Чому дорівнює тангенс х. Синус, косинус, тангенс і котангенс в тригонометрії: визначення, приклади

У таблиці значення тангенсів від 0 ° до 360 °.

Таблиця тангенсов потрібна, коли у вас під рукою немає калькулятора. Щоб дізнатися, чому дорівнює тангенс кута, просто знайдіть його в таблиці. Для початку коротка версія таблиці:

https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov - uchim.org

Таблиця тангенсов для 0 ° -180 °

Таблиця тангенсов для 180 ° - 360 °

Існують також наступні таблиці тригонометричних функцій по геометрії: таблиця синусів, таблиця косинусів і таблиця котангенсів.

Все для навчання »Математика в школі» Таблиця тангенсов кутів (кути, значення)

Щоб додати сторінку в закладки, натисніть Ctrl + D.

Група з купою корисної інформації (підпишіться, якщо має бути ЄДІ або ОГЕ):

Знаки тригонометричних функцій

Знак тригонометричної функції залежить виключно від координатної чверті, в якій розташовується числовий аргумент.

Минулого разу ми вчилися переводити аргументи з радіанної заходи в градусну (див. Урок «Радіанна і градусна міра кута»), а потім визначати цю саму координатну чверть. Тепер займемося, власне, визначенням знака синуса, косинуса і тангенса.

кута α - це ордината (координата y) точки на геодезичної окружності, яка виникає при повороті радіуса на кут α.

кута α - це абсциса (координата x) точки на геодезичної окружності, яка виникає при повороті радіуса на кут α.

кута α - це відношення синуса до косинусу.

Або, що те ж саме, ставлення координати y до координати x.

Позначення: sin α = y; cos α = x; tg α = y: x.

Всі ці визначення знайомі вам з курсу алгебри старших класів. Однак нас цікавлять не самі визначення, а слідства, які виникають на тригонометричної окружності. Погляньте:

Синім кольором позначено позитивний напрямок осі OY (вісь ординат), червоним - позитивний напрямок осі OX (вісь абсцис).

На цьому «радарі» знаки тригонометричних функцій стають очевидними. Зокрема:

1. sin α> 0, якщо кут α лежить в I або II координатної чверті. Це відбувається через те, що за визначенням синус - це ордината (координата y).

   А координата y буде позитивною саме в I і II координатних чвертях;

2. cos α> 0, якщо кут α лежить в I або IV координатної чверті. Тому що тільки там координата x (вона ж - абсциса) буде більше нуля;
3. tg α> 0, якщо кут α лежить в I або III координатної чверті. Це випливає з визначення: адже tg α = y: x, тому він позитивний лише там, де знаки x і y збігаються.

   Це відбувається в I координатної чверті (тут x> 0, y> 0) і III координатної чверті (x< 0, y < 0).

Для наочності відзначимо знаки кожної тригонометричної функції - синуса, косинуса і тангенса - на окремих «радарах». Отримаємо наступну картинку:

Зауважте: в своїх міркуваннях я ні разу не говорив про четверту тригонометричної функції - Котангенс.

Справа в тому, що знаки котангенс збігаються з класами тангенса - ніяких спеціальних правил там немає.

Тепер пропоную розглянути приклади, схожі на завдання B11 з пробного ЗНО з математики, який проходив 27 вересня 2011. Адже кращий спосібзрозуміти теорію - це практика. Бажано - багато практики. Зрозуміло, умови завдань були трохи змінені.

Завдання. Визначте знаки тригонометричних функцій і виразів (значення самих функцій вважати не треба):

1. sin (3π / 4);
2. cos (7π / 6);
3. tg (5π / 3);
4. sin (3π / 4) · cos (5π / 6);
5. cos (2π / 3) · tg (π / 4);
6. sin (5π / 6) · cos (7π / 4);
7. tg (3π / 4) · cos (5π / 3);
8. ctg (4π / 3) · tg (π / 6).

План дій такий: спочатку переводимо всі кути з радіанної заходи в градусну (π → 180 °), а потім дивимося в який координатної чверті лежить отримане число.

Знаючи чверті, ми легко знайдемо знаки - по щойно описаним правилам. маємо:

1. sin (3π / 4) = sin (3 · 180 ° / 4) = sin 135 °. Оскільки 135 ° ∈, це кут з II координатної чверті. Але синус в II чверті позитивний, тому sin (3π / 4)> 0;
2. cos (7π / 6) = cos (7 · 180 ° / 6) = cos 210 °. Оскільки 210 ° ∈, це кут з III координатної чверті, в якій всі косинуси негативні.

   Отже, cos (7π / 6)< 0;

3. tg (5π / 3) = tg (5 · 180 ° / 3) = tg 300 °. Оскільки 300 ° ∈, ми знаходимося в IV чверті, де тангенс приймає негативні значення. Тому tg (5π / 3)< 0;
4. sin (3π / 4) · cos (5π / 6) = sin (3 · 180 ° / 4) · cos (5 · 180 ° / 6) = sin 135 ° · cos 150 °. Розберемося з синусом: тому що 135 ° ∈, це II чверть, в якій синуси позитивні, тобто

   sin (3π / 4)> 0. Тепер працюємо з косинусом: 150 ° ∈ - знову II чверть, косинуси там негативні. Тому cos (5π / 6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;

5. cos (2π / 3) · tg (π / 4) = cos (2 · 180 ° / 3) · tg (180 ° / 4) = cos 120 ° · tg 45 °. Дивимося на косинус: 120 ° ∈ - це II координатна чверть, тому cos (2π / 3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ - это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии).

