Тригонометричні функції arcsin. Формування понять зворотних тригонометричних функцій в учнів на уроках алгебри

Уроки 32-33. Зворотні тригонометричні функції

мета: розглянути зворотні тригонометричні функції, їх використання для запису рішень тригонометричних рівнянь.

I. Повідомлення теми і мети уроків

II. Вивчення нового матеріалу

1. Зворотні тригонометричні функції

Розгляд цієї теми почнемо з наступного прикладу.

приклад 1

Вирішимо рівняння: a) sin x = 1/2; б) sin x = а.

а) На осі ординат відкладемо значення 1/2 і побудуємо кути x 1 і х2, для яких sin x = 1/2. При цьому х1 + х2 = π, звідки х2 = π - x 1 . По таблиці значень тригонометричних функцій знайдемо величину х1 = π / 6, тодіВрахуємо періодичність функції синуса і запишемо вирішення даного рівняння:де k ∈ Z.

б) Очевидно, що алгоритм рішення рівняння sin х = а такий же, як і в попередньому пункті. Зрозуміло, тепер по осі ординат відкладається величина а. Виникає необхідність якимось чином позначити кут х1. Домовилися такий кут позначати символом arcsin а. Тоді рішення даного рівняння можна записати у виглядіЦі дві формули можна об'єднати в одну:при цьому

Аналогічним чином вводяться і інші зворотні тригонометричні функції.

Дуже часто буває необхідно визначити величину кута за відомим значенням його тригонометричної функції. Таке завдання є багатозначною - існує незліченна безліч кутів, тригонометричні функції яких дорівнюють одному і тому ж значенню. Тому, виходячи з монотонності тригонометричних функцій, для однозначного визначення кутів вводять такі зворотні тригонометричні функції.

Арксинус числа a (arcsin , Синус якого дорівнює а, т. Е.

арккосинус числа a (arccos а) - такий кут а з проміжку, косинус якого дорівнює а, т. е.

арктангенс числа a (arctg а) - такий кут а з проміжкутангенс якого дорівнює а, т. е.tg а = а.

арккотангенс числа a (arcctg а) - такий кут а з проміжку (0; π), котангенс якого дорівнює а, т. е. ctg а = а.

приклад 2

знайдемо:

З огляду на визначення зворотних тригонометричних функцій отримаємо:

приклад 3

обчислимо

Нехай кут а = arcsin 3/5, тоді по визначенню sin a = 3/5 і . Отже, треба знайти cos а. Використовуючи основне тригонометричну тотожність, отримаємо:Враховано, що і cos a ≥ 0. Отже,

Наведемо ще ряд типових прикладів, пов'язаних з визначеннями і основними властивостями зворотних тригонометричних функцій.

приклад 4

Знайдемо область визначення функції

Для того щоб функція у була визначена, необхідно виконання нерівностіяке еквівалентно системі нерівностейРішенням першого нерівності є проміжок х∈ (-∞; + ∞), другого -цей проміжок і є рішенням системи нерівностей, а отже, і областю визначення функції

приклад 5

Знайдемо область зміни функції

Розглянемо поведінку функції z = 2х - х2 (див. Малюнок).

Видно, що z ∈ (-∞; 1]. З огляду на, що аргумент z функції арккотангенса змінюється в зазначених межах, з даних таблиці отримаємо, щоТаким чином, область зміни

приклад 6

Доведемо, що функція у = arctg х непарна. нехайТоді tg а = х або х = - tg а = tg (- a), причому Отже, - a = arctg х або а = - arctg х. Таким чином, бачимо, щот. е. у (х) - функція непарна.

приклад 7

Висловимо через все зворотні тригонометричні функції

нехай Очевидно, що Тоді Так як

введемо кут Так як то

аналогічно тому і

Отже,

приклад 8

Побудуємо графік функції у = cos (arcsin х).

Позначимо а = arcsin x, тоді Врахуємо, що х = sin а й у = cos а, т. Е. X 2 + У2 = 1, і обмеження на х (х∈ [-1; 1]) і у (у ≥ 0). Тоді графіком функції у = cos (arcsin х) є півколо.

приклад 9

Побудуємо графік функції у = arccos (cos x).

Так як функція cos х змінюється на відрізку [-1; 1], то функція у визначена на всій числовій осі і змінюється на відрізку. Будемо мати на увазі, що у = arccos (cos x) = Х на відрізку; функція у є парною і періодичної з періодом 2π. З огляду на, що цими властивостями володіє функція cos x, тепер легко побудувати графік.

