Ovadaki seviye çizgisi. analitik geometri

Analitik geometrinin en önemli kavramları şunlardır: düzlükteki çizgi seviyesi.

Viznachennya. Düzlükteki çizgiler (eğriler) Oksi koordinatlardan memnun olana kıskançlık denir Xі sen Bu çizginin deri noktaları ve bu çizgi üzerinde yer almayan hiçbir noktanın koordinatlarından memnun değildir (Şekil 1).

Buzul formunda çizginin çizgisi şu şekilde yazılabilir: F(x, y) = 0 ya da başka y = f(x).

Popo. Noktadan eşit uzaklıkta olan yüzü olmayan noktaların seviyesini bulun A (-4; 2), B (-2; -6).

Karar. yakscho M(x;y)- aranan çizginin yeterli noktası (Şekil 2), o zaman şunları yapabiliriz: AM = BM ya da başka

Yeniden oluşturulduktan sonra kaldırılabilir

Fiyatın doğrudan olduğu açıktır. MD- kesitin ortasından çizilen dik AB.

Ovadaki kuru hatlar söz konusu olduğunda bunun önemi özellikle daha yüksek olabilir. düz. Vaughn bir grafikerdir doğrusal fonksiyonlar,Vikoristovaya çoğunlukla doğrusal ekonomik-matematiksel modellerin uygulanmasına odaklanır.

Katliamlar ve düz çizgiler:

1) kesme katsayısı k ve koordinat b ile:

y = kx + b,

doğrudan ve pozitif doğrudan eksen arasındaki kesme AH(Şek. 3).

Özel durumlar:

- doğrudan geç koçanı koordinatları(Şekil 4):

– açıortay birinci ve üçüncü, ikinci ve dördüncü koordinat haritaları:

y = + x, y = -x;

- dümdüz OX eksenine paralel ve kendim hepsi ah(Şekil 5):

y = b, y = 0;

- dümdüz OY eksenine paralel ve kendim hepsi OY(Şekil 6):

x = a, x = 0;

2) doğrudan bu yere ne gitmeli (Kesme katsayısı ile) belirli bir noktadan k (Şekil 7) :

Uyarılan savaşta k- yeterli bir sayı, ardından eşitleme anlamına gelir bir sürü düz olanlar, Noktadan ne geçilecek , Krem düz, eksene paralel Oy.

popobir (3, -2):

a) eksenin köşesinin altında AH;

b) eksene paralel OY.

Karar.

A), y - (- 2) = - 1 (x-3) ya da başka y = -x + 1;

B) x = 3.

3) verilen iki noktadan geçmek (Şekil 8) :

popo. Noktalardan geçmek için düz eğimler A (-5,4), B (3, -2).

Karar. ,

4) bölümlerdeki düz çizgi (Şekil 9):

de a, b - aynı eksenlerde görünen bölümler Öküzі Oy.

popo. Bir noktadan geçen düz eğimler bir (2, -1) Olumlu haberlerle doğrudan ilgili olan Oy olumlu bir artıştan ziyade bir kesinti Öküz(Şekil 10).

Karar. Tuvaletin arkasında b = 2a, Todi. Noktanın koordinatlarını kullanma C (2, -1):

Yıldızlar bir = 1,5.

Geri kalanı kaldırılabilir:

ya da başka y = -2x + 3.

5) doğrudan hizalama:

Ax + By + C = 0,

de Aі B sıfıra eşit değildir.

Bunlar doğrudan iletişimin önemli özellikleridir. :

1) d noktasından düz çizgiye kadar durun:

2) düz çizgiler ve çizgiler arasında:

3) doğrudan çizgilerin zihinsel paralelliği:

veya

4) düz çizgilerin zihinsel dikliği:

veya

popo 1. Bir noktadan geçen iki doğruya eşit eğimler bir (5.1), Bunlardan biri düz çizgilere paraleldir 3x + 2y-7 = 0, Diğeri ise aynı düz çizgiye diktir. Paralel çizgiler arasında nerede duracağınızı öğrenin.

Karar. Malyunok 11.

1) paralel düz çizgi seviyesi Ax + By + C = 0:

zihinsel paralellikten;

1'e eşit olan orantı katsayısının alınması elenir bir = 3, B = 2;

dolayısıyla 3x + 2y + C = 0;

önem Z t koordinatlarını değiştirerek biliyoruz. bir (5.1),

3 * 5 + 2 * 1 + C = 0, yıldızlar C = -17;

paralel çizgilerin seviyesi - 3x + 2y-17 = 0.

2) düz çizgiye dik seviye zihin dikliği matime görünümünden 2x-3y + C = 0;

koordinatların değiştirilmesi vb. bir (5.1), iptal edilebilir 2 * 5-3 * 1 + Ç = 0, yıldızlar C = -7;

Dik doğrunun seviyesi 2x-3y-7 = 0'dır.

