Nilai punggung hamparan Euclidean. Ruang Euclidovy

Datang ke ruang vektor sedemikian. Daripada statty ts_y untuk wih_dne akan diambil uhval pertama.

N (\ gaya paparan n)-ruang Euclid duniawi yang dimaksudkan E n, (\ displaystyle \ mathbb (E) ^ (n),) ia juga sering vikorystovutsya makna (ia adalah jelas dari konteks bahawa terdapat ruang untuk struktur Euclidean).

YouTube ensiklopedia

1 / 5

✪ 04 - Algebra garisan. Ruang Euclid

✪ Geometri Bukan Euclidean. Sebahagian daripada Persha.

✪ Geometri Bukan Euclidean. Sebahagian daripada seorang kawan

✪ 01 - Algebra garisan. Ruang garis (vektor).

✪ 8. Ruang Euclidean

Sari kata

Secara formal

Untuk maksud ruang Euclidean, mudah untuk membawa skalar kepada pemahaman utama. Ruang vektor Euclidean bermula sebagai ruang vektor akhir di atas medan nombor pertuturan, pada vektor yang fungsi bernilai pertuturan diberikan (⋅, ⋅), (\ gaya paparan (\ cdot, \ cdot),) scho Volodya dengan tiga kuasa seterusnya:

Ruang Euclidean Punggung - ruang koordinat R n, (\ displaystyle \ mathbb (R) ^ (n),) untuk disimpan daripada tuple nombor pertuturan yang diperkuatkan (x 1, x 2,…, x n), (\ gaya paparan (x_ (1), x_ (2), \ dots, x_ (n)),) skalar tvir di mana nilai dimulakan oleh formula (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n. (\ gaya paparan (x, y) = \ jumlah _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) y_ (i) = x_ (1) y_ (1) + x_ (2) y_ (2) + \ cdots + x_ (n) y_ (n).)

Dovjini ta kuti

Makhluk skalar yang ditetapkan dalam ruang Euclidean sudah cukup untuk melarang pemahaman geometri dojini ta kuta. vektor Dovzhin u (\ gaya paparan u) mula yak (u, u) (\ displaystyle (\ sqrt ((u, u))))) saya tahu | u | ... (\ gaya paparan | u |.) Nilai positif skalar kepada penjamin ialah nilai vektor bukan sifar adalah bukan sifar, dan nilai skalar adalah bukan sifar. | a u | = | a | | u | , (\ gaya paparan | au | = | a || u |,) supaya vektor berkadar genap є berkadar.

Coot mіzh vektor u (\ gaya paparan u)і v (\ gaya paparan v) mulakan untuk formula φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |). (\ displaystyle \ varphi = \ arccos \ left ((\ frac ((x, y))) (| x || y |)) \ kanan).) Tiga teorem kosinus digunakan, tetapi untuk ruang Euclidean dua dimensi ( kawasan euclidean) nilai yang diberi kuta menjadi zychanym. Vektor ortogon, seperti dalam ruang remeh, anda boleh menggunakannya sebagai vektor, kut antara yakimy dorivnyu π 2. (\ gaya paparan (\ frac (\ pi) (2)).)

Inersia Koshy - Bunyakovsky - Schwartz dan kekurangan basikal roda tiga

Terdapat satu penjelasan untuk keseluruhan banyak vysnachenny kuta: untuk arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) (\ displaystyle \ arccos \ left ((\ frac ((x, y)) (| x || y |)) \ right)) boolean diberikan, diperlukan | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\ gaya paparan \ kiri | (\ frac ((x, y)) (| x || y |)) \ kanan | \ leqslant 1.) Keadilan yang tidak munasabah untuk dilihat dalam ruang yang agak Euclidean, untuk memanggil diri kita sebagai tidak munasabah Koshi - Bunyakivsky - Schwartz. Dengan banyak saraf, pada syaitan anda sendiri, menangisє saraf basikal roda tiga: | u + v | ⩽ | u | + | v | ... (\ gaya paparan | u + v | \ leqslant | u | + | v |.) Ketidakkonsistenan basikal roda tiga, pada masa yang sama, kerana kuasa dozhini yang luar biasa, bermakna bahawa vektor adalah norma pada ruang vektor Euclidean, dan fungsi d (x, y) = | x - y | (\ gaya paparan d (x, y) = | x-y |) memperuntukkan kepada ruang Euclidean struktur ruang metrik (fungsi ini dipanggil metrik Euclidean). Zokrem, elemen vіdstan mіzh (mata) x (\ gaya paparan x)і y (\ gaya paparan y) ruang koordinat R n (\ displaystyle \ mathbb (R) ^ (n)) ditetapkan oleh formula d (x, y) = ‖ x - y ‖ = ∑ i = 1 n (x i - y i) 2. (\ gaya paparan d (\ mathbf (x), \ mathbf (y)) = \ | \ mathbf (x) - \ mathbf (y) \ | = (\ sqrt (\ sum _ (i = 1) ^ (n) (x_ (i) -y_ (i)) ^ (2))).)