   Тангенс там позитивний, тому tg (π / 4)> 0. Знову отримали твір, в якому множники різних знаків. Оскільки «мінус на плюс дає мінус», маємо: cos (2π / 3) · tg (π / 4)< 0;

6. sin (5π / 6) · cos (7π / 4) = sin (5 · 180 ° / 6) · cos (7 · 180 ° / 4) = sin 150 ° · cos 315 °. Працюємо з синусом: оскільки 150 ° ∈, мова йде про II координатної чверті, де синуси позитивні.

   Отже, sin (5π / 6)> 0. Аналогічно, 315 ° ∈ - це IV координатна чверть, косинуси там позитивні.

   Тому cos (7π / 4)> 0. Отримали твір двох позитивних чисел - такий вислів завжди позитивно. Укладаємо: sin (5π / 6) · cos (7π / 4)> 0;

7. tg (3π / 4) · cos (5π / 3) = tg (3 · 180 ° / 4) · cos (5 · 180 ° / 3) = tg 135 ° · cos 300 °.

   Але кут 135 ° ∈ - це II чверть, тобто tg (3π / 4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ - это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0.

   Оскільки «мінус на плюс дає знак мінус», маємо: tg (3π / 4) · cos (5π / 3)< 0;

8. ctg (4π / 3) · tg (π / 6) = ctg (4 · 180 ° / 3) · tg (180 ° / 6) = ctg 240 ° · tg 30 °. Дивимося на аргумент котангенс: 240 ° ∈ - це III координатна чверть, тому ctg (4π / 3)> 0. Аналогічно, для тангенса маємо: 30 ° ∈ - це I координатна чверть, тобто найпростіший кут. Тому tg (π / 6)> 0. Знову отримали два позитивних вираження - їх твір теж буде позитивним.

   Тому ctg (4π / 3) · tg (π / 6)> 0.

На закінчення розглянемо кілька більш складних завдань. Крім з'ясування знака тригонометричної функції, тут доведеться трохи порахувати - саме так, як це робиться в справжніх завданнях B11. В принципі, це майже справжні завдання, які дійсно зустрічається в ЄДІ з математики.

Знайдіть sin α, якщо sin2 α = 0,64 і α ∈ [π / 2; π].

Оскільки sin2 α = 0,64, маємо: sin α = ± 0,8.

Залишилося вирішити: плюс чи мінус? За умовою, кут α ∈ [π / 2; π] - це II координатна чверть, де все синуси позитивні. Отже, sin α = 0,8 - невизначеність зі знаками усунена.

Завдання. Знайдіть cos α, якщо cos2 α = 0,04 і α ∈ [π; 3π / 2].

Діємо аналогічно, тобто

витягаємо квадратний корінь: Cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ± 0,2. За умовою, кут α ∈ [π; 3π / 2], тобто мова йде про III координатної чверті. Там все косинуси негативні, тому cos α = -0,2.

Завдання. Знайдіть sin α, якщо sin2 α = 0,25 і α ∈.

Маємо: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ± 0,5.

Тригонометричні функції будь-якого кута

Знову дивимося на кут: α ∈ - це IV координатна чверть, в якій, як відомо, синус буде негативним. Таким чином, робимо висновок: sin α = -0,5.

Завдання. Знайдіть tg α, якщо tg2 α = 9 і α ∈.

Все те ж саме, тільки для тангенса.

Витягуємо квадратний корінь: tg2 α = 9 ⇒ tg α = ± 3. Але за умовою кут α ∈ - це I координатна чверть. всі тригонометричні функції, в т.ч. тангенс, там є позитивними, тому tg α = 3. Всі!

Тригонометрія - розділ математичної науки, в якому вивчаються тригонометричні функції і їх використання в геометрії. Розвиток тригонометрії почалося ще за часів античної Греції. За часів середньовіччя важливий внесок в розвиток цієї науки внесли вчені Близького Сходу та Індії.

Дана стаття присвячена базовим поняттям і дефініцій тригонометрії. У ній розглянуті визначення основних тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенса і котангенс. Роз'яснено і проілюстровано їх зміст в контексті геометрії.

Спочатку визначення тригонометричних функцій, аргументом яких є кут, виражалися через співвідношення сторін прямокутного трикутника.

Визначення тригонометричних функцій

Синус кута (sin α) - відношення протилежного цьому кутку катета до гіпотенузи.

Косинус кута (cos α) - відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс кута (t g α) - відношення протилежного катета до прилеглого.

Котангенс кута (c t g α) - відношення прилеглого катета до протилежного.

Дані визначення дано для гострого кута прямокутного трикутника!

Наведемо ілюстрацію.

У трикутнику ABC з прямим кутом С синус кута А дорівнює відношенню катета BC до гіпотенузі AB.

Визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс дозволяють обчислювати значення цих функцій за відомими довжинами сторін трикутника.

Важливо пам'ятати!

Область значень синуса і косинуса: від -1 до 1. Іншими словами синус і косинус приймають значення від -1 до 1. Область значень тангенса і котангенс - вся числова пряма, тобто ці функції можуть приймати будь-які значення.

Визначення, дані вище, відносяться до гострих кутах. У тригонометрії вводиться поняття кута повороту, величина якого, на відміну від гострого кута, не обмежена рамками від 0 до 90 градусов.Угол повороту в градусах або радіанах виражається будь-яким дійсним числом від - ∞ до + ∞.

В даному контексті можна дати визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс кута довільної величини. Уявімо одиничну окружність з центром на початку декартової системи координат.

Початкова точка A з координатами (1, 0) повертається навколо центру одиничному колі на деякий кут α і переходить в точку A 1. Визначення дається через координати точки A 1 (x, y).

Синус (sin) кута повороту

Синус кута повороту α - це ордината точки A 1 (x, y). sin α = y

Косинус (cos) кута повороту

Косинус кута повороту α - це абсциса точки A 1 (x, y). cos α = х

Тангенс (tg) кута повороту

Тангенс кута повороту α - це відношення ординати точки A 1 (x, y) до її абсциссе. t g α = y x

Котангенс (ctg) кута повороту

Котангенс кута повороту α - це відношення абсциси точки A 1 (x, y) до її ординате. c t g α = x y

Синус і косинус визначені для будь-якого кута повороту. Це логічно, адже абсциссу і ординату точки після повороту можна визначити при будь-якому куті. Інша працювати з тангенсом і котангенсом. Тангенс не визначений, коли точка після повороту переходить в точку з нульовою абсцисою (0, 1) і (0, - 1). У таких випадках вираз для тангенса t g α = y x просто не має сенсу, так як в ньому присутній поділ на нуль. Аналогічно ситуація з котангенсом. Відмінністю полягає в тому, що котангенс не визначений в тих випадках, коли в нуль звертається ордината точки.

Важливо пам'ятати!

Синус і косинус визначені для будь-яких кутів α.

Тангенс визначений для всіх кутів, крім α = 90 ° + 180 ° · k, k ∈ Z (α = π 2 + π · k, k ∈ Z)

Котангенс визначено для всіх кутів, крім α = 180 ° · k, k ∈ Z (α = π · k, k ∈ Z)

При вирішенні практичних прикладів не говорять "синус кута повороту α". Слова "кут повороту" просто опускають, маючи на увазі, що з контексту і так зрозуміло, про що йде мова.

числа

Як бути з визначенням синуса, косинуса, тангенса і котангенс числа, а не кута повороту?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом числа tназивається число, яке відповідно дорівнює синусу, косинусу, тангенсу і котангенс в tрадіан.

Наприклад, синус числа 10 π дорівнює синусу кута повороту величиною 10 π рад.

Існує й інший підхід до визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс числа. Розглянемо його докладніше.

Будь-якому дійсному числу tставиться у відповідність точка на одиничному колі з центром на початку прямокутної декартової системи координат. Синус, косинус, тангенс і котангенс визначаються через координати цієї точки.

Початкова точка на окружності - точка A c координатами (1, 0).

позитивному числу t

негативного числа tвідповідає точка, в яку перейде початкова точка, якщо буде рухатися по колу проти годинникової стрілки і пройде шлях t.

Тепер, коли зв'язок числа і точки на колі встановлена, переходимо до визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс.

Синус (sin) числа t

синус числа t- ордината точки одиничного кола, що відповідає числу t. sin t = y

Косинус (cos) числа t

косинус числа t- абсциса точки одиничного кола, що відповідає числу t. cos t = x

Тангенс (tg) числа t

тангенс числа t- відношення ординати до абсциссе точки одиничного кола, що відповідає числу t. t g t = y x = sin t cos t

Останні визначення знаходяться відповідно і не суперечать визначенням, яке на початку це пункту. Точка на окружності, відповідна числу t, Збігається з точкою, в яку переходить початкова точка після повороту на кут tрадіан.

Тригонометричні функції кутового і числового аргументу

Кожному значенню кута α відповідає певне значення синуса і косинуса цього кута. Також, як кожному куті α, відмінним від α = 90 ° + 180 ° · k, k ∈ Z (α = π 2 + π · k, k ∈ Z) відповідає певне значення тангенса. Котангенс, як сказано вище, визначено для всіх α, крім α = 180 ° · k, k ∈ Z (α = π · k, k ∈ Z).

Можна сказати, що sin α, cos α, t g α, c t g α - це функції кута альфа, або функції кутового аргументу.

Аналогічно можна говорити про синусі, косинусів, тангенсів і котангенс, як про функції числового аргументу. Кожному дійсному числу tвідповідає певне значення синуса або косинуса числа t. Всім числах, відмінним від π 2 + π · k, k ∈ Z відповідає значення тангенса. Котангенс, аналогічно, визначений для всіх чисел, крім π · k, k ∈ Z.