3) paralel çizgiler arasında durun ayağa kalkmayı bilebilirsin. bir (5.1) doğrudan vazgeçildi 3x + 2y-7 = 0:

popo 2. Trikütanöz ağacın kenarlarının hizalanması verilmiştir:

3x-4y + 24 = 0 (AB), 4x + 3y + 32 = 0 (BC), 2x-y-4 = 0 (AC).

Sklasti Rivnyany bisektrik Kuta ABC.

Karar. Köşenin koordinatlarını zaten biliyoruz İÇİNDE trikütane:

Yıldızlar x = -8, y = 0, Daha sonra V (-8.0)(Şekil 12) .

İkiye bölme gücüne göre deri noktasından görünür. M(x,y), ikiye eşitler BD yanlara ABі Güneş eşittir, o halde

İki seviyeyi kaldırıyoruz

x + 7y + 8 = 0, 7x-y + 56 = 0.

Z malyunka 12 kutovy shukana doğrudan negatif katsayısı (kut z Ah aptal), oh, kıskançlıktan önce yaklaşmalıyız x + 7y + 8 = 0 ya da başka y = -1/7x-8/7.

Görünen o ki, düzlem üzerindeki herhangi bir nokta, herhangi bir koordinat sistemindeki iki koordinatla belirlenmektedir. Koordinat sistemleri taban ve koordinat sistemi seçimine göre değişiklik gösterebilir.

Viznachennya. eşit çizgiler doğrunun tamamını oluşturan noktaların koordinatları arasındaki y = f(x) ilişkisine denir.

Çizginin hizalanmasının parametrik bir şekilde ifade edilebilmesi önemlidir, böylece cilt noktasının cilt koordinatı bağımsız bir parametre aracılığıyla ifade edilir. T.

Karakteristik bir uç, çökme noktasının yörüngesidir. Bu durumda parametrenin rolü saat tarafından oynanır.

Ova düz ova üzerindedir.

Viznachennya. Kare üzerinde doğrudan birinci dereceden eşitlere verilip verilemeyeceği

Balta + Wu + C = 0,

Üstelik A, B sabiti gece boyunca sıfıra eşit değilse A 2 + B 2 ¹ 0 olur. Birinci dereceden törene denir. Zagalnym düz çizgilerine.

Güvenilir değer kalıcı A, Bі Olası olaylarla:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - koordinat koçanı içinden düz bir çizgi geçer

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - Ox eksenine doğrudan paralel

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) - Oy eksenine doğrudan paralel

B = C = 0, A ¹ 0 - doğrudan tüm Oy'dan çalışır

A = C = 0, B ¹ 0 - doğrudan en üste gider Oh

Rivnyannya doğrudan şu şekilde sunulabilir: farklı görünüm koçanı zihinlerin herhangi bir görevinin yokluğunda.

Düz bir çizginin noktaya ve normal vektöre göre hizalanması.

Viznachennya. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip vektör, Ax + Bw + C = 0 doğrularının verdiği düz çizgiye diktir.

Popo. A (1, 2) noktasından (3, -1) vektörüne dik olarak geçen doğrunun doğrusunu bulun.

A = 3 ve B = -1'de toplandığında, düz çizginin seviyesi: 3x - y + C = 0 olur. C katsayısını bulmak için, ifadede verilen A noktasının koordinatlarını yerine koyarız.

Eleyin: 3 - 2 + C = 0, sonra C = -1.

Birlikte: shukane rivnyannya: 3x - y - 1 = 0.

Doğru düzdür ve iki noktadan geçer.

Verilen uzayda iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktasını bulun ve bu noktalardan geçecek bir düz çizgi hizalayın:

Göstericilerden herhangi biri sıfıra eşitse diğer sayıyı sıfıra eşitleriz.

Meydanın üzerinde düz çizginin veda edeceği yazıyor:

eğer x 1 ¹ x 2 ve x = x 1 ise, eğer 1 = x 2.

Drib = k denir Kutovym katsayısı dümdüz.

Popo. A (1, 2) ve B (3, 4) noktalarından geçen düz çizgiyi bulun.

Zastosov, kaldırılabilecek üstün bir formül yazdı:

Nokta ve kesme katsayısına göre doğrudan hizalama.

Ax + Wu + C = 0 doğrudan doğrusunu aşağıdaki forma getirmek için:

Bu da otrimany'nin çağrıldığı anlamına gelir kesme katsayısı k ile doğrudan eşittir.

Düz bir çizginin bir noktaya ve yön vektörüne göre hizalanması.

Düz bir çizginin normal bir vektör boyunca hizalanmasını dikkate alan noktaya benzetme yaparak, bir noktadan geçen düz bir çizginin ve bir düz çizgi vektörünün tanımını girebilirsiniz.

