У двійковій системі числення використовуються лише дві цифри 0 і 1. Іншими словами, двійка є основою двійкової системи числення. (Аналогічно у десяткової системи основа 10.)

Щоб навчитися розуміти числа у двійковій системі числення, спочатку розглянемо, як формуються числа у звичній для нас десятковій системі числення.

У десятковій системі числення ми маємо десять знаків-цифр (від 0 до 9). Коли рахунок сягає 9, то вводиться новий розряд (десятки), а одиниці обнулюються і рахунок починається знову. Після 19 розряд десятків збільшується на 1, а одиниці знову обнуляються. І так далі. Коли десятки сягають 9, потім з'являється третій розряд – сотні.

Двійкова система числення аналогічна десяткової крім того, що у формуванні числа беруть участь лише дві знака-цифри: 0 і 1. Як тільки розряд досягає своєї межі (тобто одиниці), з'являється новий розряд, а старий обнуляється.

Спробуємо рахувати в двійковій системі:
0 – це нуль
1 – це один (і це межа розряду)
10 – це два
11 – це три (і це знову межа)
100 – це чотири
101 – п'ять
110 – шість
111 - сім і т.д.

Переклад чисел із двійкової системи числення до десяткової

Не важко помітити, що у двійковій системі числення довжини чисел зі збільшенням значення зростають швидкими темпами. Як визначити, що означає ось це: 10001001? Незвичний до такої форми запису чисел людський мозок зазвичай може зрозуміти скільки це. Непогано б вміти переводити двійкові числа до десяткових.

У десятковій системі числення будь-яке число можна у формі суми одиниць, десяток, сотень тощо. Наприклад:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Подивіться на цей запис уважно. Тут цифри 1, 4, 7 і 6 - це набір цифр, з яких складається число 1476. Всі ці цифри по черзі множаться на десять зведений у той чи інший ступінь. Десять – це основа десяткової системи числення. Ступінь, в яку зводиться десятка – це розряд цифри за мінусом одиниці.

Аналогічно можна розкласти будь-яке двійкове число. Тільки основа тут буде 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Тобто. число 10001001 на підставі 2 дорівнює числу 137 на підставі 10. Записати це можна так:

10001001 2 = 137 10

Чому двійкова система числення така поширена?

Справа в тому, що двійкова система числення - це мова обчислювальної техніки. Кожна цифра має бути представлена ​​на фізичному носії. Якщо це десяткова система, доведеться створити такий пристрій, який може бути в десяти станах. Це складно. Простіше виготовити фізичний елемент, який може бути лише у двох станах (наприклад, є струм чи ні струму). Це одна з основних причин, чому двійковій системі числення приділяється стільки уваги.

Переведення десяткового числа в двійкове

Може знадобитися перевести десяткове число в двійкове. Один із способів – це розподіл на два та формування двійкового числа із залишків. Наприклад, потрібно отримати з числа 77 його двійковий запис:

77/2 = 38 (1 залишок)
38/2 = 19 (0 залишок)
19/2 = 9 (1 залишок)
9/2 = 4 (1 залишок)
4/2 = 2 (0 залишок)
2/2 = 1 (0 залишок)
1/2 = 0 (1 залишок)

Збираємо залишки разом, починаючи з кінця: 1001101. Це і є число 77 у двійковому поданні. Перевіримо:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Розберемо одну з найважливіших тем з інформатики. У шкільній програмі вона розкривається досить "скромно", швидше за все, через нестачу відведених на неї годинників. Знання з цієї теми, особливо на переклад систем числення, є обов'язковою умовоюдля успішної здачі ЄДІта вступи до ВНЗ на відповідні факультети. Нижче докладним чиномрозглянуто такі поняття, як позиційні та непозиційні системи числення, наведено приклади цих систем числення, представлені правила перекладу цілих десяткових чисел, правильних десяткових дробіві змішаних десяткових чисел у будь-яку іншу систему числення, переведення чисел з будь-якої системи числення в десяткову, переведення з вісімкової та шістнадцяткової систем числення в двійкову систему числення . На іспитах у великій кількості зустрічаються завдання з цієї теми. Вміння їх вирішувати – одна із вимог до абітурієнтів. Скоро: По кожній темі розділу, окрім детального теоретичного матеріалу, будуть представлені практично всі можливі варіанти завданьдля самостійного вивчення. Крім того, у вас з'явиться можливість безкоштовно скачати з файлообмінника вже готові докладні рішеннядо даних завдань, що ілюструють різні способиотримання правильної відповіді.

епозиційні системи числення.

Непозиційні системи числення- системи числення, у яких кількісне значення цифри залежить від її розташування в числе.

До непозиційних систем числення належить, наприклад, римська, де замість цифр – латинські літери.

Тут літера V позначає 5 незалежно від її розташування. Проте варто згадати у тому, що хоча римська система числення і є класичним прикладом непозиційної системи числення, перестав бути повністю непозиційної, т.к. менша цифра, що стоїть перед більшою, віднімається від неї:

позиційні системи числення.

Позиційні системи числення- Системи числення, в яких кількісне значення цифри залежить від її розташування в числі.

Наприклад, якщо говорити про десяткову систему числення, то в числі 700 цифра 7 означає "сім сотень", але ця ж цифра в числі 71 означає "сім десятків", а серед 7020 - "сім тисяч".

Кожна позиційна система численнямає своє основа. Як основа вибирається натуральне число, більше або дорівнює двом. Воно дорівнює кількості цифр, що використовуються в цій системі числення.

Наприклад:
• Двійкова- позиційна система числення з основою 2.
• Четверична- позиційна система числення з основою 4.
• П'ятирічна- позиційна система числення з основою 5.
• Вісімкова- позиційна система числення з основою 8.
• Шістнадцяткова- позиційна система числення з основою 16.

Щоб успішно вирішувати завдання на тему "Системи числення", учень повинен знати напам'ять відповідність двійкових, десяткових, вісімкових і шістнадцяткових чисел до 16 10:

Корисно знати, як виходять числа цих системах числення. Можна здогадатися, що у вісімковій, шістнадцятковій, троїчній та інших позиційних системах численнявсе відбувається аналогічно звичній нам десятковій системі:

До додається одиниця і виходить нове число. Якщо розряд одиниць стає рівнем основи системи числення, ми збільшуємо число десятків на 1 і т.д.

Цей "перехід одиниці" таки лякає більшість учнів. Насправді все досить просто. Перехід відбувається, якщо розряд одиниць стає рівним підставі системи числення, ми збільшуємо число десятків на 1. Багато хто, пам'ятаючи стару добру десяткову систему, миттєво плутаються в розряди і в цьому переході, адже десятковий і, наприклад, двійковий десятки - різні речі.

Звідси у кмітливих учнів з'являються "свої методики" (на диво... працюючі) при заповненні, наприклад, таблиць істинності, перші стовпці (значення змінних) яких фактично заповнюються двійковими числами в порядку зростання.

Наприклад розберемо отримання чисел в восьмеричній системі: До першого числа (0) додаємо 1, отримуємо 1. Потім до 1 додаємо 1, отримуємо 2 і т.д. до 7. Якщо додамо до 7 одиницю, отримаємо число рівне підставі системи числення, тобто. 8. Тоді потрібно збільшити на одиницю розряд десятків (отримуємо вісімковий десяток – 10). Далі, очевидно, йдуть числа 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

равила переведення з однієї системи числення до іншої.