Основні функції тригонометрії

Синус, косинус, тангенс і котангенс - основні тригонометричні функції.

З контексту зазвичай зрозуміло, з яким аргументом тригонометричної функції (кутовий аргумент або числовий аргумент) ми маємо справу.

Повернемося до даних на самому початку визначень і розі альфа, який лежить в межах від 0 до 90 градусів. Тригонометричні визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс повністю узгоджуються з геометричними визначеннями, даними за допомогою співвідношень сторін прямокутного трикутника. Покажемо це.

Візьмемо одиничну окружність з центром в прямокутній декартовій системі координат. Повернемо початкову точку A (1, 0) на кут величиною до 90 градусів і проведемо з отриманої точки A 1 (x, y) перпендикуляр до осі абсцис. В отриманому прямокутному трикутнику кут A 1 O H дорівнює куту повороту α, довжина катета O H дорівнює абсциссе точки A 1 (x, y). Довжина катета, протилежного куту, дорівнює ординате точки A 1 (x, y), а довжина гіпотенузи дорівнює одиниці, так як вона є радіусом одиничному колі.

Відповідно до визначення з геометрії, синус кута α дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значить, визначення синуса гострого кута в прямокутному трикутнику через співвідношення сторін еквівалентно визначенню синуса кута повороту α, при альфа лежить в межах від 0 до 90 градусів.

Аналогічно відповідність визначень можна показати для косинуса, тангенса і котангенс.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Де були розглянуті завдання на рішення прямокутного трикутника, я пообіцяв викласти прийом запам'ятовування визначень синуса і косинуса. Використовуючи його, ви завжди швидко згадайте - який катет відноситься до гіпотенузи (прилегла або протилежні). Вирішив в «довгий ящик не відкладати», необхідний матеріал нижче, прошу ознайомитися 😉

Справа в тому, що я не раз спостерігав, як учні 10-11 класів насилу згадують ці терміни. Вони прекрасно пам'ятають, що катет відноситься до гіпотенузи, а ось який з них- забувають і плутають. Ціна помилки, як ви знаєте на іспиті - це втрачений бал.

Інформація, яку я представлю безпосередньо до математики не має ніякого відношення. Вона пов'язана з образним мисленням, і з прийомами словесно-логічного зв'язку. Саме так, я сам, раз і на завжди запам'ятавдані визначення. Якщо ви їх все ж забудете, то за допомогою представлених прийомів завжди легко згадаєте.

Нагадаю визначення синуса і косинуса в прямокутному трикутнику:

косинусгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

синусгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи:

Отже, які асоціації у вас викликає слово косинус?

Напевно, у кожного свої 😉Запам'ятовуйте зв'язку:

Таким чином, у вас відразу в пам'яті виникне вираз -

«… відношення прилеглого катета до гіпотенузи».

Проблема з визначенням косинуса вирішена.

Якщо потрібно згадати визначення синуса в прямокутному трикутнику, то згадавши визначення косинуса, ви без праці встановіть, що синус гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи. Адже катетів всього два, якщо прилегла катет «зайнятий» косинусом, то синусу залишається тільки протилежні.

Як бути з тангенсом і котангенсом? Плутанина та ж. Учні знають, що це відношення катетів, але проблема згадати який до якого належить - то чи протилежні до прилеглого, чи то навпаки.

визначення:

тангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого:

котангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до протилежного:

Як запам'ятати? Є два способи. Один так само використовує словесно-логічний зв'язок, інший - математичний.

СПОСІБ МАТЕМАТИЧНИЙ

Є таке визначення - тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:

* Запам'ятавши формулу, ви завжди зможете визначити, що тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого.

Аналогічно.Котангенсом гострого кута називається відношення косинуса кута до його синусу:

Отже! Запам'ятавши зазначені формули ви завжди зможете визначити, що:

- тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого

- котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до протилежного.

СПОСІБ словесно-логічного

Про тангенс. Запам'ятайте зв'язку:

Тобто якщо буде потрібно згадати визначення тангенса, за допомогою даної логічного зв'язку, ви без праці згадайте, що це

«... відношення протилежного катета до прилеглого»

Якщо мова зайде про Котангенс, то згадавши визначення тангенса ви без праці озвучите визначення котангенс -

«... відношення прилеглого катета до протилежного»

Є цікавий прийом із запам'ятовування тангенса і котангенс на сайті " математичний тандем " , Подивіться.

СПОСІБ УНІВЕРСАЛЬНИЙ

Можна просто зазубрити.Але як показує практика, завдяки словесно-логічним зв'язкам людина запам'ятовує інформацію надовго, і не тільки математичну.

Сподіваюся, матеріал був вам корисний.

З повагою, Олександр Крутицький

P.S: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт в соціальних мережах.

Поняття синуса, косинуса, тангенса і котангенс є основними категоріями тригонометрії - розділу математики, і нерозривно пов'язані з визначенням кута. Володіння цією математичною наукою вимагає запам'ятовування і розуміння формул і теорем, а також розвиненого просторового мислення. Саме тому у школярів і студентів тригонометричні обчислення нерідко викликають труднощі. Щоб побороти їх, слід докладніше познайомитися з тригонометричними функціями і формулами.