Kuasa algebra

Pangkalan ortonormal

Ruang yang luas untuk pengendali

Be-like vector x (\ gaya paparan x) Ruang Euclidean ditetapkan oleh fungsi linear x ∗ (\ gaya paparan x ^ (*)) di seluruh ruang, di mana yak bermula x ∗ (y) = (x, y). (\ gaya paparan x ^ (*) (y) = (x, y).) Harga pemasangan adalah isomorfisme antara ruang Euclidean dan

Ruang Euclid

T.A. Volkova, T.P. Knish.

І BENTUK PETANG

RUANG ЄVKLIDOVY

St Petersburg

Penyemak: Calon Sains Teknikal, Profesor Madya Shkadova O.R.

Ruang euclid dan bentuk kuadratik: nota kuliah. - SPb .: SPGUVK, 2012 - hlm.

Nota kuliah untuk pelajar dalam kursus lain untuk ijazah sarjana muda 010400.62 "Matematik gunaan dan sains komputer" untuk kursus pertama untuk ijazah sarjana muda 090900.62 "Keselamatan maklumat".

Minta salinan nota kuliah daripada salah satu taburan disiplin "Geometri dan Algebra" untuk mengarahkan 010400.62 dan disiplin "Algebra dan Geometri" untuk mengarahkan 090900.62 Navchalnyy posibnik berdasarkan program kerja disiplin, piawaian kepakaran, yang boleh digunakan sebagai hasil daripada persediaan pelajar sebelum pergi ke sekolah.

© Negeri Saint Petersburg

Universiti Komuniti Air, 2012

Banyak pihak berkuasa berdasarkan geometri, yang jelas dikaitkan dengan kemungkinan membuat perbezaan antara dua garis lurus. Dalam ruang linear, tidak mungkin untuk menjalankan tempoh sedemikian, sebagai contoh, kawasan penyimpanan teori asing Hamparan linear kepada geometri dan beberapa disiplin matematik lain boleh berbunyi sangat kuat. Qia berpintal, bagaimanapun, mungkin ia digunakan, bagaimana untuk memperkenalkan pemahaman tentang penciptaan skalar dua vektor. Tetapi hei, hei - linin - ruang duniawi. Boleh diletakkan pada jenis pasangan kulit vektor, bukan nombor dan nama dadih skalar vektor, jika anda berpuas hati dengan perkara berikut:

1. (Undang-undang komutatif).

3. untuk sebarang tindakan.

4. untuk beberapa vektor bukan sifar.

TV skalar fungsi berangka dua argumen vektor, Iaitu, fungsi, makna yang merupakan intipati nombor. Walau bagaimanapun, kita boleh memanggil produk skalar sebagai fungsi berangka bagi argumen vektor, yang bermaksud tindakan yang mana adalah untuk sebarang makna hujah daripada dan yang mana satu berpuas hati dengan satu hingga empat.

Dyysno ruang baris, di mana tvir skalar ditunjukkan, euclidovim saya akan diiktiraf melalui.

Secara ketara, dalam ruang Euclidean, penambahan skalar bagi vektor sifar kepada mana-mana vektor ialah sifar:. Sungguh,, ini vimogi 3. Vvazayuchi, otrimuєmo, scho. Zvidsi, zokrema,.