1 Переклад цілих десяткових чисел будь-яку іншу систему числення.

Число потрібно розділити на нова основа системи числення. Перший залишок від розподілу – це і є перша молодша цифра нового числа. Якщо приватне від розподілу менше чи дорівнює новому підставі, його (приватне) потрібно знову розділити на нове основание. Поділ потрібно продовжувати, поки не отримаємо приватне менше за нову підставу. Це старша цифра нового числа (потрібно пам'ятати, що, наприклад, у шістнадцятковій системі після 9 йдуть літери, тобто якщо в залишку отримали 11, потрібно записати його як B).

Приклад ("розподіл куточком"): Переведемо число 173 10 у вісімкову систему числення.

Таким чином, 173 10 = 255 8

2 Переведення правильних десяткових дробів у будь-яку іншу систему числення.

Число потрібно помножити на нову основу системи числення. Цифра, що перейшла в цілу частину, - старша цифра дробової частини нового числа. для отримання наступної цифри дробову частину твору, що вийшов, знову потрібно множити на нову основу системи числення, поки не відбудеться перехід в цілу частину. Множення продовжуємо, поки дробова частина не дорівнюватиме нулю, або поки не дійдемо до зазначеної в задачі точності ("... обчислити з точністю, наприклад, двох знаків після коми").

Приклад: Переведемо число 0,65625 10 у вісімкову систему числення.

У курсі інформатики, незалежно, шкільному чи університетському, особливе місце приділяється такому поняттю як системи числення. Як правило, на нього виділяють кілька уроків чи практичних занять. Основна мета - не тільки засвоїти основні поняття теми, вивчити види систем числення, а й познайомитися з двійковою, вісімковою та шістнадцятковою арифметикою.

Що це означає?

Почнемо із визначення основного поняття. Як зазначає підручник "Інформатика", система числення - записи чисел, у якій використовується спеціальний алфавіт чи певний набір цифр.

Залежно від того, чи змінюється значення цифри від її положення в числі, виділяють дві: позиційну та непозиційну системи числення.

У позиційних системах значення цифри змінюється разом із її становищем в числі. Так, якщо взяти число 234, то цифра 4 в ній означає одиниці, якщо ж розглянути число 243, то вона вже означатиме десятки, а не одиниці.

У непозиційних системах значення цифри статично, незалежно від її становища в числі. Найбільш яскравий приклад- паличкова система, де кожна одиниця позначається за допомогою рисочки. Неважливо, куди ви припишіть паличку, значення числа зміниться лише на одиницю.

Непозиційні системи

До непозиційних систем числення відносяться:

1. Поодинока система, яка вважається однією з перших. У ній замість цифр використовувалися палички. Чим їх було більше, тим більше значення числа. Зустріти приклад чисел, записаних таким чином, можна у фільмах, де йдеться про втрачених у морі людей, ув'язнених, які відзначають щодня за допомогою зарубок на камені чи дереві.
2. Римська, де замість цифр використовувалися латинські літери. Використовуючи їх, можна записати будь-яке число. При цьому його значення визначалося за допомогою суми та різниці цифр, з яких складалося число. Якщо ліворуч від цифри знаходилося менше число, то ліва цифра віднімалася з правої, а якщо справа цифра була меншою або дорівнює цифрі ліворуч, то їх значення підсумовувалися. Наприклад, число 11 записувалося як XI, а 9 – IX.
3. Літерні, у яких числа позначалися за допомогою алфавіту тієї чи іншої мови. Однією з них вважається слов'янська система, у якій ряд літер мав як фонетичне, а й числове значення.
4. в якій використовувалося всього два позначення для запису - клини та стрілочки.
5. У Єгипті також використовувалися спеціальні символи для позначення чисел. При записі числа кожен символ міг використовуватися не більше дев'яти разів.

Позиційні системи

Велика увага приділяється інформатиці позиційним системам числення. До них належать такі:

• двійкова;
• вісімкова;
• десяткова;
• шістнадцяткова;
• шестидесяткова, що використовується при рахунку часу (наприклад, за хвилину - 60 секунд, за годину - 60 хвилин).

Кожна з них має свій алфавіт для запису, правила перекладу та виконання арифметичних операцій.

Десяткова система

Ця система є для нас найбільш звичною. У ній використовуються цифри від 0 до 9 для запису чисел. Вони також звуться арабськими. Залежно від положення цифри в числі вона може позначати різні розряди - одиниці, десятки, сотні, тисячі або мільйони. Її ми користуємося повсюдно, знаємо основні правила, якими проводяться арифметичні операції над числами.

Двійкова система

Одна з основних систем числення в інформатиці – двійкова. Її простота дозволяє комп'ютеру проводити громіздкі обчислення в кілька разів швидше, ніж у десятковій системі.

Для запису чисел використовується лише дві цифри - 0 і 1. При цьому, залежно від положення 0 або 1 у числі, його значення змінюватиметься.

Спочатку саме за допомогою комп'ютерів отримували всю необхідну інформацію. При цьому одиниця означала наявність сигналу, що передається за допомогою напруги, а нуль - його відсутність.

Вісімкова система

Ще одна відома комп'ютерна система числення, в якій застосовуються цифри від 0 до 7. Застосовувалася в основному тих галузях знань, пов'язані з цифровими пристроями. Але останнім часом вона використовується значно рідше, тому що на зміну їй прийшла шістнадцяткова система числення.

Двійково-десяткова система

Подання великих чисел у двійковій системі для людини – процес досить складний. Для його спрощення була розроблена Використовується вона зазвичай у електронний годинник, калькулятори. У цій системі з десяткової системи в двійкову перетворюється в повному обсязі число, а кожна цифра перетворюється на відповідний їй набір нулів і одиниць у двійковій системі. Аналогічно відбувається і переведення з двійкової системи до десяткової. Кожна цифра, подана у вигляді чотиризначного набору нулів та одиниць, переводиться в цифру десяткової системи числення. У принципі немає нічого складного.

Для роботи з числами в даному випадку нагоді таблиця систем числення, в якій буде вказано відповідність між цифрами та їх двійковим кодом.

Шістнадцяткова система

Останнім часом все більшої популярності набуває в програмуванні та інформатиці система числення шістнадцяткова. У ньому використовуються як цифри від 0 до 9, а й ряд латинських літер - A, B, C, D, E, F.

При цьому кожна з літер має своє значення, так A=10, B=11, C=12 і так далі. Кожне число подається у вигляді набору із чотирьох знаків: 001F.

Переклад чисел: з десяткового до двійкового

Переклад у системах числення чисел відбувається за певними правилами. Найчастіше зустрічається переведення з двійкової до десяткової системи і навпаки.

Для того щоб перевести число з десяткової системи в двійкову, необхідно послідовно ділити його на основу системи числення, тобто число два. При цьому залишок від кожного поділу необхідно фіксувати. Так відбуватиметься до тих пір, поки залишок від розподілу не буде меншим або дорівнює одиниці. Проводити обчислення найкраще у стовпчик. Потім отримані залишки від розподілу записуються в рядок у зворотному порядку.

