「重要な微分実現に関する講義パート 1. 偉大な理論の要素最初の教科書には、極微分理論の基礎を形成する規定が配置されています。...」

- 【ストーリー1】 -

A.E.マモントフ

最初にヤクを講義する

差動レベル

ザガール理論の要素

最初のハンドブックには組み立て方法が記載されています

一次微分考慮理論の基礎: 決定、その基礎、統一性、

パラメータの依存関係。また、（第 3 条で）特定の階級の支配者の「明白な」決定には多大な敬意が払われています。 Pos_bnik の割り当て廃墟のヴィヴチェンニャノボシビルスク州立教育大学の数学学部に入学する学生によるコース「微分数学」。

UDC 517.91 BBK V161.61 Peredmova 拡張コースの必須コース「レベル差」の受講を希望するノボシビルスク州立教育大学数学学部の学生向けの基本ハンドブック。読者の利益のために、一次微分方程式の理論の基礎を形成する基本的な概念と結果、つまり決定の概念、その存在に関する定理、統一性、およびパラメーターを紹介します。説明資料は、§§ 1、2、4、5 のテキストと一見論理的に連続して配置されています。また (§ 3 では、少し脇に置いて、コースの本筋をすぐに中断します) 最も重要な要件も記載されています。「明示的」手法を使用して、さまざまなクラスのランクに対する解決策を見つけることが簡単に検討されます。初めて § 3 を読むときは、コースの論理構造を理解するためのテキストをスキップできます。

権利は重要な役割を果たしており、その多くはテキストに含まれています。読者には、この問題を「熱心に」解くことを強くお勧めします。そうすることで、確実に内容をマスターし、テストとして機能させることができます。さらに、彼らは論理構造を繰り返す権利を持っていることがよくあります。つまり、彼らの決定がなければ、すべての規定が厳密に実装されるわけではありません。

テキスト中央の四角い腕には、コメント (拡張または補足説明) として機能するメモが含まれています。語彙的には、これらの断片は本文を中断します (つまり、接続読みの場合、「マークを付けない」必要があります) が、それでも何らかの説明が必要です。言い換えれば、これらの破片は、野原に持ち込まれる悪臭と同じ方法で吸収される必要があります。

テキストは「本への敬意」というルーブリックに絞り込まれています。教室で読む場合や、講義を読むときなど、ヴィコリストフバティのガイドとなる本については省略しても構いません。メモは理解を深めるのに役立ちます。ログ私はコースが気に入っており、コースの詳細（拡張）で可能なことを直接示しています。ただし、この敬意は習得し始めたばかりです。

同様の役割は、「引換券の呼び水」によっても果たされます。非常に強い形式の悪臭は、読者が権利を有する実際の条項の証拠を提供します。

最も一般的に使用される (重要な) 用語は略語の形で使用されており、参照しやすいようにそのリストが最後に示されています。本文では強調されているものの、実際の事実には触れられていない（文献では明確に理解されていない）数学的概念のリストもあります。

このシンボルは、証明の終了、確固たる態度の確立、敬意などを意味します（ここは混乱を避ける必要があります）。

フォーミュラの番号付けはスキンセクションで直接行われます。式の一部を記述する場合、インデックスが使用されます。たとえば、(2) 3 は式 (2) の 3 番目の部分を意味します (式の一部には、活版印刷のクリアリングによって、および接続詞によって論理位置から分離されたフラグメントが含まれます)私"）。

このハンドブックは、この主題の徹底的な研究に絶対に代わるものではありません。それには独立した権利が必要であり、ハンドブックの巻末にある参考文献のリストなどの追加の文献を読む必要があります。ただし、著者は理論の主要な規定を講義コースに適した非常に単純な形で試してみました。これに関連して、この教科書で講義科目を読む場合、今年の講義は約 10 回あることに注意してください。

さらに 2 部（分冊）を刊行する予定であり、この支援を継続して「一次微分方程式」をテーマとした一連の講義を完了します：第 2 部（一次方程式）、第 3 部（更なる理論）非線形レベル、第一級の私事におけるRivnyannya）。

§ 1. 微分等化 (DE) の導入 - これは、u1 u1 un という形式に関連しています。より類似した F y, u (y), ..., = 0, y1 y2 yk (1) de y = (y1) , ..., yk) Rk - 独立変数、および u = u (y) - 目に見えない関数 1、u = (u1, ..., un)。したがって、(1) では n 個の未知のものが存在するため、n ランクが必要です。つまり、F = (F1, ..., Fn) であるため、(1) є は、一見、n ランクを持つシステムのように見えます。未知の関数が 1 つ (n = 1) ある場合、レベル (1) はスカラー (1 レベル) です。

さて、関数 (i) F が与えられ (i)、u が検索されます。 k = 1 の場合、(1) は ODE と呼ばれ、それ以外の場合は PDE と呼ばれます。もう 1 つの問題は、同じシリーズの初期教科書に掲載されている MMF の特別コースの主題です。このシリーズの書籍 (3 部構成) では、残りの部分 (分冊) の残りの段落に続いて ODE のみを含め、PDE セクションに関するアクションを引き続き含めます。

2u u アプリケーション。 2 = 0 - ce PDE。

y1 y 未知の量 u は音声または複素数である可能性がありますが、これは真実ではありません。なぜなら、この瞬間は詩を書くという形式にまで持ち込むことができるからです。複雑な記録を音声と虚数部分を強化して音声に変えることができる場合（ただし、この場合、明らかに、等しいものと未知のものの数をサブします）、ところで、場合によっては、手動で複雑なレコードに移動します。

du d2v dv · 2 = uv; u3 = 2。このシステムは 2 ODE Appl.

独立変数 y からの 2 つの未知関数の dy dy dy。

k = 1 (ODE) の場合、「ストレート」符号 d / dy が使用されます。

u (y) du Appl. exp (sin z) dz - ce ODE が適用される可能性があるため。 = U (u (y)) for n = 1 - 価格はリモコンではなく、関数微分方程式です。

これは制御系ではなく積分微分方程式であり、そのような等式は扱いません。さらに、方程式 (2) 自体は簡単に ODE に変換できます。

右。 (2)をODUに設定します。

さらに、積分方程式はより大きく複雑なオブジェクト (関数解析の過程に含まれることがよくあります) ですが、前述のとおり、積分方程式自体は ODE で同じ結果を得るのに役立ちます。

DE は、内部の数学的ニーズ (たとえば、微分幾何学) と付加的ニーズ (歴史的に最初で、現在は主に物理学) の両方から発生します。最も単純な DE は、同じ方法で関数を更新する「微分計算の基本定義」です: = h (y)。分析からわかるように、解決策は u (y) = + h (s) ds のようになります。大型のリモコンでは、その決定に特別な方法が必要になります。ただし、すでに学んだように、ODE を「明白な形式で」増加させる実質的にすべての方法は、本質的に指定された些細な影響に還元されます。

さらに、ODE は 1 時間の間に進行するプロセスを記述するときに最も頻繁に使用されるため、独立変数の役割は t 時間内で果たします。

したがって、このような加算におけるセンス ODE は、システムのパラメータを定期的に変更する記述に現れます。したがって、ODE の元の理論によって促された場合、t (および呼び出し) による独立した変更を指定するのは簡単です。これは、単一論理的継承を蓄積するすべての継承を含む 1 時間です)、および未知の関数 (II) - x = (x1, ..., xn) を介して行われます。このようにして、攻撃の ODE (ODE システム) の外形は次のようになります。

ここで、F = (F1, ..., Fn) - つまり、これは n 個の関数 x に対して n 個の ODE を持つシステムであり、n = 1 の場合、1 個の関数 x に対して 1 個の ODE になります。

x = x (t) の場合、t R および x は複素数値であるように見えます (システムのアクションがよりコンパクトに記述されるため、これは単純化のためです)。

システム (3) は関数 xm に関して次数 m であるようです。

ポホドニは長老と呼ばれ、レシュタ（xm = 自身を含む）は若者と呼ばれます。すべてが m = であるため、システムの順序が古いと言うのは簡単です。

確かに、数値 m はしばしばシステムの次数と呼ばれますが、これも当然のことであることが明らかになりました。

ODE を開発する必要性とその条件に関する議論は、他の分野 (微分幾何学、数学的解析、理論力学、など）、実践的なタスクの過程でよく出てきます（たとえば、問題集から）。このコースでは、現代の栄養学で考慮される、形式 (3) のシステムの数学的発展を包括的に扱います。

1.「潔さ」とは何を意味しますか（システム）（3）;

2.ヤク・ツェロビティ。

3. どの当局が決定を下し、どのようにそれに従うか。

栄養 1 は、見た目ほど明らかではありません - 驚くべきことです。ダリ。どの系 (3) も、新しい未知の関数を示す 1 次の系に還元できることに注意することが重要です。この手順を例で説明するのが最も簡単です。

未知の 5 人の 5 つのレベルから。 (4) と (5) は、一方の頂点が (適切な再指定後に) もう一方の頂点のリンクを解除するという意味で同等であることは容易に理解できます。この場合、解の滑らかさを忘れてはなりません。最高次数 (つまり 1 番目) の ODE に接続すると、さらに作業が進みます。

しかし、今では、一次の ODE のみを変更する必要があり、信頼性のために他の ODE がさらに必要になる可能性があることは明らかです (そのような状況が時々発生します)。

それでは、1 次の ODE の概要を説明しましょう。

dimx = dimF = n。

Vivchennyarіvnyannya (システム) (6) は、同様の dx / dt を実行することが許可されていないため、手動ではありません。分析 (陰関数に関する定理から) からわかるように、F レベル (6) で適切な推論を行うと、dx / dt を許容し、それを f の形式で書き留めることができます。Rn + 1 Rn が与えられ、x が与えられます。 : R Rn がターゲットです。 (7)єODUは通常通り許可されているようです（ODUは見た目は正常です）。 (6) から (7) に移行すると、当然のことながら、折り畳みが発生する可能性があります。

お尻。値 exp (x) = 0 は (7) の形式で書くことができないため、解がありません。つまり、Exp は複素数領域にゼロを持ちません。

お尻。最も高い方程式 x 2 + x2 = 1 は、2 つの正規 ODE x = ± 1 x2 の形式で記述されます。肌に塗ってみて、その結果を見てください。

尊敬。 (3) が (6) に減らされると、(3) は関数または関数の一部に 0 次を引き起こす可能性があるため、折り畳み可能性が失われる可能性があります (つまり、これは関数微分方程式です)。これを行うには、関数を陰関数に関する定理と組み合わせる必要があります。

お尻。 x = y、xy = 1 x = 1 / x。導出された ODE から x を知る必要があり、次に関数方程式から y を知る必要があります。

しかし、いずれにせよ、(6)から(7)への移行の問題は、制御システムではなく、数学的解析のレベルに持ち込まれ、これには対処しません。ただし、形式 (6) の最高の ODE では、現時点の ODE の観点から考慮することができるため、上記のタスクに従うのが正しいです (例で詳しく説明されているように)。 § 3 を簡単に参照できます。コースの最後の部分にあるエール、私たちは母親になります。右側には通常のシステムとレベルのみが表示されます。次に、ODE (ODE の体系) (7) を見てみましょう。一度コンポーネント形式で書き留めてみましょう。

「virishity (7)」のコンセプト (i zagali, be it DU) 昔それは、解の滑らかさや重要性の間隔に重点を置くことなく、完全性を目指す「明示的な公式」（つまり、初等関数、その主要な関数、または特殊関数などの出現）を探求するものとして理解されていました。しかし、常微分方程式理論やその他の数学分野 (および一般自然科学) の現状は、たとえそのような「明示的積分」に適した常微分方程式の部分が非常に小さいにもかかわらず (簡単に言うと、この常微分方程式)、そのようなアプローチが満足のいくものではないことを示しています。 x = f (t) ここには「明示的な公式」がありますが、初等関数の解がまれであることは明らかです。

お尻。方程式 x = t2 + x2 は、非常に単純であるにもかかわらず、初等関数に対する解がありません (ここでは「公式が存在しない」と言います)。

そして、問題を「明示的に」解決できる ODE のクラスを知りたい場合は、それは可能です (「積分を理解する」ことが可能である場合と同様に、可能であれば可能ですが)。非常にまれです)、これらに関連して次の用語が典型的です: 「ODE を積分する」、「ODE を積分する」 (現代のものの古い類似物、「ODE を決定する」、「ODE を解く」)。これらは複雑な概念を表します。解決策について。理解する方法現在の条件, すぐに分かります。

この栄養については第 3 章で説明します (そして伝統的に、彼が実践的な活動に重点を置く場合には多大な敬意が払われます) が、このアプローチの普遍性を評価する必要はありません。原則として、決定プロセス (7) では、完全に異なる期限が理解されます。

解 (7) でどのような関数 x = x (t) を呼び出すことができるかを明らかにしてください。

まず第一に、決定の概念を明確に定式化することは、それが指定される非個人性を含めることなしには不可能であるということが重要です。が法則である場合、スキン要素 (関数が割り当てられる領域と呼ばれる) は完全に非人間的なままになりますが、それは別の多重度 (関数の値) の最初の要素になります。このように、意味の範囲を特定せずに関数について話すことは、意味の観点からは不合理ではありません。ここでは、分析機能 (より広義には初歩的な機能) が、以下に挙げる理由 (およびその他) により「非難」 (誤解を招く) として機能しますが、いずれにせよ、そのような自由は受け入れられません。

そして、(7) に参加するすべての関数の値の多重度を挿入しません。これから明らかになったように、決定の概念とその重要性の非個人性を結びつけ、これらの多くの決定の網目のように、さまざまな人々の決定をその重要性の非個人性として尊重することは非常に困難です。避けられます。

ほとんどの場合、特定の状況では、これは、初等関数の出現によって解決策がインスピレーションを得て、2 つの解決策が「同じ公式」に従うようになるとすぐに、どのような非人格性が回避されるのか、どの非人格性が回避されるのかを明確にする必要があることを意味します。数式が書かれています。長い間食生活に苦しんでいたプルタニナは、分析関数がより長い間隔で動作することが明らかであるため、初等関数の出現に対する解決策が見られる間勉強していました。

お尻。 x1 (t) = (0.2) での等価 x2 (t) = (1.3) での等価 - さまざまな決断レベルx = x。

この場合、非個人性のコンテキストでは、この非個人性が次のような可能性があるため、あらゆる決定が閉じた間隔 (おそらく無限の間隔) をとるように行われるのは自然です。

1. いずれにしても、（二国間）攻撃について話すのはほとんど意味がないことを認めましょう。

2. 内容の不一致によって決定が崩壊しないように、一貫性がある（この場合、決定について話す方が便利です） - div。フロントのお尻。

したがって、解 (7) はペア (, (a, b)) であり、a b + が (a, b) に代入されます。

ヴィクラダッハに敬意を表します。一部のハンドブックでは、意図したソリューションの領域にカットの端を含めることが許可されていますが、これはレイアウトをコンパイルするだけであり、実際の確認を提供しないという事実によるものではありません（Div .§4)。

さらなる世界を理解しやすくするには、幾何学的解釈を使用する方がよいでしょう (7)。 f が定義されているスキンポイント (t, x) の空間 Rn + 1 = ((t, x)) では、ベクトル f (t, x) がわかります。この空間内でグラフが垂直 (7) (システムの積分曲線と呼ばれます (7)) の場合、グラフは (t, x (t)) の形式の点で形成されます。 t(a,b)を変えると、この点が上下逆に崩れます。点 (t, x (t)) における ІК までの小計は (1, x (t)) = (1, f (t, x (t))) のようになります。したがって、ІК - 空間 Rn + 1 内のこれらすべての曲線とこれらの曲線のみが、各点 (t, x) でベクトル (1, f (t, x)) に正確に平行になります。いわゆる衝動のこの考えについて。クローズコール IR のアイソクライン法。特定の ODE に対する解のグラフを表示するときに使用されます (div.