Поняття в тригонометрії

Щоб розібратися в базових поняттях тригонометрії, слід спочатку визначитися з тим, що таке прямокутний трикутник і кут в окружності, і чому саме з ними пов'язані всі основні тригонометричні обчислення. Трикутник, в якому один з кутів має величину 90 градусів, є прямокутним. Історично ця фігура часто використовувалася людьми в архітектурі, навігації, мистецтві, астрономії. Відповідно, вивчаючи і аналізуючи властивості цієї фігури, люди прийшли до обчислення відповідних співвідношень її параметрів.

Основні категорії, пов'язані з прямокутними трикутниками - гіпотенуза і катети. Гіпотенуза - сторона трикутника, що лежить проти прямого кута. Катети, відповідно, це інші дві сторони. Сума кутів будь-яких трикутників завжди дорівнює 180 градусам.

Сферична тригонометрія - розділ тригонометрії, який не вивчається в школі, проте в прикладних наукахтипу астрономії та геодезії, вчені користуються саме їм. Особливість трикутника в сферичної тригонометрії в тому, що він завжди має суму кутів більше 180 градусів.

кути трикутника

У прямокутному трикутнику синусом кута є відношення катета, протилежного шуканого кутку, до гіпотенузи трикутника. Відповідно, косинус - це відношення прилеглого катета і гіпотенузи. Обидва ці значення завжди мають величину менше одиниці, так як гіпотенуза завжди довше катета.

Тангенс кута - величина, що дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета шуканого кута, або ж синуса до косинусу. Котангенс, в свою чергу, це відношення прилеглого катета шуканого кута до протилежного кактету. Котангенс кута можна також отримати, розділивши одиницю на значення тангенса.

одиничне коло

Одиничне коло в геометрії - коло, радіус якої дорівнює одиниці. Така окружність будується в декартовій системі координат, при цьому центр окружності збігається з точкою початку координат, а початкове положення вектора радіуса визначено по позитивному напрямку осі Х (осі абсцис). Кожна точка окружності має дві координати: ХХ і YY, тобто координати абсцис і ординат. Вибравши на окружності будь-яку точку в площині ХХ, і опустивши з неї перпендикуляр на вісь абсцис, отримуємо прямокутний трикутник, утворений радіусом до обраної точки (позначимо її буквою С), перпендикуляром, проведеним до осі Х (точка перетину позначається буквою G), а відрізком осі абсцис між початком координат (точка позначена буквою а) і точкою перетину G. Отриманий трикутник АСG - прямокутний трикутник, вписаний в коло, де AG - гіпотенуза, а АС і GC - катети. Кут між радіусом окружності АС і відрізком осі абсцис з позначенням AG, визначимо як α (альфа). Так, cos α = AG / AC. З огляду на, що АС - це радіус одиничному колі, і він дорівнює одиниці, вийде, що cos α = AG. Аналогічно, sin α = CG.

Крім того, знаючи ці дані, можна визначити координату точки С на окружності, так як cos α = AG, а sin α = CG, значить, точка С має задані координати (cos α; sin α). Знаючи, що тангенс дорівнює відношенню синуса до косинусу, можна визначити, що tg α = y / х, а ctg α = х / y. Розглядаючи кути в негативній системі координат, можна розрахувати, що значення синуса і косинуса деяких кутів можуть бути негативними.

Обчислення і основні формули

Значення тригонометричних функцій

Розглянувши сутність тригонометричних функцій через одиничну окружність, можна вивести значення цих функцій для деяких кутів. Значення перераховані в таблиці нижче.

Найпростіші тригонометричні тотожності

Рівняння, в яких під знаком тригонометричної функції присутній невідоме значення, називаються тригонометричними. Тотожності зі значенням sin х = α, k - будь-яке ціле число:

1. sin х = 0, х = πk.
2. 2. sin х = 1, х = π / 2 + 2πk.
3. sin х = -1, х = -π / 2 + 2πk.
4. sin х = а, | a | > 1, немає рішень.
5. sin х = а, | a | ≦ 1, х = (-1) ^ k * arcsin α + πk.

Тотожності зі значенням cos х = а, де k - будь-яке ціле число:

1. cos х = 0, х = π / 2 + πk.
2. cos х = 1, х = 2πk.
3. cos х = -1, х = π + 2πk.
4. cos х = а, | a | > 1, немає рішень.
5. cos х = а, | a | ≦ 1, х = ± arccos α + 2πk.

Тотожності зі значенням tg х = а, де k - будь-яке ціле число:

1. tg х = 0, х = π / 2 + πk.
2. tg х = а, х = arctg α + πk.

Тотожності зі значенням ctg х = а, де k - будь-яке ціле число:

1. ctg х = 0, х = π / 2 + πk.
2. ctg х = а, х = arcctg α + πk.

формули приведення

Ця категорія постійних формул позначає методи, за допомогою яких можна перейти від тригонометричних функцій виду до функцій аргументу, тобто привести синус, косинус, тангенс і котангенс кута будь-якого значення до відповідних показників кута інтервалу від 0 до 90 градусів для більшої зручності обчислень.