Наприклад, переведемо число 9 у двійкову систему:

Ділимо 9, так як число не ділиться націло, беремо число 8, залишок буде 9 - 1 = 1.

Після розподілу 8 на 2 отримуємо 4. Знову ділимо його, тому що число ділиться націло – одержуємо в залишку 4 – 4 = 0.

Проводимо ту ж операцію з 2. У залишку одержуємо 0.

У результаті поділу ми отримуємо 1.

Незалежно від підсумкової системи числення, переведення чисел з десяткової до будь-якої іншої відбуватиметься за принципом розподілу числа на основу позиційної системи.

Переклад чисел: з двійкової до десяткової

Досить легко переводити числа та в десяткову систему числення з двійкової. Для цього достатньо знати правила зведення чисел у ступінь. В даному випадку, ступінь двійки.

Алгоритм перекладу наступний: кожну цифру з коду двійкового числа необхідно помножити на двійку, причому перша двійка буде в ступеню m-1, друга - m-2 і так далі, де m - кількість цифр у коді. Потім скласти результати додавання, отримавши ціле число.

Для школярів цей алгоритм можна пояснити простіше:

Спочатку беремо і записуємо кожну цифру, помножену на двійку, потім проставляємо ступінь двійки з кінця, починаючи з нуля. Потім складаємо отримане число.

Наприклад розберемо з вами отримане раніше число 1001, перевівши їх у десяткову систему, і заразом перевіримо правильність наших обчислень.

Виглядати це буде так:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

При вивченні цієї теми зручно використовувати таблицю зі ступенями двійки. Це значно зменшить кількість часу, необхідне проведення обчислень.

Інші варіанти перекладу

У деяких випадках переклад може здійснюватися між двійковою та восьмеричною системою числення, двійковою та шістнадцятковою. У такому випадку можна користуватися спеціальними таблицями або ж запустити на комп'ютері додаток калькулятор, вибравши у вкладці варіант «Програміст».

Арифметичні операції

Незалежно від цього, у вигляді представлено число, із нею можна проводити звичні нам обчислення. Це може бути розподіл і множення, віднімання та додавання в системі числення, яку ви обрали. Звісно, ​​кожної з них діють свої правила.

Так для двійкової системи розроблено свої таблиці кожної з операцій. Такі ж таблиці використовуються і в інших системах позицій.

Заучувати їх необов'язково – досить просто роздрукувати та мати під рукою. Також можна скористатися калькулятором на комп'ютері.

Одна з найважливіших тем в інформатиці – система числення. Знання цієї теми, розуміння алгоритмів перекладу чисел з однієї системи в іншу - запорука того, що ви зможете розібратися у складніших темах, таких як алгоритмізація та програмування та зможете самостійно написати свою першу програму.

Зауваження 1

Історичним фактом є те, що гаслом піфагорійців був вираз: «Все є число», яким наголошувалося на важливої ​​ролі чисел у практичній діяльності людини. У повсякденному життікожен з нас стикається з безліччю чисел, це і номери автомобілів, телефонів, ціни в магазинах, і розмір сімейного бюджету і т.п. Числа та цифри оточують нас усюди.

Люди за всіх часів вели рахунок і записували числа, навіть у давнину. Але записували вони їх трохи інакше, ніж ми зараз, за ​​іншими правилами. Числа були представлені одним чи кількома символами, які назвали цифрами.

Визначення 1

Цифра– це символ, який використовується під час запису числа.

Спочатку цифри відповідали предметам, які перераховували. Але з появою писемності їх відокремили від предметів і з'явилося поняття натурального числа. Дробові числа з'явилися тоді, коли у людей стали виникати потреби у вимірах, і одиниці виміру (еталони) не завжди вкладалися ціле число разів у вимірювані величини. Історично поняття числа, зазвичай, пов'язують із розвитком математики, нині воно вважається фундаментальним поняттям як математики, а й інформатики.

Визначення 2

Число- Це певна величина.

Числа складаються із цифр за особливими правилами. Різні народи різних етапах розвитку людства встановлювали ці правила. Нині їх називають системами числення.

Визначення 3

Система зчислення– це сукупність прийомів та правил представлення чисел за допомогою цифрових знаків.

Адитивні та мультиплікативні системи числення

Система числення – поняття складне, що включає у собі закони, якими читаються і записуються числа, і якими виконуються події з них. Для цього важливо знати типсистеми числення. За типом розрізняють адитивнуі мультиплікативну системи числення.

Для адитивнийХарактерно те, що кожна цифра має своє значення, для прочитання числа необхідно скласти всі значення цифр, що використовуються. Наприклад:

$XXXXVI = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 = 46 $

Для другого типуХарактерно те, що цифра може мати різні значення в залежності від її розташування в числі.

Малюнок 1.

(ієрогліфи по порядку: $2$, $1000$, $4$, $100$, $2$, $10$, $5$)

У цьому записі двічі використовується ієрогліф $2 $, і в кожному випадку він приймає різні значення $2000$ і $20$.

$2 \ cdot 1000 + 4 \ cdot 100 + 2 \ cdot 10 + 5 = 2425 $

Для адитивної («додаткової») системи необхідно знати всі цифри-символи та їх значення (їх буває до 4-5 десятків), а також порядок запису. Наприклад, у латинському записі якщо менша цифра записана перед більшою, то проводиться віднімання, а якщо після, то додавання:

$ IV = 5-1 = 4 $

Позиційні та непозиційні системи числення

Усі відомі системи числення поділяються на:

позиційні;

непозиційні.

Непозиційні системи численняз'явилися задовго до позиційних. Останні є, своєю чергою, результатом тривалого історичного поступу непозиційних систем числення.

У непозиційних системах вага цифри залежить від її позиціонування в числе. Так, наприклад, у римській системі числення в числі $XXI$ (двадцять один) вага цифри $X$ в обох позиціях дорівнює $10$.

Зауваження 2

Відмінною ознакою непозиційної системи числення є відсутність у ній цифри $0$. При розробці правил виконання арифметичних дій з числами виникла потреба введення символу «0», який згодом став мати велике значення при вдосконаленні способів представлення чисел. Саме з появою $0$ в наборі символів, що є цифрами, і пов'язують виникнення позиційних систем числення, в яких вага кожної цифри відповідає позиції, що нею, в послідовності цифр, що зображують число.

Наприклад, запис $56$ означає, що це число можна скласти з $6$ одиниць та $5$ десятків. Якщо змінити позиції цифр, можна отримати інше число – $65$, що містить $6$ десятків та $5$ одиниць. Вага цифри $5$ зменшилася в $10$ разів, а вага цифри $6$ у $10$ разів зросла.

У будь-якій позиційній системі числення число представляється як багаточлен. Наприклад, представимо десяткове число $4367$ у вигляді багаточлена:

$4367 = 4000 + 300 + 60 + 7 = 4cdot 103 + 3cdot 102 + 6cdot 101 + 7cdot 100$,

де $10$ - основа десяткової системи.

