Площа сфери онлайн калькулятор. Як знайти радіус сфери

Глава VII. Об'єми тіл і площі поверхонь.

§ 92. Площа сфери та її частин.

Теорема 1. Площа сфери радіуса R обчислюється за формулою

Сфера радіуса R може бути отримана обертанням навколо осі Охпівкола, заданої рівнянням

у= √R 2 - х 2 , х[- R; R]

Тоді за формулою для площі поверхні обертання одержуємо

Аналогічно виводиться формула для площі сферичного пояса, який виходить обертанням навколо осі Охдуги кола (рис. 276) у= √R 2 - х 2 , х [a; b ].

дійсно,

Теорема 2. Площа сферичного пояса радіусу R і висотиН обчислюється за формулою

Формула (3) виходить з формули (2), так як Н = b - а.

Сферичний сегмент можна отримати обертанням дуги окружності

у= √R 2 - х 2 , a< x< R

навколо осі Ох. Отже, сферичний сегмент є окремий випадоксферичного пояса ( b= R).

Слідство.Площа сферичного сегмента радіуса R і висотиН обчислюється за формулою (3).

3 а д а ч а.У сферу вписаний куб з ребром а(Рис. 277).

Знайти площі:
а) сфери;
б) сферичного пояса, який відсікається площинами верхньої і нижньої граней куба;

а) Діагональ куба з ребром адорівнює √3 а. Отже, | АС 1 | = √3 а. З іншого боку, якщо R - радіус сфери, то | АС 1 | = 2R. Тому 2R = √3 а, Т. Е. R = √ 3/2 a.

За формулою (1) знаходимо площу S сфери: S = 4πR 2 = 4π 3/4 а 2 = 3π а 2 .

б) Висота сферичного пояса в даному випадку, очевидно, дорівнює а. Поклавши у формулі (3) Н = аі R = √ 3/2 a, Знайдемо площу S 1 сферичного пояса

S 1 = 2πRH = 2π √ 3/2 а 2 = π√3 а 2 .

в) Висота сферичного сегмента дорівнює довжині відрізка O 1 K. Обчислимо її:

| О 1 К | = | OK | - | OO 1 | = R- a / 2 = √ 3 / 2 a - a / 2 = √ 3 -1 / 2 a

Поклавши у формулі (3) Н = √ 3 -1 / 2 aі R = √ 3/2 a, Знайдемо площу S 2 сферичного сегмента:

S 2 = 2πRH = 2π √ 3/2 а √ 3 -1 / 2 a = π 3-√ 3 / 2 a 2

Багато хто з нас любить грати в футбол чи, принаймні, майже кожен з нас чув про цю знамениту спортивну гру. Всім відомо, що в футбол грають м'ячем.

Якщо запитати перехожого, форму якої геометричної фігури має м'яч, то частина людей скажуть, що форму кулі, а частина, що форми сфери. Так хто ж з них має рацію? І в чому різниця між сферою і кулею?

Важливо!

куля- це просторове тіло. Усередині куля чим-небудь заповнений. Тому у кулі можна знайти об'єм.

Приклади кулі в житті: кавун і сталева кулька.

Куля і сфера, подібно колі і окружності, мають центр, радіус і діаметр.

Важливо!

Сфера- поверхня кулі. У сфери можна знайти площу поверхні.

Приклади сфери в житті: волейбольний м'яч і кулька для гри в настільний теніс.

Як знайти площу сфери

Запам'ятайте!

Формула площі сфери: S = 4 π R 2

Для того, щоб знайти площу сфери, необхідно згадати, що таке ступінь числа. Знаючи визначення ступеня, можна записати формулу площі сфери наступним чином.
S = 4 π R 2 = 4π R · R;

Закріпимо отримані знання і вирішимо завдання на площу сфери.

Зубарєва 6 клас. Номер 692 (а)

Умова задачі:

• Обчисліть площу сфери, якщо її радіус дорівнює 1 = 3 · = = / (4 · 3) =) = =) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R 3 = 1
• R = 1 м

Важливо!

Шановні батьки!

При остаточному розрахунку радіуса не треба примушувати дитину вважати кубічний корінь. Учні 6-го класу ще не проходили і не знають визначення коренів в математиці.

У 6 класі при вирішенні такого завдання використовуйте метод перебору.

Запитайте учня, яке число, якщо його помножити 3 рази на самого себе дасть одиницю.

Куля і сфера - це перш за все геометричні фігури, і якщо куля - це геометричне тіло, то сфера - це поверхня кулі. Цими фігурами цікавилися ще багато тисяч років тому до н.е.

Згодом коли було відкрито, що Земля - ​​це куля, а небо - небесна сфера, отримав розвиток новий захоплююче напрямок в геометрії - геометрія на сфері або сферична геометрія. Для того, щоб міркувати про розмір і обсязі кулі, потрібно спочатку дати йому визначення.

