Z - вектор зовнішніх впливів, Z = t,

t – координата часу.

Побудова математичної моделіполягає у визначенні зв'язків між тими чи іншими процесами та явищами, створенні математичного апарату, що дозволяє висловити кількісно та якісно зв'язок між тими чи іншими процесами та явищами, що цікавлять фахівця. фізичними величинами, та факторами, що впливають на кінцевий результат.

Зазвичай їх виявляється настільки багато, що ввести в модель всю їхню сукупність не вдається. При побудові математичної моделіперед дослідженням виникає завдання виявити та виключити з розгляду фактори, які несуттєво впливають на кінцевий результат ( математична модельзазвичай включає значно менше факторів, ніж у реальній дійсності). На основі даних експерименту висуваються гіпотези про зв'язок між величинами, що виражають кінцевий результат, і факторами, введеними в математичну модель. Такий зв'язок найчастіше виражається системами диференціальних рівнянь у приватних похідних(наприклад, у завданнях механіки твердого тіла, рідини та газу, теорії фільтрації, теплопровідності, теорії електростатичного та електродинамічного полів).

Кінцевою метою цього етапу є формулювання математичної задачі, розв'язання якої з необхідною точністю висловлює результати, що цікавлять фахівця.

Форма та принципи подання математичної моделізалежить багатьох чинників.

За принципами побудови математичні моделіподіляють на:

1. аналітичні;
2. імітаційні.

У аналітичних моделях процеси функціонування реальних об'єктів, процесів чи систем записуються як явних функціональних залежностей.

Аналітична модель поділяється на типи залежно від математичної проблеми:

1. рівняння (алгебраїчні, трансцендентні, диференціальні, інтегральні),
2. апроксимаційні завдання (інтерполяція, екстраполяція, чисельне інтегруванняі диференціювання),
3. завдання оптимізації,
4. стохастичні проблеми.

Однак у міру ускладнення об'єкта моделювання побудова аналітичної моделі перетворюється на складну проблему. Тоді дослідник змушений використовувати імітаційне моделювання.

У імітаційне моделюванняфункціонування об'єктів, процесів чи систем описується набором алгоритмів. Алгоритми імітують реальні елементарні явища, що становлять процес чи систему із збереженням їх логічної структурита послідовності протікання у часі. Імітаційне моделюваннядозволяє за вихідними даними отримати відомості про станах процесуабо системи у певні моменти часу, проте прогнозування поведінки об'єктів, процесів чи систем тут важко. Можна сказати що імітаційні моделі- це проведені на ЕОМ обчислювальні експериментиз математичними моделями, що імітують поведінку реальних об'єктів, процесів чи систем.

Залежно від характеру досліджуваних реальних процесів та систем математичні моделіможуть бути:

1. детерміновані,
2. стохастичні.

У детермінованих моделях передбачається відсутність будь-яких випадкових впливів, елементи моделі (змінні, математичні зв'язки) досить встановлені, поведінка системи можна точно визначити. При побудові детермінованих моделей найчастіше використовуються рівняння алгебри, інтегральні рівняння, матрична алгебра .

Стохастична модельвраховує випадковий характер процесів у досліджуваних об'єктах та системах, що описується методами теорії ймовірності та математичної статистики.

За видом вхідної інформації моделі поділяються на:

1. безперервні,
2. дискретні.

Якщо інформація та параметри є безперервними, а математичні зв'язки стійкі, то модель – безперервна. І навпаки, якщо інформація та параметри - дискретні, а зв'язки нестійкі, то й математична модель- Дискретна.

За поведінкою моделей у часі вони поділяються на:

1. статичні,
2. динамічні.

Статичні моделі описують поведінку об'єкта, процесу чи системи у момент часу. Динамічні моделі відображають поведінку об'єкта, процесу чи системи у часі.

За рівнем відповідності між

Уяви собі літак: крила, фюзеляж, хвостове оперення, все це разом - справжній величезний, неосяжний, цілий літак. А можна зробити модель літака, маленьку, але все як дійсно, ті ж крила і т.д., але компактний. Також і математична модель. Є текстове завдання, громіздке, на неї можна так подивитися, прочитати, але не зовсім зрозуміти, і вже тим більше не зрозуміло, як вирішувати її. А що, якщо зробити з великого словесного завдання її маленьку модель, математичну модель? Що означає математичну? Отже, використовуючи правила та закони математичного запису, переробити текст на логічно вірне уявлення за допомогою цифр та арифметичних знаків. Отже, математична модель – це уявлення реальної ситуації за допомогою математичної мови.

Почнемо з простого: Число більше від числа на. Нам треба записати це, не використовуючи слів, а лише мову математики. Якщо більше на, то виходить, що якщо ми з віднімемо, то залишиться та сама різниця цих чисел рівна. Тобто. або. Суть зрозумів?

Тепер складніше, зараз буде текст, який ти маєш спробувати подати у вигляді математичної моделі, поки не читай, як це зроблю я, спробуй сам! Є чотири числа: , і. Твір і більше твору та вдвічі.

Що вийшло?

У вигляді математичної моделі виглядатиме це так:

Тобто. твір відноситься як до двох до одного, але це можна ще впросити:

Ну гаразд, на простих прикладах ти зрозумів суть, я так гадаю. Переходимо до повноцінних завдань, у яких ці математичні моделі ще вирішувати треба! Ось завдання.

Математична модель на практиці

Завдання 1

Після дощу рівень води в колодязі може збільшитися. Хлопчик вимірює час падіння невеликих камінчиків у колодязь і розраховує відстань до води за формулою, де відстань у метрах, час падіння в секундах. До дощу час падіння камінців становив с. На скільки повинен піднятися рівень води після дощу, щоб час, що вимірюється, змінився на с? Відповідь висловіть у метрах.

О жах! Які формули, що за колодязь, що відбувається, що робити? Я прочитав твої думки? Розслабся, в завданнях цього типу умови бувають і страшніші, головне пам'ятати, що тебе в цьому завданні цікавлять формули та відносини між змінними, а що все це означає в більшості випадків не дуже важливо. Що ти тут бачиш корисного? Я особисто бачу. Принцип вирішення цих завдань наступний: береш усі відомі величини та підставляєш.АЛЕ, замислюватися іноді треба!

Наслідував мою першу пораду, і, підставивши всі відомі в рівняння, отримаємо:

Це я підставив час секунди і знайшов висоту, яку пролітав камінь до дощу. А тепер треба порахувати після дощу та знайти різницю!

