Таблиця функцій зворотних. тригонометрія

Зворотні тригонометричні функції - це арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс.

Спочатку дамо визначення.

арксинусаАбо, можна сказати, що це такий кут, що належить відрізку, синус якого дорівнює числу а.

арккосинусачисла а називається число, таке, що

арктангенсомчисла а називається число, таке, що

арккотангенсачисла а називається число, таке, що

Розповімо докладно про ці чотирьох нових для нас функції - зворотних тригонометричних.

Пам'ятайте, ми вже зустрічалися с.

Наприклад, арифметичний квадратний коріньз числа а - таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а.

Логарифм числа b по підставі a - таке число с, що

При цьому

Ми розуміємо, для чого математикам довелося «придумувати» нові функції. Наприклад, рішення рівняння - це і Ми не змогли б записати їх без спеціального символу арифметичного квадратного кореня.

Поняття логарифма виявилося необхідно, щоб записати рішення, наприклад, такого рівняння: Рішення цього рівняння - ірраціональне число Це показник ступеня, в яку треба звести 2, щоб отримати 7.

Так само і з тригонометричними рівняннями. Наприклад, ми хочемо вирішити рівняння

Ясно, що його рішення відповідають точкам на тригонометричному колі, ордината яких дорівнює І ясно, що це не табличне значення синуса. Як же записати рішення?

Тут не обійтися без нової функції, що позначає кут, синус якого дорівнює даному числу a. Так, все вже здогадалися. Це арксинус.

Кут, що належить відрізку, синус якого дорівнює - це арксинус однієї четвертої. І значить, серія рішень нашого рівняння, відповідна правої точці на тригонометричному колі, - це

А друга серія рішень нашого рівняння - це

Детальніше про рішення тригонометричних рівнянь -.

Залишилося з'ясувати - навіщо у визначенні арксинуса вказується, що це кут, що належить відрізку?

Справа в тому, що кутів, синус яких дорівнює, наприклад,, нескінченно багато. Нам потрібно вибрати якийсь один з них. Ми вибираємо той, який лежить на відрізку.

Погляньте на тригонометричний коло. Ви побачите, що на відрізку кожному розі відповідає певне значення синуса, причому тільки одне. І навпаки, будь-якому значенню синуса з відрізка відповідає одне-єдине значення кута на відрізку. Це означає, що на відрізку можна задати функцію приймаючу значення від до

Повторимо визначення ще раз:

Арксинуса числа a називається число , таке, що

Позначення: Область визначення арксинуса - відрізок Область значень - відрізок.

Можна запам'ятати фразу «арксинуса живуть справа». Не забуваємо тільки, що не просто справа, але ще й на відрізку.

Ми готові побудувати графік функції

Як завжди, відзначаємо значення х по горизонтальній осі, а значення у - по вертикальній.

Оскільки, отже, х лежить в межах від -1 до 1.

Значить, областю визначення функції y = arcsin x є відрізок

Ми сказали, що у належить відрізку. Це означає, що областю значень функції y = arcsin x є відрізок.

Зауважимо, що графік функції y = arcsinx весь поміщається в області, обмеженої лініями і

Як завжди при побудові графіка незнайомій функції, почнемо з таблиці.

За визначенням, арксинус нуля - це таке число з відрізка, синус якого дорівнює нулю. Що це за число? - Зрозуміло, що це нуль.

Аналогічно, арксинус одиниці - це таке число з відрізка, синус якого дорівнює одиниці. Очевидно, це

Продовжуємо: - це таке число з відрізка, синус якого дорівнює. Та це

Будуємо графік функції

властивості функції

1. Область визначення

2. Область значень

3., тобто ця функція є непарною. Її графік симетричний відносно початку координат.

4. Функція монотонно зростає. Її найменше значення, рівне -, досягається при, а найбільше значення, рівне, при

5. Що спільного у графіків функцій і? Чи не здається вам, що вони «зроблені за одним шаблоном» - так само, як права гілка функції і графік функції, або як графіки показовою і логарифмічною функцій?

Уявіть собі, що ми зі звичайної синусоїди вирізали невеличкий фрагмент від до, а потім розгорнули його вертикально - і ми отримаємо графік арксинуса.