Примітка 3

Важливою характеристикою будь-якої позиційної системи є її основу, що є кількість різних знаків чи символів, які у зображенні цифр у цій системі. Основа системи використовується для опису її кількісних характеристик.

Позиційні системи числення бувають:

двійкові (мають на підставі дві цифри $0$ і $1$);

вісімкові (в основі цифри від $0$ до $7$);

десяткові (в основі цифри від $0$ до $9$);

шістнадцяткові (в основі цифри від $0$ до $9$ і букви $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$);

п'ятирічна (в основі цифри від $0$ до $4$, використовується в Китаї і зараз);

дванадцяткова (застаріла, використовувалася на початку $XX$ століття).

На основі двійкової системи численняпобудовано роботу всієї обчислювальної техніки, оскільки цифра $0$ означає відсутність сигналу, тобто. «вимкнено», а $1$ означає, що сигнал пішов, тобто. стан "включено".

Вісімковаі шістнадцяткова система численнятакож використовуються у обчислювальній техніці (наприклад, для організації передачі даних усередині комп'ютера).

Десяткова система численнявикористовується нами у повсякденному житті, це наша «арабська» система рахунку, в основі якої лежать цифри від $0$ до $9$.

Історія появи цих чисел досить заплутана. Достеменно відомо, що вони з'явилися завдяки давнім астрономам, а саме – їх точним розрахункам.

Як відомо, у вавілонській системі числення був знак, що означає пропущений розряд. У $ II $ столітті до н.е. із цими спостереженнями познайомилися грецькі астрономи. Вони почали використовувати цю системучисленні, проте цілі числа зображували не клинами, як вавілонці, а в алфавітній нумерації (дроби у вавілонській шестидесятковій системі числення). Нульовий розряд грецькі астрономи зображували символом $0 $ (перша буква грецького слова Ouden - ніщо).

На рубежі $II$ та $VI$ століть н.е. індійські астрономи запозичували у грецьких шістдесяткову систему та зображення круглого грецького нуля. Індійці поєднали принципи грецької нумерації з китайською десятковою мультиплікативною системою. При цьому вони стали позначати цифри одним знаком, як було заведено в давньоіндійській нумерації брахмі, що стало завершальним етапом у створенні десяткової системи числення.

Чудова робота індійських математиків була сприйнята арабськими вченими, і Аль-Хорезмі в IX $ столітті написав книгу «Індійське мистецтво рахунки», в якій описує десяткову позиційну систему числення. Прості та зручні правила складання та віднімання великих чисел, записаних у позиційній системі, зробили її дуже популярною серед європейських купців.

У $ XII $ в. Хуан із Севільї переклав на латину книгу «Індійське мистецтво рахунка», і індійська система рахунка широко поширилася по всій Європі. А оскільки робота Аль-Хорезмі була написана арабською мовою, то за індійською нумерацією в Європі закріпилася невірна назва – «арабська». Самі ж араби називають цифри індійськими, а арифметику, засновану на десятковій системі – індійським рахунком.

Написання «арабських» цифр з часом зазнавало змін. Написання, яке ми використовуємо, встановилося в $XVI$ столітті.

Малюнок 2.

Досить широко раніше використовувалась дванадцяткова система числення. Вона походить від рахунку на пальцях. Рахунок вели великим пальцем руки, використовуючи фаланги інших чотирьох пальців: їх $12$.

Примітка 4

Елементи цієї системи застосовуються й у час у Англії у системі заходів ($1$ фут = $12$ дюймам) й у грошової системі ($1$ шилінг = $12$ пенсам). Нерідко зустрічаються в побуті елементи дванадцятирічної системи числення: чайні та столові сервізи на $12$ персон.

Числа в англійськоювід $1$ до $12$ мають свою назву, наступні числа є складовими:

Малюнок 3.

Для чисел від $13$ до $19$ - закінчення слів - $teen$. Наприклад, $15$ - $fiveteen$.

Примітка 5

Основною перевагою позиційних систем числення є можливість запису великих чисел за допомогою малої кількості цифр, а також спрощення виконання арифметичних процесів з числами.

Вступ

Сучасна людина у повсякденному житті постійно стикається з числами: ми запам'ятовуємо номери автобусів та телефонів, у магазині

підраховуємо вартість покупок, ведемо свій сімейний бюджет у рублях та копійках (сотих частках рубля) і т.д. Числа, цифри. Вони з нами скрізь.

Поняття числа - фундаментальне поняття як математики, і інформатики. Сьогодні, наприкінці XX століття, для запису чисел людство використовує переважно десяткову систему числення. А що таке система числення?

Система числення – це спосіб запису (зображення) чисел.

Різні системи числення, які існували раніше і використовуються в даний час, поділяються на дві групи: позиційні та непозиційні. Найбільш досконалими є позиційні системи числення, тобто. системи запису чисел, у яких вклад кожної цифри у величину числа залежить від її становища (позиції) у послідовності цифр, що зображує число. Наприклад, наша звична десяткова система є позиційною: у числі 34 цифра 3 позначає кількість десятків і "вносить" у величину числа 30, а в числі 304 та сама цифра 3 позначає кількість сотень і "вносить" у величину числа 300.

Системи числення, у яких кожній цифрі відповідає величина, яка залежить від її місця у записі числа, називаються непозиційними.

Позиційні системи числення – результат тривалого історичного розвитку непозиційних систем числення.

1. Історія систем числення

• Одинична система числення

Потреба запису чисел з'явилася в дуже давні часи, як тільки люди почали рахувати. Кількість предметів, наприклад овець, зображалося нанесенням рисок або засічок на якійсь твердій поверхні: камені, глині, дереві (до винаходу паперу було ще дуже і дуже далеко). Кожній вівці у такому записі відповідала одна рисочка. Археологами знайдені такі " записи " при розкопках культурних верств, які стосуються періоду палеоліту (10 - 11 тисяч років до н.е.).

Вчені назвали цей спосіб запису чисел одиничною ("паличною") системою числення. У ньому для запису чисел застосовувався лише одне вид знаків - " паличка " . Кожне число в такій системі числення позначалося за допомогою рядка, складеного з паличок, кількість яких і дорівнювала числу, що позначається.

Незручності такої системи запису чисел і обмеженість її застосування очевидні: чим більше треба записати, тим довше рядок з паличок. Та й при записі великої кількості легко помилитися, завдавши зайву кількість паличок або, навпаки, не дописавши їх.

Можна запропонувати, що з полегшення рахунку люди почали групувати предмети по 3, 5, 10 штук. І під час запису використовували знаки, відповідні групі із кількох предметів. Природно, що з підрахунку використовувалися пальці рук, тому першими з'явилися знаки позначення група предметів із 5 і десяти штук (одиниць). Таким чином, виникли вже зручніші системи запису чисел.

• Давньоєгипетська десяткова непозиційна система числення

У давньоєгипетській системі числення, що виникла у другій половині третього тисячоліття до н.е., використовувалися спеціальні цифри для позначення чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Числа в єгипетській системі числення записувалися як комбінації цих цифр, у яких кожна їх повторювалася трохи більше дев'яти раз.