Відзначимо деякі корисні рівності:

приклад 10

Знайдемо найменше та найбільше значення функціїпозначимо тоді отримаємо функцію Ця функція має мінімум в точці z = π / 4, і він дорівнює Найбільше значення функції досягається в точці z = -π / 2, і воно дорівнює Таким чином, і

приклад 11

вирішимо рівняння

Врахуємо, що Тоді рівняння має вигляд:або звідки За визначенням арктангенса отримаємо:

2. Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь

Аналогічно прикладу 1 можна отримати рішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

приклад 12

вирішимо рівняння

Так як функція синус непарна, то запишемо рівняння у виглядіРішення цього рівняння:звідки знаходимо

приклад 13

вирішимо рівняння

За наведеною формулою запишемо рішення рівняння:і знайдемо

Зауважимо, що в окремих випадках (а = 0; ± 1) при вирішенні рівнянь sin х = а і cos х = а простіше і зручніше використовувати не загальні формули, а записувати рішення на підставі одиничному колі:

для рівняння sin х = 1 рішення

для рівняння sin х = 0 рішення х = π k;

для рівняння sin х = -1 рішення

для рівняння cos х = 1 рішення х = 2π k;

для рівняння cos х = 0 рішення

для рівняння cos х = -1 рішення

приклад 14

вирішимо рівняння

Так як в даному прикладі є окремий випадокрівняння, то за відповідною формулою запишемо рішення:звідки знайдемо

III. Контрольні питання (фронтальне опитування)

1. Дайте визначення і наведіть основні властивості зворотних тригонометричних функцій.

2. Наведіть графіки обернених тригонометричних функцій.

3. Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

IV. Завдання на уроках

§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);

§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).

V. Завдання додому

§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

VI. творчі завдання

1. Знайдіть область визначення функції:

відповіді:

2. Знайдіть область значень функції:

відповіді:

3. Побудуйте графік функції:

VII. Підведення підсумків уроків

Зворотні тригонометричні функції- це арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс.

Спочатку дамо визначення.

арксинусаАбо, можна сказати, що це такий кут, що належить відрізку, синус якого дорівнює числу а.

арккосинусачисла а називається число, таке, що

арктангенсомчисла а називається число, таке, що

арккотангенсачисла а називається число, таке, що

Розповімо докладно про ці чотирьох нових для нас функції - зворотних тригонометричних.

Пам'ятайте, ми вже зустрічалися с.

Наприклад, арифметичний квадратний коріньз числа а - таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а.

Логарифм числа b по підставі a - таке число с, що

При цьому

Ми розуміємо, для чого математикам довелося «придумувати» нові функції. Наприклад, рішення рівняння - це і Ми не змогли б записати їх без спеціального символу арифметичного квадратного кореня.

Поняття логарифма виявилося необхідно, щоб записати рішення, наприклад, такого рівняння: Рішення цього рівняння - ірраціональне число Це показник ступеня, в яку треба звести 2, щоб отримати 7.

Так само і з тригонометричними рівняннями. Наприклад, ми хочемо вирішити рівняння

Ясно, що його рішення відповідають точкам на тригонометричному колі, ордината яких дорівнює І ясно, що це не табличне значення синуса. Як же записати рішення?

Тут не обійтися без нової функції, що позначає кут, синус якого дорівнює даному числу a. Так, все вже здогадалися. Це арксинус.

Кут, що належить відрізку, синус якого дорівнює - це арксинус однієї четвертої. І значить, серія рішень нашого рівняння, відповідна правої точці на тригонометричному колі, - це

А друга серія рішень нашого рівняння - це

Детальніше про рішення тригонометричних рівнянь -.

Залишилося з'ясувати - навіщо у визначенні арксинуса вказується, що це кут, що належить відрізку?

Справа в тому, що кутів, синус яких дорівнює, наприклад,, нескінченно багато. Нам потрібно вибрати якийсь один з них. Ми вибираємо той, який лежить на відрізку.

Погляньте на тригонометричний коло. Ви побачите, що на відрізку кожному розі відповідає певне значення синуса, причому тільки одне. І навпаки, будь-якому значенню синуса з відрізка відповідає одне-єдине значення кута на відрізку. Це означає, що на відрізку можна задати функцію приймаючу значення від до

Повторимо визначення ще раз:

Арксинуса числа a називається число , таке, що

Позначення: Область визначення арксинуса - відрізок Область значень - відрізок.