1. Nekhai - ruang vektor geometri yang luar biasa remeh dari tongkol tulang belakang pada titik itu. mempunyai geometri analisis Penciptaan skalar dua vektor sedemikian dipanggil nombor yang penting, de - vektor merpati, dan - dipotong dengan vektor,, dan ia dibawa, bahawa nombor itu berpuas hati dengan semua 1 - 4.

Dalam pangkat sedemikian, pengenalan pemahaman penciptaan skalar є pemahaman umum tentang penciptaan skalar vektor geometri.

2. Ruang kosong - baris dunia dengan koordinat sebenar yang boleh ditetapkan pada pelbagai pasangan kulit dan baris vektor sedemikian dalam nombor tertentu

Ia mudah untuk dipertimbangkan semula, untuk nombor keseluruhan, semua orang berpuas hati dengan 1 - 4:

dan serupa. saya berani

oskіlki kurang daripada satu nombor apabila digesa daripada sifar.

Baiklah, nombor itu ialah vektor skalar dalam baris i, dan ruang untuk itu, seperti yang kami perkenalkan skalar tvir, ia menjadi Euclid.

3. Nekhai adalah barisan kerja - dunia ruang dan kerja berasaskan yogo. Katakan jenis pasangan kulit vektor bukan nombor. Ia adalah ruang yang mencukupi untuk dibayangkan semula dalam Euclidean, supaya nombor itu akan menjadi penciptaan skalar bagi vektor. Adil:

Anda boleh menggunakan kaedah lain untuk mencipta semula ruang kami di Euclidean, sebagai contoh, kami boleh meletakkan pada masa yang sama pasangan vektor, tanpa nombor

dan ia adalah mudah untuk mengelirukan, untuk nombor sedemikian, seseorang berpuas hati dengan semua 1 - 4, yang mencirikan skalar tvir. Ale oskіlki di sini (pada masa yang sama, asas) kami telah menetapkan fungsi berangka pertama, kemudian pergi satu ruang Euclidean dengan "vimіryuvannya".

4. Nareshty, zvertajutsya sebelum kelapangan, fungsi berangka dapat dilihat, seperti apabila, viznachatsya sama. Fungsinya bukan skalar, serpihan akan pecah 4: at, jalan vektor, a. Tim sendiri tidak berada di sini untuk keluar ke ruang Euclidean.

Badut dengan vimogs 2 dan 3, sebelum memasuki skalar, anda boleh membaca formula ini dengan mudah:

de - dua sistem dan vektor yang berkuasa. Zvidsi, zokrema, pergi dengan asas yang baik dan untuk mana-mana vektor pertaruhan

de. Viraz di bahagian kanan ryvnosti (1) borang bіlіnіynoy dari і (kozhen її ahli є lininim, tobto langkah pertama, yak schodo, i schodo). Bіlіnіyna borang dipanggil simetri, serta fungsi kulit fungsi minda simetri. Dalam pangkat sedemikian, skalar tvir atas dasar yang baik berputar pada pandangan bentuk simetri biline daripada koordinat vektor , iznimi kofіtsієntami... Ale tsyogo shte diam. Dan sendiri, vazhayuchi, otrimumo dengan ryvnostі (1), scho

Malah di sekolah-sekolah semua sarjana tahu tentang pemahaman "Geometri Euclidean", tesis utamanya tertumpu pada beberapa aksiom, yang melingkar unsur-unsur geometri tersebut, seperti titik, kerataan, garis lurus, ruch. Semua bau busuk dalam sukupnost dibentuk oleh mereka yang telah lama dikenali sebagai istilah "ruang Euclid".

Euclidean, yang berdasarkan andaian kepelbagaian skalar vektor, terhad kepada ruang linear (afine), kerana ia berpuas hati dengan bilangan vektor. Pertama, penambahan skalar vektor adalah simetri mutlak, supaya vektor dengan koordinat (x; y) adalah vektor yang sama dengan koordinat (y; x), yang bertentangan dengan kanan.

Dengan cara yang berbeza, jika vektor diputar secara skalar dari dirinya sendiri, maka hasil proses adalah positif. Mari kita ambil vignet vipadok, jika koordinat pochatkov dan kintseva vektor adalah baik kepada sifar: pertama sekali, adalah baik untuk pergi ke sifar.