приклад. Число 345 стародавні єгиптяни записували так:

Рисунок 1 Запис числа давньоєгипетської системи числення

Позначення цифр у непозиційній давньоєгипетській системі числення:

Малюнок 2 Одиниця

Малюнок 3 Десятки

Малюнок 4 Сотні

Малюнок 5 Тисячі

Малюнок 6 Десятки тисяч

Малюнок 7 Сотні тисяч

В основі як паличної, так і давньоєгипетської системи числення лежав простий принцип додавання, згідно з якимзначення числа дорівнює сумі значень цифр, що у його записи. Вчені відносять давньоєгипетську систему числення до десяткової непозиційної.

• Вавилонська (шістдесяткова) система числення

Числа у цій системі числення складалися із знаків двох видів: прямий клин (рисунок 8) служив для позначення одиниць, лежачий клин (рисунок 9) – для позначення десятків.

Малюнок 8 Прямий клин

Малюнок 9 Лежачий клин

Таким чином, число 32 записували так:

Малюнок 10 Запис числа 32 на вавілонській шестидесятковій системі числення

Число 60 знову позначалося тим самим знаком (рисунок 8), що і 1. Цим же знаком позначалися числа 3600 = 60 2 , 216000 = 60 3 і всі інші ступеня 60. Тому вавилонська система числення отримала назву шестидесятирічної.

Для визначення значення числа необхідно було зображення числа розбити на розряди праворуч наліво. Чергування груп однакових знаків ("цифр") відповідало чергуванню розрядів:

Рисунок 11 Розбивання на розряди числа

Значення числа визначали за значеннями складових його "цифр", але з урахуванням того, що "цифри" у кожному наступному розряді означали в 60 разів більше тих же "цифр" у попередньому розряді.

Усі числа від 1 до 59 вавилоняни записували в десятковій непозиційній системі, а число загалом - у позиційній системі з основою 60.

Запис числа у вавілонян був неоднозначним, тому що не існувало "цифри" для позначення нуля. Запис числа 92, міг позначати як 92 = 60 + 32, а й 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 тощо. Для визначенняабсолютного значення числабули потрібні додаткові відомості. Згодом вавилоняни ввели спеціальний символ (рисунок 12) для позначення, пропущеного шестидесяткового розряду, що відповідає у звичній нам десятковій системі появі цифри 0 у записі числа. Але в кінці числа цей символ зазвичай не ставився, тобто цей символ не був банкрутом у нашому розумінні.

Рисунок 12 Символ для позначення пропущеного шестидесяткового розряду

Таким чином, число 3632 тепер потрібно було записувати так:

Рисунок 13 Запис числа 3632

Таблицю множення вавилоняни ніколи не запам'ятовували, оскільки це практично неможливо. При обчислення вони користувалися готовими таблицями множення.

Шістдесяткова вавілонська система - перша відома нам система числення, заснована на позиційному принципі. Система вавилонян зіграла велику роль у розвитку математики та астрономії, її сліди збереглися до наших днів. Так, ми й досі ділимо годину на 60 хвилин, а хвилину на 60 секунд. Так само, наслідуючи приклад вавилонян, коло ми ділимо на 360 частин (градусів).

• Римська система числення

Прикладом непозиційної системи числення, яка збереглася донині, може бути системи числення, що застосовувалася понад дві з половиною тисячі років тому у Стародавньому Римі.

В основі римської системи числення лежать знаки I (один палець) для числа 1, V (розкрита долоня) для числа 5, X (дві складені долоні) для 10, а також спеціальні знаки для позначення чисел 50, 100, 500 та 1000.

Позначення для останніх чотирьох чисел з часом зазнали значних змін. Вчені припускають, що спочатку знак для числа 100 мав вигляд пучка з трьох рисок на кшталт російської літери Ж, а для числа 50 - вид верхньої половинки цієї літери, яка надалі трансформувалася на знак L:

Малюнок 14 Трансформація числа 100

Для позначення чисел 100, 500 і 1000 почали застосовувати перші літери відповідних латинських слів (Centum – сто, Demimille – половина тисячі, Mille – тисяча).

Щоб записати число, римляни використовували не тільки додавання, але й віднімання ключових чисел. У цьому застосовувалося таке правило.

Значення кожного меншого знака, поставленого зліва від більшого, віднімається від значення більшого знака.

Наприклад, запис IX позначає число 9, а запис XI - число 11. Десятичне число 28 представляється так:

XXVIII = 10+10+5+1+1+1.

Десяткове число 99 має таке уявлення:

Малюнок 15 Число 99

Те, що з запису нових чисел ключові числа можуть лише складатися, а й відніматися, має істотний недолік запис римськими цифрами позбавляє число єдиності уявлення. Дійсно, відповідно до наведеного вище правила, число 1995 можна записати, наприклад, такими способами:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,

MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5

MVM = 1000+ (1000 - 5),

MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) тощо.

Єдиних правил запису римських чисел досі немає, але є пропозиції щодо прийняття для них міжнародного стандарту.

У наші дні будь-яку з римських цифр пропонується записувати в одному числі не більше трьох разів поспіль. На підставі цього побудовано таблицю, якою зручно користуватися для позначення чисел римськими цифрами:

Таблиця 1 Таблиця римських цифр

Римські цифри користувалися дуже довго. Ще 200 років тому у ділових паперах числа мали позначатися римськими цифрами (вважалося, що звичайні арабські цифри легко підробити).

В даний час римська система числення не застосовується, за деякими винятками:

• Позначення століть (XV століття тощо), років н. е. (MCMLXXVII т. д.) та місяців при вказівці дат (наприклад, 1. V.1975).
• Позначення порядкових числівників.
• Позначення похідних невеликих порядків, трьох: yIV, yV і т.д.
• Позначення валентності хімічних елементів.
  • Слов'янська система числення

Ця нумерація була створена разом зі слов'янською алфавітною системою для листування священних книг для слов'ян грецькими ченцями братами Кирилом (Костянтином) та Мефодієм у IX столітті. Ця форма запису чисел набула великого поширення у зв'язку з тим, що мала повну схожість із грецьким записом чисел.

Таблиця 2 Слов'янська система числення

Якщо подивитися уважно, то побачимо, що після "а" йде буква "в", а не "б" як слід за слов'янським алфавітом, тобто використовуються лише літери, які є в грецькому алфавіті. До XVII століття ця форма запису чисел була офіційною на території сучасної Росії, Білорусії, України, Болгарії, Угорщини, Сербії та Хорватії. До цього часу у православних церковних книгах використовується ця нумерація.

• Система числення майя

Ця система використовувалася календарних розрахунків. У побуті майя використовували непозиційну систему подібну до давньоєгипетської. Про цю систему дають уявлення самі цифри майя, які можна трактувати як запис перших 19 натуральних чисел у непозиційній п'ятирічній системі числення. Аналогічний принцип складових цифр використаний у вавілонській шестидесятковій системі числення.

Цифри майя складалися з нуля (знак черепашки) та 19 складових цифр. Ці цифри конструювалися із знака одиниці (точка) та знака п'ятірки (горизонтальна характеристика). Наприклад, цифра, що позначає число 19, писалася як чотири точки горизонтальному ряду над трьома горизонтальними лініями.