Можна запам'ятати фразу «арксинуса живуть справа». Не забуваємо тільки, що не просто справа, але ще й на відрізку.

Ми готові побудувати графік функції

Як завжди, відзначаємо значення х по горизонтальній осі, а значення у - по вертикальній.

Оскільки, отже, х лежить в межах від -1 до 1.

Значить, областю визначення функції y = arcsin x є відрізок

Ми сказали, що у належить відрізку. Це означає, що областю значень функції y = arcsin x є відрізок.

Зауважимо, що графік функції y = arcsinx весь поміщається в області, обмеженої лініями і

Як завжди при побудові графіка незнайомій функції, почнемо з таблиці.

За визначенням, арксинус нуля - це таке число з відрізка, синус якого дорівнює нулю. Що це за число? - Зрозуміло, що це нуль.

Аналогічно, арксинус одиниці - це таке число з відрізка, синус якого дорівнює одиниці. Очевидно, це

Продовжуємо: - це таке число з відрізка, синус якого дорівнює. Та це

Будуємо графік функції

властивості функції

1. Область визначення

2. Область значень

3., тобто ця функція є непарною. Її графік симетричний відносно початку координат.

4. Функція монотонно зростає. Її найменше значення, рівне -, досягається при, а найбільше значення, рівне, при

5. Що спільного у графіків функцій і? Чи не здається вам, що вони «зроблені за одним шаблоном» - так само, як права гілка функції і графік функції, або як графіки показовою і логарифмічною функцій?

Уявіть собі, що ми зі звичайної синусоїди вирізали невеличкий фрагмент від до, а потім розгорнули його вертикально - і ми отримаємо графік арксинуса.

Те, що для функції на цьому проміжку - значення аргументу, то для арксинуса будуть значення функції. Так і має бути! Адже синус і арксинус - взаємно-зворотні функції. Інші приклади пар взаємно обернених функцій - це при і, а також показова і логарифмічна функції.

Нагадаємо, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої

Аналогічно, визначимо функцію Тільки відрізок нам потрібен такий, на якому кожному значенню кута відповідає своє значення косинуса, а знаючи косинус, можна однозначно знайти кут. Нам підійде відрізок

Арккосинуса числа a називається число , Таке, що

Легко запам'ятати: «арккосинуса живуть зверху», і не просто зверху, а на відрізку

Позначення: Область визначення арккосинуса - відрізок Область значень - відрізок

Очевидно, відрізок обраний тому, що на ньому кожне значення косинуса приймається тільки один раз. Іншими словами, кожному значенню косинуса, від -1 до 1, відповідає одне-єдине значення кута з проміжку

Арккосинус не є ні парною, ні непарної функцією. Зате ми можемо використовувати наступне очевидне співвідношення:

Побудуємо графік функції

Нам потрібен такий ділянку функції, на якому вона монотонна, тобто приймає кожне своє значення рівно один раз.

Виберемо відрізок. На цьому відрізку функція монотонно убуває, тобто відповідність між множинами і взаємно однозначно. Кожному значенню х відповідає своє значення у. На цьому відрізку існує функція, обернена до косинусу, тобто функція у = arccosx.

Заповнимо таблицю, користуючись визначенням арккосинуса.

Арккосинуса числа х, що належить проміжку, буде таке число y, що належить проміжку, що

Значить,, оскільки;

Так як ;

Так як ,

Так як ,

Ось графік арккосинуса:

властивості функції

1. Область визначення

2. Область значень

ця функція загального вигляду- вона не є ні парною, ні непарною.

4. Функція є строго спадною. Найбільше значення, рівне, функція у = arccosx приймає при, а найменше значення, рівне нулю, приймає при

5. Функції і є взаємно зворотними.

Наступні - арктангенс і арккотангенс.

Арктангенсом числа a називається число , Таке, що

Позначення:. Область визначення арктангенса - проміжок область значень - інтервал.

Чому у визначенні арктангенса виключені кінці проміжку - точки? Звичайно, тому, що тангенс в цих точках не визначений. Не існує числа a, рівного тангенсубудь-якого з цих кутів.