Ketiga, terdapat sedikit pengagihan reka bentuk skalar, supaya kemungkinan meletakkan salah satu koordinat yang sama pada jumlah dua nilai, tetapi tidak menyebabkan perubahan yang sama dalam hasil pendaraban skalar vektor. Nareshty, dalam suku tahun, dengan berbilang vektor untuk tvir skalar yang sama, ia juga boleh dipertingkatkan dalam gaya dan pembangunan.

Pada vipadku itu, seolah-olah untuk vikonuyutsya semua tsі chotiri berfikir, kita boleh mengatakan dengan nasib baik, bahawa sebelum kita adalah hamparan Euclidean.

Ruang Euclidean dari sudut pandangan praktikal boleh dicirikan oleh punggung khusus seperti:

1. Jenis yang paling mudah ialah harga vektor tidak berkuasa dan ciptaan skalar, yang berdasarkan undang-undang asas geometri.
2. Ruang Euclidean akan dilihat dengan cara yang sama, seolah-olah oleh vektor minda, saya ingin menambah banyak kemungkinan nombor daripada formula yang diberikan, yang akan menerangkan jumlah skalar tvir.
3. Mari kita hadkan skop ruang Euclidean kepada nama ruang sifar, yang sama dengan ruang skalar kedua-dua vektor kepada sifar.

Ruang Euclidean terhad kepada kuasa khusus yang rendah. Sebenarnya, pengganda skalar boleh dipersalahkan untuk haluan seperti dari yang pertama, serta dari pengganda skalar yang lain kepada skalar, yang hasilnya tidak diilhamkan daripada sebarang wain baru. Dalam erti kata lain, susunan taburan unsur pertama ciptaan skalar adalah sama dengan taburan unsur lain. Selain itu, sebagai tambahan kepada vektor sumy skalar, pengedaran banyak vektor berbeza adalah mungkin. Nareshti, dalam tertє, dengan vektor pengganda skalar kepada sifar, hasilnya juga mahal kepada sifar.

Dalam pangkat sedemikian, ruang Euclidean adalah sama dengan pemahaman geometri, bagaimana untuk menjadi pemenang dalam hal bangunan baru daripada vektor yang boleh ditukar ganti dalam satu dan satu, untuk mencirikan betapa ganasnya pemahaman yang sama, sebagai penciptaan skalar.

§3. Saiz dan asas ruang vektor

Gabungan garis vektor

Gabungan baris remeh dan bukan remeh

Vektor bebas linear dan lineal

Kuasa ruang vektor, terikat dengan keturunan vektor

NS-ruang vektor duniawi

Saiz ruang vektor

Penyebaran vektor berdasarkan asas

§4. Berpindah ke asas baharu

Matriks peralihan daripada asas lama kepada asas baharu

Koordinat vektor pada asas baharu

§5. Ruang Euclid

Tvir skalar

Ruang Euclid

Vektor Dovzhina (norma).

Vektor dozhini kuasa

Coot mіzh vektor

Vektor ortogon

Asas ortonormasi

§ 3. Saiz dan asas ruang vektor

Ruang vektor yang jelas (V, M,) di atas padang R... Nekhai - unsur deyaki daripada kemajmukan V, tobto. vektor

Gabungan Linear vektor akan dipanggil vektor, yang akan membawa penciptaan vektor yang sama pada majoriti elemen medan R(tobto pada skalar):

Jika semua skalar pergi ke sifar, maka gabungan garis sedemikian dipanggil remeh(paling mudah), i.

Saya mahu b satu skalar daripada sifar, gabungan baris dipanggil bukan remeh.

Vektor dipanggil bebas linear sebagai tilki kombinasi garis remeh bilangan vektor di jalan raya:

Vektor dipanggil bera linear jika terdapat satu gabungan baris bukan remeh bagi berbilang vektor, rivna.

punggung... Satu set empat baris nombor yang jelas dan tidak tersusun ialah ruang vektor di atas medan nombor. Zavdannya: z'yasuvati, chi є vektor , і bera linear.

Keputusan.

Adalah mudah untuk menyusun gabungan vektor ini: de - nombor tidak tersedia. Vimagamo, schob tsya lin_yna combinats_ya sebelum vektor sifar:.