Viznachennya. Bileşenleri AA 1 + Ba 2 = 0 aklını tatmin eden sıfır olmayan bir vektöre (a 1, a 2) doğrudan vektör denir

Balta + Wu + C = 0.

Popo. Düz çizginin düz vektör (1, -1) ile hizalamasını bulun ve A (1, 2) noktasından geçin.

Tam olarak aynı çizgi şu şekilde görünecektir: Ax + By + C = 0. Katsayılar elbette akılları tatmin edecektir.

1 0 . Kutupsal koordinat sistemi. Üzerinde bir nokta olduğu için düzleme kutupsal bir koordinat sisteminin getirildiğini söyleyeceğiz. Ö- kutup, eksi, kutuptan ne ayrılmalı Ö- bütün ve büyük ölçekli bölüm kutupsaldır.

Merhaba M- direğe yakın olmayan yeterli bir düzlem noktası Ö(Şek.3.4 xx). Noktanın ilk kutupsal koordinatı M(Kutup yarıçapı) noktanın üzerinde durmaya denir M direğe Ö. diğeri noktanın kutupsal koordinatına göre M(Veya genlik) kut olarak adlandırılır kutup ekseninin görünümü (değişim
) Değiştirmeden önce OM. nokta için Ö Saygı
,- epeyce bir sayı.

Kutupsal koordinatların değeri ve geometrik anlamı görülebilir.

arasında kalan başka bir koordinatın değeri
kuta'nın müstehcen anlamlarını çağırmak .

Saygı. Kutupsal koordinat sisteminde düzlemin noktaları ile sıralı sayı çiftleri arasında bire bir ilişki yoktur ( ,):(,) Düzlemin tek bir noktasıyla gösterilir, ancak
anonim buhar önerir ( ,+
).

bir nokta belirlemek M kutupsal koordinat sisteminde iki sayı koymak anlamına gelir і :M(,).

Bir noktanın Kartezyen ve kutupsal koordinatları (biri veya diğeri) arasında bağlantı kurmak mümkündür. M.

Bunun için eksenleri tanıtıyoruz
і
Şekil 3.5 xx'te gösterildiği gibi. Kutup sisteminin büyük ölçekli görünümü
Kartezyen sistemin büyük ölçekli bir bölümü olarak alınmıştır
.

Merhaba
- Kartezyen,
- gerçek noktanın kutupsal koordinatları M. Daha sonra

ve geri,

Aşağıdaki formüller (3.2) kutupsal koordinatlardan Kartezyen olanlara, (3.2 ')'ye göre Kartezyen koordinatlardan kutupsal olanlara gider.

2 0 . Çizgiler ve çizgiler kavramı. Doğru kavramı matematikte anlaşılması gereken en önemli kavramlardan biridir. Çizginin gizli anlamı topolojide (matematik dallarından biri) verilmektedir. Geçen yüzyılın yirmili yıllarında Radyan matematikçi P.S. Urison tarafından götürüldü.

Burada rahatsız etmeyeceğiz belirlenen hatlara ; denilenden daha fazla bir anlamı yok eşit çizgiler .

değer 1. Çizgiler (ortalama ( L), Abo L- kolsuz) Kartezyen koordinat sisteminde seviye olarak adlandırılır

, (3.3)

koordinatlardan kim memnun
tüm noktalar
Ve yalnızca bu tür noktaları koordine edin (çizgi üzerinde yer almayan bir noktayı koordine etmek için) L, (3.3)'ü tatmin etmeyin - onu aynı şekilde yok etmeyin).

Zokrema, çizgi çizgisi L lütfen görebilir misiniz:

. (3.3’)

Vicenza 2. Kutupsal koordinat sistemindeki bir doğrunun hizalanmasına hizalama denir

, (3.4)

Kutupsal koordinatlardan kim memnun?
tüm noktalar
Ve yalnızca bu tür noktaların koordinatları.

Zokrema, çizgi çizgisi L kutupsal koordinatlarda şunları görebilirsiniz:

. (3.4’)

3. yardımcısı. Parametrik çizgiler L Kartezyen koordinat sisteminde eşit görünüme denir

(3.5)

işlevler
і
bir ve aynı belirlenmiş alanı çizin - uzay T.
nokta gösterir
görüntülenen çizgiler Lі
gerçek anlamına karşılık gelir
(tobto

ne olmuş
і
noktanın koordinatları olacak M).

saygı 1. Çizginin parametrik hizalaması kutupsal koordinatlarda aynı şekilde hesaplanır.

saygı 2. Analitik geometri sürecinde (düzlemde) iki ana görev dikkate alınır:

1) bir düzlemdeki belirli bir çizginin geometrik gücüne bağlı olarak; eğimler ve eşitlikler;

2) çizginin hizalaması görülebilir L; bu çizgiyi oluşturmak, geometrik güçleri oluşturmak.