Те, що для функції на цьому проміжку - значення аргументу, то для арксинуса будуть значення функції. Так і має бути! Адже синус і арксинус - взаємно-зворотні функції. Інші приклади пар взаємно обернених функцій - це при і, а також показова і логарифмічна функції.

Нагадаємо, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої

Аналогічно, визначимо функцію Тільки відрізок нам потрібен такий, на якому кожному значенню кута відповідає своє значення косинуса, а знаючи косинус, можна однозначно знайти кут. Нам підійде відрізок

Арккосинуса числа a називається число , Таке, що

Легко запам'ятати: «арккосинуса живуть зверху», і не просто зверху, а на відрізку

Позначення: Область визначення арккосинуса - відрізок Область значень - відрізок

Очевидно, відрізок обраний тому, що на ньому кожне значення косинуса приймається тільки один раз. Іншими словами, кожному значенню косинуса, від -1 до 1, відповідає одне-єдине значення кута з проміжку

Арккосинус не є ні парною, ні непарної функцією. Зате ми можемо використовувати наступне очевидне співвідношення:

Побудуємо графік функції

Нам потрібен такий ділянку функції, на якому вона монотонна, тобто приймає кожне своє значення рівно один раз.

Виберемо відрізок. На цьому відрізку функція монотонно убуває, тобто відповідність між множинами і взаємно однозначно. Кожному значенню х відповідає своє значення у. На цьому відрізку існує функція, обернена до косинусу, тобто функція у = arccosx.

Заповнимо таблицю, користуючись визначенням арккосинуса.

Арккосинуса числа х, що належить проміжку, буде таке число y, що належить проміжку, що

Значить,, оскільки;

Так як ;

Так як ,

Так як ,

Ось графік арккосинуса:

властивості функції

1. Область визначення

2. Область значень

ця функція загального вигляду- вона не є ні парною, ні непарною.

4. Функція є строго спадною. Найбільше значення, рівне, функція у = arccosx приймає при, а найменше значення, рівне нулю, приймає при

5. Функції і є взаємно зворотними.

Наступні - арктангенс і арккотангенс.

Арктангенсом числа a називається число , Таке, що

Позначення:. Область визначення арктангенса - проміжок область значень - інтервал.

Чому у визначенні арктангенса виключені кінці проміжку - точки? Звичайно, тому, що тангенс в цих точках не визначений. Не існує числа a, рівного тангенсубудь-якого з цих кутів.

Побудуємо графік арктангенса. Згідно з визначенням, арктангенсом числа х називається число у, що належить інтервалу, таке, що

Як будувати графік - вже зрозуміло. Оскільки арктангенс - функція зворотна тангенсу, ми чинимо так:

Вибираємо таку ділянку графіка функції, де відповідність між х і у взаємно однозначне. Це інтервал Ц На цій ділянці функція приймає значення від до

Тоді у обернену функцію, тобто у функції, область, визначення буде вся числова пряма, від до а областю значень - інтервал

значить,

значить,

значить,

А що ж буде при нескінченно великих значеннях х? Іншими словами, як веде себе ця функція, якщо х прагне до плюс нескінченності?

Ми можемо поставити собі питання: для якого числа з інтервалу значення тангенса прямує до нескінченності? - Очевидно, це

А значить, при нескінченно великих значеннях х графік арктангенса наближається до горизонтальної асимптоти

Аналогічно, якщо х прагне до мінус нескінченності, графік арктангенса наближається до горизонтальної асимптоти

На малюнку - графік функції

властивості функції

1. Область визначення

2. Область значень

3. Функція непарна.

4. Функція є строго зростаючої.

6. Функції і є взаємно зворотними - звичайно, коли функція розглядається на проміжку

Аналогічно, визначимо функцію арккотангенс і побудуємо її графік.

Арккотангенса числа a називається число , Таке, що

Графік функції :

властивості функції

1. Область визначення

2. Область значень

3. Функція - загального вигляду, тобто ні парна, ні непарна.

4. Функція є строго спадною.

5. Прямі та - горизонтальні асимптоти даній функції.