Тепер прислухайся до другої поради і задумайся, у питанні уточнюється, «на скільки має піднятися рівень води після дощу, щоб час, що вимірюється, змінився на с». Відразу треба прикинути, тааак, після дощу рівень води підвищується, значить, час падіння каменю до рівня води менший і тут хитромудра фраза «щоб вимірюваний час змінився» набуває конкретного сенсу: час падіння не збільшується, а скорочується на вказані секунди. Це означає, що у разі кидка після дощу, нам просто потрібно з початкового часу відняти з, і отримаємо рівняння висоти, яку камінь пролетить після дощу:

Ну і нарешті, щоб знайти, на скільки повинен піднятися рівень води після дощу, щоб час, що вимірюється, змінилося на с., потрібно просто відняти з першої висоти падіння другу!

Отримаємо відповідь: на метри.

Як бачиш, нічого складного немає, головне, особливо не морочись, звідки таке незрозуміле і часом складне рівняння в умовах взялося і що все в ньому означає, повір на слово, більшість цих рівнянь взяті з фізики, а там нетрі глибше, ніж в алгебрі. Мені іноді здається, що ці завдання придумані, щоб залякати учня на ЄДІ безліччю складних формул і термінів, а найчастіше не вимагають майже ніяких знань. Просто уважно читай умову та підставляй відомі величини у формулу!

Ось ще завдання, вже не з фізики, а зі світу економічної теорії, хоча знань наук, крім математики, тут знову не потрібно.

Завдання 2

Залежність обсягу попиту (одиниць на місяць) продукції підприємства-монополіста від ціни (тис. крб.) задається формулою

Виручка підприємства протягом місяця (в тис. крб.) обчислюється по формуле. Визначте найбільшу ціну, коли він місячна виручка складе щонайменше тис. крб. Відповідь наведіть у тис. руб.

Вгадай, що зараз зроблю? Ага, почну підставляти те, що нам відомо, але, знову ж таки, трохи подумати все ж таки доведеться. Ходімо з кінця, нам треба знайти при якому. Так, є, рівно якомусь, знаходимо, чому ще одно це, а воно, так і запишемо. Як ти бачиш, я особливо не морочуся про сенс усіх цих величин, просто дивлюся з умов, що чому таке, так тобі чинити і потрібно. Повернемося до завдання, у тебе вже є, але як ти пам'ятаєш з одного рівняння з двома змінними жодну з них не знайти, що робити? Ага, у нас ще за умови залишилася невикористана частинка. Ось, вже два рівняння та дві змінні, значить, тепер обидві змінні можна знайти – чудово!

Таку систему вирішити зможеш?

Вирішуємо підстановкою, у нас вже виражена, отже, підставимо її на перше рівняння і спростимо.

Виходить таке квадратне рівняння: , вирішуємо, коріння ось такі, . У завданні потрібно знайти найбільшу ціну, за якої будуть дотримуватися всі умови, які ми врахували, коли систему становили. О, виявляється, це було ціною. Прикольно, отже, ми знайшли ціни: і. Найбільшу ціну, кажете? Окей, найбільша з них, очевидно, у відповідь і пишемо. Ну, як, складно? Думаю, ні, і вникати не треба особливо!

А ось тобі і жахлива фізика, а точніше ще одне завдання:

Завдання 3

Для визначення ефективної температури зірок використовують закон Стефана-Больцмана, згідно з яким, де потужність випромінювання зірки, постійна, площа поверхні зірки, а температура. Відомо, площа поверхні деякої зірки дорівнює, а потужність її випромінювання дорівнює Вт. Знайдіть температуру цієї зірки у градусах Кельвіна.

Звідки й зрозуміло? Так, за умови написано, що чому одно. Раніше я рекомендував усі невідомі відразу підставляти, але тут краще спершу висловити невідоме шукане. Дивись як все просто: є формула і в ній відомі, і (це грецька літера «сигма». Взагалі, фізики люблять грецькі літери, звикай). А невідома температура. Давай висловимо її у вигляді формули. Як це робити, сподіваюсь, знаєш? Такі завдання на ДПА у 9 класі зазвичай дають:

Тепер залишилося підставити числа замість букв у правій частині та спростити:

Ось і відповідь: градусів Кельвіна! А яке страшне було завдання, га!

Продовжуємо мучити завдання з фізики.

Завдання 4

Висота над землею підкинутого вгору м'яча змінюється згідно із законом, де — висота в метрах, — час у секундах, що минув з моменту кидка. Скільки секунд м'яч перебуватиме на висоті не менше трьох метрів?

То були всі рівняння, а тут треба визначити, скільки м'яч знаходився на висоті не менше трьох метрів, це означає на висоті. Що ми складатимемо? Нерівність саме! У нас є функція, яка описує як летить м'яч, де - це якраз та сама висота в метрах, нам потрібна висота. Значить

А тепер просто вирішуєш нерівність, головне, не забудь поміняти знак нерівності з більш або одно на менше, або одно, коли множитимеш на обидві частини нерівності, щоб перед мінусом позбутися.

Ось таке коріння, будуємо інтервали для нерівності:

Нас цікавить проміжок, де знак мінус, оскільки нерівність набуває там негативних значень, це від обидва включно. А тепер включаємо мозок і ретельно думаємо: для нерівності ми застосовували рівняння, що описує політ м'яча, він так чи інакше летить параболем, тобто. він злітає, досягає піку і падає, як зрозуміти, скільки часу він перебуватиме на висоті не менше метрів? Ми знайшли дві переломні точки, тобто. момент, що він злітає вище метрів і момент, що він, падаючи, сягає цієї ж позначки, ці дві точки виражені ми як час, тобто. ми знаємо на якій секунді польоту він увійшов у цікаву для нас зону (вище метрів) і в яку вийшов з неї (впав нижче позначки в метри). Скільки секунд він перебував у цій зоні? Логічно, що ми беремо час виходу із зони та віднімаємо з нього час входження до цієї зони. Відповідно: - стільки він був у зоні вище метрів, це і є відповідь.

Так вже тобі пощастило, що найбільше прикладів з цієї теми можна взяти з розряду завдань з фізики, так що лови ще одне, вона заключна, так що напрягся, залишилося зовсім трохи!

Завдання 5

Для нагрівального елемента деякого приладу експериментально було отримано залежність температури від часу роботи:

Де - час у хвилинах, . Відомо, що при температурі нагрівального елемента прилад може зіпсуватися, тому його потрібно відключити. Знайдіть, через який час після початку роботи потрібно відключити прилад. Відповідь висловіть у хвилинах.