例えば）。たとえば、n = 1 の場合、応答は攻撃を意味します。スキンポイント IK її が軸 t に到達し、パワー tg = f (t, x) になります。値 f の非個人性から点を取得したので、それを通じて IK を描画できると考えるのは自然です。この考え方については、今後さらに厳密に議論していきます。ソリューションの滑らかさに関する厳密な公式は見られませんが、さらに細分化されます。

ここで、f が指定される名前 B を明らかにしましょう。これは当然のことだよ、兄弟：

1. オープン (IK が B からの任意のポイントの近くにあるように)、2. 粘度 (そうでない場合は、すべての粘度をまとめて表示できます。すべて同じ IK (非永続関数のグラフとして) はジャンプできません)一方の領域からもう一方の領域に移動するため、解決策の検索は睡眠の強さによっては現れません）。

古典的な解 (7)、つまり x と x が (a, b) 上で連続する解のみを考慮します。 Todi は自然に vimagati なので f C (B)。これからもずっと尊敬していただけると思います。まあ、意味はまだ残っています。 B Rn + 1 - 面積、f C (B) とします。

ペア (, (a, b))、ab + は (a, b) 上で指定され、ソリューション (7) と呼ばれ、C (a, b) と呼ばれます。スキン t (a, b) 点 (t, (t) ) B は (t) であり、(t) = f (t, (t)) (その後、自動的に C 1 (a, b)) になります。

(7) 多くの解があることは幾何学的に明らかです (これは図的に理解しやすいです)。t0 が固定されているフォーム (t0, x0) の点から始まる IK を実行すると、次のようになります。 IK の違いを判断できるようになります。さらに、選択したソリューションの間隔を変更すると、設定に基づいて異なるソリューションが提供されます。

お尻。 x = 0。解決策: x = = const Rn。ただし、任意の t0 を選択し、点 t0 での解の値 x0 を固定する場合: x (t0) = x0、その値は一意に決定されます: = x0、つまり、解は区間の選択まで同じです。 (a、b)t0。

「顔のない」非個人的な解決策の存在は、それらを扱うのは簡単ではありません2 - 次の順序でそれらに「番号を付ける」のはより困難です。(歌の意味で) 単一のものを見るために、追加の心を最大 (7) 追加します。 ) 溶液、そして転送、肌のケア、肌のケアソリューションは正しいです (幾何学的には、ソリューションは 1 つ (IK) になる可能性がありますが、多くの部分があります - 複雑なため、後で理解します)。

ヴィズナチェンニャ。 Zavdannya for (7) - 追加のマインドを備えた tse (7)。

私たちは基本的にすでに単純なタスクを解決しています - これは Koshy の知識です: (7) 私たちの頭の中 (Koshy のデータ、cob のデータ):

追加の観点から見ると、このタスクは自然です。たとえば、(7) は特定のパラメータ x 年 t の変化を記述しているため、(8) は開始 (初期) 瞬間にパラメータの値が知られています。他のタスクを完了する必要がありますが、これについては後で説明しますが、今はコーシャのタスクに集中しましょう。当然、このタスクは (t0, x0) B で意味を持ちます。どうやら、タスク (7)、(8) の決定を決定 (7) (意味的にはここ) と呼ぶため、t0 ( a、b)、および viconno (8)。

私たちの当面の課題は、コーシー問題 (7)、(8)、および追加の例を解決することです。平方メジャー, x1 = ...、x2 = ...、下位 x = b / 2 ± ... と書くと良いでしょう。

彼らはfに従順であり、歌の意味におけるこの統一性。

尊敬。ベクトルと行列のノルムの概念を明確にする必要があります (パート 2 では行列のみが必要です)。閉じた空間ではすべてのノルムが同等であるという事実により、正確な値ではなく推定値のみを考慮するため、特定のノルムの選択は重要ではありません。たとえば、ベクトルの場合は | を使用できます。 × | p = (| xi | p) 1 / p、p - ペアノ (ピカラ) カット。円錐 K = (| x x0 | F | t t0 |) とその切り取られた部分 K1 = K (t IP) を見てみましょう。それが単なる K1 C であることは明らかです。

定理。（ペアノ）。決定を称賛するために指定された、問題 (1) の f についてヴィコナン人が主張するとします。

f C (B)、ここで B は Rn + 1 の領域です。次に、Int (IP) 上のすべての (t0, x0) B について、これが問題 (1) の主な解決策になります。

終了した。完全に (0, T0] を設定して、それをクロックとそれ自体でオイラーのレーマンと呼びましょう: Rn + 1 のレーマン全体、スキンランカは t dozhin 全体に投影を持ち、右の最初のランカはで始まります。点 (t0, x0) i では、この dx / dt = f (t0, x0) になります。一方のレーン (t1, x1) の右端は、もう一方のレーンの左端として機能し、dx / dt = f ( t1, x1) など、左も同様です。ラマナが削除されると、区分的線形関数 x = (t) を意味します。t IP である限り、ラマナは K1 で失われます (C ではさらに失われます)。、したがってB）なので、それは正しいでしょう - その力のために、定理の前にさらにpobudovaが機能しました。

確かに、ここでは、点を除いて、悪が始まり、その後、(s) (t) = (z) dz になります。悪の点では、より多くの値が取られます。

この場合（誘導によってラマニアに衝突）、Zokrema、 | (T)x0 | ふ | t t0 |。

ティム自身、IP 機能について次のように述べています。

2. 同様に中断されない理由は、K. Lipshitsev:

ここで読者は、必要に応じて、等連続性、等収束、アルセラ・アスコリの定理などの概念や結果についての知識を更新する必要があります。

Arcela-Ascoli の定理によれば、k が IP、de C (IP) 上にあるようなシーケンス k 0 が存在します。ちなみに、(t0) = x0 なので、s t について何が証明できるのかを検証することは不可能です。

右。 s t も同様に見てください。

0 を設定し、すべての (t1, x1)、(t2, x2) C が true となるように 0 を見つけます。これは、コンパクト C 上の等連続性 f を通じて計算できます。Fixed t Int (IP) およびs Int (IP) は tst + と同様に気に入ってください。みんなのためのトーディ z maєmo | k (z) k (t) | F、(4) を見る | k (z) (t) | 2F。

敬意を表し、k (z) = k (z) = f (z, k (z))、ここで z は点 (z, k (z)) を配置するラマノイ関数の左端の横座標です。 Al 点 (z, k (z)) はパラメータ (, 2F) を持つ円柱に入り、点 (t, (t)) を呼び出します (実際には円錐台に入ります - 図を参照、Al は重要ではありません)。 (3) オトリムジェ | k (z) f (t, (t)) |。ラマナの場合、上で述べたように、k が与えられたときの式 (2) を得ることができます。

尊敬。 f C 1 (B) とします。この場合、(a, b) に割り当てられる解はクラス C 2 (a, b) になります。実際、(a, b) については次のようになります: f (t, x (t)) = ft (t, x (t)) + (t, x (t)) x (t) (ここにヤコビアン行列があります) ) - 中断のない機能。記号を読むと、2 C (a、b) です。ソリューションは滑らかなので、今後もその滑らかさを確認することができます。 f が解析的であれば、最初から痕跡はありませんが、解析的解決策 (いわゆるコーシーの定理) の基礎と統一性を達成することが可能です。

ここでは、分析関数が何であるかを推測する必要があります。この関数を混同しないでください。この関数は静的なシリーズとして表示されます (明らかに領域の一部とその重要性に関する分析関数を明らかにすることによってのみ)。

尊敬。 (t0, x0) が与えられると、T と R を変化させることで T0 を最大化することが可能です。ただし、解の最大間隔を決定するために特別な方法が使用されるため、これは原則としてそれほど重要ではありません (セクション 4)。

ペアノの定理は、解の単一性については何も述べていません。私たちの合理的な決定であっても、それが常に同じであるとは限りません。なぜなら、決定がある場合、より大きな間隔でその決定が鳴るのは別の決定だからです。この点については後ほど (§ 4) で説明しますが、ここでは、任意の 2 つの決定の解決策を、その意味の間隔で理解します。この意味で、ペアノの定理は統一性について何も述べていませんが、これは驚くべきことではありません。なぜなら、彼らの頭の中では統一性は保証できないからです。

お尻。 n = 1、f(x) = 2 | × |。コーシャのタスクには自明な解があります: x1 0、さらに x2 (t) = t | |。これら 2 つのソリューションを組み合わせて、完全な 2 パラメーターファミリーのソリューションを作成できます。

de + (無限の値は線の存在を意味します)。これらすべての決定の重要な領域全体を R と考えると、それらはすべて信じられないほど豊かです。

これにオイラーのラマニアを通じたペアノの定理の古い証明を含めると、ゼロ解のみが現れるということは重要です。一方、皮膚のわずかな破壊を許可するようオイラーのレーマンを説得する過程で、破壊パラメータをゼロに設定すると、すべての決定が失われます。したがって、ペアノの定理とオイラーのラマニアは、解を生成するための自然な方法であり、数値的手法と密接に関連しています。

アプリケーションで見られる不一致は、関数 f が x において滑らかではないという事実によるものです。履くと現れる追加のメリット x による f の規則性に関して、統一性が保証され、この項全体が主な意味で必要になります (以下の部分)。

分析をどのように理解すればよいか推測できます。関数 (スカラーまたはベクトル) g は、非人格性の指数 (0, 1] を持つヘルダー関数と呼ばれます。これは間違いなく精神的リプシツィアと呼ばれます。1 では、定常関数でのみ可能です。セクションに指定された関数 ( de vib IP 0 non-network) は無中断モジュールと呼ばれますが、ヘルダーの狭義の考えでは g はこのモジュールで満足しているようで、その場合は連続性 g in のモジュールと呼ばれます。

任意の非中断モジュールは、任意の非中断関数の非中断モジュールであることが示されます。

私たちにとって重要な転換点は、コンパクトの機能がどれほど中断されなくても、中断されない動作の独自のモジュールを持っていることです。つまり、アクションで (5) を満たしています。これを理解しましょう。 g はコンパクトであり、g C () であるため、g は均一に連続していることは明らかです。

= (): | Xy | = | G (x) g (y) |。行為を伴う精神(5)に相当するようです。実際、結局のところ、 (()) のような連続性モジュールが必要になり、その後 | が必要になります。ｘｙ | = = () フラグメント (i) だけで十分であれば、x と y はそのままで構いません。

ちなみに、(5) が true の場合は、(()) を知る必要があり、その後 | を使用します。ｘｙ | = () 論理遷移のロストプライミングがキャンセルされました:

単調な人の場合は、ゲート機能を使用する必要があり、ザガルニーのエピソードでは、いわゆるビコリストを行う必要があります。ゲート機能を強化。その基礎には確固たる証拠が必要ですが、それは提供しませんが、アイデアだけを言ってみましょう (小さなお子様の読み聞かせに添えると良いでしょう)。

任意の F について、それは重要です F (x) = min F (y)、F (x) = max F (y) - これらは単調関数であり、ゲートの臭いです。 x x F (F (x))、(F) 1 (F (x)) x、F ((F) 1 (x)) x であることを確認するのは簡単です。

最も短い連続性モジュールは線形です (Umova Lipshitsya)。これらの機能は「大きく差別化」されています。大空の残りの部分に強い意味を与えるために、私たちはズシリヤを歌う必要があります。そして私たちは 2 つの点に囲まれています。

1. 例が示すように、厳密には明らかですが、すべてのリプシッツ関数が微分されるわけではありません。 × | Rへ。

2. トレースの微分可能性に加えて、硬化の開始を示すため、それはリプシッツです。膨らんだ非人間性の上にすべての M を運ぶ g の機能が何であれ、彼の心の中で Lipshits は満足しています。

[一貫性を保つために、スカラー関数 g を見てみましょう。] 証明。すべての x、y に対してそれは可能であり、このステートメントがベクトル関数に当てはまることは明らかです。

尊敬。 f = f (t, x) (一見、ベクトル関数) なので、「x におけるリプシッツ f」の概念を導入できます。 F (t, x) f (t, y) | C | したがって、言うまでもなく、D がすべての t について x に凸である場合、D の x の f の一貫性を得るには、B に隣接する x に同様の f があれば十分です。 g(x)g(y) | |を通してｘｙ |。 n = 1 の場合、動的強化のための追加の式を探す必要があります。 g (x) g (y) = g (z) (xy) (g はベクトル関数であるため、z はスキンコンポーネント独自のものです) ）。 n が 1 の場合、次の式の攻撃的な類似物を手動で使用できます。