Побудуємо графік арктангенса. Згідно з визначенням, арктангенсом числа х називається число у, що належить інтервалу, таке, що

Як будувати графік - вже зрозуміло. Оскільки арктангенс - функція зворотна тангенсу, ми чинимо так:

Вибираємо таку ділянку графіка функції, де відповідність між х і у взаємно однозначне. Це інтервал Ц На цій ділянці функція приймає значення від до

тоді у зворотної функції, Тобто у функції, область, визначення буде вся числова пряма, від до а областю значень - інтервал

значить,

значить,

значить,

А що ж буде при нескінченно великих значеннях х? Іншими словами, як веде себе ця функція, якщо х прагне до плюс нескінченності?

Ми можемо поставити собі питання: для якого числа з інтервалу значення тангенса прямує до нескінченності? - Очевидно, це

А значить, при нескінченно великих значеннях х графік арктангенса наближається до горизонтальної асимптоти

Аналогічно, якщо х прагне до мінус нескінченності, графік арктангенса наближається до горизонтальної асимптоти

На малюнку - графік функції

властивості функції

1. Область визначення

2. Область значень

3. Функція непарна.

4. Функція є строго зростаючої.

6. Функції і є взаємно зворотними - звичайно, коли функція розглядається на проміжку

Аналогічно, визначимо функцію арккотангенс і побудуємо її графік.

Арккотангенса числа a називається число , Таке, що

Графік функції :

властивості функції

1. Область визначення

2. Область значень

3. Функція - загального вигляду, тобто ні парна, ні непарна.

4. Функція є строго спадною.

5. Прямі та - горизонтальні асимптоти даній функції.

6. Функції і є взаємно зворотними, якщо розглядати на проміжку

У цій статті ми розберемо такі важливі поняття в тригонометрії, як арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс. Ми можемо знайти значення чисел (кутів), якщо знаємо дані тригонометричних функцій; це і є та сама задача, що приводить нас до зворотних функцій.

Нижче ми не тільки дамо визначення основних понять і загальноприйняті позначення, а й наведемо розрахунки, з яких буде ясно, що вони з себе представляють. В кінці ми спробуємо зв'язати поняття арккотангенса, арктангенса, арккосинуса і арксинуса з поняттям одиничному колі.

Основні визначення

Всі перераховані вище поняття - арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс - можна розглядати як в якості числа, так і в якості кута. Раніше ми вже говорили про таку ж подвійності сприйняття прямих функцій (синус, косинус і ін.) Розглянемо обидва підходи окремо.

Арксинус і інші зворотні функції як кут

Припустимо, у нас є якийсь кут, синус якого дорівнює 1 2. Позначимо його буквою альфа.

Отже, sin α = 1 2. Таке значення синуса може бути у нескінченного числа кутів: α = (- 1) k · 30 ° + 180 ° · k (α = (- 1) k · π / 6 + π · k), де k ∈ Z. Тому нам потрібно ввести додаткові умови. Нехай кут альфа буде не менше - 90 і не більше 90 градусів (тобто (в радіанах він буде належати відрізку [- π 2, π 2]),). В такому випадку наше рівність sin α = 1 2 дозволить позначити кут альфа більш ясно: в таких умовах їм буде тільки один кут - в 30 градусів (π 6 радіанів).

Виходячи із зазначеного рівності, ми можемо зробити висновок, що кут альфа визначається за умови будь-якого числа a ∈ [- 1, 1] і умови - 90 ° ≤ α ≤ 90 °. Цей кут - і є арксинус числа a.

Сформулюємо основні визначення.

визначення 1

• арксинус- це функція, зворотна sin. Для деякого числа а вона являє собою кут від - 90 до 90 градусів, sin якого дорівнює a.
• арккосинус- функція, зворотна косинусу. Для числа a - це такий кут, cos якого дорівнює a, і який при цьому знаходиться в діапазоні від 0 до 180 градусів.
• арктангенс-трігонометріческая функція, зворотна тангенсу. Для деякого числа a u 1 це кут, величина якого перебуває в діапазоні від - 90 до 90 градусів, тангенс якого дорівнює a.
• арккотангенсчисла а є також кут величиною від 0 до 190 градусів, котангенс якого дорівнює a.

Підсумуємо: так, запис a r c sin 0, 3 означає всього лише кут, синус якого дорівнює 0, 3; a r c cos 0, 7 - кут з косинусом 0, 7 і так далі.

Підписи виду a r c sin, a r c cos, a r c t g і a r c c t g є загальноприйнятими для запису зворотних тригонометричних функцій. Іноді в довідниках, особливо тих, що складені на англійською, Можна зустріти трохи інші позначення для арккотангенса і арктангенса - a r c tan і a r c c o t. Вони означають те ж саме, але у нас не поширені, тому користуватися ними ми не будемо.

