Geometri Analitik ya, walau bagaimanapun, sambungan reka bentuk geometri. Untuk semua titik dan garis yang diberikan dibawa ke sistem koordinat yang sama.
Dalam sistem koordinat, adalah mungkin untuk mencirikan titik kulit dengan koordinat, dan garis kulit - sebagai dua yang tidak dikenal pasti, graf seperti garis. Dalam pangkat sedemikian, masalah geometri dikurangkan kepada algebra, potongan yang baik, semua priyomi bernombor.
Colo є titik geometri mata dengan satu kuasa nyanyian (titik kulit pancang adalah sama dengan satu titik, dipanggil pusat). Rivnyannya kola boleh mewakili kuasa, memuaskan fikiran.
Tafsiran geometri pancang adalah tujuan pancang.
Jika anda meletakkan pegangan dalam sistem koordinat, maka semua mata pancang akan berpuas hati dengan fikiran yang sama - kita akan melihatnya ke tengah pancang, tetapi kita akan sama dan sama dengan pancang.
Colo berpusat pada titik A jejari itu R mengikut kawasan koordinat.
Pusat koordinat Yaksho (a; b) , dan koordinat titik pancang (x; y) , kemudian іvnyannya kola maє viglyad:
Oleh kerana kuasa dua jejari pancang adalah sama dengan jumlah petak, perbezaan dalam koordinat sama ada titik pancang adalah ke pusat, harga adalah sama dengan paras pancang dalam koordinat satah. sistem.
Jika pusat pancang adalah zbіgayt dari titik tongkol koordinat, maka kuasa dua jejari pancang adalah kepada jumlah kuasa dua koordinat mana-mana titik pancang. Saya mempunyai vipad іvnyannya cola nabuvaє viglyadu:
Otzhe, be-yaka angka geometri sebagai tempat geometri titik, ia bermula dengan koordinat yang sama, yang memanggil koordinat titik. І navpaki, rіvnyannya, scho zv'yazuє koordinat NS і di , Viznachayut garis sebagai tempat geometri titik kawasan, koordinat yang berpuas hati dengan garis yang diberikan.
Gunakan penyelesaian tugas-tugas pegangan Rivnyannya
Zavdannya. Jadual pancang yang diberikan
Simpan rumah ladang di tengah pada titik O (2; -3) dan jejari 4.Keputusan.
Bernanah sehingga formula ryvnyannya cola:
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2
Formula itu diakui penting.
Jejari kola R = 4
Selaraskan pusat pancang
a = 2
b = -3
Otrimuєmo:
(x - 2) 2 + (y - (-3)) 2 = 4 2
abo
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.
Zavdannya. Chi meletakkan mata pancang
Semakan, di mana untuk mengesan titik A (2; 3) Rivnyannyu cola (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .Keputusan.
Intinya adalah untuk mengesan pancang, koordinat berpuas hati dengan bulatan yang sama.
Untuk mempertimbangkan semula, di mana untuk mencari titik pancang dari koordinat yang diberikan, ia diandaikan sebagai koordinat titik dalam nilai pancang yang diberikan.
Dalam rivnyannya ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
Rupa-rupanya, di belakang sinki, koordinat titik A (2; 3), tobto
x = 2
y = 3
Semak semula kebenaran yang bernilai baik
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2
- 2) 2 + (3
+ 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 ketidaksamaan
Dengan pangkat ini, mata diberikan jangan letak kepada pancang yang diberikan.
Jejari Nekhai kolo man 
, dan pusat terletak pada titik 
... Speck 
terletak pada bilangan todi atau hanya todi, jika modulus vektor 
pintu 
, tobto. Sisa viconan todi dan lishe todi, jika
Rivnyannya (1) dan shukanim Rivnyannya stake.
Rivnyannya lurus, melalui titik qiu, berserenjang dengan vektor yang diberikan
berserenjang dengan vektor 
.
Speck 
і 
berserenjang. vektor 
і 
berserenjang dengan dan hanya dengan tod, jika TV skalar adalah sifar, tobto 
... Formula Vikoristovuchi untuk mengira vektor skalar, diberikan oleh koordinatnya, tulisan lurus yang lurus
Punggung nampak. Tahu terus untuk dilalui
tengah garis AB berserenjang dengan garis tengah koordinat titik di sepanjang jalan A (1; 6), B (5; 4).