Hadi bir bakalım.

popo 1. Rivnyanya hissesini bulun L yarıçap R merkezi tam olarak konumlanmış olan
(Şekil 3.6 xx).

Saygı.İlk önce, daha sonra en yüksek seviyeye, özel saygıya geçin (tamamlanması ve daha da ileri gitmesi gerekir): bir noktanın geometrik konumunu belirleme sorununun çözümü, koordinatlarla yeterli bir ("akış") noktasının getirilmesiyle başlar.
Bu geometrik yer.

Karar. hadi tam duralım
- yeterli bahis noktası L. Belirtildiği gibi daire, sabit noktadan (merkezden) eşit uzaklıktaki noktaların geometrik konumudur: SANTİMETRE.= R. Aşağıdaki formül (2.31) (şunların dahil edilmesini gerektirir:
) Bilinen:

(3.6)

.- çemberi eşitleyin.

yakscho merkezi Z koordinatların koçanı üzerinde yatın, o zaman
ve eşit

(3.6’)

Bu böyle bir daireye eşittir.

popo 2. çarpık olmama izin ver L arkadaşlarına sordu:
. Biraz çarpık ol; yükleyin, noktadan geçin
? nokta boyunca
?

Karar. Bu denklemin sol kısmını içindeki kareleri görerek dönüştürelim: veya
- bu noktada merkezin etrafında tören anlamına gelir
yarıçap
.

noktanın koordinatları
dairenin hizalanmasından memnun: - nokta Ö bir daire üzerinde uzanın; aynı noktaları koordine etmek
çevrenin düzgünlüğünden memnun değil.

popo 3. Noktadan uzaktaki noktaların geometrik konumunu bulun
iki kez daha ileride, noktanın altında
.

Karar. Merhaba
- (shukan) geometrik yerinin tam noktası. Daha sonra akıldan şunu yazıyoruz:.

Kare bilinmektedir ve çözülebilir:

- Shukan yeri, noktası merkezi olan bir dairedir
ve yarıçap R=10.

Uç kısmını kutupsal koordinat sisteminde belirlenen çizgi seviyesine doğrultalım.

popo 4. Sklasti Rivnyanya hisse yarıçapı R direğe ortalanmış Ö.

Karar. Merhaba
є yeterli risk noktası L(Şekil 3.7 xx). Daha sonra
ya da başka

(3.7)

- Kazığın üzerindeki noktalar kıskançlığı ne kadar tatmin ediyor? L, Ve üzerlerine yalan söylememek için noktaları tatmin etmeyin.

popo 5. Bir noktadan geçen düz eğimler
kutup eksenine paraleldir (Şekil 3.8 xx).

Karar. 3 düz kesim trikütanöz OAMçığlıklar, ne
- Düz çizgiyi kutupsal koordinat sistemine göre hizalayabiliriz.

Saygı. Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizginin hizalanması:
; ikame
h (3.2), reddedilebilir
ya da başka
.

popo 6. Çarpık ol.

Karar. Eğrinin kutup eksenine simetrik olduğunu lütfen unutmayın:
=
=
=
. Önemli olan bu
, Önemli olan bu
.

Hadi kutup bölgesine gidelim Farklı değerler = 0 ila =ve aşağıdaki değerler belirlenir . Bunu Tablo 1’e yazalım.

Tablo 1.

noktadan Ö takas yapılıyor
,
,…,
,
ve üzerlerine kesikler koyun
,
,…,
,
. Noktalar aracılığıyla
,
,…,
,
düzgün bir çizgi çizin - eğrinin üst yarısını kaldırın. Alttaki, üsttekinin kutup ekseni boyunca simetrik yansımalarıyla üretilir.

Ortaya çıkan kapalı eğriye (Şekil 3.9 xx) kardioid (kalp şeklinde) denir.

popo 7. Satır numarasını kaydet
(Eşkenar hiperbol) kutupsal koordinat sisteminde.

Karar. yer değiştirmek Xі sen(3.2) formüllerinden sonra atlanır, i
Bu, kutupsal koordinat sistemindeki belirli bir çizginin hizalanmasıdır.

popo 8. Eğriyi yazın
dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde.

Karar. Görünümün eğrisini yazalım
. Formülleri (3.2') kullanarak onu şu şekle dönüştürebiliriz:
; denklemin karesini alın, garip dönüşümlerden sonra denkleme geleceğiz
- Bu eğriye parabol denir (Aşağıdaki bölüm).

popo 9. Parametrik eğrinin ucunu işaret edelim. Yarıçapın çevresi verilsin R merkezi koordinat koçanı üzerinde olacak şekilde
– Kartezyen koordinatları akış noktaları M:M
. Devam et, devam et,
- aynı noktanın kutupsal koordinatları. Formül (3.2) için o zaman

parametre T 0'dan 0'a kadar tüm değerleri kabul eder
, Є ölçülen dairenin hizalanmasına parametriktir.

yakscho merkezi Z arazilerin tam koordinatlarındaki daireleri
, Sonra, göstermesi önemli olmadığı için formüle edin

alt dairenin parametrik hizalamasını verin.