Вищевказані визначення можна сформулювати в більш короткій і символічній формі:

визначення 2

• arcsinчисла а в діапазоні від мінус одиниці до одиниці є кут з sin α = a величиною - 90 ° ≤ α ≤ 90 ° (- π 2 ≤ α ≤ π 2)
• arccosчисла а в діапазоні від мінус одиниці до одиниці є кут з cos = a величиною 0 ° ≤ α ≤ 180 ° (0 ≤ α ≤ π)
• arctgбудь-якого числа а є кут з t g α = a величиною - 90 °< α < 90 ° (− π 2 < α < π 2)
• arctgбудь-якого числа а є кут з c t g α = a величиною що 0 °< α < 180 ° (0 < α < π)

Зверніть увагу, що в визначеннях arcsin і arccos варто діапазон від мінус одиниці до плюс одиниці, а для двох інших функцій а може бути будь-яким числом. Виходить, що арксинус 3 - помилковий запис, адже трійка не належить у зазначеному діапазону. Також безглузді записи a r c sin 5, a r c cos - 7, a r c sin - 3, 7 2 3 і з будь-якими іншими значеннями, які виходять за межі потрібного нам відрізка, адже синус і косинус не бувають більше одиниці і менше мінус одиниці. У випадку з арктангенсом і арккотангенса такої проблеми немає, для них підійде будь-яка дійсна число, в тому числі нуль, пі і так далі.

приклад 1

Тепер розберемо приклади зворотних функцій числа. Для початку візьмемо арксинус. З його базового визначення випливає, що кут π 3 - арксинус числа 3 2, таким чином, (в даному випадку α = 3 2 і α = π 3).

3 2 - число, яке менше одиниці і більше мінус одиниці, а кут π 3 знаходиться в межах від - π 2 до π 2 і sin π 3 = 3 2.

приклад 2

Іншими прикладами a r c sin є записи виду a r c sin (- 1) = - 90 °, a r c sin (0, 5) = π 6, a r c sin (- 2 + 2) = - π 4. При цьому π 10 не може бути a r c sin 1, 2, тому що sin (π 10) ≠ 1 2.

приклад 3

Візьмемо такий приклад: sin 270 градусів - мінус одиниця, але при цьому зворотне невірно: кут 270 - НЕ арксинус - 1, тому що a r c sin повинен бути не більше 90 градусів. Кут в 270 градусів не є арксинуса жодного числа, тому що лежить за межами потрібного діапазону.

приклад 4

Знайдемо приклади інших зворотних функцій. Так, кут 0 радіанів є арккосинус 1, тобто, a r c cos 1 = 0 .Тут всі умови арккосинуса виконуються, число належить потрібного відрізку, кут заданої величини знаходиться в межах від нуля до пі і cos 0 = 1. Кут π 2 - арккосинус нуля: a r c cos 0 = π 2.

приклад 5

Згідно з визначенням арктангенса, значення a r c t g (- 1) = - π 4 або a r c t g (- 1) = - 45 °. Арктангенс кореня з трьох дорівнює 60 градусам (π 3 рад). З цього можна зробити висновок, що a r c c t g 0 = π 2, так як кут π 2 лежить в рамках від 0 до π і c t g (π 2) = 0.

Якщо ви хочете більш докладно вивчити такий підхід до визначення зворотних тригонометричних функцій, рекомендуємо вам підручник Кочеткова (ч.1, стор. 260-278)

Арксинус і інші зворотні функції як число

У тому випадку, якщо в задачі мова йде, скажімо, про синусі кута, то логічно його арксинус також сприймати як кут. Якщо нам потрібно, наприклад, обчислити косинус деякого числа, то тут важливо встати на іншу точку зору і розглянути зворотні функції як числа. Виходячи з другого підходу, можна трохи переформулювати визначення:

визначення 3

• арксинуса є певна кількість, t ∈ [- π 2, π 2], синус якого дорівнює a.
• арккосинусчисла a ∈ [- 1, 1] є певна кількість t ∈ [0, π], косинус якого дорівнює a.
• арктангенсчисла a ∈ (- ∞, + ∞) - це таке число t ∈ (- π 2, π 2), тангенс якого дорівнює a.
• арккотангенсчисла a ∈ (- ∞, + ∞) є таке число t ∈ (0, π), котангенс якого дорівнює a.

Такі формулювання є типовими для більшості сучасних підручників з математики.