Jom jadi mirkuvati macam ni. Untuk mengetahui garis lurus, kita bersalah kepada bangsawan, maksudnya adalah melalui yak, dan vektornya berserenjang dengan garis lurus. Vektor berserenjang dengan garis lurus, jika vektor, serpihan, di belakang sinki, berserenjang dengan garis lurus AB. Speck 
Secara ketara dari fikiran, ia adalah lurus untuk melalui pertengahan AB. Mahmo. pangkat ini 
dan іvnyannya nabude viglyadu.
Z'yasuєmo piannya, chi lulus tsya terus melalui titik M (7; 3).
Mahmo, otzhe, tsya adalah terus untuk tidak melalui titik yang ditunjukkan.
Rivnyannya lurus, melalui titik tertentu, selari dengan vektor tertentu
Mari kita pergi terus ke titik 
selari dengan vektor 
.
Speck 
terletak pada todi lurus atau hanya todi, jika vektor 
і 
kolinear. vektor 
і 
tody kolinear dan hanya todi, jika koordinatnya berkadar, tobto
(3)
Otrimane rivnyannya є rivnyannyam shukanoi lurus.
Rivnyannya (3) berkhidmat di viglyad
, de 
terima maknanya 
.
Sekarang, kita boleh menulis
, de 
(4)
Sistem sama dengan (4) dipanggil sama rata parametrik.
Punggung nampak. Ketahui garis lurus untuk melalui mata. Kita boleh berterus terang, di mana kita tahu titik yang merupakan vektor selari atau serenjang. Intinya adalah pada kejelasan kedua-duanya. Jika dua titik terletak pada garis lurus, maka vektor, di mana dua titik terletak, akan selari dengan garis lurus. Tom cepat ke ryvnyannyam (3), mengambil vektor yak 
vektor 
... Otrimuєmo
(5)
Rivnyannya (5) dipanggil garis lurus, untuk melalui dua titik.
Rivnyannya lurus
Viznachennya. Tuan-tuan tanah perintah pertama di kawasan itu dipanggil rivnyany minda 
, de 
.
Teorem. Sama ada ia lurus di kawasan itu, ia boleh ditetapkan sebagai garis tertib pertama, dan sama ada garis tertib pertama, garis tertib pertama di petak.
Bahagian pertama teorem mudah dibawa. Pada garis lurus, anda boleh meletakkan titik pada deyak 
vektor serenjang 
... Todi, zgіdno (2), jenis viglyad mudah ini. Dengan ketara 
... Todi rivnyannya nabude viglyadu 
.
Sekarang mari kita beralih ke bahagian lain teorem. Nekhai є рівняння 
, de 
... Sayang untuk nilai 
.
Boleh ditulis semula dalam viglyad:
;
Kelihatan pada kawasan berbintik-bintik 
, de 
... Todi otrimane rivnyannya maє viglyad i є rivnyannya lurus, pergi melalui titik 
berserenjang dengan vektor 
... Teorem telah selesai.
Dalam proses pembuktian dengan teorem, mereka sudah pasti membawa
Tverdzhennya. Yaksho є rіvnyannya pandangan langsung 
, kemudian vektor 
garis lurus serenjang.
Sama dengan fikiran
dipanggil kepada pemilik rumah lurus di atas dataran.
Ayuh є lurus 
saya bintik 
... Ia adalah perlu untuk pergi dari titik yang ditetapkan ke garis lurus.
Saya boleh nampak maksudnya 
lurus. Maєmo 
... untuk datang 
bintik 
untuk mengarahkan dan ke modul unjuran vektor 
setiap vektor 
, berserenjang dengan garis lurus. Maєmo
,
menukar, Saya akan mengenali formula:
Jangan berikan kepada dua garis lurus, diberikan oleh orang luar bandar
,
... vektor Todi 
berserenjang dengan garis lurus pertama dan lain-lain. Coot 
mіzh jalan lurus kutu mіzh vektor 
,
.