レマ。（ハダマラ）。 f C (D) (一見、ベクトル関数) とすると、 de D (t = t) は t に関係なく円錐形であり、 f (t, x) f (t, y) = A (t, x, y ) · ( xy)、ここで A は中断のない長方形行列です。

終了した。任意の固定 t に対して、= D (t = t)、g = fk に対するトヴェルジェーニャの証明の計算は停滞します。 A (t, x, y) = A からの必要な供給は真に中断されません。

問題 (1) を解くときの統一性に戻りましょう。

べき乗を次のように考えてみましょう。同じ間隔で書かれた 2 つの解が回避されるという意味で、解 (1) が結合されるように、x の連続モジュール f の関数は何ですか? 証明は次の定理によって与えられます。

定理。（オスグッド）。ペアノの定理を頭の中に x の B における連続性のモジュール f を思い浮かべてください。つまり、不連続性の関数が心を満たします (C を使用できます)。この問題 (1) では、同じ間隔 (t0 a、t0 + b) 上の値を持つ 2 つの異なる解を生成することはできません。

お尻をまっすぐにして、上に向けましょう。

レマ。 z C 1 (,) の場合は、ぜひ (,):

1. z = 0 の点では、 z |、および || z | | | Z |;

2. z = 0 の点では、片側の動きが現れます。 z | ±、および || z | ± | = | Z | (Zokrema、z = 0 の場合、існє | z | = 0)。

お尻。 n = 1、z(t) = t。 t = 0 の時点で出口 | z | 関係ないですが一方的な攻撃です。

終了した。（レミ）。これらの点で、z = 0 の場合、 імеz · z їм: існє | z | =、私 || z | | | Z|。これらの点 t (z (t) = 0) では、次のことができます。

ケース 1: z (t) = 0。その後、 | の必要性を排除します。 z | (T) = 0。

ドロップ 2: z (t) = 0。Todi at +0 または 0 ochz (t +) | | Z(t) | あらゆる種類のモジュール | z(t) |。

心の後ろでは、F C 1 (0,)、F 0、F、F (+0) = +。 z1,2 - 2 つの決定 (1)、曲は (t0、t0 +) であるとします。重要なのは、z = z1 z2 です。まーも:

z (t1) = 0 となる t1 (t1 t0 の値) があると仮定します。非個人的な A = (t t1 | z (t) = 0) は空ではなく (t0 A)、獣に囲まれています。これは、t1 の間に上限があることを意味します。 1 日あたりを超えると、(, t1) では z = 0 になり、z が中断されないため、z () = 0 になる可能性があります。

レムのために | z | C 1 (, t1)、およびこの間隔で | z | | Z | (| Z |) であるため、(t, t1) (de t (, t1)) を積分すると、F (| z (t) |) F (| z (t1) |) t1 t が得られます。 t + 0 ではワイプは不可能です。

系 1. B の x に関するペアノの定理 f Lipschitz を考えると、この場合 () = C が (7) を満たすため、問題 (1) はオスグッドの定理で説明されている意味で単一の解を持ちます。

Nasledok 2. ペアノの定理 C (B)、次に解決策 (1)、Int (IP) の歌、1 を頭の中に思い浮かべるように。

レマ。決定が下されるかどうか (1)、IP 上の曲、評価に満足できるかもしれません | × | = | F (t, x) | F であり、そのグラフは K1 にあり、さらに重要なことには C にあります。

終了した。 (2を継承)。 C はよりコンパクトな多重度であるため、f は C の x におけるリプシッツになります。ここで、すべての決定のグラフは Lemy に基づいています。系 1 は絶対に必要です。

尊敬。 Umova (7) は、f に対する心の唇が大幅に弱まる可能性があることを意味します。たとえば、ゲルダーの精神 z 1 はもはや適切ではありません。直線的なモジュールに近い中断のないモジュールに適しています。これは「より大きな」モジュールを移動する方法です。

右。（より簡単に摂取できます）。 (7) を満たすものを持ってくると、1 / が 0 となるように (7) を満たす 1 があります。

均一性のために同じタイプの連続性モジュール f by x を使用することは必須ではありません。たとえば、次のようなさまざまなタイプの特別なバリエーションが可能です。

確認済み。ペアノの定理の頭の中のように、解が 2 つあり (1)、3 の曲がある場合 (9)、x C 1 (a, b) であることは明らかであり、微分 (9) で (1) が得られるのは事実です。 1、そして (1) 2 は明らかです。

(1)の場合、(9)の場合は当然閉断面での解が存在します。

ピカードは、連続アプローチの最高の(1)=(9)攻撃方法を確立しました。有意に x0 (t) x0、そして帰納定理により。（コシピカラ）。ペアノの定理の頭の中では、関数 f は、領域 B の任意のコンパクトな K における x のリプシッツであり、x に凸です。

したがって、be-any (t0, x0) B Cauchy のコマンド (1) (won (9)) の場合、Int (IP) には単一の解があり、IP には xk x が存在します。ここで、xk は (10) で定義されています。

尊敬。条件 (11) が C (B) で置き換えられた場合でも、これは (11) の明らかな結果であるため、定理が有効なままであることは明らかです。

ヴィクラダッハに敬意を表します。実際、必要なのはすべての丸い成形体ではなく、シリンダーだけですが、§ 5 ではさらにコンパクトな成形体が必要になるため、配合はこのように分割されています。それでも、この配合ではより自然に見えます。

終了した。十分な (t0, x0) B を選択し、ペアノの定理の前と同じ追加のステップを生成します。すべての xk が IP 上で値があり非連続であること、およびそれらのグラフが K1 にあり、C ではさらにその傾向が強いことを帰納法によって証明できます。x0 の場合、これは明らかです。これは xk1 に当てはまりますが、(10) から、xk は価値があり、IP 上で非連続であり、これも K1 に属することが明らかです。

次に、帰納法による IP 評価を要約しましょう。

(C は B の x に凸のコンパクトな緻密体であり、これについては L (C) を意味します)。 k = 0 の場合、推定 (t, x1 (t)) K1 はすでに完了しています。 (12) が k: = k 1 に対して真であるため、(10) が必要になる可能性があります。ご存知のとおり、この級数は収束数値級数によって IP 上にメジャー化されるため、(ワイエルシュトラスの定理と呼ばれます) IP 上で任意の関数 x C (IP) に一様に収束します。 Ale ce i は IP 上の xk x を意味します。次に、(10) to IP で境界に移動し、(9) to IP を減算します。これは、(1) から Int (IP) を意味します。

一意性は、オスグッドの定理から系 1 からすぐに導き出すことができますが、別の方法で一意性を達成することも可能であり、同じ式 (9) が達成されます。 Int (IP) に 2 つの決定 x1,2 タスク (1) (つまり (9)) があるとします。さらに意味があるように、グラフは K1、特に C に存在する必要があります。t I1 = (t0, t0 +) とします。これは正の数です。トーディ = 1 / (2L (C))。 Todi = 0。I1 で x1 = x2 を確認してください。

ヴィクラダッハに敬意を表します。 Gronwall の Lema の背後にある統一性のもう 1 つの証明ですが、これはグローバルに通過することが重要ですが、線形 ODE に適切に対処することが重要であるため、必ずしも手動で行う必要はないため、より自然です。

尊敬。団結の残りの証拠は主に、ローカルな団結がどのようにして世界的な団結につながるのかを別の観点からもう一度示しているということです（これは現実には真実ではありません）。

右。オズグッドの定理と同じ方法でサイズ設定されたすべての IP にネットワークの統一性をもたらします。

礼儀正しいオクレミー・ヴィパドック(1) - 線形 ODE、つまり値 f (t, x) が x において線形であるもの:

この場合、カーネル B では黒さが現れ、x におけるリプシッツの知的財産 (および微分可能性の方向) が自動的に決定されます。すべての t (a, b), x, y Rn maєmo について| f (t, x) f (t, y) | = | A (t) (x y) | | A(t) | · | (X y) |。

コンパクト (a, b) がすぐにわかる場合は、 | を削除します。 f (t, x) f (t, y) | Ｌ | (x y) |、de L = 最大 | あ|。

ペアノ、ホスグッド、およびコーシー-ピカールの定理から、問題 (13) は t0 に等しい任意の区間 (ペアノ-ピカール) で区別できることは明らかです。さらに、この間隔での決定はピカードの最後のアプローチの間のものです。

右。この間隔を求めてください。

しかし、この場合、これらの結果はすべてグローバルに、つまりすべて (a、b) について報告できることがわかります。

定理。それが真実であるようにしましょう（14）。このとき、問題 (13) は (a, b) 上で一様に解くことができ、最新のピカール近接は任意のコンパクト (a, b) 上で次のものに同様に収束します。

終了した。ここでも、TK-P と同様に、式 (10) への後続の近似を利用して積分方程式 (9) を解きます。しかし今では、グラフが円錐と円柱にどのように適合しているかを頭の中でチェックする必要はありません。

f は、t (a, b) である限り、すべての x に対して有効です。また、すべての xk が等しく、(a, b) に関して交渉不可能であることを検証する必要がありますが、これは帰納法から明らかです。

(12) の代わりに、形式 de N の同様の推定値 (選択の対象となる同じ数) を示します。この推定の最初の帰納項は異なります (K1 に関連していないため)。 x1 (t) x0 | N から連続性 x1 まで、今後の日付も同様です (12)。

これを書き留めないことも可能です。明らかに、xk x を再度マークし、決定的な (10) に対する x є の解をマークすることができるからです。そして、コンパクトの選択で十分であるため、全員 (a、b) について決定を下しました。独自性は、オスグッドとコーシー-ピカールの定理 (およびグローバル統一性に関する詳細) に由来します。

尊敬。上で述べたように、TK-P はペアノとオスグッドの定理の存在を正式に尊重していますが、それは次の 3 つの理由により有効ではありません。

1. ODE のコーシー問題を積分方程式に接続できます。

2. 連続的なアプローチの建設的な方法を導入します。

3. 線形 ODE のグローバル基礎を簡単に作成できます。

[ただし、§ 4 の消去からそれを推測することはまだ可能です。] 次に、ほとんどの場合、私たちはそれを自分自身で信頼することになります。

お尻。 x = x、x (0) = 1。逐次近似これは、x (t) = e が R 全体の出力問題の解であることを意味します。

ほとんどの場合、行はうまくいきません。そうしないと、全体の建設性が失われます。誘拐 x xk (div.) も評価できます。

尊敬。 Peano、Osgood、および Cauchy-Picard の定理を使用すると、高次常微分方程式についても同様の定理を簡単に導出できます。

右。コーシー問題の概念、系の解法、およびコーシー問題、1 階系に還元される高次常微分方程式のすべての定理を定式化します。

コースの論理を打ち破りますが、実践的な授業で問題を解決する方法を迅速に習得して開発することで、隠れた理論の提示を中断して、「ODE の明示的な解決策」という技術的問題に取り組みます。

§ 3. 積分のためのアクション積分を積分するためのアクションここで、スカラー方程式 = f (t, x) を見てみましょう。私たちが統合し始めたスタイシャを飛躍と呼びましょう、それがそのように聞こえるでしょう。 URP、つまり Rivnyannya、f (t, x) = a (t) b (x)。 URP を統合する正式な方法は、変数 t と x (name): = a (t) dt を「分離」し、積分を求めることです。

ここで、x = B (A (t))。このような正式なマージには、準備を必要とする多くの瞬間が含まれます。

1. b (x) で分割されます。 f が連続であることが重要です。そのため、a C (,)、b C (,)、つまり B の軸に直腸 (,) (,) があります。（どうやら、皮を剥がされて、彼らは怒り始めた）。非人格性 (b (x) 0) および (b (x) 0) はオープンであり、区間のセットを終了またはランク付けします。これらの間隔の間には、b = 0 である点またはセグメントがあります。b (x0) = 0 の場合、コーシー問題は x x0 で解くことができます。解が結合していない可能性があり、その値の領域には b (x (t)) = 0 の区間が存在しますが、b (x (t)) で割ることもできます。これらの区間では関数 B が単調であるため、B 1 を取得できることに注目してください。 b (x0) = 0 であるため、t0 付近では b (x (t)) = 0 であることがわかり、手順は次のようになります。法律上の。このように、手順は有罪であるように説明されており、決定の領域を部分に分割するときに一見停滞しているように見えます。

2. 様々な変更を加えた左右のパーツの一体化。

方法 I. コード (t) shi (1) x = (t) という問題の解決策を教えてください。 Maєmo: = a (t) b ((t))、星 - 彼らは同じ式を厳密に受け入れました。

方法 II。 Rivnyannya - それはそれが呼ばれるものです。出力 ODE の記録は対称的です。つまり、どの変数が独立で、どの変数が独立であるかは指定されません。この形式は、一次微分の形式の不変性に関する定理との一次比較を見たときと同様に意味があります。

ここでは、微分の概念を簡単に説明します。微分は、平面 ((t, x)) の表面、その上の曲線、接続、自由度、曲線上のパラメーターによって影響を受けます。

このようにして、式 (2) は微分 t と x を右 IK に接続します。したがって、最初に示した方法でのイコライゼーション (2) の統合は完全に合法です。これは、もちろん、独立した方法で組み立てられた、あらゆる変更に応じた統合を意味します。

方法 I では、ヤクの独立した変化 t を選択することによってそれが示されました。これは、独立変数のパラメーター s を選択することで表示できます (これにより、t と x が等しいことがより明確に示されるため)。値 s = s0 が点 (t0, x0) を表すものとします。

= a (t (s)) t (s) ds とすると、次のようになります。ここで、対称表記の普遍性を強調する必要がありますが、列は x (t) としても t (x としても書かれていません) )、ただし x(s)、t(s) として。

URP の前に、他の 1 次 ODU が処理されます。これは、最上位で表示されます (たとえば、タスクブック)。

もう 1 つの重要なステップである線形 ODE:

方法 I. 変動は一定です。

これは、第 2 部で説明する、より無知なアプローチを大きく変えたものです。重要なのは、特別な見方で解決策を探すと、平等の順位が下がるということです。

Virishimo svochatka とても響きます。同じレベル：

単一性により、x 0、またはここでは x = 0 になります。剰余 (x 0 を有意とする) では (4) を減算し、すべての解 (3) が 0 (ゼロと負の値を含む) になります。