приклад 6

Який же підхід слід вибирати? Як зрозуміти, коли краще розглядати значення арксинуса і інших функцій як кути, а коли - як числа? Це можна зрозуміти з контексту завдання. Зазвичай якщо там згадується, скажімо, a r c sin a - 11 °, то це кут. Якщо ми бачимо запис виду π - a r c t g a, то, швидше за все, це просто число або ж кут, виміряний в радіанах. Якщо ж зустрічаються просто формулювання виду a r c sin, a r c c t g і ін. Без вказівок чисел і значень, то ми вільні вибирати будь-який підхід, який хочемо.

Більш наочно уявити зворотні функції числа можна геометрично: адже якщо це кути, їх можна зобразити на кресленні. Це просто зробити, якщо ви ще не забули базові визначення основних прямих функцій.

Для цього нам знадобиться вже знайома нам одиничне коло. Її дуги, що зв'язують між собою основні кути, і будуть відповідати величинам зворотних функцій.

Наприклад, візьмемо дугу, яка проілюструє нам арксинус певної кількості a. Проведемо лінію синусів і вкажемо на ній точку відповідно до величини a. З цієї точки тепер потрібно потрапити до осі абсцис (візьмемо позитивний напрямок). У нас вийшов промінь, який перетне коло в особливій точці. Арксинус числа a - це і є частина дуги окружності від цієї точки до початку координат. Згадаймо два підходи до розгляду функцій: як кут і як число. Кут, відповідний дузі, - це ілюстрація арксинуса в рамках першого підходу, а довжина дуги, виражена кількісно, ​​ілюструє арксинус в рамках другого.

Тепер намалюємо дуги, які проілюструють для нас інші зворотні функції. На другому графіку вони відзначені синіми лініями. Погляньте, як можна графічно відобразити поняття a r c sin, a r c cos, a r c t g, a r c c t g для довільного числа a (в зазначених вище діапазонах):

Висновок: що таке аркфункцій

У підсумку ми можемо сформулювати наступне: для будь-якого числа a a ∈ [- 1, 1] можна обчислити кути - арксинус і арккосинус, а для кожного дійсного числа - кути арктангенс і арккотангенс. Ця точка зору дозволяє зіставити між собою числове значення аргументу і конкретний кут, який є значенням функції.

Ми можемо дивитися на поняття a r c sin, a r c cos, a r c t g і a r c c t g як на числа і як на кути. Якщо ми беремо їх в якості чисел, то вони є числовими функціями: кожному значенню а відповідає число.

Підсумуємо: всі ці чотири поняття - і є зворотні тригонометричні функції. Назва зрозуміло: арксинус протиставлений синусу, арккосинус - косинусу, арктангенс - тангенсу, арккотангенс - Котангенс. Тому ще одна поширена збірна назва для них - аркфункцій.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Зворотні тригонометричні функції(Кругові функції, аркфункцій) - математичні функції, які є зворотними до тригонометричним функціям.

До них зазвичай відносять 6 функцій:

• арксинус(Позначення: arcsin x; arcsin x- це кут, sinякого дорівнює x),
• арккосинус(Позначення: arccos x; arccos x- це кут, косинус якого дорівнює xі так далі),
• арктангенс(Позначення: arctg xабо arctan x),
• арккотангенс(Позначення: arcctg xабо arccot ​​xабо arccotan x),
• арксеканс(Позначення: arcsec x),
• арккосеканс(Позначення: arccosec xабо arccsc x).

арксинус (y = arcsin x) - зворотна функція до sin (x = sin y . Іншими словами повертає кут за значенням його sin.

арккосинус (y = arccos x) - зворотна функція до cos (x = cos y cos.

арктангенс (y = arctg x) - зворотна функція до tg (x = tg y), Яка має область визначення і множину значень . Іншими словами повертає кут за значенням його tg.

арккотангенс (y = arcctg x) - зворотна функція до ctg (x = ctg y), Яка має область визначення і множину значень. Іншими словами повертає кут за значенням його ctg.

arcsec- арксеканс, повертає кут за значенням його секанса.

arccosec- арккосеканс, повертає кут за значенням його косеканс.

Коли зворотна тригонометрическая функція не визначається в зазначеній точці, значить, її значення не з'явиться в підсумковій таблиці. функції arcsecі arccosecне визначаються на відрізку (-1,1), а arcsinі arccosвизначаються тільки на відрізку [-1,1].