Rumus Todi untuk nilai kuta dengan garis lurus:
.
Perpendicularity minda adalah lurus ke hadapan:
.
Lurus selari dengan yang lain, tetapi untuk melakukannya atau tidak, jika vektor 
kolinear. Dengan tsom umova zbіgu lurus maє viglyad:
,
dan apabila saya memikirkannya, saya akan membuat temu janji dengan pihak berjaga-jaga:
... Hentikan dua fikiran untuk membawanya secara bebas.
watak Doslidzhuєmo tingkah laku adalah secara langsung di belakang її zalny ryvnyany.
Nekhay diberikan kepada rumah ryvnyannya terus 
... Yaksho 
Itu adalah garis lurus untuk melalui tongkol koordinat.
Paparan adalah jelas, jika nilai prestasi tidak sifar 
... Rivnyannya ditulis semula dalam viglyad:
,
,
De 
... Z'yasuєmo zm_st parameter 
... Adalah diketahui bahawa titik akan melintasi garis lurus dengan paksi koordinat. Pada 
maєmo 
, dan pada 
maєmo 
... Tobto 
- arah laluan, kerana laluan itu lurus pada paksi koordinat. Tomu rivnyannya
untuk dipanggil terus dari keluarga.
Dalam masa 
maєmo 
... Dalam masa 
maєmo 
... Tobto adalah lurus dan selari dengan paksi 
.
Nagadaєmo, scho kutovim kofіtsієntom lurus
dipanggil tangen kuta nahilu tsієї terus ke paksi 
... Mari kita pergi terus ke paksi 
vidrizok 
i maє kutoviy kofіtsіnt 
... Ayuh speck 
baring atas tsiy
Todi 
=
=
... Yang pertama adalah mudah untuk mendaftar dengan viglyad
.
Mari kita pergi terus ke titik 
i maє kutoviy kofіtsіnt 
... Ayuh speck 
berbaring di atas garis lurus.
Todi 
=
.
Otrimanes dipanggil terus, untuk melalui titik tertentu dari kecekapan kutovym yang diberikan.
Ayuh, berikan dua garis lurus 
,
... Dengan ketara 
- Kut mіzh mereka. Ayuh 
,
kuti nahila kepada paksi X lurus berikut
Todi 
=
,
.
Todi umova parallelnosti lurus maє viglyad 
, dan keserenjangan minda
Pada akhirnya, dua tugasan adalah jelas.
Zavdannya ... Bahagian atas basikal roda tiga ABC mungkin koordinat: A (4; 2), B (10; 10), C (20; 14).
Ketahui: a) jumlah median yang sama, dijalankan dari atas A;
b) jumlah masa yang sama, diambil dari bahagian atas A;
c) bisektriks sama, diambil dari atas A;
Secara visual, Rivnyannya Mediani AM.
Titik М () ialah bahagian tengah НД.
Todi 
,
... Dari titik yang sama M maє koordinat M (15; 17). Bersamaan dengan penjajaran geometri geometri analitik saya bagi garis lurus, melalui titik A (4; 2) selari dengan vektor = (11; 15). Todi rivnyannya mediani maє viglyad. Dovzhina mediani AM = 
.
Rivnyannya visoti AS - garis lurus, untuk melalui titik A (4; 2) berserenjang dengan vektor = (10; 4). Todi rivnyannya visoti maє viglyad 10 (x-4) +4 (y-2) = 0.5x + 2y-24 = 0.
Dovzhina visoti - jarak dari titik A (4; 2) ke garis lurus SS. Qia lurus melalui titik B (10; 10) selari dengan vektor = (10; 4). Її рівняння maє viglyad 
2x-5y + 30 = 0. Pergi AS dari titik А (4; 2) ke garis lurus ВС, dari jalan AS = 
.
Untuk nilai bisectrix yang sama, kita tahu vektor selari dengan garis lurus. Untuk semua kuasa pantas rombus pepenjuru. Manakala dari titik A dari vektor tunggal, vektor yang sama adalah lurus, maka vektor, yang bergerak melalui hasil tambah, akan selari dengan bisektrik. Todi maєmo = +.
={6;8},
,
={16,12},
.