式 (4) の C1 はほぼ一定です。

定常変動の方法は、解 (3) C1 (t) = C0 + という事実にあります。 (代数線形システムと同様に) ORNU = CHRN + OROU の構造が見えます (このレポートについては第 2 回で説明します)。

コーシーの問題 x (t0) = x0 を解決したい場合は、コーシーデータから C0 を知る必要があります。C0 = x0 は簡単に推測できます。

方法 II。 IM、つまり関数 v がわかっているので、(3) を掛ける必要があります (すべての未知数が左側に集められるように書かれています: xa (t) x = b (t))。左側のアクションは手動で組み合わせて出てきます。

vx vax = (vx)、v = av であるため、つまり (このような方程式は等しい、(3) は等化と等価です。これはすでに簡単に決定でき、(5) が得られます。コーシーの問題が有効な場合、次に (6) では、線形 ODE を兄弟積分するのが簡単です (3) には、完全なタスク (問題集など) の場合に見られるように、さまざまなアクションが含まれます。より重要なタイプの線形 ODE (たとえば、任意の n) についてはパート 2 で説明します。

こうした状況に対する不満は、いわゆる攻撃によって丸め込まれるでしょう。更新。対称形式の一次常微分方程式 (n = 1 の場合) を見てみましょう。

すでに述べたように、(7) は変数がどのように考慮されるかを指定せずに、領域 (t, x) 内の ІК を指定します。

(7) に十分関数 M (t, x) を乗算すると、同じ方程式を書くのと同等の形式が得られます。

したがって、1 つの同じ ODE には多くの対称レコードがあります。その中で、いわゆるものによって特別な役割が果たされます。この電力は等しくありませんが、そのエントリの形式、つまり、左側の部分 (7) が dF (t, x) と一致するような形式であるため、UPD の名前はそれほど遠くありません。 Fの部分。

(7) が UPD のみであり、アクション F を伴う A = Ft、B = Fx の場合のみであることは明らかです。分析からわかるように、残りの部分については、厳密に技術的な側面を準備する必要はなく、たとえば次のようにするだけで十分です。すべての機能のスムーズさ。右側では、これは別の役割を果たしています。コースの他の部分には必要ありません。私は、熱心な貢献に余分なお金を無駄にしたくありません。

このように(9)を定義すると、このようなF(加法定数も同様)が存在することになるので、(7)は dF(t,x)=0(単位ІК)、つまり

F (t, x) = const vzdovzh ІК、つまり ІК は関数 F の行です。 F で A と B を検索することは困難になることなく (9) を満たすため、UPD の統合が簡単な作業であることは明らかです。 (9) が詳しく説明されていない場合、次に知る必要があるのは音です。 IM M (t, x) は、(8) є UPD のようであり、これに対して、次の形式をとる類似物 (9) を構築することが必要かつ十分です。

1 次偏微分方程式の理論 (第 3 回で説明します) からわかるように、方程式 (10) は常に決定されるため、成立します。このように、ビュー (7) と一致して、UPD のビューにレコードが存在し、これにより「明示的な」統合が可能になります。ただし、これでは最終的なアプローチで建設的な方法は得られません。成功 (10) のためには、解決策 (7) を知る必要があると思われるためです。これが私たちが探しているものです。なるほど、IM には伝統的に実践活動で見られる思考法が数多くあります (たとえば部門)。

敬意を表して、何よりも考慮されるのは URP とリニア ODU の決定であり、IM のイデオロギーによって補完されます。

実際、対称形式 dx = a (t) b (x) dt で書かれた URP dx / dt = a (t) b (x) は、単語が逆になっているため、IM 1 / b (x) で乗算されます。 UPD では dx / b (x) = a (t) dt、つまり dB (x) = dA (t) となります。線形方程式 dx / dt = a (t) x + b (t)、対称形式で記述 dx a (t) xdt b (t) dt、IM を乗算、ODE を「陽的形式」で解く実質的にすべての方法

(線形システムに関連する大きなブロックの原因の背後には) 次数を削減する特別な方法と置換の助けを借りて、結果が一次の ODE に削減され、その後 UPD に削減されると考えられています。結果は、微分数の主定理 dF = 0 F = const の m を停滞させる可能性があります。次数を下げることに関する栄養は、伝統的に実践的な活動の過程に含まれています（たとえば、部門）。

明確に許可されていない 1 次 ODE について少し言ってみましょう。

§ 1 で述べたように、(11) を x で変更して正規形を削除することはできますが、完全にではありません。多くの場合、(11) を中央から外した方が簡単です。

空間 ((t, x, p)) を見てみましょう。ここで、p = x はすぐに独立した変化として見なされます。次に、(11) はこの空間 (F (t, x, p) = 0) の表面を定義します。これはパラメトリックに書くことができます。

たとえば、R3 の球体の助けの背後にあるこれが何を意味するかを推測することが重要です。

解はこの曲面上の曲線に似ています: t = s、x = x (s)、p = x (s) - 解 dx = pdt に基づく人には 1 ステップの自由が与えられます。この接続を表面上のパラメータの観点から書いてみましょう (12): gu du + gv dv = h (fudu + fv dv)、つまり

したがって、行われた決定は表面上の曲線 (12) に対応し、パラメータは曲線 (13) に関連付けられます。 ODE は調整できるように対称的な形式のままです。

I をドロップします。任意の領域 (gu hfu) = 0 の場合、(12) t = f ((v), v)、x = g ((v), v) により、その領域の曲線のパラメトリック記録が得られます。 ( (t , x)) (つまり、p は必要ないので、この領域に投影します)。

ヴィパドックⅡ。同様に、(gv hfv) = 0 の場合。

ヴィパドックⅢ。ある時点では、同時に gu hfu = gv hfv = 0 になります。ここでは詳細な分析が必要であり、いくつかの解決策が不可欠であることが示唆されます (いくつかは特殊とも呼ばれます)。

お尻。リブニャンナヤクレロ x = tx + x 2。

x = tp + p2。この曲面をパラメータ化しましょう: t = u、p = v、x = uv + v 2. レベル (13) はすぐに (u + 2v) dv = 0 として表示されます。

エピソード I. チーは実現しない。

ヴィパドックⅡ。 u + 2v = 0、その後 dv = 0、つまり v = C = const となります。

これは、t = u、x = Cu + C 2 - IK 表記がパラメトリックであることを意味します。

x = Ct + C 2 として明示的に書くのが簡単です。

ヴィパドックⅢ。 u + 2v = 0、つまり v = u / 2。これは、t = u、x = u2 / 4 が「IC 候補」のパラメータエントリであることを意味します。

IK が真であることを検証するには、それを明示的な形式 x = t2 / 4 で記述します。この (特に) 解決策であることがわかりました。

右。他の人のことを心配することが特に重要であることを伝えてください。

この隠れた事実は、特定の決定のグラフが他のすべての決定のグループに従うということです。これに基づいて、特別決定自体の他の重要性は明らかです（分割）。

右。凸関数を使用した Clairaut x = tx (x) のより形式的な解釈については、解決策が特に明確であることを知っておいてください。 x = (t)、再作成されたルジャンドル関数、つまり = () 1、または (t ) = 最大 (テレビ (v))。レベル x = tx + (x) についても同様です。

尊敬。 § 3 のより詳細かつ正確な段落はハンドブックに含まれています。

ヴィクラダッハに敬意を表します。一連の講義を読むときは、§ 3 を注意深く拡張して、より大きな形を与えることができます。

さて、コースの主な概要に戻り、レポートの §§ 1.2 での会話を続けましょう。

§ 4. コーシー問題の大域的関連性 § 2 では、コーシー問題の局所的な解法、つまり点 t0 を特定するための任意の区間のみの解法を導入しました。

f に追加の許容値を追加して、それをまとめました。これは、同じ間隔で計算される 2 つの解を回避することを意味します。 f が x 内で線形である場合、グローバルな基底が存在します。つまり、間隔ごとに、(システムの) 方程式の定数係数が決定されます。しかし、理論の線形システムの停滞の試行によって示されているように、ペアノ-ピカール間隔は、決定を下すことができる間隔よりも短いようです。自然の力は次のものから来ます。

1. 決定 (1) を確認できる最大間隔を決定するにはどうすればよいですか?

2. 常に最大値に近づく間隔はどれですか。パート (1) 1 の正しい意味は何ですか?

3. 決定の時間間隔を気にせずに、決定の単一性の概念を正確に定式化するにはどうすればよいですか?

栄養 2 に対する反応が一見否定的な反応を示している (というよりも、かなりの精度が必要である) 人については、この例を確認してください。 x = x2、x (0) = x0。 x0 = 0 の場合、x 0 - オスグッドの定理によれば、他の解はありません。 x0 = 0 の場合、赤ちゃんは否定的な方法で作成される可能性があります)。決定の間隔は、(, 1 / x0) または (1 / x0, +) を超えることはできません。x0 0 および x0 0 では確実です (別の双曲線点は最上部に重みを持ちません! - これは、学生）。一見したところ、最終タスクには「そのような結果を示唆するもの」は何もありませんでした。 § 4 では、この現象について説明します。

方程式 x = t2 + x2 を適用すると、決定間隔に関する生徒の典型的な理解が現れます。ここで、「反乱はどこでも決定される」という事実は、決定全体の継続にはまったく影響を与えません。これは、例えば、法律とその下で発展するプロセスに関連して、純粋に日常的な観点から見ると明らかです。この法律は、2015 年に会社を設立することを明確に定めていないため、これはまったく意味を持ちません。この会社は、たとえ法律の範囲内であっても、内部的な理由で永遠に破産することはありません。

栄養 1 ～ 3 に対応するには (そしてそれらを明確に定式化するには)、進行中の決定を理解する必要があります。 (家にいたときと同じように) 決定 (1) 1 を賭けとして検討します (, (tl (), tr ()))。

ヴィズナチェンニャ。決定 (, (tl (), tr ())) є 決定の継続 (, (tl (), tr ())), as (tl (), tr ()) (tl (), tr ()), | | (tl(),tr()) =。

ヴィズナチェンニャ。解決策 (, (tl (), tr ())) - 重要な (つまり、重要な) 継続がないため、継続不可能です。 (部門バット詳細)。

HP 自体が特別な価値があることは明らかであり、HP の用語においては完全性と統一性を達成する必要があります。責任があるのは自然の力です - 将来、地元の力に基づいて HP を開発できるか、それとも事前に決定されたコーシーに基づいて HP を開発できるかどうか。そうのようです。これを明確にするために、概念を紹介しましょう。

ヴィズナチェンニャ。決定のセット ((, (tl (), tr ()))) は、このセットからの任意の 2 つの決定が割り当ての間隔の移行時に満たされるため、不必要ではありません。

ヴィズナチェンニャ。非超有能な解のセットは、新しいセットが非超理解可能であり、同じ領域に新しい点を配置して解を作成するように別の解を追加することができないため、最大と呼ばれます。

INN 関数が HP 関数およびそれ自体と同等であることは明らかです。

1. NR であれば INN であっても削除できますし、サウンドの設定もできます。

右。それをチェックしてください。

2. INN が INN の場合、NR (, (t, t +)) は次のようになります。

put (t) = (t), de - INN の任意の要素、この点の意味。明らかに、そのような関数はすべて (t, t +) に明確に割り当てられ (明確さは集合の非超周期性に由来します)、すべての点でその時点で重要な INN 要素によって回避されます。任意の t (t, t +) に対して、その中に歌があり、したがってその周囲にも歌があり、この周囲には解決策 (1) 1 があるため、 - 同じです。したがって、すべて (t, t +) について (1) 1 という決定が行われます。別のケースでは、最大値を超えて重要な拡張が INN に追加される可能性があるため、これは連続的ではありません。

Pobudova MNN zadannya (1) を zagalny 形式で (ペアノの定理の頭の中で)、局所的な統一がない場合、それは可能です (div.,) が、それは面倒です - それはステップバイステップに基づいています区間積 Zhenya までの下からの推定によるペアノの定理の停滞。このようにして、HP は常にスリープ状態になります。ローカルな統一性があれば、INN (したがって HP) は取るに足らないものになる場合があります。たとえば、重要なことを考えて、私たちは TK-P の枠組み内で運営します。

定理。エリア B Rn + 1 で TK-P を決心することを忘れないでください。つまり、(t0, x0) に関係なく、B コマンド (1) の HP は 1 になる可能性があります。

終了した。問題 (1) に対するすべての解決策を見てみましょう (TK-P によれば空ではありません)。これはINNが主張していることである - 地元の団結による超危機的なものではなく、人格のないままコーシーの問題を解決するために全員を駆り立てた人々の観点からは最大限のことである。これは、HP がスリープ状態であることを意味します。地域の団結によって団結しているのです。

明らかな地域の美徳 (1) 1 (特定のコーシーのものではない) に基づいて NR を確立する必要がある場合、この問題は、地域の一体性の自明性に応じて、コーシーの問題に帰着します。明らかな IR 上の点を選択して、最も重要なコーシーの問題を見てみましょう。このタスクは団結による最終決定の続きとなります。統一性がないため、特定の決定の継続は上記の手順に従います。

尊敬。睡眠の間隔の終わりにHPを追加することはできません（統一の精神に関係なく）ので、終了点でも決定が行われます。制限するには、セクションの最後にある ODE ソリューションの下で理解する必要があることを明確にする必要があります。

1. アプローチ 1. 決定を進める (1) 1 のセクションには、一方的なアプローチという意味で、最後にイコールを満たす機能があります。その後、追加の決定が行われる可能性があります。たとえば、開始区間の右端 (t, t +] は、IR が B の中間の終了点であることを意味し、C 1 (tそれ以外の場合は、(1) の Kosh i x (t + ) = (t +) のタスクを完了し、解決策がわかったので、t + の右端を取り除きます (t + が違反している時点で)。一方的な動きで f (t +, (t +)) に等しくなります。これは、特に価値があることを意味します)、つまり bulo HP です。

2. アプローチ 2. 解決策 (1) 1 のセクションでは、端で連続する関数があります。そうでない場合、IC の端は B にあります (問題なく、方程式をキンツァフで終わらせる必要はありません) - 一貫した積分方程式の観点からのみ、同じミルクヴァンニャが表示されます (部門レポート)。