Діємо за налагодженою схемою, все, що дано, спершу виписуємо:

Тепер беремо формулу і прирівнюємо її до значення температури, до якої максимально можна нагріти прилад, поки він не згорить, тобто:

Тепер підставляємо замість букв числа там, де вони відомі:

Як бачиш, температура під час роботи приладу описується квадратним рівнянням, Отже, розподіляється по параболі, тобто. прилад нагрівається до якоїсь температури, а потім остигає. Ми отримали відповіді і, отже, при і при хвилинах нагрівання температура дорівнює критичній, але між і хвилинами - вона ще вища за граничну!

Отже, відключити прилад потрібно за хвилини.

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Найчастіше математичні моделі використовуються у фізиці: адже тобі напевно доводилося запам'ятовувати десятки фізичних формул. А формула – це і є математичне уявлення ситуації.

У ОДЕ та ЄДІ є завдання саме на цю тему. У ЄДІ (профільному) це завдання номер 11 (колишня B12). В ОДЕ – завдання номер 20.

Схема рішення очевидна:

1) З тексту умови необхідно «виокремити» корисну інформацію - те, що у завданнях з фізики ми пишемо під словом «Дано». Цією корисною інформацією є:

• Формула
• Відомі фізичні величини.

Тобто кожній літері з формули потрібно поставити у відповідність певне число.

2) Береш усі відомі величини та підставляєш у формулу. Невідома величина і залишається у вигляді букви. Тепер потрібно лише вирішити рівняння (зазвичай, досить просте), і відповідь готова.

Стати учнем YouClever,

Підготуватися до ОДЕ або ЄДІ з математики,

А також отримати доступ до підручника YouClever без обмежень.

лекція 1.

МЕТОДОЛОГІЧНІ ОСНОВИ МОДЕЛЮВАННЯ

Сучасний стан проблеми моделювання систем

Поняття моделі та моделювання

Моделюванняможна розглядати як заміщення досліджуваного об'єкта (оригіналу) його умовним чином, описом або іншим об'єктом, іменованим моделлюта забезпечує близьку до оригіналу поведінку в рамках деяких припущень та прийнятних похибок. Моделювання зазвичай виконується з метою пізнання властивостей оригіналу шляхом дослідження його моделі, а не самого об'єкта. Зрозуміло, моделювання виправдане в тому випадку, коли воно простіше створення самого оригіналу або коли останній по якихось причин краще взагалі не створювати.

Під моделлюрозуміється фізичний або абстрактний об'єкт, властивості якого у певному сенсі подібні до властивостей досліджуваного об'єкта. Існує низка загальних вимог до моделей:

2) повнота - надання одержувачу всієї необхідної інформації

про об'єкт;

3) гнучкість - можливість відтворення різних ситуацій у всьому

діапазон зміни умов і параметрів;

4) трудомісткість розробки має бути прийнятною для наявного

часу та програмних засобів.

Моделювання- Це процес побудови моделі об'єкта та дослідження його властивостей шляхом дослідження моделі.

Таким чином, моделювання передбачає 2 основні етапи:

1) розробка моделі;

2) дослідження моделі та отримання висновків.

При цьому на кожному з етапів вирішуються різні завдання та використовуються

різні за суттю методи та засоби.

Насправді застосовують різні методи моделювання. Залежно від способу реалізації, всі моделі можна розділити на два великі класи: фізичні та математичні.

Математичне моделюванняприйнято розглядати як засіб дослідження процесів або явищ за допомогою їх математичних моделей.

Під фізичним моделюваннямрозуміється дослідження об'єктів і явищ на фізичних моделях, коли процес, що вивчається, відтворюються зі збереженням його фізичної природиабо використовують інше фізичне явище, аналогічне досліджуваному. При цьому фізичні моделіприпускають, як правило, реальне втілення тих фізичних властивостей оригіналу, які є суттєвими в конкретній ситуації. Наприклад, при проектуванні нового літака створюється його макет, що має ті ж аеродинамічні властивості; при плануванні забудови архітектори виготовляють макет, що відображає просторове розташування її елементів. У зв'язку з цим фізичне моделювання називають також макетуванням.

Напівнатурне моделюванняє дослідження керованих систем на моделюючих комплексах з включенням до складу моделі реальної апаратури. Поряд із реальною апаратурою в замкнуту модель входять імітатори впливів і перешкод, математичні моделі зовнішнього середовища та процесів, для яких невідомо досить точний математичний опис. Включення реальної апаратури або реальних систем у контур моделювання складних процесів дозволяє зменшити апріорну невизначеність і досліджувати процеси, для яких немає точного математичного опису. За допомогою напівнатурного моделювання дослідження виконуються з урахуванням малих постійних часів інелінійностей, властивих реальній апаратурі. При дослідженні моделей з включенням реальної апаратури використовується поняття динамічногомоделювання, при дослідженні складних систем та явищ - еволюційного, імітаційногоі кібернетичного моделювання.

Очевидно, дійсна користь від моделювання може бути отримана лише за дотримання двох умов:

1) модель забезпечує коректне (адекватне) відображення властивостей

оригіналу, суттєвих з точки зору досліджуваної операції;

2) модель дозволяє усунути перелічені вище проблеми, властиві

проведення досліджень на реальних об'єктах.

2. Основні поняття математичного моделювання

Вирішення практичних завдань математичними методами послідовно здійснюється шляхом формулювання задачі (розробки математичної моделі), вибору методу дослідження отриманої математичної моделі, аналізу отриманого математичного результату. Математична формулювання завдання зазвичай представляється як геометричних образів, функцій, систем рівнянь тощо. Опис об'єкта (яви) може бути представлено за допомогою безперервної чи дискретної, детермінованої чи стохастичної та іншими математичними формами.

Теорія математичного моделюваннязабезпечує виявлення закономірностей протікання різних явищ навколишнього світу або роботи систем та пристроїв шляхом їх математичного опису та моделювання без проведення натурних випробувань. При цьому використовуються положення та закони математики, що описують моделювані явища, системи або пристрої на певному рівні їх ідеалізації.

Математична модель (ММ)являє собою формалізований опис системи (або операції) деякою абстрактною мовою, наприклад, у вигляді сукупності математичних співвідношень або схеми алгоритму, т.е. е. такий математичний опис, який забезпечує імітацію роботи систем або пристроїв на рівні, досить близькому до їхньої реальної поведінки, одержуваного при натурних випробуваннях систем або пристроїв.

Будь-яка ММ описує реальний об'єкт, явище або процес з деяким ступенем наближення до дійсності. Вигляд ММ залежить як від природи реального об'єкта, так і від завдань дослідження.

Математичне моделюваннясуспільних, економічних, біологічних і фізичних явищ, об'єктів, систем та різних пристроїв є одним з найважливіших засобів пізнання природи та проектування найрізноманітніших систем та пристроїв. Відомі приклади ефективного використання моделювання у створенні ядерних технологій, авіаційних та аерокосмічних систем, у прогнозі атмосферних та океанічних явищ, погоди і т.д.