Малюнок 16 Система числення майя

Числа понад 19 писалися згідно з позиційним принципом знизу вгору за ступенями 20. Наприклад:

32 писалося як (1)(12) = 1×20 + 12

429 як (1)(1)(9) = 1×400 + 1×20 + 9

4805 як (12)(0)(5) = 12×400 + 0×20 + 5

Для запису цифр від 1 до 19 іноді використовувалися зображення божеств. Такі цифри використовувалися вкрай рідко, зберігшись лише на кількох монументальних стелах.

Позиційна система числення вимагає використання нуля позначення порожніх розрядів. Перша дата з нулем (на стелі 2 в Чіапа-де Корсо, Чіапас), що дійшла до нас, датована 36 роком до н. е. Перша позиційна система числення в Євразії, створена стародавньому Вавилоні за 2000 років до зв. е., спочатку нуля не мала, а згодом знак нуля використовувався тільки в проміжних розрядах числа, що призводило до неоднозначного запису чисел. Непозиційні системи числення давніх народів нуля, зазвичай, мали.

У «довгому рахунку» календаря майя був використаний різновид 20-річної системи числення, в якій другий розряд міг містити лише цифри від 0 до 17, після чого до третього розряду додавалася одиниця. Таким чином, одиниця третього розряду означала не 400, а 18×20 = 360, що близько до днів у сонячному році.

• Історія арабських чисел

Це найпоширеніша на сьогоднішній день нумерація. Назва "арабська" для неї не зовсім вірна, оскільки хоч і завезли її до Європи з арабських країн, але там вона теж була не рідною. Справжня батьківщина цієї нумерації – Індія.

У різних районах Індії існували різноманітні системи нумерації, але у якийсь момент у тому числі виділилася одна. У ній цифри мали вигляд початкових літер відповідних числівників давньоіндійською мовою - санскритом, що використовує алфавіт "Деванагарі".

Спочатку цими знаками представлялися числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; з допомогою записувалися інші числа. Але згодом було введено особливий знак - жирна точка, або гурток, для вказівки порожнього розряду; та нумерація "Деванагарі" перетворилася на помісну десяткову систему. Як і коли відбувся такий перехід – досі невідомо. До середини VIII століття позиційна система нумерації набуває широкого застосування. У цей час вона проникає до сусідніх країн: Індокитай, Китай, Тибет, Середню Азію.

Вирішальну роль поширенні індійської нумерації в арабських країнах зіграло керівництво, складене на початку IX століття Мухаммедом Аль Хорезмі. Воно було переведено в Західної Європина Латинська мовау XII столітті. У XIII столітті індійська нумерація набуває переважання в Італії. В інших країнах вона поширюється на XVI століття. Європейці, запозичивши нумерацію в арабів, називали її "арабською". Ця історично неправильна назва утримується й досі.

З арабської мови запозичено і слово "цифра" (арабською "сифр"), що означає буквально "порожнє місце" (переклад санскритського слова "сунья", що має той же сенс). Це слово застосовувалося для назви знака порожнього розряду, і це зміст зберігало до XVIII століття, хоча ще XV столітті з'явився латинський термін " нуль " (nullum - ніщо).

Форма індійських цифр зазнавала різноманітних змін. Та форма, якою ми зараз користуємося, встановилася в XVI столітті.

• Історія нуля

Нуль буває різний. По-перше, нуль – це цифра, що використовується позначення порожнього розряду; по-друге, нуль - це незвичайне число, так як на нуль ділити не можна і при множенні на нуль будь-яке число ставати нулем; по-третє, нуль потрібен для віднімання та додавання, інакше, скільки буде, якщо з 5 відняти 5?

Вперше нуль з'явився в давньовавилонській системі числення, він використовувався для позначення пропущених розрядів у числах, але такі числа як 1 і 60 вони записували однаково, оскільки нуль наприкінці числа вони ставився. У системі нуль виконував роль прогалини у тексті.

Винахідником форми нуля вважатимуться великого грецького астронома Птолемея, оскільки у його текстах дома знака пробілу стоїть грецька буква омикрон, дуже нагадує сучасний знак нуля. Але Птолемей використовує нуль у тому сенсі, як і вавилоняни.

На настінний напис в Індії в IX столітті н.е. вперше символ нуля зустрічається наприкінці числа. Це перше загальноприйняте позначення сучасного знака нуля. Саме індійські математики винайшли нуль у всіх його трьох сенсах. Наприклад, індійський математик Брахмагупта ще у VII ст. н.е. активно став використовувати негативні числа та дії з нулем. Але він стверджував, що число, поділене на нуль, є нуль, що звичайно помилка, але справжня математична зухвалість, яка призвела до іншого чудового відкриття індійських математиків. І в XII столітті інший індійський математик Бхаскар робить ще спробу зрозуміти, що ж буде при розподілі на нуль. Він пише: "кількість, поділена на нуль, стає дробом, знаменник якого дорівнює нулю. Цей дріб називають нескінченністю".

Леонардо Фібоначчі, у своєму творі "Liber abaci" (1202) називає знак 0 арабською zephirum. Слово zephirum – це арабське слово as-sifr, яке походить від індійського слова sunya, тобто порожнє, що служило назвою нуля. Від слова zephirum походить французьке слово zero (нуль) та італійське слово zero. З іншого боку, від арабського слова as-sifr походить російське слово цифра. Аж до середини XVII століття це слово вживалося спеціально для позначення нуля. Латинське слово nullus (ніякий) узвичаїлося для позначення нуля в XVI столітті.

Нуль – це унікальний знак. Нуль - це чисто абстрактне поняття, одне з найбільших досягнень людини. Його немає в природі навколишнього нас. Без нуля можна спокійно обійтися в усному рахунку, але неможливо обійтися точного запису чисел. Крім цього, нуль перебуває на противагу решті, і символізує собою нескінченний світ. І якщо все є число, то ніщо є все!

• Недоліки непозиційної системи числення

Непозиційні системи числення мають низку істотних недоліків:

1. Існує постійна потреба введення нових знаків для запису великих чисел.

2.Неможливо представляти дробові та негативні числа.

3.Сложно виконувати арифметичні операції, оскільки немає алгоритмів їх виконання. Зокрема, у всіх народів поряд із системами числення були способи пальцевого рахунку, а греки мали лічильну дошку абак – щось на зразок наших рахунків.

Але ми досі користуємося елементами непозиційної системи числення у повсякденному мовленні, зокрема, ми говоримо сто, а не десять десятків, тисяча, мільйон, мільярд, трильйон.

2.Двійкова система числення.

У цій системі лише дві цифри - 0 і 1. Особливу роль тут відіграє число 2 та його ступеня: 2, 4, 8 і т.д. Найправіша цифра числа показує число одиниць, наступна цифра – число двійок, наступна – число четвірок тощо. Двійкова система числення дозволяє закодувати будь-яке натуральне число - уявити його у вигляді послідовності нулів та одиниць. У двійковому вигляді можна представляти не лише числа, а й будь-яку іншу інформацію: тексти, картинки, фільми та аудіозаписи. Інженерів двійкове кодування приваблює тим, що легко реалізується технічно. Найбільш простими з погляду технічної реалізації є двопозиційні елементи, наприклад електромагнітне реле, транзисторний ключ.