Формули приведення функцій для синуса кута виглядають таким чином:

• sin (900 - α) = α;
• sin (900 + α) = cos α;
• sin (1800 - α) = sin α;
• sin (1800 + α) = -sin α;
• sin (2700 - α) = -cos α;
• sin (2700 + α) = -cos α;
• sin (3600 - α) = -sin α;
• sin (3600 + α) = sin α.

Для косинуса кута:

• cos (900 - α) = sin α;
• cos (900 + α) = -sin α;
• cos (1800 - α) = -cos α;
• cos (1800 + α) = -cos α;
• cos (2700 - α) = -sin α;
• cos (2700 + α) = sin α;
• cos (3600 - α) = cos α;
• cos (3600 + α) = cos α.

Використання вищевказаних формул можливо при дотриманні двох правил. По-перше, якщо кут можна уявити як значення (π / 2 ± a) або (3π / 2 ± a), значення функції змінюється:

• з sin на cos;
• з cos на sin;
• з tg на ctg;
• з ctg на tg.

Значення функції залишається незмінним, якщо кут може бути представлений як (π ± a) або (2π ± a).

По-друге, знак наведеної функції не змінюється: якщо він спочатку був позитивним, таким і залишається. Аналогічно з негативними функціями.

формули додавання

Ці формули виражають величини синуса, косинуса, тангенса і котангенс суми і різниці двох кутів повороту через їх тригонометричні функції. Зазвичай кути позначаються як α і β.

Формули мають такий вигляд:

1. sin (α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tg (α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α * tg β).
4. ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ці формули справедливі для будь-яких величин кутів α і β.

Формули подвійного і потрійного кута

Тригонометричні формули подвійного і потрійного кута - це формули, які пов'язують функції кутів 2α і 3α відповідно, з тригонометричними функціями кута α. Виводяться з формул додавання:

1. sin2α = 2sinα * cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
5. cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg ^ 3 α) / (1-tg ^ 2 α).

Перехід від суми до твору

З огляду на, що 2sinx * cosy = sin (x + y) + sin (x-y), спростивши цю формулу, отримуємо тотожність sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2. Аналогічно sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).

Перехід від добутку до суми

Ці формули випливають з тотожностей переходу суми в твір:

• sinα * sinβ = 1/2 *;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2 *.

Формули пониження степеня

У цих тождествах квадратну і кубічну ступеня синуса і косинуса можна виразити через синус і косинус першого ступеня кратного кута:

• sin ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
• cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
• sin ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
• cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
• sin ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
• cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

Універсальна підстановка

Формули універсальної тригонометричної підстановки висловлюють тригонометричні функції через тангенс половинного кута.

• sin x = (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), при цьому х = π + 2πn;
• cos x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (1 + tg ^ 2 x / 2), де х = π + 2πn;
• tg x = (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), де х = π + 2πn;
• ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), при цьому х = π + 2πn.

окремі випадки

Окремі випадки найпростіших тригонометричних рівнянь наведені нижче (k - будь-яке ціле число).

Приватні для синуса:

Приватні для косинуса:

Приватні для тангенса:

Приватні для котангенса:

теореми

теорема синусів

Існує два варіанти теореми - простий і розширений. Проста теорема синусів: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. При цьому, a, b, c - сторони трикутника, і α, β, γ - відповідно, протилежні кути.

Розширена теорема синусів для довільного трикутника: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. У цьому тотожність R позначає радіус кола, в який вписаний заданий трикутник.

теорема косинусів

Тотожність відображається таким чином: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. У формулі a, b, c - сторони трикутника, і α - кут, протилежний стороні а.

теорема тангенсів

Формула виражає зв'язок між тангенсом двох кутів, і довжиною сторін, їм протилежних. Сторони позначені як a, b, c, а відповідні протилежні кути - α, β, γ. Формула теореми тангенсів: (a - b) / (a ​​+ b) = tg ((α - β) / 2) / tg ((α + β) / 2).

теорема котангенсів

Пов'язує радіус вписаного в трикутник кола з довжиною його сторін. Якщо a, b, c - сторони трикутника, і А, В, С, відповідно, протилежні їм кути, r - радіус вписаного кола, і p - напівпериметр трикутника, справедливі такі тотожності:

• ctg A / 2 = (p-a) / r;
• ctg B / 2 = (p-b) / r;
• ctg C / 2 = (p-c) / r.

прикладне застосування

Тригонометрія - не тільки теоретична наука, пов'язана з математичними формулами. Її властивостями, теоремами і правилами користуються на практиці різні галузі людської діяльності - астрономія, повітряна і морська навігація, теорія музики, геодезія, хімія, акустика, оптика, електроніка, архітектура, економіка, машинобудування, вимірювальні роботи, комп'ютерна графіка, картографія, океанографії, і багато інших.

Синус, косинус, тангенс і котангенс - основні поняття тригонометрії, за допомогою яких математично можна виразити співвідношення між кутами і довжинами сторін в трикутнику, і знайти шукані величини через тотожності, теореми і правила.