Однак для таких серйозних сфер моделювання нерідко потрібні суперкомп'ютери та роки роботи великих колективів вчених з підготовки даних для моделювання та його налагодження. Тим не менш, і в цьому випадку математичне моделювання складних систем і пристроїв не тільки економить кошти на проведення досліджень і випробувань, але і може усунути екологічні катастрофи - наприклад, дозволяє відмовитися від випробувань ядерної та термоядерної зброї на користь її математичного моделювання або випробувань аерокосмічних систем перед їх реальними польотами. тим математичне моделювання лише на рівні розв'язання більш простих завдань, наприклад, в галузі механіки, електротехніки, електроніки, радіотехніки та багатьох інших галузей науки і техніки в даний час стало доступним виконувати на сучасних ПК. А при використанні узагальнених моделей стає можливим моделювання і досить складних систем, наприклад, телекомунікаційних систем та мереж, радіолокаційних чи радіонавігаційних комплексів.

Метою математичного моделюванняє аналіз реальних процесів (у природі чи техніці) математичними методами. У свою чергу, це вимагає формалізації ММ процесу, що підлягає дослідженню. Модель може являти собою математичний вираз, що містить змінні, поведінка яких аналогічна поведінці реальної системи. ігор; або вона може представляти реальні змінні параметри взаємопов'язаних частин діючої системи.

Математичне моделювання для дослідження характеристик систем можна розділити на аналітичне, імітаційне та комбіноване. У свою чергу, ММ поділяються на імітаційні та аналітичні.

Аналітичне моделювання

Для аналітичного моделюванняХарактерно, що процеси функціонування системи записуються як деяких функціональних співвідношень (алгебраїчних, диференціальних, інтегральних рівнянь). Аналітична модель може бути досліджена такими методами:

1) аналітичним, коли прагнуть отримати у загальному вигляді явні залежності для характеристик систем;

2) чисельним, коли не вдається знайти рішення рівнянь у загальному вигляді та їх вирішують для конкретних початкових даних;

3) якісним, коли за відсутності рішення знаходять деякі його властивості.

Аналітичні моделі вдається отримати лише порівняно простих систем. Для складних систем часто виникають великі математичні проблеми. Для застосування аналітичного методу йдуть на суттєве спрощення початкової моделі. Однак дослідження на спрощеній моделі допомагає отримати лише орієнтовні результати. Аналітичні моделі математично чітко відображають зв'язок між вхідними та вихідними змінними та параметрами. Але їх структура не відображає внутрішню структуру об'єкта.

При аналітичному моделюванні його результати подаються у вигляді аналітичних виразів. Наприклад, підключивши RC-ланцюг до джерела постійної напруги E(R, Cі E- компоненти даної моделі), ми можемо скласти аналітичний вираз для тимчасової залежності напруги u(t) на конденсаторі C:

Це лінійне диференціальне рівняння (ДК) і є аналітичною моделлю даного простого лінійного ланцюга. Його аналітичне рішення, за початкової умови u(0) = 0 , що означає розряджений конденсатор Cв момент початку моделювання, дозволяє знайти потрібну залежність - у вигляді формули:

u(t) = E(1− ехp(- t/RC)). (2)

Однак навіть у цьому найпростішому прикладі потрібні певні зусилля для вирішення ДК (1) або для застосування систем комп'ютерної математики(СКМ) із символьними обчисленнями – систем комп'ютерної алгебри. Для цього цілком тривіального випадку вирішення задачімоделювання лінійної RC-ланцюга дає аналітичний вираз (2)досить загального виду - воно придатне для опису роботи ланцюга при будь-яких номіналах компонентів R, Cі E, та описує експоненційний заряд конденсатора Cчерез резистор Rвід джерела постійної напруги E.

Безумовно, знаходження аналітичних рішень при аналітичному моделюванні виявляється виключно цінним для виявлення загальних теоретичних закономірностей простих лінійних ланцюгів, систем і пристроїв. Можна отримати більш менш оглядові результати при моделюванні об'єктів другого або третього порядку, але вже при більшому порядку аналітичні вирази стають надмірно громіздкими, складними і важко осмислюваними. Наприклад, навіть простий підсилювач часто містить десятки компонентів. Тим не менш, багато сучасних СКМ, наприклад, системи символьної математики Maple, Mathematicaабо середа MATLAB, здатні значною мірою автоматизувати вирішення складних завдань аналітичного моделювання.

Одним з різновидів моделювання є чисельне моделювання,яке полягає в отриманні необхідних кількісних даних про поведінку систем або пристроїв будь-яким відповідним чисельним методом, таким як методи Ейлера або Рунге-Кутта. На практиці моделювання нелінійних систем та пристроїв з використанням чисельних методів виявляється набагато більш ефективним, ніж аналітичне моделювання окремих приватних лінійних ланцюгів, систем або пристроїв. Наприклад, для вирішення ДК (1) або систем ДВ у більш складних випадках рішення в аналітичному вигляді не виходить, але поданим чисельного моделювання можна отримати досить повні дані про поведінку систем і пристроїв, що моделюються, а також побудувати графіки описують цю поведінку залежностей.

Імітаційне моделювання

При імітаційному 10імоделювання реалізує модель алгоритмвідтворює процес функціонування системи в часі. Імітуютьсяелементарні явища, що становлять процес, зі збереженням їхньої логічноїструктури та послідовності протікання в часі.

Основною перевагою імітаційних моделей порівняно саналітичним є можливість вирішення більш складних завдань.

Імітаційні моделі дозволяють легко враховувати наявність дискретних чи безперервних елементів, нелінійні характеристики, випадкові впливи та ін. Тому цей метод широко застосовується на етапі проектування складних систем. Основним засобом реалізації імітаційного моделювання служить ЕОМ, що дозволяє здійснювати цифрове моделювання систем та сигналів.

У зв'язку з цим визначимо словосполучення « комп'ютерне моделювання», яке все частіше використовується у літературі. Вважатимемо, що комп'ютерне моделювання- це математичне моделювання з використанням засобів обчислювальної техніки. Відповідно, технологія комп'ютерного моделювання передбачає виконання наступних дій:

1) визначення мети моделювання;

2) розробка концептуальної моделі;

3) формалізація моделі;

4) програмна реалізація моделі;

5) планування модельних експериментів;

6) реалізація плану експерименту;

7) аналіз та інтерпретація результатів моделювання.

При імітаційне моделюваннявикористовувана ММ відтворював алгоритм («логіку») функціонування досліджуваної системи в часі при різних поєднаннях значень параметрів системи та зовнішнього середовища.