• Історія двійкової системи числення

В основу пошуків інженери та математики поклали двійкову двопозиційну – природу елементів обчислювальної техніки.

Візьміть, наприклад, двополюсний електронний прилад- Діод. Він може перебувати лише у двох станах: або проводить електричний струм – «відкритий», або не проводить його – «замкнено». А тригер? Він теж має два стійкі стани. За таким же принципом працюють елементи, що запам'ятовують.

Чому ж не використовувати тоді двійкову систему числення? Адже в ній лише дві цифри: 0 та 1. А це зручно для роботи на електронній машині. І нові машини почали рахувати за допомогою 0 і 1.

Не думайте, що двійкова система – сучасниця електронних машин. Ні, вона набагато старша. Двійковим числом люди цікавляться давно. Особливо вони захоплювалися з кінця XVI до початку XIX століття.

Лейбніц вважав двійкову систему простою, зручною та красивою. Він говорив, що «обчислення за допомогою двійок... є для науки основним і породжує нові відкриття... При зведенні чисел до найпростіших початків, якими є 0 і 1, скрізь з'являється чудовий порядок».

На прохання вченого на честь «діадичної системи» – так тоді називали двійкову систему – було вибито медаль. На ній зображалася таблиця з числами та найпростіші дії з ними. По краю медалі вилася стрічка з написом: «Щоб вивести з нікчеми все, достатньо одиниці».

Формула 1 Кількість інформації в бітах

• Переклад із двійкової до десяткової системи числення

Завдання перекладу чисел з двійкової системи числення в десяткову найчастіше виникає при зворотному перетворенні обчислених чи оброблених комп'ютером значень більш зрозумілі користувачеві десяткові цифри. Алгоритм переведення двійкових чисел у десяткові досить простий (його іноді називають алгоритмом заміщення):

Для переведення двійкового числа до десяткового необхідно це число подати у вигляді суми творів ступенів підстави двійкової системи числення на відповідні цифри у розрядах двійкового числа.

Наприклад, потрібно перевести двійкове число 10110110 у десяткове. У цьому числі 8 цифр та 8 розрядів (розряди вважаються, починаючи з нульового, якому відповідає молодший біт). Відповідно до вже відомого нам правила представимо його у вигляді суми ступенів з підставою 2:

10110110 2 = (1·2 7 )+(0·2 6 )+(1·2 5 )+(1·2 4 )+(0·2 3 )+(1·2 2 )+(1·2 1 )+(0·2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 182 10

В електроніці пристрій, який здійснює схоже перетворення, називаєтьсядешифратором (Декодером, англ. Decoder).

Дешифратор - це схема перетворює двійковий код, що подається на входи, сигнал на одному з виходів, тобто дешифратор розшифровує число в двійковому коді, представляючи його логічною одиницею на виході, номер якого відповідає десятковому числу.

• Переклад із двійкової до шістнадцяткової системи числення

Кожен розряд шістнадцяткового числа містить 4 біти інформації.

Таким чином, для переведення цілого двійкового числа в шістнадцяткове його потрібно розбити на групи по чотири цифри (зошити), починаючи праворуч, і якщо в останній лівій групі виявиться менше чотирьох цифр, доповнити її зліва нулями. Для переведення дробового двійкового числа (правильного дробу) в шістнадцяткове необхідно розбити його на зошити зліва направо і, якщо в останній правій групі виявиться менше чотирьох цифр, необхідно доповнити її праворуч нулями.

Потім треба перетворити кожну групу на шістнадцяткову цифру, скориставшись при цьому попередньо складеною таблицею відповідності двійкових зошит і шістнадцяткових цифр.

Таблиця 3 Таблиця шістнадцяткових цифр та двійкових зошит

• Переклад із двійкової у вісімкову систему числення

Перевести двійкове число у вісімкову систему досить просто, для цього потрібно:

1. Розбити двійкове число на тріади (групи з трьох двійкових цифр), починаючи з молодших розрядів. Якщо в останній тріаді (старші розряди) буде менше трьох цифр, то доповнимо її до трьох нулями зліва.
   1. Під кожною тріадою двійкового числа записати відповідну цифру восьмеричного числа з наступної таблиці.

Таблиця 4 Таблиця вісімкових чисел та двійкових тріад

3.Вісімкова система числення

Восьмерична система числення - це позиційна система числення з основою 8. Для запису чисел у восьмеричній системі використовується 8 цифр від нуля до семи (0,1,2,3,4,5,6,7).

Застосування: вісімкова система поряд із двійковою та шістнадцятковою використовується в цифровій електроніці та комп'ютерній техніці, проте в даний час застосовується рідко (раніше використовувалася в низькорівневому програмуванні, витіснена шістнадцятковою).

Широке застосування восьмеричной системи в електронної обчислювальної техніки пояснюється тим, що для неї характерний легкий переведення в двійкову і назад за допомогою простої таблиці, в якій всі цифри восьмеричной системи від 0 до 7 представлені у вигляді двійкових триплет (Таблиця 4).

• Історія вісімкової системи числення

Історія: виникнення восьмеричной системи пов'язують із такою технікою рахунки на пальцях, коли вважалися не пальці, а проміжки між ними (їх лише вісім).

У 1716 році король Швеції Карл XII запропонував відомому шведському філософу Емануелю Сведенборгу розробити числову систему, засновану на 64 замість 10. Однак Сведенборг вважав, що для людей з меншим інтелектом, ніж король, оперувати такою системою числення буде занадто важко і запропонував як підставу число 8. Система була розроблена, але смерть Карла XII в 1718 завадила ввести її як загальноприйняту, дана робота Сведенборга не опублікована.

• Переклад з вісімкової до десяткової системи числення

Для переведення восьмеричного числа до десяткового необхідно це число подати у вигляді суми творів ступенів заснування восьмеричної системи числення на відповідні цифри у розрядах восьмеричного числа. [ 24]

Наприклад, потрібно перевести вісімкове число 2357 у десяткове. У цьому числі 4 цифри та 4 розряди (розряди вважаються, починаючи з нульового, якому відповідає молодший біт). Відповідно до вже відомого нам правила представимо його у вигляді суми ступенів з підставою 8:

23578 = (2 · 83) + (3 · 82) + (5 · 81) + (7 · 80) = 2 · 512 + 3 · 64 + 5 · 8 + 7 · 1 = 126310

• Переклад з вісімкової до двійкової системи числення

Для переведення з вісімкової в двійкову систему потрібно кожну цифру числа перетворити на групу з трьох двійкових цифр тріаду (Таблиця 4).

• Переклад з вісімкової в шістнадцяткову систему числення

Для переведення з шістнадцяткової в двійкову систему потрібно кожну цифру числа перетворити на групу з трьох двійкових цифр зошита (Таблиця 3).

3. Шістнадцяткова система числення

Позиційна система числення з цілісної основи 16.

Зазвичай як шістнадцяткові цифри використовуються десяткові цифри від 0 до 9 і латинські літери від A до F для позначення цифр від 1010 до 1510, тобто (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Широко використовується в низькорівневому програмуванні та комп'ютерній документації, оскільки в сучасних комп'ютерах мінімальною одиницею пам'яті є 8-бітний байт, значення якого зручно записувати двома шістнадцятковими цифрами.