Geçmişteki materyallerde doğrudan yüzeyde tartışılan ana noktalara baktık. Şimdi düz çizgiye geçelim: Düz çizginin nasıl düz çizgi olarak adlandırılabileceğine ve düz çizginin düzlemde nasıl göründüğüne bakalım.

Düz düzlemde önemli düzeyde tesviye

Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi O x y'de belirtildiği gibi bunun düz bir çizgi olması kabul edilebilir.

değer 1

Düz- bu geometrik şekil, Yak bir noktaya kadar katlanır. Dış görünüm noktası, absis ve ordinat eksenleri boyunca koordinatlarını gösterir. O x y Kartezyen sisteminde doğrunun dış yüzeyinin koordinatlarının konumunu tanımlayan doğruya, doğrunun düzlem üzerindeki doğrusu denir.

Aslında bir düz çizginin bir düzlem üzerindeki hizalaması, x ve y olarak adlandırılan iki değişkenin hizalanmasıdır. Düz bir çizgi üzerindeki bir noktayı yeni bir değerle değiştirdiğimizde çizgi aynı hale gelir.

Anne ovasının düzlükteki görünümüne hayret edelim. İstatistiklerimizin önümüzdeki bölümünün tamamı kime adanacak. Doğrudan karşılaştırmayı kaydetmek için çeşitli seçeneklerin olması önemlidir. Düzlemde düz bir çizgi tanımlamanın çeşitli yolları olduğu gibi işin farklı özellikleri de anlatılmaktadır.

O x y Kartezyen koordinat sisteminde bir düzlem üzerindeki düz bir çizginin hizalanma türünü tanımlayan teoremi anlıyoruz.

Teorem 1

A x + B y + C = 0 formuna uygunluk (burada x ve y değişebilir ve A, B ve C'nin tümü gerçek sayılardır ve A ve B sıfıra eşit değildir), Kartezyen'de düz bir çizgiyi tanımlar. koordinat sistemi O x y . Sizin durumunuzda, eğer bir düzlemde düz bir çizgi varsa, bu A x + B y + C = 0 formunun eşitlerine verilebilir.

Böylece düzlemdeki düz çizginin düz çizgisi A x + B y + C = 0 gibi görünür.

Bu önemli hususları açıklayalım.

popo 1

Küçüklere hayret edin.

Sandalyenin üzerindeki çizgi, onu düz bir çizgi yapan herhangi bir noktanın koordinatları çizgilerle tutarlı olduğundan 2 x + 3 y - 2 = 0 olarak gösterilir. Aynı zamanda 2 x + 3 y - 2 = 0 denklemleriyle gösterilen alanın nokta sayısını da söylüyorum, bize küçükte aradığımız düz bir çizgi veriyor.

Doğrudan hizalama aşırı veya dolaylı olabilir. A, B ve C sayıları sıfıra eşittir. Diğer tüm durumlarda kıskançlık daha az önem taşır. A x + B y = 0 formuna göre koordinat kökünden geçen düz bir çizgi anlamına gelir. A sıfıra eşitse, eşit A x + B y + C = 0, apsis ekseni O x'e paralel hareket eden düz bir çizgiyi belirtir. B sıfıra eşitse, çizgi O y ordinat eksenine paraleldir.

Özet: A, B ve C sayılarının belirli bir değer kümesiyle, ek bir düz çizgi kullanarak, O x y dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemdeki herhangi bir düz çizgiyi yazabilirsiniz.

A x + B y + C = 0 formunda verilen doğru, koordinatları A, B olan doğrunun normal vektörüdür.

Aşağıda göreceğimiz gibi tüm düz çizgiler doğrudan çizgiden kaldırılabilir. O kadar yetenekli ve kapı süreci Yukarıda belirtilen rekabetlerden herhangi biri doğrudan rekabet düzeyine getirilebilirse.

Tüm nüanslar hakkında daha fazla bilgiyi “Doğrudan Rekabet” makalesinde bulabilirsiniz. Materyallerde teoremin kanıtını grafik resimlerle ve uygulamalara ilişkin bir raporla sunuyoruz. İstatistiklerde, doğrudan yasal düzeyden diğer türlere ve geriye doğru geçişlere özel bir saygı gösterilir.

Bölümlerdeki düz çizgi x a + y b = 1 gibi görünür; burada a ve b'nin tümü sıfıra eşit olmayan gerçek sayılardır. mutlak değerler a ve b sayıları koordinat eksenleri üzerinde düz bir çizgiyle kesişen iki bölüme eşittir. Kesimlerin çoğunluğu koordinatlara eklenir.