Прикладом найпростішої аналітичної моделі може бути рівняння прямолінійного рівномірного руху. При дослідженні такого процесу за допомогою імітаційної моделі має бути реалізовано спостереження за зміною пройденого шляху з плином часу. Щоб вибір був вдалим, потрібно відповісти на два питання.

З якою метою проводиться моделювання?

До якого класу може бути віднесене явище, що моделюється?

Відповіді на ці питання можуть бути отримані в ході виконання двох перших етапів моделювання.

Імітаційні моделі як за властивостями, а й у структурівідповідають моделируемому об'єкту. При цьому є однозначна і явна відповідність між процесами, одержуваними на моделі, і процесами, що протікають на об'єкті. Недоліком імітаційного моделювання є велике час вирішення завдання отримання хорошої точності.

Результати імітаційного моделювання роботи стохастичної системи є реалізаціями випадкових величинчи процесів. Тому для знаходження характеристик системи потрібно багаторазове повторення та подальша обробка даних. Найчастіше в цьому випадку застосовується різновид імітаційного моделювання. статистичне

моделювання(Або метод Монте-Карло), тобто. відтворення у моделяхвипадкових факторів, подій, величин, процесів, полів.

За результатами статистичного моделювання визначають оцінки ймовірнісних критеріїв якості, загальних та приватних, що характеризують функціонування та ефективність керованої системи. Статистичне моделювання широко застосовується на вирішення наукових і прикладних завдань у різних галузях науки і техніки. Методи статистичного моделювання широко застосовуються при дослідженні складних динамічних систем, оцінці їх функціонування та ефективності.

Заключний етап статистичного моделювання заснований на математичній обробці отриманих результатів. Тут використовують методи математичної статистики (параметричне та непараметричне оцінювання, перевірку гіпотез). Прикладом параметричної оцінки є вибіркове середнє показника ефективності. Серед непараметричних методів велике поширення набув метод гістограм.

Розглянута схема заснована на багаторазових статистичних випробуваннях системи та методах статистики незалежних випадкових величин. Ця схема є далеко не завжди природною на практиці та оптимальною за витратами. Скорочення часу випробування систем може бути досягнуто за рахунок використання точніших методів оцінювання. Як відомо ізмутематичної статистики, найбільшу точність при заданому обсязі вибірки мають ефективні оцінки. Оптимальна фільтрація і метод максимальної правдоподібності дають загальний метод одержання таких оцінок.

Дуже важливий також і контроль характеристик вхідних випадкових впливів. Контроль полягає у перевірці відповідності розподілівгенерованих процесів заданим розподілам. Це завдання часто формулюється як завдання перевірки гіпотез.

Загальною тенденцією моделювання з використанням ЕОМ у складних керованих систем є прагнення до зменшення часу моделювання, а також проведення досліджень у реальному масштабі часу. Обчислювальні алгоритми зручно представляти в рекурентній формі, що допускає їх реалізацію в темпі надходження поточної інформації.

ПРИНЦИПИ СИСТЕМНОГО ПІДХОДУ У МОДЕЛЮВАННІ

Основні положення теорії систем

Основні положення теорії систем виникли в ході дослідження динамічних систем та їх функціональних елементів. Під системою розуміють групу взаємозалежних елементів, що діють спільно з метою виконання заздалегідь поставленого завдання. Аналіз систем дозволяє визначити найбільш реальні способи виконання поставленої задачі, що забезпечують максимальне задоволення поставлених вимог.

Елементи, що становлять основу теорії систем, не створюються за допомогою гіпотезу, а виявляються експериментальним шляхом. Для того щоб розпочати побудову системи, необхідно мати загальні характеристики технологічних процесів. Це справедливо і щодо принципів створення математично сформульованих критеріїв, яким повинен задовольняти процес чи його теоретичний опис. Моделювання є одним з найбільш важливих методів наукового дослідження та експериментування.

При побудові моделей об'єктів використовується системний підхід, що є методологією вирішення складних завдань, в основі якої лежить розгляд об'єкта як системи, що функціонує в певному середовищі. Системний підхід передбачає розкриття цілісності об'єкта, виявлення та вивчення його внутрішньої структури, а також зв'язків із зовнішнім середовищем. При цьому об'єкт представляється як частина реального світу, яка виділяється та досліджується у зв'язку з розв'язуваною задачею побудови моделі. Крім цього, системний підхід передбачає послідовний переход від загального до приватного, коли в основі розгляду лежить метапроектування, а об'єкт розглядається у взаємозв'язку з навколишнім середовищем.

Складний об'єкт може бути розділений на підсистеми, що є частиною об'єкта, що задовольняють наступним вимогам:

1) підсистема є функціонально незалежною частиною об'єкта. Вона пов'язана з іншими підсистемами, обмінюється з ними інформацією та енергією;

2) для кожної підсистеми можуть бути визначені функції або властивості, що не збігаються з властивостями всієї системи;

3) кожна з підсистем може бути піддана подальшому поділу до рівня елементів.

У разі під елементом розуміється підсистема нижнього рівня, подальше розподіл якої недоцільно з позицій задачі.

Таким чином, систему можна визначити як подання об'єктів у вигляді набору підсистем, елементів і зв'язків з метою його створення, дослідження або удосконалення. При цьому укрупнене уявлення системи, що включає основні підсистеми і зв'язки між ними, називається макроструктурою, а детальне розкриття внутрішньої будови системи до рівня елементів - мікроструктурою.

Поруч із системою зазвичай існує надсистема – система більш високого рівня, до складу якої входить аналізований об'єкт, причому функція будь-який системи може бути лише через надсистему.

Слід виділити поняття середовища як сукупності об'єктів зовнішнього світу, які істотно впливають на ефективність функціонування системи, але не входять до складу системи та її надсистеми.

У зв'язку з системним підходом до побудови моделей використовується поняття інфраструктури, що описує взаємозв'язки системи з її оточенням (середовищем).

Для підходу важливим є визначення структури системи, тобто. сукупності зв'язків між елементами системи, що відображають їхню взаємодію. Для цього спочатку розглянемо структурний та функціональний підходи до моделювання.

При структурному підході виявляються склад виділених елементів системи та зв'язку з-поміж них. Сукупність елементів та зв'язків дозволяє судити про структуру системи. Найбільш загальним описом структури є топологічний опис. Воно дозволяє визначити складові частини системи та їх зв'язку за допомогою графів. Менш загальним є функціональний опис, коли розглядаються окремі функції, тобто алгоритми поведінки системи. У цьому реалізується функціональний підхід, визначальний функції, які виконує система.

На базі системного підходу може бути запропонована послідовність розробки моделей, коли виділяють дві основні стадії проектування: макропроектування та мікропроектування.