6. Функції і є взаємно зворотними, якщо розглядати на проміжку

До зворотним тригонометричним функціям відносяться наступні 6 функцій: арксинус , арккосинус , арктангенс , арккотангенс , арксекансі арккосеканс .

Оскільки вихідні тригонометричні функції періодичні, то зворотні функції, взагалі кажучи, є багатозначними . Щоб забезпечити однозначне відповідність між двома змінними, області визначення вихідних тригонометричних функцій обмежують, розглядаючи лише їх головні гілки . Наприклад, функція \ (y = \ sin x \) розглядається лише в проміжку \ (x \ in \ left [(- \ pi / 2, \ pi / 2) \ right] \). На цьому інтервалі зворотна функція арксинус визначена однозначно.

функція арксинус
Арксинуса числа \ (a \) (позначається \ (\ arcsin a \)) називається значення кута \ (x \) в інтервалі \ (\ left [(- \ pi / 2, \ pi / 2) \ right] \), при якому \ (\ sin x = a \). Зворотна функція \ (y = \ arcsin x \) визначена при \ (x \ in \ left [(-1,1) \ right] \), область її значень дорівнює \ (y \ in \ left [(- \ pi / 2, \ pi / 2) \ right] \).

функція арккосинус
Арккосинуса числа \ (a \) (позначається \ (\ arccos a \)) називається значення кута \ (x \) в інтервалі \ (\ left [(0, \ pi) \ right] \), при якому \ (\ cos x = a \). Зворотна функція \ (y = \ arccos x \) визначена при \ (x \ in \ left [(-1,1) \ right] \), область її значень належить відрізку \ (y \ in \ left [(0, \ pi) \ right] \).



функція арктангенс
арктангенсом числа a(Позначається \ (\ arctan a \)) називається значення кута \ (x \) у відкритому інтервалі \ (\ left ((- \ pi / 2, \ pi / 2) \ right) \), при якому \ (\ tan x = a \). Зворотна функція \ (y = \ arctan x \) визначена при всіх \ (x \ in \ mathbb (R) \), область значень арктангенса дорівнює \ (y \ in \ left ((- \ pi / 2, \ pi / 2 ) \ right) \).



функція арккотангенс
Арккотангенса числа \ (a \) (позначається \ (\ text (arccot) a \)) називається значення кута \ (x \) у відкритому інтервалі \ (\ left [(0, \ pi) \ right] \), при якому \ (\ cot x = a \). Зворотна функція \ (y = \ text (arccot) x \) визначена при всіх \ (x \ in \ mathbb (R) \), область її значень знаходиться в інтервалі \ (y \ in \ left [(0, \ pi) \ right] \).



функція арксеканс
Арксекансом числа \ (a \) (позначається \ (\ text (arcsec) a \)) називається значення кута \ (x \), при якому \ (\ sec x = a \). Зворотна функція \ (y = \ text (arcsec) x \) визначена при \ (x \ in \ left ((- \ infty, - 1) \ right] \ cup \ left [(1, \ infty) \ right) \ ), область її значень належить множині \ (y \ in \ left [(0, \ pi / 2) \ right) \ cup \ left ((\ pi / 2, \ pi) \ right] \).



функція арккосеканс
Арккосекансом числа \ (a \) (позначається \ (\ text (arccsc) a \) або \ (\ text (arccosec) a \)) називається значення кута \ (x \), при якому \ (\ csc x = a \ ). Зворотна функція \ (y = \ text (arccsc) x \) визначена при \ (x \ in \ left ((- \ infty, - 1) \ right] \ cup \ left [(1, \ infty) \ right) \ ), область її значень належить множині \ (y \ in \ left [(- \ pi / 2,0) \ right) \ cup \ left ((0, \ pi / 2) \ right] \).