Todi = 
Yak lurus vektor shukanoi lurus boleh berkhidmat vektor = (1; 1), kolinear kepada yang diberikan. Todi rivnyannya shukanoi straight maє backyli x-y-2 = 0.
Zavdannya. Richka melalui garis lurus, yang melalui titik A (4; 3) dan B (20; 11). Di titik C (4; 8) Topi Chervona masih hidup, dan titik D (13; 20) ialah seorang nenek. Schoonku kecil Chervona Menunggang topi kosong dari rumah, pergi ke sungai, cedok air dan bawa ke babusa. Ketahui cara terpendek untuk Chervona Riding Hood.
Kami tahu titik E, simetri kepada babus dan kanak-kanak perempuan.
Bagi kebanyakan orang, kita tahu ia lurus, seperti aliran sungai. Harga boleh dilihat terus ke hadapan, melalui titik A (4; 3) selari dengan vektor. Todi rivnyannya lurus ke hadapan AV maє viglyad.
Kita tahu sejauh mana garis lurus DE, tetapi melalui titik D berserenjang dengan AB. Yogo boleh dilihat, seperti garis lurus, melalui titik D, berserenjang dengan vektor 
... Maєmo
Sekarang kita tahu titik S - unjuran titik D pada garis lurus AB, yang akan melintasi garis lurus AB dan DE. Sistem Maєmo rіvnyan
.
Otzhe, titik koordinat maє S (18; 10).
Oskilki S pertengahan hingga DE, kemudian.
Begitu juga.
Dari titik yang sama E maє koordinat E (23; 0).
Saya tahu garis lurus, saya tahu koordinat dua titik garis lurus
Titik M dikenali yak overretin lurus AB dan PЄ.
Sistem Maєmo rіvnyan
.
Dari titik yang sama koordinat M maє 
.
Topik 2. Konsep permukaan rata di angkasa. Rivnyannya sfera. Kawasan Rivnyannya, scho melalui titik qi berserenjang dengan vektor yang diberikan. Ibu pejabat kawasan luar bandar dan paralelisme Umov di kedua-dua kawasan. Pergi dari titik ke kawasan. Konsep Lineariti. Garis lurus di kawasan lapang. Kanonik dan parametrik rivnyannya betul-betul di tempat terbuka. Rivnyannya lurus, scho melepasi dua mata dany. Fikirkan keselarian dan keserenjangan kelurusan kawasan itu.
Koleksi pemahaman viznachennya wanita tentang permukaan di kawasan lapang.
Pergi ke kawasan lapang 
permukaan ditetapkan 
... Rivnyannya 
untuk dipanggil permukaan yang serupa 
, seperti viconano two umovi:
1. untuk titik suka-suka 
dengan koordinat 
berbaring di permukaan, viconano 
, supaya koordinat її berpuas hati dengan permukaan;
2.be-yaka point 
koordinat yang menggembirakan 
berbaring di talian.
Nilai 1. Vissyu berangka ( nombor garis lurus, garis koordinat) Lembu dipanggil garis lurus, pada titik O diterbalikkan oleh tongkol (tongkol koordinat)(rajah 1), lurus
O → x
kata yak kejujuran positif jika ia ditentukan sebagai hasilnya, jika ia diterima untuk satu dojini.
Nilai 2. Vidrizok, dozhina yang diambil sebagai unit dozhini dipanggil skala.
Titik kulit paksi berangka mempunyai koordinat, iaitu nombor pertuturan. Koordinat titik O ialah jalan ke sifar. Koordinat titik semasa A, yang terletak di persiaran Lembu, jalan ke OA atas. Koordinat titik semasa A paksi berangka, tetapi tidak terletak pada pertukaran Ox, adalah negatif, tetapi dengan nilai mutlaknya, ia adalah OA.
Nilai 3. Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat Oksi di kawasan itu namakan dua bersama berserenjang paksi berangka Ox i Oy s skala yang samaі pada tongkol untuk melihat pada titik O, lebih-lebih lagi, supaya pusingan dari pertukaran Ox ke sudut 90 ° sebelum pertukaran Oy pergi ke kanan terhadap perjalanan menembak tahun ini(Gamb. 2).