Одним з розділів математики, з якими школярі справляються з найбільшими труднощами, є тригонометрія. Не дивно: для того щоб вільно оволодіти цією областю знань, потрібна наявність просторового мислення, вміння знаходити синуси, косинуси, тангенси, котангенс за формулами, спрощувати вирази, вміти застосовувати в обчисленнях число пі. Крім цього, потрібно вміти застосовувати тригонометрію при доказі теорем, а це вимагає або розвиненою математичної пам'яті, або вміння виводити непрості логічні ланцюжки.

витоки тригонометрії

Знайомство з цією наукою слід почати з визначення синуса, косинуса і тангенса кута, однак спочатку необхідно розібратися, чим взагалі займається тригонометрія.

Історично головним об'єктом дослідження даного розділу математичної науки були прямокутні трикутники. Наявність кута в 90 градусів дає можливість здійснювати різні операції, що дозволяють по двох сторонах і одному кутку або по двох кутах і одній стороні визначати значення всіх параметрів даної фігури. У минулому люди помітили цю закономірність і стали активно нею користуватися при будівництві будівель, навігації, в астрономії і навіть в мистецтві.

Початковий етап

Спочатку люди міркували про взаємовідносини кутів і сторін виключно на прикладі прямокутних трикутників. Потім були відкриті особливі формули, що дозволили розширити кордони вживання в повсякденному житті даного розділу математики.

Вивчення тригонометрії в школі сьогодні починається з прямокутних трикутників, після чого отримані знання використовуються учнями у фізиці і вирішенні абстрактних тригонометричних рівнянь, робота з якими починається в старших класах.

сферична тригонометрія

Пізніше, коли наука вийшла на наступний рівень розвитку, формули з синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали використовуватися в сферичної геометрії, де діють інші правила, а сума кутів в трикутнику завжди більше 180 градусів. Даний розділ не вивчається в школі, проте знати про його існування необхідно як мінімум тому, що земна поверхня, та й поверхню будь-якої іншої планети, є опуклою, а значить, будь-яка розмітка поверхні буде в тривимірному просторі «дугоподібної».

Візьміть глобус і нитку. Прикладіть нитку до двох будь-яким точкам на глобусі, щоб вона виявилася натягнутій. Зверніть увагу - вона знайшла форму дуги. З такими формами і має справу сферична геометрія, що застосовується в геодезії, астрономії та інших теоретичних і прикладних областях.

Прямокутний трикутник

Трохи дізнавшись про способи застосування тригонометрії, повернемося до базової тригонометрії, щоб в подальшому розібратися, що таке синус, косинус, тангенс, які розрахунки можна з їх допомогою виконувати і які формули при цьому використовувати.

Насамперед необхідно усвідомити поняття, які стосуються прямокутного трикутника. По-перше, гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти кута в 90 градусів. Вона є найдовшою. Ми пам'ятаємо, що по теоремі Піфагора її чисельне значення дорівнює кореню з суми квадратів двох інших сторін.

Наприклад, якщо дві сторони рівні 3 і 4 сантиметрам відповідно, довжина гіпотенузи складе 5 сантиметрів. До речі, про це знали ще стародавні єгиптяни близько чотирьох з половиною тисяч років тому.

Дві що залишилися боку, які утворюють прямий кут, звуться катетів. Крім того, треба пам'ятати, що сума кутів в трикутнику в прямокутній системі координат дорівнює 180 градусам.

визначення

Нарешті, твердо розуміючи геометричну базу, можна звернутися до визначення синуса, косинуса і тангенса кута.

Синусом кута називається відношення протилежного катета (т. Е. Сторони, що розташовується навпроти потрібного кута) до гіпотенузи. Косинусом кута називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Запам'ятайте, що ні синус, ні косинус не може бути більше одиниці! Чому? Тому що гіпотенуза - це за замовчуванням найдовша Яким би довгим не був катет, він буде коротше гіпотенузи, а значить, їх ставлення завжди буде менше одиниці. Таким чином, якщо у вас у відповіді до задачі вийшов синус або косинус зі значенням, більшим, ніж 1, шукайте помилку в розрахунках або міркуваннях. Ця відповідь однозначно невірний.

Нарешті, тангенсом кута називається відношення противолежащей боку до прилеглої. Той же самий результат дасть розподіл синуса на косинус. Подивіться: відповідно до формули ми ділимо довжину сторони на гіпотенузу, після чого ділимо на довжину другої сторони і множимо на гіпотенузу. Таким чином, ми отримуємо те ж саме співвідношення, що і у визначенні тангенса.

Котангенс, відповідно, являє собою відношення прилеглої до кута сторони до протилежної. Той же результат ми отримаємо, розділивши одиницю на тангенс.

Отже, ми розглянули визначення, що таке синус, косинус, тангенс і котангенс, і можемо зайнятися формулами.

найпростіші формули

У тригонометрії не обійтися без формул - як знайти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? А адже саме це потрібно при вирішенні завдань.

Перша формула, яку необхідно знати, починаючи вивчати тригонометрію, говорить про те, що сума квадратів синуса і косинуса кута дорівнює одиниці. Дана формула є прямим наслідком теореми Піфагора, проте дозволяє заощадити час, якщо потрібно дізнатися величину кута, а не сторони.