Головні значення функцій арксинус і арккосинус (в градусах)

\ (X \)	\(-1\)	\ (- \ sqrt 3/2 \)	\ (- \ sqrt 2/2 \)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\ (\ Sqrt 2/2 \)	\ (\ Sqrt 3/2 \)	\(1\)
\ (\ Arcsin x \)	\ (- 90 ^ \ circ \)	\ (- 60 ^ \ circ \)	\ (- 45 ^ \ circ \)	\ (- 30 ^ \ circ \)	\ (0 ^ \ circ \)	\ (30 ^ \ circ \)	\ (45 ^ \ circ \)	\ (60 ^ \ circ \)	\ (90 ^ \ circ \)
\ (\ Arccos x \)	\ (180 ^ \ circ \)	\ (150 ^ \ circ \)	\ (135 ^ \ circ \)	\ (120 ^ \ circ \)	\ (90 ^ \ circ \)	\ (60 ^ \ circ \)	\ (45 ^ \ circ \)	\ (30 ^ \ circ \)	\ (0 ^ \ circ \)

Головні значення функцій арктангенс і арккотангенс (в градусах)

\ (X \)	\ (- \ sqrt 3 \)	\(-1\)	\ (- \ sqrt 3/3 \)	\(0\)	\ (\ Sqrt 3/3 \)	\(1\)	\ (\ Sqrt 3 \)
\ (\ Arctan x \)	\ (- 60 ^ \ circ \)	\ (- 45 ^ \ circ \)	\ (- 30 ^ \ circ \)	\ (0 ^ \ circ \)	\ (30 ^ \ circ \)	\ (45 ^ \ circ \)	\ (60 ^ \ circ \)
\ (\ Text (arccot) x \)	\ (150 ^ \ circ \)	\ (135 ^ \ circ \)	\ (120 ^ \ circ \)	\ (90 ^ \ circ \)	\ (60 ^ \ circ \)	\ (45 ^ \ circ \)	\ (30 ^ \ circ \)

Уроки 32-33. Зворотні тригонометричні функції

мета: розглянути зворотні тригонометричні функції, їх використання для запису рішень тригонометричних рівнянь.

I. Повідомлення теми і мети уроків

II. Вивчення нового матеріалу

1. Зворотні тригонометричні функції

Розгляд цієї теми почнемо з наступного прикладу.

приклад 1

Вирішимо рівняння: a) sin x = 1/2; б) sin x = а.

а) На осі ординат відкладемо значення 1/2 і побудуємо кути x 1 і х2, для яких sin x = 1/2. При цьому х1 + х2 = π, звідки х2 = π - x 1 . По таблиці значень тригонометричних функцій знайдемо величину х1 = π / 6, тодіВрахуємо періодичність функції синуса і запишемо вирішення даного рівняння:де k ∈ Z.

б) Очевидно, що алгоритм рішення рівняння sin х = а такий же, як і в попередньому пункті. Зрозуміло, тепер по осі ординат відкладається величина а. Виникає необхідність якимось чином позначити кут х1. Домовилися такий кут позначати символом arcsin а. Тоді рішення даного рівняння можна записати у виглядіЦі дві формули можна об'єднати в одну:при цьому

Аналогічним чином вводяться і інші зворотні тригонометричні функції.

Дуже часто буває необхідно визначити величину кута за відомим значенням його тригонометричної функції. Таке завдання є багатозначною - існує незліченна безліч кутів, тригонометричні функції яких дорівнюють одному і тому ж значенню. Тому, виходячи з монотонності тригонометричних функцій, для однозначного визначення кутів вводять такі зворотні тригонометричні функції.

Арксинус числа a (arcsin , Синус якого дорівнює а, т. Е.

арккосинус числа a (arccos а) - такий кут а з проміжку, косинус якого дорівнює а, т. е.

арктангенс числа a (arctg а) - такий кут а з проміжкутангенс якого дорівнює а, т. е.tg а = а.

арккотангенс числа a (arcctg а) - такий кут а з проміжку (0; π), котангенс якого дорівнює а, т. е. ctg а = а.

приклад 2

знайдемо:

З огляду на визначення зворотних тригонометричних функцій отримаємо:

приклад 3

обчислимо

Нехай кут а = arcsin 3/5, тоді по визначенню sin a = 3/5 і . Отже, треба знайти cos а. Використовуючи основне тригонометричну тотожність, отримаємо:Враховано, що і cos a ≥ 0. Отже,

Наведемо ще ряд типових прикладів, пов'язаних з визначеннями і основними властивостями зворотних тригонометричних функцій.

