilai CN tepi adalah betul
CN 2 \u003d CO 2 + NO 2
CN 2 = 39 + 144
CN = √183

Vidpovid: 13, 13 , √183

pengurus

Penyelesaian.
Isipadu piramid diketahui dengan formula:
V = 1/3 Sh

Luas tapak dikenali dengan formula untuk luas segi empat sama trikot segi empat tepat:
S = ab / 2 = 8 * 6/2 = 24
bintang
V \u003d 1/3 * 24 * 10 \u003d 80 cm 3.

piramid dipanggil bagatokutnik, salah satu wajah sejenis bagatokutnik ( asas ), dan semua muka lain adalah tricutnik dengan bahagian atas berduri ( aspek bichni ) (Gamb. 15). Piramid dipanggil betul її asasnya ialah bagatokutnik yang betul dan bahagian atas piramid diunjurkan ke tengah tapak (Rajah 16). Piramid Trikutna, yang mempunyai semua tulang rusuk sama, dipanggil tetrahedron .

rusuk sebelah piramid dipanggil bahagian sisi bіchnoi, supaya asas tidak boleh diletakkan tinggi piramid dipanggil dari atas ke bawah tapak. Misai rusuk adalah betul, piramid adalah sama antara mereka sendiri, semua tepi sisi adalah sama, sama dan femoral. Ketinggian bіchnі vаnі piramid biasa, ditarik dari atas, dipanggil apotema . Rusuk pepenjuru Ia dipanggil perimeter piramid sebagai rata, yang melalui dua rusuk bichni, supaya satu muka tidak bertindih.

Luas permukaan beech piramid dipanggil jumlah luas muka sawi. Permukaan rata sepenuhnya dipanggil jumlah luas ​​usіh bіchnyh muka dan bukti.

Teoremi

1. Bagi piramid pula, semua rusuk adalah sama dengan satah tapak, kemudian bahagian atas piramid itu diunjurkan ke tengah pancang tapak yang diterangkan.

2. Seperti dalam piramid semua rusuk adalah sama, kemudian bahagian atas piramid diunjurkan ke tengah pancang tapak yang diterangkan.

3. Seperti dalam piramid, semua muka sekata ke satah tapak, kemudian bahagian atas piramid diunjurkan ke tengah pancang yang tertulis di tapak.

Untuk pengiraan kewajipan wajib piramid yang mencukupi, formulanya ialah:

de V- bersumpah;

S utama- kawasan asas;

H- Ketinggian piramid.

Untuk piramid yang betul, formula yang betul:

de hlm- perimeter pangkalan;

h a- Apothem;

H- Visota;

S memperbaharui

S bik

S utama- kawasan asas;

V- Mengenai piramid yang betul.

piramid terpotong sebahagian daripada piramid dipanggil, diletakkan di antara tapak dan rata yang sama, selari dengan tapak piramid (Rajah 17). Piramid terpotong yang betul sebahagian daripada piramid kanan dipanggil, diletakkan di antara tapak dan rata yang sama, selari dengan pangkal piramid.

Hantar zrіzanoї pyramіdі – podіbnі bagatokutniki. Bichni facets - Trapeze. tinggi piramid yang dipotong dipanggil sebagai asas mіzh її. secara menyerong piramid terpenggal dipanggil vіdrіzok, scho z'ednuє її bucu, yang tidak terletak dalam satu segi. Rusuk pepenjuru Ia dipanggil perimeter piramid terpotong sebagai rata, yang melalui dua rusuk bichni, supaya satu muka tidak bertindih.

Untuk piramid terpotong, formula adalah sah:

(4)

de S 1 , S 2 - kawasan pangkalan atas dan bawah;

S memperbaharui- Kawasan permukaan;

S bik- Luas permukaan bіchnoi;

H- Visota;

V- Isipadu piramid yang dilihat.

Untuk piramid terpotong yang betul, formula yang betul ialah:

de hlm 1 , hlm 2 - perimeter pangkalan;

h a- Apotema piramid terpotong yang betul.

contoh 1. Piramid tricout yang betul mempunyai kut dua belah dengan tetapan 60º. Ketahui tangen potongan tepi sisi ke kawasan tapak.