Багато учні не можуть запам'ятати другу формулу, також дуже популярну при вирішенні шкільних завдань: сума одиниці і квадрата тангенса кута дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса кута. Придивіться: адже це те ж саме твердження, що і в першій формулі, тільки обидві сторони тотожності були поділені на квадрат косинуса. Виходить, проста математична операція робить тригонометричну формулуабсолютно невпізнанною. Пам'ятайте: знаючи, що таке синус, косинус, тангенс і котангенс, правила перетворення і кілька базових формулви в будь-який момент зможете самі вивести необхідні більш складні формули на аркуші паперу.

Формули подвійного кута і складання аргументів

Ще дві формули, які потрібно вивчити, пов'язані зі значеннями синуса і косинуса при сумі і різниці кутів. Вони представлені на малюнку нижче. Зверніть увагу, що в першому випадку обидва рази перемножується синус і косинус, а в другому складається попарне твір синуса і косинуса.

Також існують формули, пов'язані з аргументами у вигляді подвійного кута. Вони повністю виводяться з попередніх - в якості тренування спробуйте отримати їх самостійно, прийнявши кут альфа рівним куту бета.

Нарешті, зверніть увагу, що формули подвійного кута можна перетворити так, щоб знизити ступінь синуса, косинуса, тангенса альфа.

теореми

Двома основними теоремами в базовій тригонометрії є теорема синусів і теорема косинусів. За допомогою цих теорем ви легко зможете зрозуміти, як знайти синус, косинус і тангенс, а значить, і площа фігури, і величину кожного боку і т. Д.

Теорема синусів стверджує, що в результаті поділу довжини кожної зі сторін трикутника на величину протилежного кута ми отримаємо однакове число. Більш того, це число буде дорівнює двом радіусів описаного кола, т. Е. Окружності, що містить всі точки даного трикутника.

Теорема косинусів узагальнює теорему Піфагора, проектуючи її на будь-які трикутники. Виявляється, з суми квадратів двох сторін відняти їх твір, помножене на подвійний косинус суміжного їм кута - отримане значення виявиться дорівнює квадрату третьої сторони. Таким чином, теорема Піфагора виявляється окремим випадком теореми косинусів.

Помилки через неуважність

Навіть знаючи, що таке синус, косинус і тангенс, легко зробити помилку через неуважність уваги або помилки в найпростіших розрахунках. Щоб уникнути таких помилок, ознайомимося з найбільш популярними з них.

По-перше, не слід перетворювати звичайні дроби в десяткові до отримання остаточного результату - можна і відповідь залишити у вигляді звичайного дробу, якщо в умові не обумовлено протилежне. Таке перетворення не можна назвати помилкою, однак слід пам'ятати, що на кожному етапі завдання можуть з'явитися нові коріння, які за задумом автора повинні скоротитися. В цьому випадку ви даремно витратите час на зайві математичні операції. Особливо це актуально для таких значень, як корінь з трьох або з двох, адже вони зустрічаються в задачах на кожному кроці. Те ж стосується заокруглень «негарних» чисел.

Далі, зверніть увагу, що до будь-якого трикутника може бути застосована теорема косинусів, але не теорема Піфагора! Якщо ви помилково забудете відняти подвоєний добуток сторін, помножене на косинус кута між ними, ви не тільки отримаєте абсолютно невірний результат, а й продемонструєте повне нерозуміння предмета. Це гірше, ніж помилка через неуважність.

По-третє, не плутайте значення для кутів в 30 і 60 градусів для синусів, косинусів, тангенсів, котангенсів. Запам'ятайте ці значення, адже синус 30 градусів дорівнює косинусу 60, і навпаки. Їх легко переплутати, внаслідок чого ви неминуче отримаєте помилковий результат.

застосування

Багато учнів не поспішають приступати до вивчення тригонометрії, оскільки не розуміють її прикладного сенсу. Що таке синус, косинус, тангенс для інженера або астронома? Це поняття, завдяки яким можна обчислити відстань до далеких зірок, передбачити падіння метеорита, відправити дослідницький зонд на іншу планету. Без них не можна побудувати будинок, спроектувати автомобіль, розрахувати навантаження на поверхню або траєкторію руху предмета. І це тільки найочевидніші приклади! Адже тригонометрія в тому чи іншому вигляді використовується всюди, починаючи від музики і закінчуючи медициною.

На закінчення

Отже, ви синус, косинус, тангенс. Ви можете використовувати їх в розрахунках і успішно вирішувати шкільні завдання.

Вся суть тригонометрії зводиться до того, що за відомими параметрами трикутника потрібно обчислити невідомі. Всього цих параметрів шість: довжини трьох сторіні величини трьох кутів. Все відмінність в задачах полягає в тому, що даються неоднакові вхідні дані.

Як знайти синус, косинус, тангенс виходячи з відомих довжин катетів або гіпотенузи, ви тепер знаєте. Оскільки ці терміни позначають не що інше, як відношення, а відношення - це дріб, головною метою тригонометричної завдання стає знаходження коренів звичайного рівняння або ж системи рівнянь. І тут вам допоможе звичайна шкільна математика.