У стандарті Юнікод номер символу прийнято записувати в шістнадцятковому вигляді, використовуючи не менше 4 цифр (при необхідності - з провідними нулями).

Шістнадцятковий колір — запис трьох компонентів кольору (R, G і B) у шістнадцятковому вигляді.

• Історія шістнадцяткової системи числення

Шістнадцяткова система числення впроваджена американською корпорацією IBM. Широко використовується у програмуванні для IBM-сумісних комп'ютерів. Мінімальною адресованою (пересилається між компонентами комп'ютера) одиницею інформації є байт, що складається, як правило, з 8 біт (англ. bit - binary digit - двійкова цифра, цифра двійкової системи), а два байти, тобто 16 біт, складають машинне слово ( команду). Таким чином, для запису команд зручно використовувати систему з основою 16.

• Переклад з шістнадцяткової в двійкову систему числення

Алгоритм перекладу чисел із шістнадцяткової системи числення двійкову вкрай простий. Необхідно лише замінити кожну цифру шістнадцяткового числа її еквівалентом у двійковій системі числення (у разі позитивних чисел). Зазначимо лише, що кожне шістнадцяткове число слід замінювати на двійковий, доповнюючи його до 4 розрядів (у бік старших розрядів).

• Переклад з шістнадцяткової в десяткову систему числення

Для переведення шістнадцяткового числа до десяткового необхідно це число подати у вигляді суми творів ступенів заснування шістнадцяткової системи числення на відповідні цифри у розрядах шістнадцяткового числа.

Наприклад, потрібно перевести шістнадцяткове число F45ED23C у десяткове. У цьому числі 8 цифр та 8 розрядів (пам'ятаємо, що розряди вважаються, починаючи з нульового, якому відповідає молодший біт). Відповідно до вищевказаного правила представимо його у вигляді суми ступенів з підставою 16:

F45ED23C 16 = (15·16 7 )+(4·16 6 )+(5·16 5 )+(14·16 4 )+(13·16 3 )+(2·16 2 )+(3·16 1 ) + (12 · 16 0) = 4099854908 10

• Переклад з шістнадцяткової у вісімкову систему числення

Зазвичай при перекладі чисел з шістнадцятковою у вісімкову систему числення спочатку шістнадцяткове число переводять у двійкове, потім розбивають його на тріади, починаючи з молодшого біта, а потім замінюють тріади відповідними їм еквівалентами у вісімковій системі (Таблиця).

Висновок

Зараз у більшості країн світу, незважаючи на те, що там говорять на різних мовах, вважають однаково, "арабською".

Але так не завжди. Ще якихось п'ятсот років тому нічого подібного і згадки не було навіть у освіченій Європі, не кажучи вже про якусь Африку чи Америку.

Проте числа люди все одно якось записували. Кожен народ мав свою власну або запозичену у сусіда систему запису чисел. Одні використовували літери, інші – значки, треті – закорючки. У когось виходило зручніше, у когось не дуже.

На даний момент ми використовуємо різні системи числення різних народів, незважаючи на те, що десяткова система числення має ряд переваг перед іншими.

Вавилонська шестидесяткова система числення досі використовується в астрономії. Її слід зберігся донині. Ми досі вимірюємо час у шістдесяти секундах, у годинах шістдесят хвилин, також вона застосовується у геометрії для вимірювання кутів.

Римська непозиційна система числення використовується нами для позначення параграфів, розділів і, звичайно ж, в хімії.

У комп'ютерних технологіях використовується двійкова система. Саме через використання всього двох чисел 0 і 1 вона лежить в основі роботи комп'ютера, так як у нього два стійкі стани: низька або висока напруга, є струм чи ні струму, намагнічено або не намагнічено. Для людей двійкова система числення не зручна з -за громіздкості запису коду, але переводити числа з двійкову систему в десяткову і назад не так вже й зручно, тому почали використовувати вісімкову та шістнадцяткову системи числення.

Список малюнків

Список таблиць

Формули

Список літератури та джерел

1. Берман Н.Г. "Рахунок та число". ОГИЗ Держтехвидав Москва 1947 рік.
2. Бругш Г. Все про Єгипет-М:. Асоціація Духовного Єднання «Золотий Вік», 2000. - 627 с.
3. Вигодський М. Я. Арифметика та алгебра в Стародавньому світі- М.: Наука, 1967.
4. Ван дер Варден Пробуджена наука. Математика стародавнього Єгипту, Вавилона та Греції / Пер. із голл. І. Н. Веселовського. - М., 1959. - 456 с.
5. Г. І. Глейзер. Історія математики у школі. М: Просвітництво, 1964, 376 с.
6. Босова Л. Л. Інформатика: Підручник для 6 класу
7. Фомін С.В. Системи числення, М: Наука, 2010
8. Різні нумерації та системи числення (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)
9. Математичний енциклопедичний словник. - М.: «Рад. енциклопедія», 1988. - С. 847
10. Талах В.М., Купрієнко С.А. Америка первісна. Джерела з історії майя, наука (астеків) та інків
11. Талах В.М. Введення в ієрогліфічну писемність Майя
12. А.П.Юшкевич, Історія математики, Том 1, 1970
13. І. Я. Депман, Історія арифметики, 1965
14. Л.З.Шауцукова, "Основи інформатики у питаннях та відповідях", Видавничий центр "Ель-Фа", Нальчик, 1994
15. О.Костинський, В.Губайловський, Триєдиний нуль(http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)
16. 2007-2014 "Історія комп'ютера" (http://chernykh.net/content/view/50/105/)
17. Інформатики. Основний курс. / За ред. С.В.Симоновича. – Спб., 2000 р.
18. Зарецька І.Т., Колодяжний Б.Г., Гуржій А.М., Соколов А.Ю. Інформатика: Навчальний посібникдля 10 - 11 кл. середніх загальноосвітніх шкіл - К.: Форум, 2001. - 496 с.
19. ГлавСправ 2009–2014( http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/)
20. Інформатики. Комп'ютерна техніка. Комп'ютерні технології. / Посібник за ред. О.І.Пушкаря. - Видавничий центр "Академія", Київ - 2001 р.
21. Навчальний посібник «Арифметичні основи ЕОМ та систем». Частина 1. Системи числення
22. О.Єфімова, В.Морозова, Н.Угринович «Курс комп'ютерної технології»навчальний посібник для старших класів
23. Каган Б.М. Електронні обчислювальні машини та системи. - М.: Вища школа, 1985
24. Майоров С.А., Кирилов В.В., Приблуда А.А., Введення в мікроЕОМ, Л: Машинобудування, 1988.
25. Фомін С.В. Системи числення, М.: Наука, 1987
26. Вигодський М.Я. Довідник з елементарної математики, М.: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури, 1956.
27. Математична енциклопедія. М: "Радянська енциклопедія" 1985р.
28. Шауман А. М. Основи машинної арифметики. Ленінград, Видавництво Ленінградського університету. 1979р.
29. Ворощук А. Н. Основи ЦВМ та програмування. М: "Наука" 1978р.
30. Роліч Ч. Н. - Від 2 до 16, Мінськ, «Вища школа», 1981р.