На стадії макропроектування будується модель зовнішнього середовища, виявляються ресурси та обмеження, вибирається модель системи та критерії для оцінки адекватності.

Стадія мікропроектування значною мірою залежить від конкретного типу обраної моделі. У випадку передбачає створення інформаційного, математичного, технічного і програмного забезпечення системи моделювання. На цій стадії встановлюються основні технічні характеристики створеної моделі, оцінюються час роботи з нею та витрати ресурсів для отримання заданої якості моделі.

Незалежно від типу моделі при її побудові необхідно керуватися низкою принципів системного підходу:

1) послідовне просування за етапами створення моделі;

2) узгодження інформаційних, ресурсних, надійних та інших характеристик;

3) правильне співвідношення різних рівнів побудови моделі;

4) цілісність окремих стадій проектування моделі.

Що таке математична модель?

Концепція математичної моделі.

Математична модель – дуже просте поняття. І дуже важливе. Саме математичні моделі пов'язують математику та реальне життя.

Говорячи простою мовою, математична модель – це математичний опис будь-якої ситуації.І все. Модель може бути примітивною, може бути суперскладною. Яка ситуація, така і модель.

У будь-якому (я повторюю - в будь-якому!) справі, де треба чогось порахувати і розрахувати - ми займаємося математичним моделюванням. Навіть якщо й не підозрюємо про це.)

Р = 2 · ЦБ + 3 · ЦМ

Ось цей запис і буде математичною моделлю витрат на наші покупки. Модель не враховує колір упаковки, терміну придатності, ввічливості касирів тощо. На те вона і Модель,а чи не реальна покупка. Але витрати, тобто. те, що нам треба- ми дізнаємося точно. Якщо модель правильна, звісно.

Уявляти, що таке математична модель корисна, але цього мало. Найголовніше – вміти ці моделі будувати.

Складання (побудова) математичної моделі задачі.

Скласти математичну модель - це означає перевести умови завдання в математичну форму. Тобто. перетворити слова на рівняння, формулу, нерівність тощо. Причому перетворити те щоб ця математика суворо відповідала вихідному тексту. Інакше в нас вийде математична модель якоїсь іншої, невідомої нам задачі.)

Говорячи конкретніше, потрібно

Завдання у світі - нескінченна кількість. Тому запропонувати чітку покрокову інструкціюзі складання математичної моделі будь-якийзавдання – неможливо.

Але можна виділити три основні моменти, на які слід звернути увагу.

1. У будь-якій задачі є текст, як не дивно.) У цьому тексті, як правило, є явна відкрита інформація.Числа, значення тощо.

2. У будь-якій задачі є прихована інформація.Це текст, який передбачає наявність додаткових знань у голові. Без них – ніяк. Крім того, математична інформація часто ховається за простими словамиі... проскакує повз увагу.

3. У будь-якому завданні має бути дано зв'язок даних між собою.Цей зв'язок може бути дано відкритим текстом (щось одно чомусь), а може бути і прихований за простими словами. Але найпростіші і зрозумілі факти часто не беруться до уваги. І модель не складається.

Відразу скажу: щоб застосувати ці три моменти завдання доводиться читати (і уважно!) кілька разів. Звичайна справа.

А тепер – приклади.

Почнемо з простого завдання:

Петрович повернувся з риболовлі та гордо пред'явив сім'ї улов. При найближчому розгляді виявилося, що 8 рибин родом із північних морів, 20% усіх рибин - із південних, та якщо з місцевої річки, де рибалив Петрович - немає жодної. Скільки всього рибин купив Петрович у магазині "Морепродукти"?

Усі ці слова треба перетворити на якесь рівняння. Для цього потрібно, повторюся, встановити математичний зв'язок між усіма даними завдання.

З чого починати? Спочатку витягнемо із завдання всі дані. Почнемо по порядку:

Звертаємо увагу на перший момент.

Яка тут явнаматематична інформація? 8 рибин та 20%. Не густо, та нам багато й не треба.)

Звертаємо увагу на другий момент.

Шукаємо приховануінформацію. Вона тут є. Це слова: "20% всіх рибинТут треба розуміти, що таке відсотки і як вони вважаються. Інакше завдання не вирішується. Це якраз та додаткова інформація, яка має бути в голові.

Тут ще є математичнаінформація, яку не видно. Це питання задачі: "Скільки рибин купив..."Адже це теж якесь число. І без нього жодна модель не складеться. Тому позначимо це число буквою "х".Ми поки що не знаємо, чому дорівнює ікс, але таке позначення дуже стане нам у нагоді. Докладніше, що брати за ікс і як з ним поводитися, написано в уроці Як вирішувати завдання з математики? Ось так одразу і запишемо:

х штук – загальна кількість риб.

У нашій задачі південні риби надано у відсотках. Потрібно їх перевести в штуки. Навіщо? Тому, що в будь-якийзадачі моделі треба складати у однотипних величинах.Штуки – так все в штуках. Якщо дано, скажімо годинник і хвилину - все переводимо в щось одне - або тільки годинник, або тільки хвилини. Не має значення у що. Важливо, щоб всі величини були однотипними.

Повертаємось до розкриття інформації. Хто не знає, що таке відсоток, ніколи не розкриє, так... А хто знає, той одразу скаже, що відсотки тут від загальної кількості риб дано. А нам це число невідоме. Нічого не вийде!

Загальна кількість риб (у штуках!) ми не дарма буквою "х"позначили. Порахувати південних риб у штуках не вийде, але записати ми зможемо? Ось так:

0,2 штук - кількість риб з південних морів.

Ось тепер ми завантажили всю інформацію із завдання. І явну, і приховану.

Звертаємо увагу на третій момент.

Шукаємо математичний зв'язокміж даними завдання. Цей зв'язок настільки простий, що багато хто його не помічає... Таке часто буває. Тут корисно просто записати зібрані дані до купки, та й подивитися, що до чого.

Що ми маємо? Є 8 штукпівнічних риб, 0,2 х штук- південних риб та х риб- Загальна кількість. Чи можна пов'язати ці дані якось воєдино? Так легко! Загальна кількість риб односумі південних та північних! Ну хто б міг подумати...) От і записуємо:

х = 8 + 0,2 х

Ось це рівняння і буде математичною моделлю нашого завдання.

Прошу зауважити, що в цьому завданні нас не просять нічого складати!Це ми самі з голови зрозуміли, що сума південних і північних риб дасть нам загальну кількість. Річ настільки очевидна, що проскакує повз увагу. Але без цієї очевидності математичну модель не скласти. Ось так.