куля

Кулею радіуса R з центром в точці О в геометрії називають тіло, яке створено всіма точками простір, мають загальну властивість. Ці точки знаходяться на відстані, що не перевищує радіуса кулі, тобто заповнюють весь простір менше радіуса кулі в різні боки від його центру. Якщо ми розглянемо тільки ті точки, які рівновіддалені від центру кулі - ми будемо розглядати його поверхню або оболонку кулі.

Як можна отримати кулю? Ми можемо вирізати з паперу коло і почати його обертати навколо його ж діаметру. Тобто діаметр кола буде віссю обертання. Освічена фігура - буде куля. Тому куля називають також тілом обертання. Тому що він може бути утворений шляхом обертання плоскої фігури - кола.

Візьмемо якусь площину і разрежем нею наш куля. Подібно до того як ми ріжемо ножем апельсин. Шматок, який ми відітнемо від кулі, називається кульовим сегментом.

В Стародавній Греціївміли не тільки працювати з кулею і сферою, як з геометричними фігурами, Наприклад, використовувати їх при будівництві, а також вміли розраховувати площа поверхні кулі і об'єм кулі.

Сферою інакше називається поверхню кулі. Сфера - це не тіло - це поверхня тіла обертання. Однак так як і Земля і повставало багато тіл мають сферичну форму, наприклад крапля води, то вивчення геометричних співвідношень всередині сфери набуло великого поширення.

Наприклад, якщо ми з'єднаємо дві точки сфери між собою прямою лінією, то ця пряма лінія назветься хордою, а якщо ця хорда пройде через центр сфери, який збігається з центром кулі, то хорда назветься діаметром сфери.

Якщо ми проведемо пряму лінію, яка торкнеться сфери всього в одній точці, то ця лінія буде називатися дотичній. Крім того, ця дотична до сфери в цій точці буде перпендикулярна до радіуса сфери, проведеного в точку дотику.

Якщо ми продовжимо хорду до прямої в одну і іншу сторону від сфери, то ця хорда стане називатися січною. Або можна сказати інакше - січна до сфери містить в собі її хорду.

обсяг кулі

Формула для обчислення обсягу кулі має вигляд:

де R - радіус кулі.

Якщо потрібно знайти об'єм кульового сегмента - скористайтеся формулою:

V сег = πh 2 (R-h / 3), h - висота кульового сегмента.

Площа поверхні кулі або сфери

Щоб обчислити площу сфери або площа поверхні кулі (це одне і те ж):

де R - радіус сфери.

Архімед дуже любив куля і сферу, він навіть попросив залишити на його гробницю малюнок, на якому в циліндр вписано кулю. Архімед вважав, що об'єм кулі і його поверхня дорівнюють двом третім від обсягу і поверхні циліндра, в який вписано кулю »

Площа викривленої поверхні, яку не можна розгорнути на площину, обчислюють так. Розбивають поверхню на такі шматки, які вже досить мало відрізняються від плоских. Потім знаходять площі цих шматків, як якщо б вони були плоскими (наприклад, замінюючи їх проекціями на площині, від яких поверхню мало відхиляється). Сума їх площ і дасть наближено площа поверхні. Так надходять на практиці: площа поверхні купола виходить як сума площ покривають його шматків листового металу (рис. 17.5). ще

краще це видно на прикладі земної поверхні. Вона викривлена ​​- приблизно сферична. Але ділянки, невеликі в порівнянні з розмірами всієї Землі, вимірюють як плоскі.

Обчислюючи площину сфери, описують навколо неї близьку до неї багатогранну поверхню. Її межі будуть приблизно представляти шматки сфери, а її площа дає наближено площа самої сфери. Її подальше обчислення засноване на наступній лемі.

Лемма. Обсяг багатогранника Р, описаного навколо сфери радіуса R, і площа його поверхні пов'язані співвідношенням

Зауваження: Аналогічним співвідношенням пов'язані площа багатокутника Q, описаного навколо кола радіуса і його периметр (рис. 17.6):

Опишемо навколо сфери будь-якої багатогранник Р. Нехай у нього граней Розіб'ємо Р на піраміди із загальною вершиною в центрі О і з гранями в підставах (рис. 17.7).

Кожна така грань лежить в дотичній площині сфери і, отже, перпендикулярна радіусу сфери в точці дотику. Значить, цей радіус є висота піраміди Тому її обсяг буде:

де - площа грані Сума цих площ дає площа поверхні многогранника Р, а сума обсягів пірамід - його обсяг Тому

Теорема (про площу сфери). Площа сфери радіуса R виражається формулою:

Нехай дана сфера радіуса R. Візьмемо на ній П точок, які не лежать в одній півсфері, і проведемо через них дотичні площини до сфери. Ці площини обмежать багатогранник описаний навколо сфери. Нехай - обсяг багатогранника - площа його поверхні, V - об'єм кулі, обмеженого даної сферою, і S - її площа.