Penyelesaian. Lukisan Zrobimo (Gamb. 18).

Piramid adalah betul, maka, dalam asas trikot sama sisi dan semua muka sisi trikot sama dan sama femoral. Kut dua muka di pangkalan - tse kut nahil bіchnoї vіchnі vіramіdi sehingga satah pangkalan. Potongan linear akan dipotong a antara dua serenjang: i. Bahagian atas piramid diunjurkan di tengah-tengah triko (tengah pancang yang diterangkan dan pancang yang tertera dalam triko). ABC). Kut nakhil rusuk sisi (contohnya SB) - tse kut mіzh dengan tepi dan unjuran yogo ke satah pangkalan. Untuk rusuk SB tsim kutom bude kut SBD. Untuk mengetahui tangen adalah perlu untuk mengetahui kateti JADIі OB. Ayuh dozhina vіdrіzka BD dorivnyu 3 a. Krapka Pro vіdrіzok BD bahagikan kepada bahagian: i Z diketahui JADI: Kami tahu:

Cadangan:

punggung 2. Untuk mengetahui tentang penglihatan yang betul bagi piramid berbentuk chotiric, serta pepenjuru dan asas bangunan, cm dan cm, dan ketinggian ialah 4 cm.

Penyelesaian. Untuk memahami isipadu piramid yang dilihat, kami mempercepatkannya dengan formula (4). Untuk mengetahui kawasan asas, adalah perlu untuk mengetahui sisi segi empat sama-tapak, mengetahui pepenjurunya. Sisi substav adalah sama dalam saiz 2 cm dan 8 cm.

Cadangan: 112 cm3.

contoh 3. Cari luas segi empat sama segi empat sama piramid terpotong triko sekata, sisi tapaknya ialah 10 cm dan 4 cm, dan tinggi piramid itu ialah 2 cm.

Penyelesaian. Lukisan Zrobimo (Gamb. 19).

Garis bichna piramid ialah trapezium sama sisi. Untuk mengira luas trapezium, perlu mengetahui tapak dan ketinggian. Pengganti diberikan untuk minda, ditenggelami oleh ketinggian yang tidak kelihatan. Її kita tahu daripada de TAPI 1 E serenjang dari titik TAPI 1 di kawasan dasar bawah, A 1 D- Serenjang h TAPI 1 pada AC. TAPI 1 E= 2 div, oskіlki tse ketinggian piramid Untuk znakhodzhennya DE zrobimo dodatkovo anak-anak kecil, di mana pandangan binatang itu digambarkan (Rajah 20). Krapka Pro- unjuran pusat pangkalan atas dan bawah. serpihan (div. rajah 20) dan dari bahagian bawah okey- jejari ditulis dalam tangkai OM- Jejari dimasukkan dalam nombor:

MK=DE.

Di sebalik teorem Pythagoras

Kawasan aspek bichnoi:

Cadangan:

punggung 4. Di dasar piramid terdapat trapezium bersisi sekata, yang asasnya aі b (a> b). Kulit ambang bіchna menetapkan kerataan pangkal piramidi kut sama j. Mengetahui luas permukaan piramid.

Penyelesaian. Lukisan Zrobimo (Gamb. 21). Jumlah luas permukaan piramid SABCD jumlah luas dan luas trapezium ABCD.

Sebaik sahaja ketegasan dicapai, jika sisi piramid adalah sama dengan kerataan tapak, maka bahagian atas diunjurkan di tengah tapak bertulis bulatan. Krapka Pro- Unjuran bucu S berdasarkan piramid. Trikutnik SODє unjuran ortogon trikutnik CSD ke kawasan pangkalan. Untuk teorem tentang luas unjuran ortogon bagi angka rata, kita ambil:

Begitu juga, maksud saya Dalam pangkat ini, ketua dibawa ke tanda segi empat sama trapezium. ABCD. Bayangkan sebuah trapezoid ABCD Okremo (Gamb. 22). Krapka Pro- Pusat ditulis dalam trapezium pancang.