Тепер можна застосувати всю міць математики для вирішення цього рівняння). Саме цього й складалася математична модель. Вирішуємо це лінійне рівняння та отримуємо відповідь.

Відповідь: х = 10

Складемо математичну модель ще одного завдання:

Запитали Петровича: "А чи багато в тебе грошей?" Заплакав Петрович і відповідає: "Да всього трохи. Якщо я витрачу половину всіх грошей, та половину залишку, то всього один мішок грошей у мене і залишиться ..." Скільки грошей у Петровича?

Знову працюємо за пунктами.

1. Шукаємо явну інформацію. Тут її не відразу і виявиш! Явна інформація - це одинмішок грошей. Є ще якісь половинки... Ну це в другому пункті розберемо.

2. Шукаємо приховану інформацію. Це половинки. Чого? Не дуже зрозуміло. Шукаємо далі. Є ще питання задачі: "Скільки грошей у Петровича?"Позначимо кількість грошей буквою "х":

х- всі гроші

І знову читаємо завдання. Вже знаючи, що у Петровича хгрошей. Ось тут уже й половинки спрацюють! Записуємо:

0,5 · х– половина всіх грошей.

Залишок буде також половина, тобто. 0,5 · х.А половину від половини можна записати так:

0,5 · 0,5 · х = 0,25 х- половина залишку.

Тепер вся прихована інформація виявлена ​​та записана.

3. Шукаємо зв'язок між записаними даними. Тут можна просто читати страждання Петровича і записувати їх математично):

Якщо я витрачу половину всіх грошей...

Запишемо цей процес. Усіх грошей - х.Половина - 0,5 · х. Витратити - це відібрати. Фраза перетворюється на запис:

х - 0,5 х

та половину залишку...

Заберемо ще половину залишку:

х - 0,5 х - 0,25 х

то лише один мішок грошей у мене і залишиться...

А ось і рівність знайшлася! Після всіх віднімань один мішок грошей залишається:

х - 0,5 х - 0,25 х = 1

Ось вона, математична модель! Це знову лінійне рівняння, вирішуємо, отримуємо:

Питання міркування. Чотири – це чого? Рубля, долара, юаня? А в яких одиницях у нас гроші у математичній моделі записані? У мішках!Отже, чотири мішкагрошей у Петровича Теж не погано.)

Завдання, звісно, ​​елементарні. Це спеціально, щоб уловити суть складання математичної моделі. У деяких завданнях може бути набагато більше даних, які легко заплутатися. Це часто буває у т.зв. компетентні завдання. Як витягувати математичний зміст із купи слів і чисел показано на прикладах

Ще одне зауваження. У класичних шкільних завданнях (труби заповнюють басейн, кудись пливуть катери тощо) усі дані, як правило, підібрані дуже ретельно. Там виконуються два правила:
- інформації в задачі вистачає для її вирішення,
- зайвої інформації завдання не буває.

Це підказка. Якщо залишилася якась невикористана в математичній моделі величина - задумайтеся, чи помилки немає. Якщо даних не вистачає - швидше за все, не вся прихована інформація виявлена ​​і записана.

У компетентнісних та інших життєвих завданнях ці правила суворо не дотримуються. Нема підказки. Але такі завдання можна вирішувати. Якщо, звичайно, потренуватися на класичних.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Простежити динаміку розвитку об'єкта, внутрішню сутність співвідношень його елементів та різні стани в процесі проектування можна лише за допомогою моделей, які використовують принцип динамічної аналогії, тобто за допомогою математичних моделей.

Математична модель- це система математичних співвідношень, що описують досліджуваний процес чи явище. Для складання математичної моделі можна використовувати будь-які математичні засоби – теорію множин, математичну логіку, мову диференціальних чи інтегральних рівнянь. Процес складання математичної моделі називається математичним моделюванням. Як і інші види моделей, математична модель представляє завдання у спрощеному вигляді та описує лише властивості та закономірності, які найбільш важливі для даного об'єкта чи процесу. Математична модель дозволяє здійснювати багатосторонній кількісний аналіз. Змінюючи вихідні дані, критерії, обмеження, щоразу можна отримувати оптимальне за заданими умовами рішення та визначати подальший напрямок пошуку.

Створення математичних моделей вимагає від їх розробників, крім знання формально-логічних методів, ретельного аналізу об'єкта, що вивчається, з метою суворого формулювання основних ідей і правил, а також з метою виявлення достатнього обсягу достовірних фактичних, статистичних та нормативних даних.

Слід зазначити, що всі математичні моделі, що використовуються в даний час, відносяться до приписуючим. Мета розробки прописних моделей - вказівка ​​напряму пошуку рішення, тоді як мета розробки описуютьмоделей – відображення дійсних процесів мислення людини.

Досить поширена думка, що з допомогою математики можна отримати лише деякі числові дані з досліджуваному об'єкту чи процесу. «Зрозуміло, багато математичних дисциплін спрямовані на отримання кінцевого чисельного результату. Але зводити математичні методи лише до завдання отримання числа - означає нескінченно збідняти математику, збіднювати можливість тієї могутньої зброї, яка сьогодні є в руках дослідників.

Математична модель, записана тією чи іншою приватною мовою (наприклад, диференціальні рівняння), відбиває певні властивості реальних фізичних процесів. В результаті аналізу математичних моделей ми отримуємо, насамперед, якісні уявлення про особливості досліджуваних процесів, встановлюємо закономірності, що визначають динамічний ряд послідовних станів, отримуємо можливість передбачити перебіг процесу та визначати його кількісні характеристики».

Математичні моделі використовуються у багатьох відомих способах моделювання. Серед них можна назвати розробку моделей, що описують статичний та динамічний стан об'єкта, оптимізаційні моделі.

Прикладом математичних моделей, що описують статичний та динамічний стан об'єкта, можуть бути різні методи традиційних розрахунків конструкцій. Процес розрахунку, поданий у вигляді послідовності математичних операцій (алгоритм), дозволяє сказати, що складено математичну модель для розрахунку певної конструкції.

У оптимізаційнихмоделях присутні три елементи:

Цільова функція, що відображає прийнятий критерій якості;

Регульовані параметри;

Накладені обмеження.

Всі ці елементи мають бути описані математично у вигляді рівнянь, логічних умов тощо. Рішення оптимізаційної задачі є процес пошуку мінімального (максимального) значення цільової функції при дотриманні заданих обмежень. Результат рішення вважається оптимальним, якщо функція мети досягає свого екстремального значення.

Приклад оптимізаційної моделі – математичний опис критерію «довжина зв'язку» у методиці варіантного проектування промислових будівель.