このようにして、選択した解の倍数として開いた間隔のみを即座に挿入することで、強度を損なうことなく（そして一方的な動きなどの不要な動きだけを）回避しました。

袋の中に食べ物が与えられました 3、穂軸を付けます §4：精神の統一（たとえば、オスグッドまたはコーシー-ピカール）の勝利により、コーシーの問題に対するHPの解決策の統一が行われます。精神の統一が崩れると、睡眠が必要になるたびにコーシャの仕事のために多くのHPが残る可能性があります。 (1) (または単に (1) 1) の決定を HP に拡張できるかどうか。

電源1.2に対応するには、Rn+1の空間でのIKの挙動を見る必要があります。Rn+1の空間でのIKの挙動が重要です。一日が終わるかもしれないし、IKが終わるかもしれません。マザーしないでください (B の IK の終わりは決してスリープしません - 詳細については「尊重」を参照してください。そうしないと、B の IK の終わりをスリープできない可能性があります - 以下の div.)。

定理。（コンパクトからの離脱について）。

私たちは地域の団結を念頭に置いてそれを策定しますが、義務的なものではありません。つまり、そこでは TPK が HP の基準として策定されています。

TK-P の頭の中では、任意の NR レベル (1) 1 のグラフからコンパクトな K B、つまり KB (t, t +): (t, (t)) K at t が失われます。

お尻。 K = ((t, x) B | ((t, x), B))。

尊敬。したがって、t ± 付近の ІК НР は B に近づきます: ((t, (t)), B) 0 at t t ± - 決定を継続するプロセスは、厳密には B の中央で回転することはできません。

肯定的に言えば、ここでは、交差しない閉じた多重性の間の細分化の積極性を明確に示す権利があり、そのうちの 1 つはコンパクトです。

終了した。 KB を修正しました。be-0 (0, (K, B)) とします。 B = Rn + 1 であるため、(K, B) = + が値として重要です。非個人的な K1 = ((t, x) | ((t, x), K) 0/2) も B でコンパクトなので、F = max | f|。選択した数値 T と R は十分に小さいため、たとえば、どのシリンダーでも T 2 + R2 2/4 を取得できます。 TK-P によれば、同じ問題が前の区間 (t T0, t + T0) で解決されるようです。ここで、すべての (t, x) K に対して T0 = min (T, R / F) です。

これで = を取得できるようになりました。実際、(t, (t)) K の場合、t + T0 t t + T0 であることを示す必要があります。たとえば、友人の緊張を見てみましょう。コーシーの問題 (2) の x = (t) の解は、少なくとも点 t + T0 までは右に進みますが、それ以外の場合は同じではありません。1 の観点からは拡張があり、その後 t + T0 t + になります。

このようにして、HP スケジュールは最初に「B に到達」し、HP アクティブ化の間隔が IK ジオメトリ内に収まるようになります。

例えば：

確認済み。 B = (a, b) Rn (終端または連続区間) とすると、f は B、є HP 割り当て (1) と t0 (a, b) の TK-P の心を満たします。 Todi または t + = b、または | (t) | + t t + において (i は t についても同様です)。

終了した。ああ、t + b にしてから t + + にしてみましょう。

コンパクト集合 K = B B を見てみましょう。TPK によって任意の R + が与えられると、t ((R), t +) が (t, (t)) K を示すような (R) t + が見つかります。フラグメントがある場合t t + の場合、価格はおそらくシェルのみです | (t) | R. Ale ce i は | を意味します。 (t) | + t t + で。

Tsomoom Vipad Mi Bachimo、Sho Yakshcho F Visual「すべて x」で、izhnovanni nr は可能であり、Rachunok pragnenya の最も有能な (a, b) ティルキ以上で、Kinziv izinters (t、t + ）（zagalny vipadku内 - 非常線Bまで）。

右。 B = (a, b) の場合、Rn が十分な面積である場合、残りの硬化を落下に調整します。

尊敬。何を理解する必要がありますか | (t) | + k(t)を意味するものではありません。

ティム自身にも栄養 2 (por. Butt on the cob § 4) が与えられました。IK で B に到達します。そうでないと、全体 t の投影は全体 t での B の投影の端に到達しない可能性があります。栄養が奪われている 1 - 現在の ODE 以外に、「最大幅の間隔」に対する解決策を継続する可能性を判断できる兆候は何ですか? 線形 ODE ではこの拡張が可能であることはわかっていますが、§ 4 の冒頭の例ではこれは不可能です。

n = 1 での URP の極端なフェーズを説明するために、最初の部分を見てみましょう。

非有価値積分 h (s) ds (非変数重要 = + またはその点での h の特殊性による) の値は、選択 (,) の中にありません。次に、積分の収束または分離について話している場合は、単純に h (s) ds と書きます。

これは、オスグッドの定理とそれに関連する主張で解決できたかもしれません。

確認済み。 a C (,)、b C (, +)、問題となる関数がその間隔で正であるとします。コーシー問題 (de t0 (,), x0) を区間 (t, t +) (,) 上の HP x = x (t) に適用します。トーディ：

調査。 a = 1、= + の場合、t + = + 証明。（トヴェルジェニヤ）。親愛なる、x は単調に増加しています。

右。かかって来い。

したがって、x (t +) = lim x (t) + となります。 Maєmo Vipadok 1. t +、x (t +) + - X є HPであるため、TPKによれば不可能です。

不満は終わることのないもの、または終わることのないものとして統合されました。

右。ドロビティの証拠。

ヴィクラダッハの呼び水。時間 3 では a (s) ds + であり、時間 4 (常に実装されます) では同じであることは明らかです。

したがって、n = 1 の x = f (x) の形式の最も単純な ODE の場合、解の継続は類似度によって決まります。

自治) 地域については、パート 3 を参照してください。

お尻。 f (x) = x、1 (ゾクレマ、線形落下 = 1)、および f (x) = x ln x の場合、+ への (正の) 解の継続が保証されます。 f (x) = x и f (x) = x ln x が 1 の場合、決定は「時間の終わりに決定する」ことになります。

極端な場合、状況は要素が豊富でそれほど単純ではありませんが、「f×xの成長速度」の重要性が奪われてしまいます。 n が 1 の場合、十分な知識が得られる前に、継続性の基準を策定することが重要です。原則として、悪臭はさらなる助けを求める準備ができています。事前推定が解決されます。

ヴィズナチェンニャ。 h C (,), h 0 とします。この ODE の解には AT | という場所があるようです。 x(t) | h (t) on (,)、この ODE の解が区間 (,) のその部分の推定を満たしている場合、それが定義されている (つまり、送信されるため、解は必然的に区間全体で定義されます) (、)) 。

しかし、AT の存在により、決定がすべての点で評価される (したがって、区間全体の推定値を満たす) ことが保証され、毎回事前推定値が事後推定値に変換されることがわかります。

定理。コーシー問題 (1) が TK-P の心を満足させるとします。その解は、アクション h C (,) と曲線円柱 (| x | h (t )、t (、)) B 。すべての（、）にトーディHP（1）が割り当てられます（ATを満たすことを意味します）。

終了した。 t + (t も同様) を見てみましょう。 t+としましょう。コンパクト集合 K = (| x | h (t), t) B を見てみましょう。t t + グラフ点 (t, x (t)) での TPK の場合、K が削除されますが、AT を見るとこれは不可能です。

したがって、特定の間隔にわたる決定の連続性を証明するには、必要な間隔でその決定を正式に評価する必要があります。

類推: ルベーグによる関数の妥当性と積分の正式な評価は、積分の実際の基礎となる傾向があります。

このロジックが機能する状況を見てみましょう。最後に、「可能な限り f を x ずつ増やす」という誘導されたテーゼの説明を終わりにしましょう。

確認済み。 B = (,) Rn とすると、f は B で TK-P の心を満たします。 f (t, x) | a (t) b (| x |)、ここで a i b は前企業 z = 0 および = + の心を満たします。次に、すべての t0 (,)、x0 Rn に対して (,) から NR 設定 (1) が開始されます。

レマ。ヤクチョは中断されずに、(t0) (t0); at t t 証明。念のため、(t0, t0 +) の付近: (t0) (t0) の場合、それはすぐに明らかですが、そうでない場合 ((t0) = (t0) = 0 であるため) (t0) = g ( t0, 0) (t0)、これも必要になります。

(t1) のような t1 t0 が存在することは許容されます。明白な手段により、(t2) = (t2) および (t0, t2) となるような (t1) t2 (t0, t1] を知ることができます。

g be-yak、そして真実にはもっと必要があります、C、そしてどこにでも =、そこにあります。心配しないように、補題のように見てみましょう。ここには不等式がありますが、非線形 ODE もあり、それのように聞こえます。

ヴィクラダッハに敬意を表します。補助定理では、この種の不等式をチャプリギン型不等式 (NC) と呼びます。補助定理では精神の統一は必要なかったので、ペアノの定理の枠組み内では「スヴォレ NP」が真であることが簡単にわかります。嫉妬は未解決の不平等の究極の形であるため、統一性がなければ「類似した NP」は明らかに間違っています。ナレシュティ氏、精神統一の枠組み内での「読めない LF」は正しいですが、追加の IM のためにローカルで取り上げることは可能です。

終了した。（トヴェルジェニヤ）。 t + = (t = 類似) であることを見てみましょう。許容可能、t +、承認に従ってさらに | x(t) | + t t + では、x = 0 を置くことができます。 AT | でお知らせします。 × | h on) (クロージャーのグリップ用のバケット)。

Koshy のコマンド x (0) = 0 は、R 上の 1 つの HP x = 0 になる可能性があります。

f に関するかなり十分な知能。この場合、R + 上の HP の基礎は、常に小さな x0 = x (0) を達成することを保証できます。 (4) がそのような響きを持つことは誰にとって許容されるのでしょうか。リャプノフ関数、つまり次のような関数 V です。

1. V C 1 (B (0, R));

2. sgnV (x) = sgn | × |;

心の理論 A と B を再確認してみましょう。

A. コーシー問題を見てみましょう | x1 | R / 2。円柱 B = R B (0, R) がクラス C 1 で区切られた関数 f の値の領域であると仮定します。したがって、メイン F = max | f|。 TK-P の背後には、間隔 (t1 T0, t1 + T0) で定義された解 (5) があります。ここで、T0 = min (T, R / (2F))。大きな T を選択すると、T0 = R / (2F) を実現できます。 T0 が選択範囲 (t1、x1) に含まれていないことが重要です。 x1 | R/2。

B. 溶液 (5) がマークされ、セル B (0, R) 内で失われた限り、精製を開始できます。まーも:

V (x (t)) = f (x (t)) V (x (t)) 0、つまり V (x (t)) V (x1) M (r) = max V (y) 。 m と M が変化しないこと、変化しないことは明らかです。 r はゼロのレベル、m (0) = M (0) = 0、ゼロの位置は悪臭です。したがって、Ｒ０はＭ（Ｒ）ｍ（Ｒ／２）にも等しいことが分かる。ヤクシチョ | x1 | R、次に V (x (t)) V (x1) M (R) m (R / 2)、星 | x(t) | R / 2. 親愛なる R R / 2。

ここで、この段落と同様の定理を定式化できます。 A、B はグローバルソリューション (4) を表示します。

定理。 (4) には B (0, R) にリアプノフ関数があるため、すべての x0 B (0, R) (R は上記で指定) に対して、システム (4) の Cauchy NP x (t0) = x0 (任意のものを使用) t0)は+に設定されます。

終了した。項目 A により、解は t1 = t0 + T0 / 2 に位置することができます。解は B (0, R) にあり、項目 B がさらに適用されるまで、次のようになります。 x(t1) | R / 2. 受け入れられた項目 A を再度受け入れ、決定が推定されます。ここで、t2 = t1 + T0 / 2、つまり、決定が求められます。そのような決定がなされるまで、点 B は停滞して削除されます。 x(t2) | R / 2 など。サイクル数については、解は § 5. ODE の解の依存関係で取得されます。Cauchy de Rk 問題を見てみましょう。このコーシー問題が t0 (), x0 () であれば、それは x (t,) です。栄養に問題があります: ストレージ x タイプを計算するにはどうすればよいですか? この栄養はさまざまな追加 (特にパート 3) により重要であり、そのうちの 1 つは (おそらく最も重要ではありませんが) ODE のより近い解決策です。

お尻。 Cauchy の HP の問題を見てみましょう。TK-P からわかるように、これは 1 つですが、初等関数で決定することは不可能です。この権威をどうやって追跡できるのでしょうか? その方法の 1 つは次のとおりです。敬意を表しますが、(2) は問題 y = y, y (0) = 1 に「近い」ものであり、その解は簡単に見つかります: y (t) = et。 x (t) y (t) = et と仮定できます。このアイデアは次のように明確に定式化できます。問題 At = 1/100 ce (2) と、y のタスク at = 0 ce を見てみましょう。 x = x (t,) が（歌の意味で）不連続でないことを確立したら、x (t,) y (t) が 0 であることを否定できます。これは、x (t, 1/) を意味します。 100) y ( t) = et.