Sandalye üzerinde kolaylıkla düz bir çizgi oluşturabilirsiniz. Bunu yapmak için dikdörtgen koordinat sisteminde a, 0 ve 0, b noktalarını belirlemeniz ve ardından bunları düz bir çizgiyle bağlamanız gerekir.

popo 2

Basitçe x 3 + y - 5 2 = 1 formülüyle ifade edelim. Grafikte 3, 0, 0, - 5 2 olmak üzere iki noktayı gösterip bunları birbirine bağlıyoruz.

Cebir dersi bilgimizin sorumlusu y = k x + b olduğu için bu doğrudur. Burada x ve y değişimlerdir, k ve b aktif sayılardır ve k bunların katsayısıdır. Bu denklemlerde x argümanının fonksiyonu değiştirilmiştir.

Damo kesme katsayısının değerini, O x ekseninin pozitif düz çizgisine doğru düz bir çizgi boyunca kesimin değerinden geçirin.

Vicenza 2

Kartezyen koordinat sisteminde kesme noktasını düz çizgiden O x ekseninin pozitif düz çizgisine atamak için kesme değeri α'yı giriyoruz. Yön, apsis ekseninin pozitif yönünden yıl okunun karşısındaki düz bir çizgiye çizilir. Doğrunun Ox eksenine paralel olması veya ondan uzaklaşması durumunda α sıfıra eşittir.

Doğrunun katsayısı doğrunun tanjantıdır. Bu şekilde yazılır k = t g α. O eksenine paralel dönen veya ondan sapan bir düz çizgi için, düz çizginin kesme katsayısı ile hizalamasını yazmak mümkün görünmemektedir, çünkü bu durumda kesme katsayısı birkaç öneme dönüşmektedir (mevcut değildir) ).

y = k · x + b düzeyleriyle verilen düz çizgi, ordinat ekseni üzerindeki 0, b noktasından geçer. Bu, düz çizginin kesme katsayısı y = k x + b ile hizalanmasının, düzlem üzerinde 0, b noktasından geçen ve k ile O x ekseninin pozitif düz çizgisine sahip bir α kesimi oluşturan düz bir çizgiyi tanımladığı anlamına gelir. = tgα.

popo 3

Bu, y = 3 x - 1 formuna eşit olan düz bir çizgi ile hayal edilebilir.

Bu doğru (0, - 1) noktasından geçmelidir. Nahilu'yu kes α = a r c t g 3 = π 3, Ox ekseninin pozitif yönüne doğru 60 derece artar. Kutovy katsayısı 3'e eşittir

Kesme katsayısıyla doğrudan karşılaştırma yardımıyla fonksiyonun grafiğine tam olarak yeterli olan bir korelasyon bulmanın zaten kolay olduğunu takdir ediyoruz.

Konuyla ilgili daha fazla materyali “Küresel katsayı ile doğrudan karşılaştırma” makalesinde bulabilirsiniz. Teorinin yanı sıra çok sayıda grafik uygulaması ve rapor analizi görevler.

Bu denklem türü şöyle görünür: x - x 1 a x = y - y 1 a y, burada x 1, y 1, a x, a y - bunların hepsi gerçek sayılardır ve a x ve a y sıfıra eşit değildir.

Kanonik düz çizgilerle verilen düz bir çizgi M 1 (x 1, y 1) noktasından geçer. Kesir işaretlerindeki a x ve a y sayıları düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarıdır. Bu, Kartezyen koordinat sistemi O xy'deki x - x 1 ax = y - y 1 ay düz çizgisinin kanonik hizalamasının, M 1 (x 1, y 1) noktasından ve a yön vektöründen geçen çizgiyi temsil ettiği anlamına gelir. → = ( balta , ay).

popo 4

O x y koordinat sisteminde x - 2 3 = y - 3 çizgilerine verilen düz bir çizgi ile temsil edilebilir. Bölüm 1. M 1 (2, 3) noktası düz bir çizgi üzerinde bulunur, a → (3, vektör) vektörü 1) bu düz çizginin düz çizgi vektörüdür.

x - x 1 a x = y - y 1 a y formundaki bir düz çizginin kanonik eşitliği, eğer a x veya a y sıfıra eşitse denklemlerde düzeltilebilir. İşarette sıfır bulunması, x - x 1 a x = y - y 1 a y girişini zihinsel kılar. Rivnyanya şu şekilde yazılabilir: a y (x - x 1) = a x (y - y 1).

Bu durumda, eğer a x = 0 ise, düz çizginin kanonik çizgisi x - x 1 0 = y - y 1 a y formunu alır ve ordinat eksenine paralel olarak çizilen veya bütün tarafından kaçınılan bir düz çizgiyi belirtir.