Цільова функція відображає загальну зважену протяжність усіх функціональних зв'язків, які повинні прагнути до мінімуму:

де - вагове значення зв'язку елемента з;

– довжина зв'язку між та елементами;

– загальне числоелементів, що розміщуються.

Оскільки площі розміщених елементів приміщень у всіх варіантах проектного рішення рівні, варіанти відрізняються один від одного тільки різними відстанями між елементами і їх розташуванням відносно один одного. Отже, регульованими параметрами служать у разі координати елементів, розміщених на планах поверхів.

Накладені обмеження на розташування елементів (у заздалегідь фіксованому місці плану, біля зовнішнього периметра, один над одним і т.д.) і на довжину зв'язків (значення довжини зв'язків між елементами задані жорстко, задані мінімальні або максимальні межі значень, задані межі зміни значень) записуються формально.

Варіант вважається оптимальним (за цим критерієм), якщо значення функції мети, обчисленої для цього варіанту, буде мінімальним.

Різновид математичних моделей – економіко-математична модель– є модель зв'язку економічних показників і параметрів системи.

Прикладом економіко-математичних моделей є математичний опис критеріїв витрат у згаданій вище методиці варіантного проектування промислових будівель. У математичних моделях, отриманих на основі використання методів математичної статистики, відображена залежність вартості каркасу, фундаментів, земляних робіт одноповерхових та багатоповерхових промислових будівель та їх висоти, прольоту та кроку несучих конструкцій.

За способом урахування впливу випадкових чинників прийняття рішення математичні моделі поділяються на детерміновані і вероятностные. Детермінованамодель не враховує вплив випадкових факторів у процесі функціонування системи та заснована на аналітичному поданні закономірностей функціонування. Імовірнісна (стохастична)модель враховує вплив випадкових чинників у процесі функціонування системи та полягає в статистичної, тобто. кількісної оцінки масових явищ, що дозволяє брати до уваги їх нелінійність, динаміку, випадкові обурення, що описуються різними законами розподілу.

Використовуючи наведені вище приклади, можна сказати, що математична модель, що описує критерій «довжина зв'язків», відноситься до детермінованих, а математичні моделі, що описують групу критеріїв «витрати», - імовірнісних моделей.

Лінгвістичні, семантичні та інформаційні моделі

Математичні моделі мають очевидні переваги, оскільки кількісна оцінка аспектів задачі дає чітке уявлення про пріоритети цілей. Важливо, що фахівець завжди може обґрунтувати ухвалення того чи іншого рішення, надавши відповідні чисельні дані. Однак повний математичний опис проектної діяльностінеможливо, тому більшість завдань, які вирішуються на початковій стадіїархітектурно-будівельного проектування, що відноситься до слабоструктурованим.

Одна з особливостей слабоструктурованих завдань - словесний опис критеріїв, що використовуються в них. Введення критеріїв, описаних природною мовою (такі критерії називають лінгвістичними), дозволяє використовувати менш складні методи для пошуку оптимальних проектних рішень. За наявності таких критеріїв проектувальник приймає рішення на підставі звичних виразах цілей, що не викликають сумніву.

Змістовне опис всіх аспектів завдання вносить систематизацію у процес її вирішення, з одного боку, з другого, значно полегшує роботу фахівців, які без вивчення відповідних розділів математики можуть раціонально вирішувати свої професійні завдання. На рис. 5.2 наведено лінгвістична модель, що описує можливості створення умов для природної вентиляції в різних варіантахпланувальних рішень хлібозаводу.

Інші переваги змістовного опису проблем полягають у наступному:

Можливість опису всіх критеріїв, якими визначається ефективність проектного рішення. При цьому важливо, що в опис можуть бути введені складні поняття і в поле зору фахівця поряд з кількісними факторами, що вимірюються, потраплять і якісні, не вимірювані. Таким чином, на момент прийняття рішення буде використано всю суб'єктивну та об'єктивну інформацію;

Мал. 5.2 Опис змісту критерію "вентиляція" у вигляді лінгвістичної моделі

Можливість однозначної оцінки ступеня досягнення мети у випадках за даною ознакою на основі формулювань, прийнятих фахівцями, що забезпечує достовірність отриманої інформації;

Можливість урахування невизначеності, пов'язаної з неповним знанням всіх наслідків прийнятих рішень, а також інформації прогнозного характеру.

До моделей, які використовують природну мову для опису об'єкта дослідження, належать і семантичні моделі.

Семантична модель- є таке уявлення об'єкта, у якому відбивається ступінь взаємопов'язаності (близькості) між різними складовими частинами, аспектами, властивостями об'єкта. Під взаємопов'язаністю розуміється не відносне просторове розташування, а зв'язок за змістом.

Так, у семантичному сенсі зв'язок між коефіцієнтом природного освітлення і площею світла прозорих огорож буде представлений як ближчий, ніж зв'язок між віконними отворами і суміжними з ними глухими ділянками стіни.

Сукупність відносин зв'язаності показує, що є кожен виділяється в об'єкті елемент і об'єкт загалом. У той самий час семантична модель відображає крім ступеня пов'язаності різних сторін у об'єкті також зміст понять. Елементарними моделями є поняття, виражені природною мовою.

Побудова семантичних моделей ґрунтується на принципах, відповідно до яких поняття та зв'язки не змінюються протягом усього часу використання моделі; зміст одного поняття не переходить до іншого; зв'язки між двома поняттями мають рівну по відношенню до них і неорієнтовану взаємодію.

Кожен аналіз моделі спрямовано вибір елементів моделі, мають загальне певне якість. Це дає підставу для побудови алгоритму, що враховує лише безпосередні зв'язки. При перетворенні моделі на неорієнтований граф шукається шлях між двома елементами, який простежує рух з одного елемента в інший, з використанням кожного елемента лише один раз. Порядок проходження елементів називається послідовністю цих двох елементів. Послідовності можуть мати різну довжину. Найкоротші їх називаються відносинами елементів. Послідовність двох елементів існує й у разі, якщо з-поміж них існує безпосередній зв'язок, але у разі немає відносини.

Як приклад семантичної моделі наведемо опис планування квартири разом із комунікаційними зв'язками. Поняття – це приміщення квартири. Безпосередній зв'язок означає функціональне з'єднання двох приміщень, наприклад, дверима (див. табл. 5.1).

Перетворення моделі на форму неорієнтованого графа дозволяє отримати послідовність елементів (рис. 5.3).

Приклади послідовності, утвореної між елементом 2 (ванна) та елементом 6 (комора), наведені в табл. 5.2. Як видно з таблиці, послідовність 3 є відношенням цих двох елементів.

Таблиця 5.1

Опис планування квартири

Мал. 5.3 Опис планувального рішення у вигляді неорієнтованого графа