приклад 4

Знайдемо область визначення функції

Для того щоб функція у була визначена, необхідно виконання нерівностіяке еквівалентно системі нерівностейРішенням першого нерівності є проміжок х∈ (-∞; + ∞), другого -цей проміжок і є рішенням системи нерівностей, а отже, і областю визначення функції

приклад 5

Знайдемо область зміни функції

Розглянемо поведінку функції z = 2х - х2 (див. Малюнок).

Видно, що z ∈ (-∞; 1]. З огляду на, що аргумент z функції арккотангенса змінюється в зазначених межах, з даних таблиці отримаємо, щоТаким чином, область зміни

приклад 6

Доведемо, що функція у = arctg х непарна. нехайТоді tg а = х або х = - tg а = tg (- a), причому Отже, - a = arctg х або а = - arctg х. Таким чином, бачимо, щот. е. у (х) - функція непарна.

приклад 7

Висловимо через все зворотні тригонометричні функції

нехай Очевидно, що Тоді Так як

введемо кут Так як то

аналогічно тому і

Отже,

приклад 8

Побудуємо графік функції у = cos (arcsin х).

Позначимо а = arcsin x, тоді Врахуємо, що х = sin а й у = cos а, т. Е. X 2 + У2 = 1, і обмеження на х (х∈ [-1; 1]) і у (у ≥ 0). Тоді графіком функції у = cos (arcsin х) є півколо.

приклад 9

Побудуємо графік функції у = arccos (cos x).

Так як функція cos х змінюється на відрізку [-1; 1], то функція у визначена на всій числовій осі і змінюється на відрізку. Будемо мати на увазі, що у = arccos (cos x) = Х на відрізку; функція у є парною і періодичної з періодом 2π. З огляду на, що цими властивостями володіє функція cos x, тепер легко побудувати графік.

Відзначимо деякі корисні рівності:

приклад 10

Знайдемо найменше та найбільше значення функціїпозначимо тоді отримаємо функцію Ця функція має мінімум в точці z = π / 4, і він дорівнює Найбільше значення функції досягається в точці z = -π / 2, і воно дорівнює Таким чином, і

приклад 11

вирішимо рівняння

Врахуємо, що Тоді рівняння має вигляд:або звідки За визначенням арктангенса отримаємо:

2. Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь

Аналогічно прикладу 1 можна отримати рішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

приклад 12

вирішимо рівняння

Так як функція синус непарна, то запишемо рівняння у виглядіРішення цього рівняння:звідки знаходимо

приклад 13

вирішимо рівняння

За наведеною формулою запишемо рішення рівняння:і знайдемо

Зауважимо, що в окремих випадках (а = 0; ± 1) при вирішенні рівнянь sin х = а і cos х = а простіше і зручніше використовувати не загальні формули, а записувати рішення на підставі одиничному колі:

для рівняння sin х = 1 рішення

для рівняння sin х = 0 рішення х = π k;

для рівняння sin х = -1 рішення

для рівняння cos х = 1 рішення х = 2π k;

для рівняння cos х = 0 рішення

для рівняння cos х = -1 рішення

приклад 14

вирішимо рівняння

Так як в даному прикладі є окремий випадокрівняння, то за відповідною формулою запишемо рішення:звідки знайдемо

III. Контрольні питання (фронтальне опитування)

1. Дайте визначення і наведіть основні властивості зворотних тригонометричних функцій.

2. Наведіть графіки обернених тригонометричних функцій.

3. Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

IV. Завдання на уроках

§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);

§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).

V. Завдання додому

§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

VI. творчі завдання

1. Знайдіть область визначення функції:

відповіді:

2. Знайдіть область значень функції:

відповіді:

3. Побудуйте графік функції:

VII. Підведення підсумків уроків

Визначення та позначення

Арксинус іноді позначають так:
.

Графік функції арксинус

Графік функції y = arcsin x

Графік арксинуса виходить з графіка синуса, якщо поміняти місцями осі абсцис і ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому функція монотонна. Таке визначення називають головним значенням арксинуса.

Арккосинус, arccos

Визначення та позначення

Арккосинус іноді позначають так:
.