Kita boleh menuliskan vektor untuk paparan seratus nombor:

Begitu juga nombor sedemikian diketahui, bagi mereka yang mempunyai pariti untuk ditunjukkan, dan jika salah satu nombor adalah sama dengan sifar, kos gabungan linear dan vektor fallow linear adalah bukan remeh.

Vikonaєmo dії:

Dalam pangkat ini, zavdannya dinaikkan kepada sistem terkini lіnіynykh rіvnyany:

Virishuchi її, otrimaєmo:

Peringkat matriks lanjutan dan asas sistem setara kurang daripada bilangan Tidak dapat dielakkan, sekarang, sistem boleh tanpa masalah.

Ayuh todi i.

Sudah, vektor yang diberikan adalah gabungan garis bukan remeh, contohnya, apabila vektor dibarisi ke vektor sifar, sama, vektor ci jatuh secara linear.

Ketara deyaki kuasa ruang vektor, terikat dengan keturunan vektor:

1. Jika vektor berlarutan, maka saya ingin mempunyai salah satu daripadanya dalam gabungan linear.

2. Bahagian tengah vektor ialah vektor sifar, dan vektor cy adalah lyno fallow.

3. Sebagai sebahagian daripada vektor adalah line fallow, maka semua cy vektor adalah line fallow.

Ruang vektor V dipanggil NS-ruang vektor duniawi Saya pasti anda akan tahu NS vektor bebas linear, dan sama ada satu set ( NS+ 1) vektor є lіnіyno terbiar.

Nombor NS dipanggil saiz ruang vektor, saya maksudkan malap (V) daripada bahasa Inggeris "dimensi" - saiz (saiz, saiz, saiz).

Sukupn_st NS vektor bebas linear NS-ruang vektor duniawi dipanggil asas.

Formula (*) dipanggil pengedaran vektor atas dasar dan nombor – koordinat vektor pada asas yang sama .

Ruang vektor boleh mempunyai lebih daripada satu, atau untuk menavigasi tanpa asas. Asas baru kulit mempunyai vektor matime yang sama dengan koordinat yang berbeza.

§ 4. Berpindah ke asas baharu

Dalam algebra linear, selalunya ia merupakan takrifan koordinat vektor yang diketahui dalam asas baharu, serta koordinat dalam asas lama.

Jelas deyake NS-ruang vektor pembolehubah (V, +,) di atas medan R... Pergi ke ruang ts'omu є dua pangkalan: lama dan baru .

Zavdannya: ketahui koordinat vektor pada asas baharu.

Biarkan vektor asas baharu pada asas lama digunakan:

,

Koordinat vektor dalam matriks bukan dalam baris, kerana bau busuk ditulis dalam sistem, tetapi dalam seratus peratus:

Matriks Otriman untuk dipanggil peralihan matriks daripada asas lama kepada asas baharu.

Matriks untuk peralihan akan mengikat koordinat mana-mana vektor kepada asas lama dan baharu untuk permulaan hubungan:

,

de - Shukani koordinat vektor dalam asas baharu.

Dalam pangkat sedemikian, penubuhan pengetahuan koordinat vektor dalam asas baru dibawa kepada penyambungan matriks sama:, de NS- koordinat vektor matriks-ratus-titik dalam asas lama, A- matriks peralihan daripada asas lama kepada asas baharu, NS* - Shukan matriks-ratus koordinat khas vektor dalam asas baharu. Daripada matriks rіvnyannya otrimaєmo:

Otzhe, koordinat vektor asas baru perebuyuyut dengan keseimbangan:

.

punggung. Asas deyakom diberikan taburan vektor:

Mengetahui koordinat vektor dalam asas.

Keputusan.

1. Vipishemo matriks pada tongkol kepada asas baru, tobto. koordinat vektor dalam asas lama boleh ditulis dalam 100%:

2. Kita tahu matriks A –1:

3. Pendaraban Viconaєmo, de koordinat vektor:

Lihat: .

§ 5. Ruang Euclid

Jelas deyake NS-ruang vektor pembolehubah (V, +,) di atas medan nombor arbitrari R... Nekhai adalah asas nyanyian untuk keluasan.

Diperkenalkan di seluruh ruang vektor metrik, tobto. visual, cara vimiryuvannya dovzhin dan kutiv. Pertama sekali, adalah penting untuk memahami penciptaan skalar.