Jadi jika anda boleh memasukkan colo ke dalam trapezoid, maka sama ada Z, mengikut teorem Pythagoras, anda boleh

Bagatohedron, yang mempunyai salah satu muka - bagatokutnik, dan semua muka lain - trikutnik dari puncak bermahkota, dipanggil piramid.

Qi trikutniks, dari mana piramid dilipat, dipanggil muka bіchnymi, dan bagatokutnik, yang tersekat - asas piramid.

Di dasar piramid adalah angka geometri - n-kutnik. Pada masa ini, piramid dipanggil lebih n-bulat.

Piramid Trikutnu, semua tulang rusuk sama, panggil tetrahedron.

Tulang rusuk piramid, yang tidak bertindih dengan asas, dipanggil bichnimi, а їх titik panas– ce puncak piramid. Rusuk piramid yang lain harus dipanggil mengisi parti.

Namakan piramid betul, supaya bagatokutnik yang betul terletak pada asas, dan semua rusuk sisi adalah sama di antara mereka sendiri.

Berdiri dari atas piramid ke tapak rata dipanggil kerinting piramid. Boleh dikatakan ketinggian piramid adalah menegak, berserenjang dengan tapak, hujungnya berada di bahagian atas piramid dan di tapak rata.

Untuk apa jua bentuk piramid, terdapat formula sedemikian:

1) S surf = S bik + S utama, de

S povniy - kawasan permukaan povnoi piramid;

S bіk - kawasan bіchnoї surfnі, tobto. jumlah luas sisi piramid;

S utama - kawasan asas piramid.

2) V = 1/3 S utama N, de

V - piramid obsyag;

H - ketinggian piramid.

Untuk piramid yang betul boleh meletakkan:

S bik \u003d 1/2 P utama h, de

P utama - perimeter asas piramid;

h - dozhina apothemi, iaitu douzhina ketinggian segi bіchnoi, diturunkan dari bahagian atas piramid.

Sebahagian daripada piramid, diletakkan di antara dua flat - flat tapak dan flat tapak, selari dengan tapak, dipanggil piramid terpotong.

Tapak piramid dan perimeter piramid dipanggil satah selari kurang kakitangan piramid terpotong. Namakan muka lain bichnimi. Vіdstan mіzh dipanggil rumah pangsa asas kerinting piramid terpotong. Tulang rusuk, yang tidak terletak pada sokongan, dipanggil bichnimi.

Di samping itu, asas piramid terpotong pemotong n yang serupa. Oleh kerana asas piramid yang cukup besar adalah baguette yang betul, dan semua rusuk sisi adalah sama di antara mereka sendiri, maka piramid yang cukup besar itu dipanggil betul.

Untuk piramid yang cukup terpotong mungkin mempunyai formula berikut:

1) S rep = S bik + S 1 + S 2, de

S povny - kawasan povnoї melayari;

S bіk - kawasan bіchnoї surfnі, tobto. jumlah luas muka sawi piramid terpotong, seperti trapezium;

S 1, S 2 - kawasan pangkalan;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 S 2))H, de

V - piramid terpotong obsyag;

H - ketinggian piramid terpotong.

Untuk piramid terpotong yang betul jadi mungkin:

S bik \u003d 1/2 (P 1 + P 2) h, de

P 1, P 2 - tapak perimeter;

h - apotema (ketinggian ambang bіchnoї, shcho є trapezіy).

Mari kita lihat kepala piramid yang dipotong.

Tugasan 1.

Piramid terpotong segi tiga mempunyai ketinggian, iaitu 10, sisi tapak yang sama ialah 27, 29 dan 52. Pilih isipadu piramid terpotong, kerana perimeter tapak yang satu lagi ialah 72.

Penyelesaian.

Piramid yang disingkatkan ABCA 1 B 1 C 1, digambarkan pada bayi1.