Графік функції арккосинус

Графік функції y = arccos x

Графік арккосинуса виходить з графіка косинуса, якщо поміняти місцями осі абсцис і ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому функція монотонна. Таке визначення називають головним значенням арккосинуса.

парність

Функція арксинус є непарною:
arcsin (- x) = arcsin (-sin arcsin x) = arcsin (sin (-arcsin x)) = - arcsin x

Функція арккосинус не є парній або непарній:
arccos (- x) = arccos (-cos arccos x) = arccos (cos (π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Властивості - екстремуми, зростання, спадання

Функції арксинус і арккосинус безперервні на своїй області визначення (див. Доказ безперервності). Основні властивості арксинуса і арккосинуса представлені в таблиці.

Таблиця арксинуса і арккосинуса

В даній таблиці представлені значення арксинуса і арккосинуса, в градусах і радіанах, при деяких значеннях аргументу.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

формули

Формули суми і різниці

при або

при і

при і

при або

при і

при і

при

при

при

при

Вирази через логарифм, комплексні числа

Вирази через гіперболічні функції

похідні

;
.
Див. Висновок похідних арксинуса і арккосинуса>>>

Похідні вищих порядків:
,
де - многочлен ступеня. Він визначається за формулами:
;
;
.

Див. Висновок похідних вищих порядків арксинуса і арккосинуса>>>

інтеграли

Робимо підстановку x = sin t. Інтегруємо частинами, враховуючи що -π / 2 ≤ t ≤ π / 2, cos t ≥ 0:
.

Висловимо арккосинус через арксинус:
.

Розкладання в ряд

При | x |< 1 має місце наступне розкладання:
;
.

Зворотні функції

Зворотними до арксинуса і арккосинуса є синус і косинус, відповідно.

Наступні формули справедливі на всій області визначення:
sin (arcsin x) = x
cos (arccos x) = x .

Наступні формули справедливі тільки на безлічі значень арксинуса і арккосинуса:
arcsin (sin x) = xпри
arccos (cos x) = xпри.

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев, Довідник з математики для інженерів і учнів втузів, «Лань», 2009.

Оскільки тригонометричні функції періодичні, то зворотні до них функції не однозначні. Так, рівняння y = sin x, При заданому, має нескінченно багато коренів. Дійсно, в силу періодичності синуса, якщо x такий корінь, то й x + 2πn(Де n ціле) теж буде коренем рівняння. Таким чином, зворотні тригонометричні функції багатозначні. Щоб з ними було простіше працювати, вводять поняття їх головних значень. Розглянемо, наприклад, синус: y = sin x. Якщо обмежити аргумент x інтервалом, то на ньому функція y = sin xмонотонно зростає. Тому вона має однозначну зворотну функцію, Яку називають арксинуса: x = arcsin y.

Якщо це не обумовлено, то під зворотними тригонометричними функціями мають на увазі їх головні значення, які визначаються наступними визначеннями.

арксинус ( y = arcsin x) - це функція, обернена до синусу ( x = sin y
арккосинус ( y = arccos x) - це функція, обернена до косинусу ( x = cos y), Що має область визначення і множину значень.
арктангенс ( y = arctg x) - це функція, обернена до тангенсу ( x = tg y), Що має область визначення і множину значень.
арккотангенс ( y = arcctg x) - це функція, обернена до Котангенс ( x = ctg y), Що має область визначення і множину значень.

Графіки зворотних тригонометричних функцій

Графіки зворотних тригонометричних функцій виходять з графіків тригонометричних функцій дзеркальним відображенням відносно прямої y = x. Див. Розділи Синус, косинус, Тангенс, котангенс.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Основні формули

Тут слід особливо звернути увагу на інтервали, для яких справедливі формули.

arcsin (sin x) = xпри
sin (arcsin x) = x
arccos (cos x) = xпри
cos (arccos x) = x

arctg (tg x) = xпри
tg (arctg x) = x
arcctg (ctg x) = xпри
ctg (arcctg x) = x

Формули, що зв'язують зворотні тригонометричні функції

Формули суми і різниці

при або

при і

при і

при або

при і

при і

при

при

при

при

при

при

при

при

при

при

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев, Довідник з математики для інженерів і учнів втузів, «Лань», 2009.