Düz bir çizginin a y = 0 ile kanonik hizalaması x - x 1 a x = y - y 1 0 görünümünü verir. Bu hizalama, absis eksenine paralel olarak çizilen veya onun tarafından kaçınılan bir düz çizgiyi tanımlar.

Kanonik rekabet konusu hakkında daha fazla materyal için buraya bakın. İstatistiklerimiz, sorunlara çok çeşitli çözümler sunmanın yanı sıra konuyu daha iyi anlamamızı sağlayan sayısal uygulamalar da sağlar.

Düzlemdeki düz bir çizginin parametrik hizalanması

Veriler şu şekilde görünebilir: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, burada x 1, y 1, a x, a y - bunların hepsi aktif sayılardır ve a x ve a y sıfıra eşit olamaz Aynı zaman. Formülde, herhangi bir operasyonel değer için kullanılabilecek ek bir λ parametresi eklenmiştir.

Parametrik hizalamanın amacı, düz bir çizgi üzerindeki noktaların koordinatları arasında örtülü ilişkiler kurmaktır. Bunun için λ parametresi girilir.

X, y sayıları doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarıdır. Sonuçlar, λ parametresinin belirli bir aktif değerindeki parametrik düz çizgilere dayalı olarak hesaplanır.

popo 5

λ = 0 olduğunu varsayalım.

O halde x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1, yani (x 1, y 1) koordinatlarına sahip nokta düz bir çizgi üzerinde yer alır.

Bu formdaki λ parametreli a x ve a y katsayılarının, düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarına eşit olduğu gerçeğine saygınızı sunarız.

popo 6

Düz bir çizginin parametrik hizalamasına x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ formunda bakalım. Kartezyen koordinat sisteminde çizgilerle tanımlanan düz çizgi (x 1, y 1) noktasından geçer ve a → = (3, 1) yön vektörüne sahiptir.

Daha fazla bilgi için “Düzlemde parametrik düz çizgiler” makalesine bakın.

Düz çizginin normal hizalaması A x + B y + C = 0'a benzer; burada A, B ve C sayıları n → = (A, B) vektörünün toplamı birden fazla olacak şekildedir ve C ≤ 0.

O x y dikdörtgen koordinat sisteminde bir düz çizginin normal seviyelerine verilen bir çizginin normal vektörü, n → = (A, B) vektörüdür. Bu, koordinatlardan n → = (A, B) vektörü yönünde C doğrusu üzerinden geçen düz bir çizgidir.

Düz bir çizginin normal vektörünü yazmak için başka bir seçenek cos α x + cos β y - p = 0'dır; burada cos α ve cos β, düz bir çizginin normal vektörünün doğrudan kosinüslerini temsil eden iki gerçek sayıdır. Bu, n → = (cos α, cos β), n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 eşitliğinin doğru olduğu, p ≥ 0 değerinin ve koordinatların kökünden düz çizgiye olan mesafenin doğru olduğu anlamına gelir.

popo 7

Yeraltı seviyesine bir göz atalım - 1 | 2 x + 3 2 × y - 3 = 0. Düz çizginin bu eşitlenmesi, düz çizginin normal hizalamasına eşittir, çünkü n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 і C = - 3 ≤ 0.

Çizgi, normal vektörü gönderen - 1 2, 3 2'nin koordinatları olan Kartezyen koordinat sistemi 0xy'de düz bir çizgiyi tanımlar. Çizgi, koordinatların kökeninden normal vektör yönünde 3 birim uzaklaştırılır. n → = - 1, 2, 3 2.

Düzlemdeki düz bir çizginin normal hizalanmasının, düzlemdeki bir noktadan düz çizgiye olan mesafeyi bulmanıza olanak sağladığına saygınızı sunarız.

Yakshcho'da Zagalom Rivnyany düz çizgiler A x + B y + C = 0 sayıları A, B ve C A x + B y + C = 0 denklemi normal düz çizgilere karşılık gelmediğinden normal görünüme kavuşturulabilir. Bununla ilgili daha fazla bilgiyi “Normal düz çizgi” makalesinde okuyun.

Metinde bir iyilik işaretlediyseniz lütfen onu görün ve Ctrl + Enter tuşlarına basın.

Anlamı: Doğrunun çizgileri, doğrunun tamamını oluşturan noktaların koordinatları arasındaki y = f(x) ilişkisine denir.

Çizginin hizalanmasının parametrik bir şekilde ifade edilebilmesi önemlidir, böylece cilt noktasının cilt koordinatı bağımsız bir parametre aracılığıyla ifade edilir. T. Karakteristik bir uç, çökme noktasının yörüngesidir. Bu durumda parametrenin rolü saat tarafından oynanır.

Katliamlar ve düz çizgiler

Zagalne düz çizgisi.