1. Obyag zrіzanoї piramidi mungkin pengetahuan di sebalik formula

V \u003d 1 / 3H (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)), de S 1 - kawasan tulang pencawang, anda boleh tahu untuk formula Heron

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

kerana tugas diberikan tiga bahagian trikot.

Maemo: p 1 \u003d (27 + 29 + 52) / 2 \u003d 54.

S 1 \u003d √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) \u003d √ (54 27 25 2) \u003d 270.

2. Piramid itu dipotong, dan kemudian, dalam asas, terletak seperti pepijat. Dalam kes kami, triko ABC adalah serupa dengan triko A 1 B 1 C 1. Di samping itu, pekali persamaan boleh dikenali sebagai nisbah perimeter trikot yang dilihat, dan nisbah kawasannya akan serupa dengan kuasa dua pekali. Dalam susunan ini, mungkin:

S 1 / S 2 \u003d (P 1) 2 / (P 2) 2 \u003d 108 2 / 72 2 \u003d 9/4. Bintang S 2 \u003d 4S 1 / 9 \u003d 4 270/9 \u003d 120.

Juga, V = 1/3 10 (270 + 120 + √ (270 120)) = 1900.

Tarikh: 1900.

Tugasan 2.

Pada pandangan segi tiga piramid, melalui sisi pangkalan atas, satah dilukis selari dengan rusuk sisi protilazhny. Untuk siapa vіdnoshennі vіdnoshenі vіdnosіvsya vіznag zіzanoї pyramіdі, yakshcho vіdpovіdnіі sisi pіdstav vіdnosіtsya seperti 1:2?

Penyelesaian.

Mari lihat ABCA 1 B 1 Z 1 - piramid yang dipendekkan, digambarkan pada Mal. 2.

Oleh kerana dalam tapak sisi dilihat sebagai 1: 2, maka luas tapak dilihat sebagai 1: 4 (trikot ABC adalah serupa dengan triko A 1 B 1 C 1).

Todі obsyag dipotong pіramіdi dorіvnyuє:

V \u003d 1/3j (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)) \u003d 1/3j (4S 2 + S 2 + 2S 2) \u003d 7/3 h S 2, de S 2 - Kawasan daripada pangkalan atas, h - Tinggi.

Ale obsyag prisma ADEA 1 B 1 C 1 menjadi V 1 \u003d S 2 h i, kemudian,

V 2 \u003d V - V 1 \u003d 7/3 h S 2 - h S 2 \u003d 4/3 h S 2.

Juga, V2: V1 = 3:4.

Keputusan: 3: 4.

Tugasan 3.

Sisi tapak piramid terpotong yang betul ialah 2 dan 1, dan ketinggiannya ialah 3. Melalui titik palang pepenjuru piramid, selari dengan tapak piramid, sebuah rata dilukis untuk membahagikan piramid itu. kepada dua bahagian. Ketahui tentang penjagaan kulit daripada mereka.

Penyelesaian.

Piramid ABCDА 1 В 1 З 1 D 1, ditunjukkan pada Mal. 3.

Secara ketara O 1 O 2 \u003d x, kemudian OO₂ \u003d O 1 O - O 1 O 2 \u003d 3 - x.

Mari lihat trikot V 1 Pro 2 D 1 dan trikut VO 2 D:

potong B 1 Pro 2 D 1 potong lama 2 D sebagai menegak;

potong BDO 2 potong bagus D 1 B 1 O 2 i potong O 2 ВD potong lama B 1 D 1 O 2 suka baring sebelah menyebelah di B 1 D 1 || BD dan B₁D biasa dan BD₁ berkemungkinan besar.

Otzhe, trikutnik B 1 Pro 2 D 1 serupa dengan trikutnik VO 2 D dan mungkin bahagian yang sama:

B1D 1 / BD \u003d O 1 O 2 / O 2 atau 1/2 \u003d x / (x - 3), bintang x \u003d 1.