確かに、x が y にどれだけ近いかは不明になりますが、x と y の連続性を証明することが最初に必要なステップであり、これ以上進めることは不可能です。

cob データ内のパラメータの長さを追跡する場合にも同じことが当てはまります。さらに、この深さは方程式の右側のパラメータの長さに簡単に減らすことができるため、今のところは与えられた形式 Nehaj f C (D) に限定されます。ここで、D は Rn + の面積です。 k + 1; x に沿った任意の凸面で x に沿って f lipshitzev を D と圧縮します (たとえば、C (D) を入力して追加します)。固定 (t0、x0)。有意に M = Rk | (T0, x0,) D - 許容されるものはありません (問題 (4) が重要です)。 M がオープンであることは重要です。 M = となるように (t0, x0) が選択されることを考慮します。すべての M に対する TK-P の場合、単一の HP タスク (4) - 関数 x = (t,) があり、区間 t (t (), t + ()) で定義されます。

厳密に言えば、豊かな変化の中に断片が存在することは明らかですが、(4) を次のように書く必要があります。

de (5) 非人格性に関する 1 ビコナノ G = ((t,) | M, t (t (), t + ()))。ただし、記号 d / dt および / t の使用は純粋に心理学的なものです (それらの重要性は「固定」という同じ心理学的概念にあります)。したがって、G の欠如は重要な機能の自然な最大値であり、継続性に関する栄養は G 自体に従う必要があります。

追加の結果が必要になります。

レマ。（グロンウォール）。関数 C, 0 は、計算を完全に尊重して、すべての t Todi の評価を満たしてください。講義を読むときに、この公式を事前に覚えておくことはできませんが、そのままにしておいて、表示されてから書き込むことができます。

その後、エールはこの式を敬意を持ってトリミングします。トンズではこの式が必要になるからです。

h = A + B ああ + B、星は絶対に必要です。

感覚用語: 微分等化と不等式、それらの間の接続、積分等化と不等式、それらすべての間の接続、グロンウォール間の微分線と積分線、およびそれらの間の接続。

尊敬。この点全体を、A と B に関するさらに曖昧な仮定とともに持ち出すことは可能ですが、まだ必要ありませんが、UMF の過程で詳しく説明されるでしょう (したがって、私たちが信用を傷つけていないことは明らかです) A と B の連続性など）。

これで、結果を明確に定式化する準備が整いました。

定理。 (ToNZ) 規定の差し込みでf i くらいの深い煮込みの場合、Gが開いてC(G)になるように固める事が可能です。

尊敬。無機質な M が一見うまくいっていないように見えて、I G がまとまっていないことは明らかです。

ヴィクラダッハに敬意を表します。ただし、パラメーターの数に (t0, x0) を含めると、接続性は b になるため、分割されます。

終了した。 (t,) G としましょう。次のことを伝える必要があります。

それが重要ですt t0。 M とします。つまり、(t,) は (t (), t + ()) t, t0 に割り当てられます。これは、t 点 (t, (t,),) がコンパクトな曲線を通過するようなすべてのセグメントを意味します。 D (超平面 (= 0) に平行)。つまり、見た目に関係なく、目の前の大切なものは冷静に対処する必要があるということです！

同じことは、小さい a と b (x で凸) に対して D でコンパクトなので、関数 f は x でリプシッツになります。

【この評価はあなたの目の前で慎重に検討する必要があります！ ] そして、すべての変化が均一に中断されず、さらにそれ以上です | f (t, x, 1) f (t, x, 2) | (| 12 |)、(t, x, 1)、(t, x, 2)。

【この評価はあなたの目の前で慎重に検討する必要があります！ ] という 1 つのことを詳しく見てみましょう | 1 | bіvіdpovіdnerіshennya（t、1）。無人 (= 1) は D (= 1) のコンパクト集合であり、t = t0 における点 (t, (t, 1), 1) = (t0, x0, 1) = (t0, (t0,) , 1) (= 1) であり、t t + (1) における TPK によれば、点 (t, (t, 1), 1) は冗長です (= 1)。 t2 t0 (t2 t + (1)) - 点が移動すると推測される最も重要な点とします。

日次ベースでは、t2 (t0, t1]。追加の置換をオンにして、t2 = t1 であることを上司に示します。次に、t3 としましょう。(このようなすべての t3 について、すべての値は日次値からさらに計算されます):

(T3, 1) (t3,) = f (t, (t, 1), 1) f (t, (t,),) dt, 絶対値が a より小さいことを証明してみましょう。

積分関数は次のように評価されます。

± f (t, (t,),) ではなく、± f (t, (t,),) です。 (t, 1) (t,) | まだ推定値がないため、(t, (t, 1),) は不明確であり、 | の軸は不明です。 1 | Tobto, i (t, (t,), 1) が表示されます。

それであなたのポーチの中には何が入っていますか？ (t3, 1) (t3,) | K | (t, 1) (t,) | + (| 1 |) dt。

このように、この選択肢 1 では、t3 = t2 の場合、すべて | (t2, 1) (t2,) | a、そして | 1 | b. これは、(t2, (t2, 1), 1) は t2 = t1 の場合にのみ可能であることを意味します。 Ale ce zocrema は、(t, 1) がすべてのセクション、つまり T1 t + (1) で示され、すべてのスペックが (t, 1) G の形式で t, | として示されることを意味します。 1 | 1(t1)。

つまり、t + を横にしたい場合は、左の t + () を横にするとカットが奪われ、近くに追加します。小さなお子様の場合も同様に、t t0 で、数字 t4 t0 と 2 (t4) の基礎が示されます。 t t0 の場合、点 (t,) B (, 1) G、同様に t t0 の場合、t = t0 の場合、陵辱の停滞が発生するため、(t0,) B (, 3) G、ここで 3 = 分 (12)。 (t,) が固定されている場合、t1 t 0 (または同等の t4)、および 1 (t1) = 1 (t,) 0 (または 2) となるように t1 (t,) を見つけることができることが重要です。 0 = 0 (t,) を選択するとクリアになります (円筒リングに杖を挿入できるため)。

実際には、より微妙な力が与えられます。HP が特定のセクションに割り当てられている場合、新しい値ですべての HP に同様のパラメーターが割り当てられます (つまり、HP が特定のセクションに割り当てられている場合)。

オールリトルブレニNR）。ただし、この力は以下に示すように開放度 G から得られるため、公式は同等です。

ティム自身がポイント 1 を完了しました。

「ロシア連邦教育科学省連邦国家予算教育高等専門教育の確立国立管理大学科学教育・科学人材育成研究所特殊規律社会学管理への入学プログラムモスクワ - 2014 1.組織的方法論指示リファレンスプログラムは、大学院入学前の納入入学テスト前のトレーニングに重点を置いています。... »

「アムール州立大学心理教育学部規律コンサルティング心理学の初期方法論複合体学士学生向けの主な教育プログラム 030300.62 心理学ブラゴヴェシチェンスク 201 2 部門の UMKD 心理教育学部の会議で検討され、推奨されましたプロトコル...」

「自動車州）オムスク - 2009 3 州立高等専門教育機関の研究のための連邦庁シベリア州立自動車道路アカデミー（SibADI）工学部教育学専門学生向けの教育学および技術の大学院分野に関する系統的指導 050501 - 専門能力開発 (自動車および自動車...)

「シリーズ基本書 G.S.Rosenberg、F.N.Ryansky THEORETICAL AND APPLIED ECOLOGY Basic handbook 古典的な大学の研究に基づく基本的な方法論の研究に推奨ロシア連邦ヤコスティで初期ヘルパー環境科学の上級学位取得者向け、ニジネヴァルトフスク教育研究所ニジネヴァルトフスク支部第 2 版 2005 BBK 28.080.1ya73 R64 査読者: 生物学博士。科学、V. I 教授ポッチェンコ (生態学研究所 ... »

「ウクライナ教育科学省の連邦国家予算教育高等専門教育の設立にちなんで命名されたクラスノヤルスク州立教育大学。副社長アスタフェバ E.M. Antipova SMALL PRACTICUM in botany 電子出版 KRASNOYARSK 2013 BBK 28.5 A 721 査読者: Vasilyev O.M.、生物科学博士、KDPU im 教授。副社長アスタフェワ; Yamskikh G.Yu.、地質科学博士、シベリア連邦大学教授 Tretyakova I.N.、生物科学博士、教授、森林研究所の主任専門家...」

「ロシア連邦教育科学省連邦国家予算高等専門教育の確立アムール州立大学心理学・教育学部初期・方法論複合体ディス・シプリニ小児科および衛生財団直接研修のための主な教育プログラム 050400.62 心理学的および教育学的認識ブラゴヴェシチェンスク 2012部門の 1 UMKD 心理学部の会議で検討され、推奨されました... »

「点火ラインによるタスクの改訂対光設備のIXクラスの卒業生の国家（サブスムコバ）認定（新しい形式） 2013年川地理モスクワ2013年監修者：Ambartsumova E.M. 薄暗い照明設備の第9クラスの卒業生の州（サブバッグ）認証の結果の客観性を高める（... »

「ロシア連邦の主権言語としてロシア語を出版するための開発と体系的な内容に関する実践的な勧告。実践的な推奨事項は、ロシア語の出版物 (外国の出版物を含む) に向けられています。代替: 選択したものからの実践的な推奨事項と体系的な指示 1. ロシア語の機能の問題に特化した、初心者および上級学生向けの教材の代替主権言語...»

「E.V. ムリュキナ報道分析の過程における学生の批判的思考とメディア能力の開発大学向け基本ハンドブックタガンログ 2008 2 ムリュキナ E.V. 報道分析の過程における学生の批判的思考とメディア能力の開発。大学向けの基本的なハンドブック。タガンログ: NP 特殊機能開発センター、2008。298 p。小学生は、メディア教育の過程における生徒の批判的思考とメディア能力の発達に注目します。今日の報道の残骸... »

"について。 P. ゴロフチェンコ人々の身体活動の形成について第 II 部 P O D AG OGIK A TWO DAT Yelnya OH ACTI VN OSTI 3 メインビューオレグ・ペトロヴィッチ・ゴロフチェンコ人々の身体活動の形成についてシブニクの責任者第 II 部フロー活動の教育学友人に見られ、修正されました*** 編集者 N.I . Kosenkova viconal D.V. Smolyak と S.V. のコンピューターレイアウトポタポワ *** 11月23日まで契約。フォーマット 60 x 90 / 1/16。新聞紙書体タイムズ操作方法を友達にマインド。プリ…」

「カザン州立大学IMの高等専門教育の州立照明インスタレーション。 V.I. ULYANOVA-LENINA 科学および教育リソースの電子ライブラリ。基本的な方法論ガイドアブロシモフ A.G. ラザレバ Yu.I. カザン 2008 科学および教育リソースの電子ライブラリ。電子情報リソースを管理するための基本的な方法論ガイド。 - カザン: KDU、2008 年。ソリューションのための基本的な方法論ハンドブックが発行されています...」

「ウクライナ教育科学省、高等専門教育機関、オレンブルツ州立大学アクブラク支部、教育学部、VA」テツコフの共通指導学校の COB クラスにおける勝利を生み出すミステリーの方法系統的な追加州教育機関の編集および科学評議会によって出版前に推奨される専門教育オレンブルツ州立大学 ... »

「ウクライナ教育科学省スタヴロポリ地域教育省国家照明高等専門教育設立スタヴロポリ国立教育大学 N.I. ジェグタノワ国の児童文学ヴィヴチャヤツィヤ MOVI 初期方法論複合体スタヴロポリ 2010 1 決定に従う UDC 82.0 BBK 83.3 (0) スタヴロポリ州立高等専門教育機関 D 教師イクノゴ研究所査読者: ... »

「教育の質に関する学校内評価の新しいシステムに関する規則 MBOU Kamishinsky ZOSH 1. 一般規定 1.1. 照明の品質を評価するための学校内システムに関する規則（以下、「規則」という）は、市区町村における照明の品質を評価するための学校内システム（以下、「SHSOKO」という）の導入に一定の利点を確立します。予算照明基金カミシンスキー中等ザガルノスヴィトヌイ学校（以下、学校）。 1.2. SSOKO の実用性は次の点と一致します... »

「ウズベキスタン共和国保健省タシケント医科大学臨床アレルギー科総合医部門副学長、初任者教授。 O.R. テシャエフ _ 2012 推奨事項 SCHODO 完了実務家が単一の系統的システムを利用するための基本的な系統的開発 VNH 医療教師向け系統的メモタシケント - 2012 年保健省公立ウズベキスタン医学教育開発センタータシケント医療 ... »

「ジルニチョ・アルタイ州立大学を担当する連邦政府機関 A.P. マコシュ政治地理と地政学基本的な方法論の教科書ジルニチョ・アルタイ州立大学のジルニチョ・アルタイスク RIO 20 06 ジルニチョ・アルタイ州立大学の編集スタッフおよび学術スタッフの決定に従うマコス A.P. 政治地理と地政学。基本的な方法論の教科書。 - ジルニチョアルタイスク: RIO GAGU、2006.-103 p。基本的な方法論マニュアルは、基本的な事項に至るまでのセクションに分かれています... »

「A.V. ノビツカ、L.I. Mikolaeva SCHOOL OF MAJUBUTNY SUCHASNA オクビタリープログラムギャザリングオブライフ小学校クラスの教師のための 1 年生方法論ハンドブックモスクワ 2009 UDC 371 (075.8) BBK 74.00 N 68 著作権は留保されており、著者 zo kovo に個人的に送信されます。 Novitska O.V.、Mikolaeva L.I. N 68 スチャスナ照明プログラム人生の集まり。 - M.: アヴヴァロン、2009年。 - 176 p。 ISBN 978 5 94989 141 4 このパンフレットは主に教師を対象としており、もちろんその情報は...」

「ロシアのPIDPRIEMNITSKE法律030500の初期方法複合体 - 法学モスクワ2013 著者 - 民事法規律部門の責任者査読者 - 民法規律カフェの会議での見解と賞賛の導入方法複合体議定書番号発行_2013 。ロシアの起業法：初期および系統的... »

「A. A.ヤマシュキンV.V.ルジェンコフAl。 A. ヤマシュキンモルドヴィア共和国の地理教科書の責任者 SARANSK VIDAVNITSTUVO MORDOVIAN UNIVERSITY 2004 UDC 91 (075) (470.345) BBK D9 (2Р351-6Мо) Y549 査読者: ヴォロネジ国立教育大学自然地理学学科。医者地理科学 A.M.ノソノフ教授。サランスク第39複合学校の教師であるA.V.レオンチェフは、教員のために最初の方法論の決定に尽力している大学入学前のトレーニングそして真ん中は…」