Kare üzerinde doğrudan birinci dereceden eşitlere verilip verilemeyeceği

Balta + Wu + C = 0,

Üstelik A, B sabiti aynı anda sıfıra eşit değilse A 2 + B 2 ¹ 0 olur. Birinci dereceden mertebeye doğrudan denklem denir .

Sonraki olası düşüşlerin A, B ve C sabitinin anlamını hesaba katmak önemlidir:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - koordinat koçanı içinden düz bir çizgi geçer

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - Ox eksenine doğrudan paralel

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) - Oy eksenine doğrudan paralel

B = C = 0, A ¹ 0 - doğrudan tüm Oy'dan çalışır

A = C = 0, B ¹ 0 - doğrudan en üste gider Oh

Doğrudan hat, ilk beyinlerin görevlerine bağlı olarak farklı şekillerde sunulabilir.

Doğru düzdür ve iki noktadan geçer.

Verilen uzayda iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktasını bulun ve bu noktalardan geçecek bir düz çizgi hizalayın:

Gösterenlerden herhangi biri sıfıra eşitse diğer sayıyı sıfıra eşitleriz. Meydanın üzerinde düz çizginin veda edeceği yazıyor:

eğer x 1 ¹ x 2 ve x = x 1 ise, eğer 1 = x 2.

Drib = k'ye direkt katsayı denir.

Nokta ve kesme katsayısına göre doğrudan hizalama.

Ax + Wu + C = 0 doğrudan doğrusunu aşağıdaki forma getirmek için:

Bu da düşülen eşitlemeye kesme katsayısı k ile doğrudan eşitleme adı verildiği anlamına gelir.

Çizgi kesiklerden düzdür.

Gerçek düz çizgide Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0 olduğundan, -С'ye bölerek şunları kaldırırız: veya

geometrik anlamda bu katsayıdaki katsayılar Aє düz çizginin çapraz çubuğunun noktasının tam nokta ile koordinatı Oh, ah B- noktanın koordinatı, tüm Oy ile düz çizginin çapraz çubuğudur.

Normal hizalama düzdür.

Ax + Wu + C = 0 denkleminin rahatsız edici kısımları, çarpan tarafından normalleştirilmiş olarak adlandırılan bir sayıya bölünürse elenir

xcosj + ysinj - p = 0 -

normal hizalama düzdür.

± işareti, m × C olacak şekilde seçilmesi gereken çarpanları normalleştirir.< 0.

p, düz çizgi üzerindeki koordinatların başlangıcından indirilen dikin derinliğidir ve j, Ox ekseninin pozitif düz çizgisine dik olanın kesilmesidir.

Düzlükte düz çizgiler arasında kesin.

İki düz çizgi verilirse y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, bu düz çizgiler arasındaki mesafe şu şekilde hesaplanacaktır:

k 1 = k 2 olduğundan iki doğrudan paralel.

k 1 = -1 / k 2 olduğundan iki doğru birbirine diktir.

Teorem. Doğrudan Ax + Bу + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralel, eğer orantısal katsayılar A 1 = La, B 1 = lb. Ayrıca C1 = LC ise düz çizgilerden kaçınılır.

İki seviyeli sistemin çözümü olarak iki düz çizgi arasındaki noktanın koordinatları belirlenmektedir.

Noktadan düz çizgiye doğru durun.

Teorem. M (x 0, y 0) noktası verilirse, Ax + Bу + C = 0 düz çizgisine olan mesafe şu şekilde belirlenir:

Ders 5

Analize giriş. Bir değişkenli fonksiyonların diferansiyel sayısı.

FONKSİYONLAR ARASI

Tam olarak işlevler arasında.

0 a - D a a + D x

Malyunok 1. Fonksiyonlar arasında tam olarak.

f(x) fonksiyonunun herhangi bir x = a noktasında tanımlı olmasına izin verin (o zaman tam x = a noktasında fonksiyon tanımlı olmayabilir)

Viznachennya. A sayısına x®a için f(x) fonksiyonunun sınırı denir, çünkü herhangi bir e> 0 için ayrıca bir D> 0 sayısı vardır ve tüm x için öyle ki

0 < ïx - aï < D

gerçek sinirlilik ïf (x) - Aï< e.

Aynı anlamlar farklı biçimde yazılabilir:

Yakscho a - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Bir fonksiyonun sınırını tam olarak kaydetme:

randevu.

Eğer f(x) ® A 1 x ®'de ve yalnızca x'te ise< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a ise buna f(x) fonksiyonunun x = a sağ noktasındaki sınırı denir.

f(x) fonksiyonu x = a noktasında tanımlı olmayıp, bu nokta etrafındaki küçük bir alanda tanımlanmışsa hesaplamanın yapılması daha önemlidir.

A 1 ile A 2 arasına da denir tek taraflı x = a noktasında f(x) fonksiyonları arasında. Ayrıca öyle görünüyor ki A - fonksiyonlar arasındaki terminal f(x).