Hormat. Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat Oxy, ditunjukkan dalam 2 kecil, dipanggil sistem koordinat yang betul, pada vidminu vid mana-mana sistem koordinat, Di mana giliran pertukaran Ox pada cout 90 ° sebelum pertukaran Oy, pergi betul-betul ke arah jalan lama. Ada kawan saya hanya boleh dilihat tanpa sistem koordinat yang betul, jangan berunding terutamanya.
Jika pada segi empat sama anda memasuki sistem koordinat Cartesian segi empat tepat Oksi, maka titik kulit segi empat itu ialah dua koordinat – abscissaі menyelaraskan, scho dikira dengan pangkat sebegitu. Nekhai A ialah tempat yang bagus untuk kawasan itu. Peluang dari titik A serenjang AA 1 itu AA 2 pada garis lurus Ox dan Oy sebagai contoh (Rajah 3).
Nilai 4. Absis titik A dipanggil koordinat titik A 1 pada paksi berangka Ox, koordinat titik A dipanggil koordinat titik A 2 pada paksi berangka Oy.
Jawatan. Koordinat (abscissa dan ordinat) sesuatu titik A untuk sistem koordinat Cartesian segi empat tepat Oksi (Rajah 4) diambil sebagai bermakna A(x;y) abo A = (x; y).
Hormat. Titik O, dipanggil tongkol koordinat, koordinat maє O(0 ; 0) .
Nilai perniagaan 5. Dalam sistem koordinat Cartesian segi empat tepat Oxy, berat berangka Ox dipanggil abscis, dan berat berangka Oy dipanggil ordinat (Rajah 5).
Nilai perniagaan 6. Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat kulit memanjangkan kawasan kepada 4 bahagian (kuadran), yang penomborannya ditunjukkan dalam 5 kecil.
Nilai perniagaan 7. Kawasan, di mana sistem koordinat Cartes segi empat tepat ditetapkan, dipanggil kawasan koordinat.
Hormat. Abscissa ditetapkan ke kawasan koordinat y= 0, semua ordinat ditetapkan ke kawasan koordinat x = 0.
Tverdzhennya 1. Tunjukkan saya dua titik kawasan koordinat
A 1 (x 1 ;y 1) і A 2 (x 2 ;y 2)
dikira untuk formula
Dihantar. Rajah 6 kelihatan.
Colom untuk dipanggil titik sia-sia kawasan itu, atau dipanggil pusat.
Jika titik C ialah pusat pancang, R ialah jejari її, dan M ialah titik pancang, kemudian selepas nilai pancang
Kesaksamaan (1) є Rivnyannya cola jejari R berpusat pada titik С.
Pergi pada segi empat sama, sistem koordinat Cartesan segi empat tepat (Rajah 104) dan titik C ( a; b) - Pusat jejari pancang R. Nekhai M ( NS; di) ialah titik yang cukup baik bagi keseluruhan kepentingan.
Oskilki | CM | = \ (\ sqrt ((x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2) \), maka sama dengan (1) boleh ditulis seperti berikut:
\ (\ sqrt ((x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2) \) = R
(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)
Rivnyannya (2) nama ke rumah pancang atau untuk pancang jejari R yang berpusat pada titik ( a; b). Contohnya, rivnyannya
(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25
є Rivnyannya pancang jejari R = 5 і dari pusat pada titik (1; -3).
Apabila pusat pancang adalah zbіgaєa dengan tongkol koordinat, maka іvnyannya (2) kesombongan
x 2 + di 2 = R2. (3)
Rivnyannya (3) nama kanun pancang .
Zavdannya 1. Tulis garis jejari R = 7 dengan pusat pada tongkol koordinat.
Tanpa pra-menetapkan nilai jejari dalam rivnyannya (3) otrimaєmo
x 2 + di 2 = 49.
Zavdannya 2. Tulis garis jejari R = 9 dengan pusat di titik C (3; -6).
Mengemukakan nilai koordinat titik C dan nilai jejari y kepada formula (2), kita boleh
(NS - 3) 2 + (di- (-6)) 2 = 81 atau ( NS - 3) 2 + (di + 6) 2 = 81.