RF 国立先進原子力大学「MYTHI」教育科学省 T.I. Bukharova, V. L. Kaminin, A. B. Kostin, D. S. Tkachenko 基本微分方程式講義コース高等学位取得者向け基礎教科書として教育機関「核物理学と技術」より推薦モスクワ 2011 UDC 517.9 BBK 22.161.6 B94 Bukharova T.I.,カニン V.L.、コスティン A.B.、トカチェンコ D.S. 基礎微分方程式講義：基礎ハンドブック。 - M.: NRNU MYFI、2011. - 228 p. 最初のハンドブックは講義コースに基づいて作成され、将来、モスクワ工学物理学研究所の著者によって読まれます。すべての学部の NRNU MEPhI 学生と、高度な数学的訓練を受けた大学生を対象としています。このハンドブックは、NRNU MIFI の創設と発展のためのプログラムの枠組みの中で作成されました。査読者: 物理学および数学の博士。科学 NA クドリャショフ。 ISBN 978-5-7262-1400-9 © 国立ドスレドニツキー原子力大学「MIFI」、2011 年 Zmist Peredmova。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 5 I. 一次微分方程式の理論の概要基本概念。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。コーシーの問題。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6 6 11 Ⅱ． 1 次等化のためのコーシー問題の基礎と統一 1 次常微分方程式の統一定理。。。。。。。。。。。。。。。。。。。一次常微分方程式に対するコーシー問題の解の存在。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 1 次 ODU の解法の続き。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 Ⅲ． n 次の正規システムに対するコーシーの問題ベクトル関数の追加累乗の基本概念と動作。。。。通常のシステムのコーシー問題に対する解の完全性。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ; 。計量空間を理解します。以下の表示を受信します。。。。。。正規系のコーシー問題を解くための存在定理と統一定理。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 14 14 23 34 38 38 43 44 48 Ⅳ．分離可能な変数によるランクの二乗に存在する一次微分ランクのさまざまなクラス。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。一次の線形 OÄU。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。同じレベル。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。リブニャンナ・ベルヌーイ。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。新しいディファレンシャルでのレベリング。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 55 55 58 63 64 65 V. 67 一次と比較して、OAU の一見類似した存在定理と解の統一性に拘束されず、類似していることが許容されます。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。特に決まりました。判別曲線。ぐるぐる回ってます。。。。。。。。。。。。。。。。パラメータの入力方法。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。ラグラナ村。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。リブニャンナヤ・クレロ。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 VI. 線形 ODE のシステム基本概念。線形 ODA の単一システムの問題に対する解決策の存在と統一性に関する定理。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。ヴロンスキーの副官。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。単層システムの統合ソリューション。本物の FSR に移行します。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。線形 ODU の異種システム。一定変化の方法。。。。。一定の係数を持つ線形 ODU の単一システム。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。マトリックス表示機能。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 3 67 70 77 79 81 85 コッシー 85。。 87. 。 91. 。。。。 96 97。。 100。。 111 係数が一定の線形 ODU の異種システム。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 116 Ⅶ．高次の線形 ODE は、線形 ODE の系に還元されます。コーシー問題を解くための存在定理と統一定理。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。高次の均一な線形 OÄU。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。高次の単一の線形 OÄU に対する複雑なソリューションの力。複素 ESR から実数 ESR への移行。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。高次の不均一な線形 ODA。一定変化の方法。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。一定の係数を持つ高次の均一な線形 OÄU。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。係数が一定の高次の不均一線形 OÄU。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 126 Ⅷ．レジリエンス理論レジリエンスに関する基本的な概念と意味。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。線形システムソリューションの復元力。。。。。。安定性に関するリアプノフの定理。。。。。。。。。。耐久性を第一にアプローチ。。。。。。。静穏点 162 付近の位相軌道の挙動。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 Ⅸ． ODE システムの第 1 積分 198 第 1 積分自律システム初期微分方程式 198 OÄU の非自律システム。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 205 OÄU システムの記録は対称的です。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 206 X. 1 次のプライベート類似度における Rivnyany 1 次のプライベート類似度における一様線形等化 1 次のプライベート類似度における線形等化に関する Cauchy の問題。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。第一次のプライベートな事柄における準直線的な嫉妬。。。。一次のプライベート類似度における準線形方程式のコーシー問題。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。文献リスト。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 -4- 210。。。。 210. 。。。 212. 。。。 216. 。。。 223. 。。。 227 PEREDMOVA この本を準備する際、著者らは、極微分平等理論に関連する栄養のほとんどを 1 か所に集め、アクセスしやすい形式で要約するという課題を自らに課しました。 NRNU MIFHI (および他の大学) で読まれる基礎区別研究コースの必修言語プログラムに含まれる内容に加えて、補助栄養学も原則として教科書に含まれています。それは表示されません。講義の時間です。そうでない場合は、講義が行われます。これらは主題を迅速に理解するのに役立ち、現在の学生が将来の専門的な活動に役立つでしょう。提案されたテキストのすべての主張には数学的に厳密な証明が与えられています。これらの証明は、原則としてオリジナルではありませんが、すべて MIF の数学コースのプレゼンテーションのスタイルに従って処理されます。幅広い学者や思想家の間で、数学的分野は新しく詳細な証明に従い、単純なものから複雑なものへと変化しています。この参考書の著者も同じ考えを追求しています。この本で提示されている理論的情報は、十分な数の吸い殻の分析によって裏付けられており、これによって資料の読解が簡素化されると私たちは信じています。このハンドブックは、高度な数学的訓練を受けた大学生、とりわけ NRNU MIFI の学生を対象としています。この場合、微分方程式の理論や数学のこの分野に興味を持っているすべての人にとっても不快なものとなるでしょう。 -5- 第 1 章一次微分方程式の理論の概要 1. 1. 基本概念このハンドブックでは、ha、bi を通して乗数 (a、b)、(a、b)、、x0 からのいずれかを示します。 2 Zx ln 4C + 3 u (t) v (t) dt5 Zx v (t) dt。 ln C 6 x0 x0 残りの不均一性と停滞を増強した後 (2.3) 、 2 x 3 Zx Z u (x) 6 C + u (t) v (t) dt 6 C exp 4 v (t) dt5 x0 x0 になります。すべて x 2 [1, 1]。すべての (x, y) 2 G について、差 jf (x, y2) f (x, y1) j = sin x y1 y2 6 を推定します。このようにして、f は L = 1 のリップシッツの心を満足させます。 L = sin 1 by y。ただし、点 (x, 0) 6 = (0, 0) で fy0 を求めるアプローチは機能しません。次の定理だけで、コーシーの問題を完全に解くことができます。定理 2.1 (2 つの解の差の推定について)。 R に G 領域 2、f (x, y) 2 CG とし、定数 L を持つ y に沿ったリプシットの心を G で満足させます。y1、y2 は y 0 = f (x, y) に等しい 2 つの解であるため、セクションの場合、不等式は真です (スコア): jy2 (x) y1 (x) j 6 jy2 (x0) y1 (x0) j exp L (x x0) 6 y1 (すべての x 2 に対して)。 2.2 解の値については、方程式 (2.1) が削除され、8 x 2 点 x, y1 (x) および x, y2 (x) 2 G になります。すべての t 2 について、正しい値を得ることができます。方程式 y10 (t) = ft, y1 (t ) および y20 (t) = ft, y2 (t) したがって、t を x 2 とするセクションに積分します。右側と左側の部分はそうではないため、積分は正当です。関数内で連続します。嫉妬のシステム Zx y1 (x) y1 (x0) = x0 Zx y2 (x) y2 (x0) = f t, y1 (t) dt, f t, y2 (t) dt を排除します。 x0 一方、 jy1 (x) y2 (x) j = y1 (x0) y2 (x0) + Zx hft, y1 (t) ift, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 となります。 ( x0) + フィート、y1 (t) フィート、y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + L y1 (t) y2 (t) dt。 x0 有意に C = y1 (x0) y2 (x0)> 0、v (t) = L> 0、u (t) = y1 (t) したがって、Gronwall-Aellman バイアスについては推定値を差し引きます: jy2 (x) y1 (x) j 6 jy2 (x0) y1 (x0) j exp L (x x0) y2 (t)> 0. すべての x 2 に対して。定理は完成です。この定理の結果として、コーシー問題 (2.1)、(2.2) の解決のための統一定理が導出されます。系 1. 関数 f (x, y) 2 C G が y でリプシッツの心を満足させるとします。関数 y1 (x) と y2 (x) は、同じセクション上で (2.1) と x0 2 に等しい 2 つの解を持ちます。 y1 (x0) = y2 (x0) の場合、y1 (x) y2 (x) がオンになります。終了した。 2つのタイプを見てみましょう。 -20- 1. x> x0 とし、定理 2. 1 の軌跡から、 h i then y1 (x) y1 (x) y2 (x) 6 0 exp L (x x0), y2 (x) for x> x0 。 2. x 6 x0 とし、t = x と置き換えて、yi (x) = yi (t) y ~ i (t) (i = 1, 2 の場合)。x 2 の残り、t 2 [x0, x1]そしてビコンノ嫉妬 y ~ 1 (x0) = y ~ 2 (x0)。 y~i(t)でどのような嫉妬が満たされるかは明らかです。嫉妬のアプローチは正しいです: d y ~ i (t) = dt d ~ yi (x) = dx f x, yi (x) = f (t, y ~ i (t))。ここで、折り畳み関数の微分の法則と、yi (x) が等化の目標であるという事実について学びました (2. 1)。関数 f ~ (t, y) f (t, y) は連続であり、y に関するリップシッツの心を満足させるため、定理 2.1 により、y ~ 1 (t) y ~ 2 (t) が次のとおりである可能性があります。 [x0, x1 ]、次に y1 (x) y2 (x) と続きます。犯罪行為を考慮すれば、捜査の徹底は拒否される。系 2. (初期データからの連続性について) 関数 f (x, y) 2 CG を定数 L で y のリプシットの心を満足させるとすると、関数 y1 (x) と y2 (x) は次のようになります。ソリューション Rivnyanya (2.1) 、曲あり。 l = x1 x0 і δ = y1 (x0) y2 (x0) と表します。次に、8 x 2 で、不等式 y1 (x) y2 (x) 6 δ eL l が真になります。証明は定理 2.1 から得られます。系 2 からの不確実性は、初期データに基づく解の安定性の推定値と呼ばれます。この意味は、x = x0 で解が「近い」場合、最終的には悪臭も「近い」という事実にあります。定理 2.1 は 2 つの解の差の係数の推定値を与えます。これは加算にとって重要であり、最後に 1 はコーシー問題 (2.1)、(2.2) の完全な解を与えます。そして、他にも十分な統一の精神があり、そのうちの 1 つを私たちが教え込みます。何よりも意味したように、コーシー問題の幾何学的統一性は、領域 G の点 (x0, y0) を通って最大 1 つの積分曲線 (2.1) を通過できることを意味します。定理 2.2 (統一性に関するオスグッド)。関数 f (x, y) 2 CG とし、8 (x, y1), (x, y2) 2 G について不等式 f (x, y1) f (x, y2) 6. 6 φ jy1 y2 j, de φ とします。 ( u)> 0 for u 2 (0, β], φ (u) は連続であり、ε! 0 + の場合 Zβ du! +1 です。その場合、領域 φ (u) ε G は点 (x0) を通過しません。 , y0) 複数の積分曲線 (2.1) -21- 証明: 関係なく、(2.1) に等しい 2 つの解 y1 (x) と y2 (x) が存在し、y1 (x0) = y2 (x0) = y0, 有効 z (x ) = y2 (x) y1 (x).dyi したがって、 = f (x, yi)、i = 1, 2 の場合、z (x) については等価 dx dz = f (x, y2) f (x, y1 ). 凹凸: Zjz2 j Zx2 dx 6 x1 2 d jzj 6 2 jzjφ jzj Zx2 dx, (2.5) x1 jz1 j de 積分は、z (x)> 0 の任意のセクションに沿って実行されます。 zi = z (xi), i = 1, 2. 仮定の後、z (x) 6 0 i は連続なので、そのようなセグメントが見つかり、1 つ選択して修正します。セットを見てみましょういいえ X1 = x x< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x >x2 і z (x) = 0。z (x0) = 0 і x0 62 なので、これらの乗数の 1 つは空ではありません。たとえば、X1 6 = ∅ とすると、獣と 9 α の間に境界があります。 = 上 X1。数学の非中断性により、z (α) > 0 と仮定すると、z (α) = 0、次に α 2 X1 であることが重要です。どの区間 α δ1、α + δ1、でも z (x)> 0 です。値 α = sup X1 に優先しません。 z (α) = 0 であることに留意すると、α< x1 . По построению z(x) > すべての x 2 (α, x2] に対して 0、および z (x)! 0 + for x! Α + 0 の連続性により、セクション [α + δ, x2] にわたって積分して (2.5) を導出するときに再現可能です。 ] の場合、x2 を多く選択して固定し、δ 2 (0, x2 α) で十分であれば、ムラは解消されます。 Zjz2 j Zx2 dx 6 α + δ d jzj2 6 2 jzjφ jzj jz (α + δ) j Zx2 dx. α + δ この点に関して、不等式は直接 δ! 0 +、次に z (α + δ)! z (α) = 0、з Zjz2 jd jzj2! +1、精神的連続性の場合は z (x)、そして積分 2 jzjφ jzj の定理. jz (α + δ) j -22- 不等式 Rx2 dx = x2 α δ 6 x2 α の右側の部分は、α + δ で囲まれた極端な終端値になっていますが、これは直ちに不可能です。コーシーの法則 (2.1)、(2.2) に基づいて、関数 y (x) を再度見つける必要があることが理解されていると思います: 0 y = f (x, y), (x, y) 2 G, y (x0) = y0, (x0, y0 ) 2 G, de f (x, y) 2 CG および (x0, y0) 2 G; G は R2 内の領域です補題 2. 2. f (x, y) 2 CG とします迫り来る要塞の場所が迫っているとき: 1) (2.2) x0 を満たす区間 ha, bi の任意の解 φ (x) 方程式 (2.1) 2 ha, bi, є ha, bi の積分方程式 Zx y ( x) = y0 + f τ、y (τ) dτ ; (2.6) x0 2) φ (x) 2 C ha, bi が ha, bi, 1 de x0 2 ha, bi に関する積分方程式 (2.6) の解である場合、φ (x) 2 C ha, bi および解決策 (2.1)、(2.2)。終了した。 1. φ (x) で (2.1)、(2.2) を ha、bi で解きます。また、敬意 2.2 φ (x) 2 C ha, bi i 8 τ 2 ha, bi 私たちは嫉妬することができます φ 0 (τ) = f τ, x0 から x まで積分する φ (τ) は削除されます (x があれば) 2 ha 、bi) Rx φ (x) φ (x0) = f τ、φ (τ) dτ、および φ (x0) = y0 の場合、φ (x) が解 (2.6) になります。 x0 2. y = φ (x) 2 C ha、双方向決定 (2.6) とします。 f x, φ (x) は境界の後ろの ha, bi 上で非連続であるため、変数の上限からの積分として Zx φ (x) y0 + f τ, φ (τ) dτ 2 C 1 ha, bi x0 となります。非連続関数として。 x に関して微分は等しいままです。φ 0 (x) = f x、φ (x) 8 x 2 ha、bi、そして明らかに φ (x0) = y0 とします。その場合、φ (x) がコーシーの解になります。問題 (2.1) 、 (2.2)。 (前と同様に、セクションの最後で一方的なアプローチがあることがわかります。) -23- 尊重 2.6. 補題 2.2 は、コーシー問題 (2.1) の等価性に関する補題と呼ばれます。 (2.2) 積分レベル (2.6)。