Назва зворотного тригонометричної функції утворюється від назви відповідної їй тригонометричної функції додатком приставки «арк-» (від лат. arc us- дуга). Це пов'язано з тим, що геометрично значення зворотної тригонометричної функції пов'язують з довжиною дуги одиничному колі (або кутом, який стягує цю дугу), яка відповідає тому або іншому відрізку.

Іноді в зарубіжній літературі, як і в наукових / інженерних калькуляторах, використовують позначеннями на кшталт sin -1, cos -1для арксинуса, арккосинуса тощо, - це вважається не повністю точним, тому що імовірна плутанина зі зведенням функції в ступінь −1 (« −1 »(Мінус перша ступінь) визначає функцію x = f -1 (y), Зворотний функції y = f (x)).

Основні співвідношення обернених тригонометричних функцій.

Тут важливо звернути увагу на інтервали, для яких справедливі формули.

Формули, що зв'язують зворотні тригонометричні функції.

Позначимо будь-яке з значень обернених тригонометричних функцій через Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​xі збережемо позначення: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​xдля їх головних значень, тоді зв'язок між ними виражається такими співвідношеннями.

Функція, зворотна косинусу

Областю значень функції y = cos x (див. Рис. 2) є відрізок. На відрізку функція неперервна і монотонно убуває.

Мал. 2

Значить, на відрізку визначена функція, зворотна функції y = cos x. Цю зворотну функцію називають арккосинуса і позначають y = arccos x.

визначення

Aрккосінусом числа а, якщо | а | 1, називають кут, косинус якого належить відрізку; його позначають arccos а.

Таким чином, arccos а є кут, що задовольняє наступним двом умовам: сos (arccos a) = a, | а | 1; 0? arccos a? р.

Наприклад, arccos, так як cos і; arccos, так як cosі.

Функція y = arccos x (рис. 3) визначена на відрізку, областю її значень є відрізок. На відрізку функція y = arccos x неперервна і монотонно убуває від р до 0 (оскільки y = cos х - безперервна і монотонно спадна функція на відрізку); на кінцях відрізка вона досягає своїх екстремальних значень: arccos (-1) = р, arccos 1 = 0. Відзначимо, що arccos 0 =. Графік функції y = arccos x (див. Рис. 3) симетричний графіку функції y = cos x відносно прямої y = x.

Мал. 3

Покажемо, що має місце рівність arccos (-x) = р-arccos x.

Справді, за визначенням 0? arcсos х? р. Помноживши на (-1) всі частини останнього подвійного нерівності, отримуємо - р? arcсos х? 0. Додаючи р до всіх частин останньої нерівності, знаходимо, що 0? р-arccos х? р.

Таким чином, значення кутів arccos (-х) і р - arccos х належать одному і тому ж відрізку. Оскільки на відрізку косинус монотонно убуває, то на ньому не може бути двох різних кутів, що мають рівні косинуси. Знайдемо косинуси кутів arccos (-х) і р-arccos х. За визначенням cos (arccos x) = - x, за формулами приведення і за визначенням маємо: cos (р - - arccos х) = - cos (arccos х) = - х. Отже, косинуси кутів рівні, значить, рівні і самі кути.

Функція, зворотна синусу

Розглянемо функцію y = sin х (рис. 6), яка на відрізку [-р / 2; р / 2] зростаюча, безперервна і приймає значення з відрізка [-1; 1]. Значить, на відрізку [- р / 2; р / 2] визначена функція, зворотна функції y = sin x.

Мал. 6

Цю зворотну функцію називають арксинуса і позначають y = arcsin x. Введемо визначення арксинуса числа а.

Арксинуса числа а, якщо називають кут (або дугу), синус якого дорівнює числу а й який належить відрізку [-р / 2; р / 2]; його позначають arcsin а.

Таким чином, arcsin а є кут, що задовольняє наступним умовам: sin (arcsin a) = a, | a | № 1; -р / 2? arcsin а? р / 2. Наприклад, так як sin і [- р / 2; р / 2]; arcsin, так як sin = і [- р / 2; р / 2].

Функція y = arcsin х (рис. 7) визначена на відрізку [- 1; 1], областю її значень є відрізок [-р / 2; р / 2]. На відрізку [- 1; 1] функція y = arcsin x неперервна і монотонно зростає від -р / 2 до р / 2 (це випливає з того, що функція y = sin x на відрізку [-р / 2; р / 2] неперервна і монотонно зростає). Найбільше значення вона приймає при x = 1: arcsin 1 = р / 2, а найменше - при х = -1: arcsin (-1) = -р / 2. При х = 0 функція дорівнює нулю: arcsin 0 = 0.