Tricot B 1 D 1 dan tricot LO 2 B boleh dilihat: kut B panas, dan juga sepasang kutіv sebelah di B 1 D 1 || LM, kemudian, triko B 1 D 1 Sama seperti triko LO 2 B, bintang B 1 D: LO 2 \u003d OO 1: OO 2 \u003d 3: 2, kemudian.

LO 2 \u003d 2/3 B 1 D 1, LN \u003d 4/3 B 1 D 1.

Kemudian S KLMN \u003d 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 \u003d 16/9.

Juga, V 1 \u003d 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) \u003d 152/27.

V 2 \u003d 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) \u003d 37/27.

Vidpovid: 152/27; 37/27.

tapak, dengan salinan penuh atau peribadi bahan dihantar ke obov'yazkove asal.

dan sіchnoy rata, yak selari dengan asas її.

Dalam kata lain: piramid terpotong- ini adalah seperti muka yang kaya, yang merupakan piramid dan її peretina, selari dengan asas.

Peretin, yang selari dengan pangkal piramid, membahagikan piramid kepada 2 bahagian. Sebahagian daripada piramid antara pangkalan dan peretina - tse piramid terpotong.

Potongan untuk piramid terpotong ini adalah salah satu pencawang piramid.

Berjalan di antara pangkal piramid terpotong ketinggian piramid terpotong.

Piramid akan dipendekkan betul jika piramid, yang mana ia telah diambil, juga betul.

Ketinggian segi trapezoid bagi piramid terpotong yang betul apotema piramid terpotong yang betul.

Kuasa piramid terpotong.

1. Kulit ambang bіchna piramid zrіzanoї yang betul dengan trapezium sama sisi dengan saiz yang sama.

2. Bentangkan piramid yang besar dengan pepijat yang serupa.

3. Tulang rusuk piramid yang kelihatan kanan mungkin sama saiznya dan satu berjumbai sepanjang panjang ke pangkal piramid.

4. Bіchnі vіchnі vіchіchenої pyramіdі є trapezіyami.

5. Kuti dua muka dengan rusuk sisi piramid yang kelihatan biasa boleh sama saiznya.

6. Pembuangan kawasan asas: S 2 /S 1 \u003d k 2.

Formula untuk piramid terpotong.

Untuk piramid yang cantik:

Isipadu piramid yang dipotong ialah 1/3 daripada ketinggian h (OS) kepada jumlah kawasan pangkalan atas S1 (abcde), pangkal bawah piramid terpotong S2 (ABCDE) yang berkadar purata antara mereka.

Isipadu piramid:

de S1, S2- Pidstav persegi,

h- Ketinggian piramid yang dilihat.

Luas permukaan persegi dorіvnyuє jumlah kawasan muka bіchnyh piramid terpotong.

Untuk piramid terpotong yang betul:

Pandangan piramid yang betul- bagatohedron, yang terdiri daripada piramid biasa dan її peretina, yang selari dengan asas.

Adakah segi empat sama permukaan bіchnі pіrаmіdі dоrіvnyuє terpenggal betul? dobutku sumi perimeter її tapak dan apotema.

de S1, S2- Pidstav persegi,

φ - Potongan dua muka asas piramid.

CHє piramid terpotong tinggi, P1і P2- perimeter tapak, S1і S2- maidans pіdstav, S bik- kawasan permukaan bicno, S memperbaharui- Permukaan rata:

Piramid peretin dengan rata, selari dengan tapak.

Peretin piramid adalah rata, supaya selari dengan tupang (berserenjang dengan ketinggian) ketinggian rusuk menegak piramid pada rusuk berkadar.

Peretin piramid adalah rata, kerana ia selari dengan tapak її (berserenjang dengan ketinggian) - bagatokutnik yang sama, yang serupa dengan asas piramid, dengan pekali persamaan bagatokutnikіv vіdpovіdaє vіdnoshennі їх vіdstanі vіdnoshennі їхіdіdstanі ini. vіd piramіdi.

Segi empat segi perimeter, seolah-olah selari dengan pangkal piramid, kelihatan sebagai segi empat sama tingkapnya dalam pandangan bahagian atas piramid.