Zavdannya 3. Ketahui pusat dan jejari kola
(NS + 3) 2 + (di-5) 2 =100.
Rivnyuchi dane jika berada di luar rumah іvnyаnnya cola (2), bachomo, scho a = -3, b= 5, R = 10. Daripada yang sama, C (-3; 5), R = 10.
Zavdannya 4. Bawa, oh rivnyannya
x 2 + di 2 + 4NS - 2y - 4 = 0
є pegangan Rivnyannyam. Ketahui її pusat dan jejari.
Bina semula sebahagian daripada ts'i rivnyannya:
x 2 + 4NS + 4- 4 + di 2 - 2di +1-1-4 = 0
(NS + 2) 2 + (di - 1) 2 = 9.
Tse rivnyannya є rivnyannyam kola berpusat pada mata (-2; 1); pintu radius cola 3.
Zavdannya 5. Tulis nombor yang sama dengan pusat di titik C (-1; -1), tetapi pergi lurus AB, seperti A (2; -1), B (- 1; 3).
Mari kita tulis terus AB:
atau 4 NS + 3y-5 = 0.
Oskilki mungkin berada dalam garis lurus, kemudian jejari pengaliran ke titik kilasan, berserenjang dengan garis lurus. Untuk memaparkan jejari, anda perlu mengetahui jarak dari titik C (-1; -1) - pusat pancang ke lurus 4 NS + 3y-5 = 0:
Jom tulis ryvnyannya shukany cola
(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25
Pergi ke sistem koordinat garis lurus dane colo x 2 + di 2 = R2. titik M ( NS; di) (rajah 105).
Ayuh pada vektor jejari OM> titik M akan menetapkan nilai t dengan paksi langsung positif NS, sehingga absis dan ordinat titik M berubah dalam fallowness daripada t
(0 t x i y melalui t, kami tahu
x= R cos t ; y= R dosa t , 0 t
Rivnyannya (4) dipanggil parametrik nombor yang sama dengan pusat pada tongkol koordinat.
Zavdannya 6. Persekitaran ditentukan oleh manusia
x= \ (\ sqrt (3) \) cos t, y= \ (\ sqrt (3) \) dosa t, 0 t
Tuliskan pancang tsyogo rіvnyannya kanonik.
Basuh rengekє x 2 = 3 cos 2 t, di 2 = 3 dosa 2 t... Harga stok mengikut tempoh, akan diterima
x 2 + di 2 = 3 (kos 2 t+ dosa 2 t)
abo x 2 + di 2 = 3
Berseronok
Kami mencadangkan untuk menghormati perkhidmatan daripada fungsi grafik dalam talian, semua hak milik syarikat Desmos... Untuk pengenalan fungsi, lajukan dengan lajur kiri. Anda boleh memasukkannya secara manual atau untuk papan kekunci maya tambahan di bahagian bawah tetingkap. Untuk penambahbaikan dalam paparan daripada graf, anda boleh menggunakan kedua-dua lajur dan papan kekunci maya.
Perevagi mendorong graphikiv dalam talian
- Fungsi visual visual, yang diperkenalkan
- Pobudova lebih banyak graf boleh dilipat
- Graf Pobudova, diberi secara tersirat (contohnya, elips x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
- Keupayaan untuk menyimpan grafik dan memotongnya, kerana ia tersedia untuk semua orang di Internet.
- Kawalan skala, garis warna
- Kemungkinan untuk mendorong graf untuk titik, garis pemalar Victoria
- Pobudova satu jam pada satu masa
- Graf Pobudova dalam sistem koordinat kutub (pilih r dan θ (\ theta))
Mudah dengan kami dalam mod dalam talian untuk dapat menggunakan graf lipatan yang hebat. Pobudova untuk melihat mittєvo. Perkhidmatan meminta pengetahuan mata untuk menukar fungsi, memaparkan graf untuk perubahan kemudian daripada dokumen Word, sebagai contoh, untuk analisis ciri tingkah laku graf fungsi. Penyemak imbas optimum untuk robot dengan graf di luar є Google Chrome. Ketepatan robot tidak dapat dijamin untuk pembangunan pelayar terkini.