Покажемо, що функція y = arcsin x є непарною, тобто arcsin (-х) = - arcsin х при будь-якому х [ - 1; 1].

Дійсно, за визначенням, якщо | x | ? 1, маємо: - р / 2? arcsin x? ? р / 2. Таким чином, кути arcsin (-х) і - arcsin х належать одному і тому ж відрізку [ - р / 2; р / 2].

Знайдемо синуси цихкутів: sin (arcsin (-х)) = - х (за визначенням); оскільки функція y = sin x непарна, то sin (-arcsin х) = - sin (arcsin x) = - х. Отже, синуси кутів, що належать одному і тому ж проміжку [-р / 2; р / 2], рівні, значить, рівні і самі кути, тобто arcsin (-х) = - arcsin х. Значить, функція y = arcsin x - непарна. Графік функції y = arcsin x симетричний відносно початку координат.

Покажемо, що arcsin (sin x) = х для будь-якого х [-р / 2; р / 2].

Дійсно, за визначенням -р / 2? arcsin (sin x)? р / 2, а за умовою -р / 2? x? р / 2. Значить, кути х і arcsin (sin x) належать одному і тому ж проміжку монотонності функції y = sin x. Якщо синуси таких кутів рівні, то рівні і самі кути. Знайдемо синуси цих кутів: для кута х маємо sin x, для кута arcsin (sin x) маємо sin (arcsin (sin x)) = sin x. Отримали, що синуси кутів рівні, отже, і кути рівні, тобто arcsin (sin x) = х. .

Мал. 7

Мал. 8

Графік функції arcsin (sin | x |) виходить звичайними перетвореннями, пов'язаними з модулем, з графіка y = arcsin (sin x) (зображений штриховою лінією на рис. 8). Шуканий графік y = arcsin (sin | x- / 4 |) виходить з нього зрушенням на / 4 вправо уздовж осі абсцис (зображений суцільною лінією на рис. 8)

Функція, зворотна тангенсу

Функція y = tg x на проміжку приймає все числові значення: E (tg x) =. На цьому проміжку вона неперервна і монотонно зростає. Значить, на промежуткеопределена функція, зворотна функції y = tg x. Цю зворотну функцію називають арктангенсом і позначають y = arctg x.

Арктангенсом числа а називають кут з проміжку, тангенс якого дорівнює а. Таким чином, arctg a є кут, що задовольняє наступним умовам: tg (arctg a) = a і 0? arctg a? р.

Отже, будь-якого числа х завжди відповідає єдине значення функції y = arctg x (рис. 9).

Очевидно, що D (arctg x) =, E (arctg x) =.

Функція y = arctg x є зростаючою, оскільки функція y = tg x зростає на проміжку. Неважко довести, що arctg (-x) = - arctgx, тобто що арктангенс - непарна функція.

Мал. 9

Графік функції y = arctg x симетричний графіку функції y = tg x відносно прямої y = x, графік y = arctg x проходить через початок координат (бо arctg 0 = 0) і симетричний відносно початку координат (як графік непарної функції).

Можна довести, що arctg (tg x) = x, якщо x.

Функція, зворотна Котангенс

Функція y = ctg x на проміжку приймає все числові значення з проміжку. Область її значень збігається з безліччю всіх дійсних чисел. У проміжку функція y = ctg x неперервна і монотонно зростає. Значить, на цьому проміжку визначена функція, зворотна функції y = ctg x. Функцію, зворотний Котангенс, називають арккотангенса і позначають y = arcctg x.

Арккотангенса числа а називають кут, що належить проміжку, котангенс якого дорівнює а.

Таким чином, аrcctg a є кут, що задовольняє наступним умовам: ctg (arcctg a) = a і 0? arcctg a? р.

З визначення зворотної функції і визначення арктангенса слід, що D (arcctg x) =, E (arcctg x) =. Арккотангенс є спадною функцією, оскільки функція y = ctg x убуває в проміжку.

Графік функції y = arcctg x не перетинає вісь Ох, так як y> 0 R. При х = 0 y = arcctg 0 =.

Графік функції y = arcctg x зображений на малюнку 11.

Мал. 11

Відзначимо, що для всіх дійсних значень х вірно тотожність: arcctg (-x) = р-arcctg x.