завдання

Рішення.
Площа сфери знайдемо за формулою:

Оскільки в сферу вписаний конус, проведемо розтин через вершину конуса, яке буде рівнобедреним трикутником. Оскільки кут при вершині осьового перерізу дорівнює 60 градусам, то трикутник - рівносторонній (сума кутів трикутника - 180 градусів, значить інші кути (180-60) / 2 = 60, тобто всі кути рівні).

Звідки радіус сфери дорівнює радіусу кола, описаного навколо рівностороннього трикутника. Сторона трикутника за умовою дорівнює l. Тобто

Таким чином площа сфери

S = 4π (√3 / 3 l) 2
S = 4 / 3πl 2

відповідь: Площа сфери дорівнює 4 / 3πl 2.

завдання

Ємність має форму півсфери (напівкулі). Довжина кола основи дорівнює 46 см. На 1 квадратний метр витрачається 300 грамів фарби. Скільки необхідно фарби, щоб пофарбувати ємність?

Рішення.
Площа поверхні фігури буде дорівнює половині площі сфери та площі перетину сфери.
Оскільки нам відома довжина кола основи, знайдемо її радіус:
L = 2πR
Звідки
R = L / 2π
R = 46 / 2π
R = 23 / π

Звідки площа підстави дорівнює
S = πR 2
S = π (23 / π) 2
S = 529 / π

Площа сфери знайдемо за формулою:
S = 4πr 2

Відповідно площа півсфери
S = 4πr 2/2
S = 2π (23 / π) 2
S = 1058 / π

Загальна площа поверхні фігури дорівнює:
529 / π + 1058 / π = 1587 / π

Тепер обчислимо витрата фарби (врахуємо, що витрата дан на квадратний метр, а обчислене значення в квадратних сантиметрах, тобто в одному метрі 10 000 квадратних сантиметрів)
1587 / π * 300/10 000 = 47,61 / π грамів ≈ 15,15 г

завдання

Рішення. рiшенням.

	Для пояснення рішення прокоментуємо кожну з наведених формул Скористаємося формулою знаходження поверхні кулі і запишемо її для першої кулі, припустивши, що його радіус дорівнює R 1 Площа поверхні другого кулі запишемо за допомогою точно такий же формули, припустивши, що його радіус дорівнює R 2 Знайдемо співвідношення їх площ, розділивши перше вираз на друге. Скоротимо отриману дріб. Неважко помітити, що співвідношення площ двох куль дорівнює співвідношенню квадратів їх радіусів. За умовою завдання це співвідношення дорівнює m / n З отриманої рівності знайдемо співвідношення радіусів куль шляхом вилучення квадратного кореня. Отримане рівність запам'ятаємо Скористаємося формулою знаходження обсягу кулі і запишемо її для першої кулі з радіусом R 1 Обсяг другого кулі запишемо за допомогою тієї ж самої формули, підставивши в неї радіус R 2	Для пояснення решение прокоментуємо шкірних з наведених формул Скорістаємося формулою знаходження поверхні Кулі и запішемо ее для Першої Кулі, передбача, что его радіус Рівний R 1 Площу поверхні Другої Кулі запішемо с помощью Точний такой ж формули, передбача, что его радіус Рівний R 2 Знайдемо співвідношення їх площ, розділівші Перше вираженості на одного. Скоротімо отриманий Дріб. Неважко відмітіті, что співвідношення площ двох куль дорівнює співвідношенню квадратів їх радіусів. За умові завдання це співвідношення рівне m / n З отріманої рівності Знайдемо співвідношення радіусів куль Шляхом вітягання квадратного кореня. Отримання Рівність запам "ятаємо Скорістаємося формулою знаходження об "єму Кулі и запішемо ее для Першої Кулі з радіусом R 1 Про "єм Другої Кулі запішемо с помощью тієї ж самой формули, підставівші в неї радіус R 2
	8. Розділимо обсяги першого і другого кулі один на одного 9. Скоротимо вийшла дріб. Зауважимо, що співвідношення обсягу двох куль дорівнює співвідношенню кубів їх радіусів. Врахуємо вираз, отримане нами раніше в формулі 4 і підставимо його. Оскільки корінь квадратний - це число в ступені 1/2, перетворимо вираз 10. Розкриємо дужки і запишемо отримане співвідношення у вигляді пропорції. відповідь отримано.	8. Розділімо про "ємі Першої и Другої Кулі один на одного 9. Скоротімо Дріб, что Вийшов. Відмітімо, что співвідношення об "єму двох куль дорівнює співвідношенню кубів їх радіусів. Врахуємо вираженості, отриманий нами Ранее у Формулі 4 и підставімо его. Оскількі корінь квадратний - це число в мірі 1/2, перетворімо вираженості 10. Розкріємо дужки и запішемо отриманий співвідношення у виде пропорції. Відповідь получил.