方程式 (2.6) の解が有効であることが証明されれば、コーシー問題 (2.1)、(2.2) を解く可能性を排除できます。これが次の定理の実装計画です。定理 2.3 (局所定理)。長方形 P = (x, y) 2 R2: jx x0 j 6 α, jy y0 j 6 β が関数 f (x, y) の値の G 領域内に完全にあるとします。関数 f (x, y) 2 C G は、定数 L を持つ n y ov G に関するリプシッツの心を満たします。β M = max f (x, y), h = min α, M と表します。次に、セクション Pコーシャ問題 (2.1 )、(2.2) を解きます。終了した。積分方程式 (2.6) の解はこのセクションにインストールされます。これについて、一連の関数を見ていきます: Zx y0 (x) = y0, y1 (x) = y0 + f τ, y0 (τ) dτ, ... x0 Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ ) dτ など x0 1. 8 n 2 N 関数 yn (最終近接) が定義されていることを示し、次に 8 x 2 で不等式 yn (x) y0 6 β がすべての n = 1, 2, について等化されることを示します。。。数学的帰納法 (MMI) の方法によって加速: a) 帰納基底: n = 1. Zx y1 (x) y0 = f τ, y0 (τ) dτ 6 M0 x x0 6 M h 6 β, x0 de M0 = max jx x 0 j 6 α、M0 6 M の場合は f (x , y0)。 b) 密猟と誘導期間。 yn 1 (x) に対してそれが当てはまるとして、yn (x) に対して証明しましょう: Zx yn (x) y0 = f τ, yn 1 (τ) dτ 6 M x x0 したがって、 jx x0 j 6 h なので、次に、yn ( x) y0 6 β 8 n 2 N。 -24- x0 6 M h 6 β。私たちの方法は、最も近い 1 つの項目 yk (x) k = 0 の連続を証明することになります。これは簡単に視覚化できます: yn = y0 + n X yk 1 (x) = y0 + y1 yk (x) y0 + y2 y1 +。。。 + Yn yn 1, k = 1 は関数級数の部分和のシーケンスです。 2. このシリーズのメンバーが不安定性 8 n 2 N および 8 x 2 を引き起こしたと推定されています: x0 jn yn (x) yn 1 6 M0 L 6 M0 Ln n! 数学的帰納法は単純です: jx n 1 + 1 hn。ん！ (2.7) a) 帰納基底: n = 1. y1 (x) x y 0 6 M0 x0 6 M0 h、拡張。 b) 密猟と誘導期間。 n については true とし、n については yogo としましょう: Zx yn (x) yn 1 f τ, yn 1 (τ) = f τ, yn 2 (τ) 1、最大 - dτ 6 x0 Zx i yn 6仮定帰納法により Lipshitsya 6 L h yn 1 2 dτ 6 x0 h Zx i 6 6 L n 2 M0 L jτ x0 jn 1 dτ = (n 1)! x0 M0 Ln 1 = (n 1)! Zx jτ n 1 x0 j M0 Ln 1 jx x0 jn M0 L n 6 dτ = (n 1)! んん！ 1 x0 Rx ここで、積分 I = jτ x0 for x> x0 for x であることに注目しました。< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числовой ряд сходится k! k=1 по признаку Даламбера, так как M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak (k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Тогда по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональный 1 P ряд y0 + yk (x) yk 1 (x) сходится абсолютно и равномерно на отрезk=1 ке , следовательно и функциональная последовательность 1 yk (x) k=0 сходится равномерно на отрезке к некоторой функ- ции ϕ(x), а так как yn (x) 2 C , то и ϕ(x) 2 C как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 4. Рассмотрим определение yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 – это верное равенство при всех n 2 N и x 2 . У левой части равенства (2.8) существует предел при n ! 1, так как yn (x) ⇒ ϕ(x) на , поэтому и у правой части (2.8) тоже существует Rx предел (тот же самый). Покажем, что он равен функции y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0 используя для этого следующий критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: X yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 при n ! 1 . x2X X Напомним, что обозначение yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 принято использовать для равномерной на множестве X сходимости функциональной последователь 1 ности yk (x) k=0 к функции ϕ(x). -26- Покажем, что y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 здесь X = . Для этого рассмотрим f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 по условию Липшица 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 при n ! 1 τ 2X X в силу равномерной при n ! 1 сходимости yn (x) ⇒ ϕ(x). Таким образом, переходя к пределу в (2.8), получим при всех x 2 верное равенство Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0 в котором ϕ(x) 2 C . По доказанной выше лемме 2. 2 ϕ(x) – решение задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Замечание 2. 7. В теореме 2. 3 установлено существование решения на отрезке . По следствию 1 из теоремы 2. 1 это решение единственно в том смысле, что любое другое решение задачи Коши (2.1), (2.2), определенное на совпадает с ним на этом отрезке. Замечание 2. 8. Представим прямоугольник P в виде объединения двух (пересекающихся) прямоугольников P = P [ P + , (рис. 2. 3) где n P = (x, y) n P = (x, y) + x 2 ; x 2 ; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Рис. 2. 3. Объединение прямоугольников Обозначим f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P Повторяя,с очевидными изменениями, доказательство теоремы 2. 3 отдель но для P + или P − , получим существование (и единственность) решения на отрезке n o β + + , где h = min α, M + или, соответственно, на , n o β − . Отметим, что при этом, вообще говоря, h+ 6= h− , а h h = min α, M − из теоремы 2. 3 есть минимум из h+ и h− . Замечание 2. 9. Существование решения задачи (2.1), (2.2) теоремой 2. 3 гарантируется лишь на некотором отрезке . В таком случае говорят, что теорема является локальной. Возникает вопрос: не является ли локальный характер теоремы 2. 3 следствием примененного метода ее доказательства? Может быть, используя другой метод доказательства, можно установить существование решения на всем отрезке , т.е. глобально, как это было со свойством единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2)? Следующий пример показывает, что локальный характер теоремы 2. 3 связан с «существом» задачи, а не с методом ее доказательства. Пример 2. 1. Рассмотрим задачу Коши 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o в прямоугольнике P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Функция f (x, y) = −y 2 непрерывна в P и fy0 = −2y 2 C P , поэтому все условия тео1 β , α = и ремы 2. 3 выполнены, а M = max f (x, y) = 4. Тогда h = min P P M 4 -28- теорема 2. 3 гарантирует существование решения на отрезке 1 1 . Решим − , 4 4 эту задачу Коши, используя «разделение переменных»: − dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 – решение задачи Коши (2.9). x+1 График решения представлен на рис. (2.4), из которого видно, что решение 1 при x < x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 >A、B1< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B >すべての k 2 N に対して Bk + 1> Bk; 1) あ< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k >N は丸められています。ジョイント A、B 2 R に追加の硬化を追加します (A と B は両方とも端です。A = 1 または B = + 1 の場合は同じです)。 x A B x を取り、さらに x 2 (A, B) і δ (x) = 分、δ (x)> 0 とします。2 2 の数値の場合、δ z zbizhnosti Ak! AとBk！ B を消去すると、 9 N1 (δ) 2 N: 8 k> N1、A< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k >N2,x< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k >N. Zastosovuyuchi 継承 1 p. 2.1 (統一定理も) では、すべての t 2 i に対して ψ (t) であること、また t = x に対しても否定します。 x は十分な点 (A, B) なので、解きほぐしは完了し、同時に最終的な結論が得られます。尊重 2. 10. 調査の結果により、私たちはより大規模な決定を継続するという概念に初めて慣れました。次の段落ではさらに詳しく説明します。お尻をたくさん持っていきましょう。 p 例 2. 2. 方程式 y 0 = ejxj x2 + y 2 について、すべての (A, B) = (1, 1) に対する決定の基礎が何であるかを理解します。「スムージー」Q = R2、関数 p jxj f (x, y) = e x2 + y 2 ∂f y = ejxj p, fy0 6 ejxj = L (x) の方程式を見てみましょう。 ∂y x2 + y 2 2.1 項のステートメント 2.1 に従って、関数 f (x, y) は、y に関するリプシットの心を「定数」L = L (x) で満たし、x は固定されます。その後、すべての結果が結論付けられ、初期データ (x0, y0) 2 R2 を使用しても、コーシャ問題の解は (1, 1) で同じになります。求積方程式自体は重要ではありませんが、数値的には近づきつつある決定が促される可能性があることが重要です。 -32- 例 2. 3. 方程式 y 0 = ex y 2 について、決定の根拠である R の曲を理解してください。「スムージー」Q の方程式をもう一度見てみましょう。 = R2、関数 ∂ ff (x, y) = ex y 2 が定義されており、割り込み不可、a = 2yex の場合、∂y は知的結果が侵害されていることに注意できますが、そのような割り込み不可能な関数は存在しません。 L (x)、つまり、すべての y1、y2 に対して f (x, y 2 ) f (x, y1) 6 L (x) jy2 y1 j 2 R. true、f (x, y2) f (x, y1) = ex jy2 + y1 j jy2 y1 j、および viraz jy2 + y1 j は、y1、y2 2 R と交換可能ではありません。このようにして、結果は停滞しません。主な原理は「根本的な変更」であり、隠れた解決策は拒否されます。「y (x) = 0、y (x) = 1。Ex + C 値 x0 = 0、y0 2 R を計算します。y0 = 0 の場合, 次に、 y (x ) 0 - R に関するコーシー問題の解 1 - コーシー問題の解 y0 2 [1, 0) の場合 ex はすべての x 2 R と y0 2 (1, 1) について決定されます。 [(0, +1) 解 y0 + 1 は点 x = ln を通って拡張できません。より正確には、x> 0 の場合、y0 1 解 y (x) = y0 +1 は x 2 (1, x)、x の場合< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0 の場合、解は x 2 1, ln y0 に対してのみ有効です。この例は、定理 2.4 の結果の帰結における増加関数 f (x, y) の拡張が、解を全体に拡張するための基礎であることを示しています。 (A、B)。 ε > 0 に対して関数 f (x, y) = f1 (x) y 1 + ε を使用するのと似ていますが、応用例では計算をわかりやすくするために ε = 1 を採用しました。 2. 3. 値 2 の 1 次 ODE の解の続き。 5. 方程式 y 0 = f (x, y) を見て、y (x) を ha、bi、Y の解とします。 (x) は hA 、 Bi 、および ha 上の解であり、 bi は hA 、 Bi に位置し、 Y (x) = y (x) は ha、bi 上にあります。このとき、Y (x) は解 y (x) の hA, Bi への拡張と呼ばれ、y (x) については hA, Bi への拡張と呼ばれます。 -34- セクション 2.2 では、局所定理とコーシー問題 (2.1)、(2.2) の分離を完了しました。どのような心の持ち主にとって、意思決定をより広いスパンに拡張できるのでしょうか? この段落は誰の食べ物と献身的なものです。この主な結果は攻撃にあります。定理 2.5 (閉領域での解の継続について)。関数 f (x, y) 2 CG が R2 の y に沿ったリプシットの心を満足させるものとし、(x0, y0) が閉じた閉領域 G G の内部点であるとします。次に、点 (x0, y0) を通過します。レベリング解 y 0 = f (x , y) を使用すると、領域 G の非常線まで ∂G まで拡張され、a, y (a) および b, y を指すようなセグメントに拡張できます。 (b) ∂G の上に横たわります。 ∂f (x, y) が有界で閉じた y 凸領域 G 内で連続である場合、関数 f (x, y) は変数 y に関して G の Lipshits の心を満たします。部門 Naslidok は主張 2 より。1 ∂f 条項 2.1 より。したがって、∂y G では非断続的であるため、定理が有効であれば定理が与えられます。 2 を尊重します。 11. 何を推測しますか。 (x0, y0) は G の内部点であるため、閉じた直線 no 2 P = (x, y) 2 R x x0 6 α, y y0 6 β が存在し、これは完全に G 内にあります。すると、定理 2 によって決まります。 . 3p 。 2.2 解 y = φ (x) が y 0 = f (x, y) に等しいような h> 0 が存在します。まず、領域 G の非常線まで右方向にプロセスを続け、証明を断片に分割します。 1. ニュートラル ER を見てみましょう: no E = α> 0 解 y = φ (x) 主解の継続 y = φ1 (x) レベル y 0 = f (x, y)、これは心を満足させますコーシーの φ1 ~ b = φ ~ b。したがって、φ (x) と φ1 (x) - 点 x = ~ b で交わる 1 つのレベルのセクション ~ b h1、~ b に関する決定の結果として、それらは各セクション ~ b h1、 ~ b i、したがって、 φ1 (x) є セクション ~ b h1、~ b から ~ b h1、~ b + h1 までの解 φ (x) の継続。関数 ψ (x) を見てみましょう: φ (x), x 2 x0, ψ (x) = φ1 (x), x 2 ~ b ~ b, h1, ~ b + h1 ~ b h1, x0 + α0 + h1、したがって、決定は y 0 = f (x, y) に等しく、コーシャ ψ (x0) = y0 の心を満たします。つまり、値 α0 = sup E ではなく、数値 α0 + h1 2 E です。つまり、Fallout 2 は厄介です。同様に、解 φ (x) は左横に移動して点 a、φ (a) 2 ∂G になります。定理は完全に証明されました。 -37- 第 3 章。 n 次の正規システムに対するコーシーのタスク 3. 1. ベクトル関数の追加累乗の基本概念と動作このセクションでは、8> t, y, の形式の n 次の正規システムを検討します。。。、Y y _ = f 1 n 1 1>、< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > >: Y_ = f t, y,. 。。 , Y, n n 1 n と未知の (検索された) 関数 y1 (t),。。。、Yn (t)、および関数 fi に関連する関数 i = 1, n、関数の上の点は t への接近を示します。すべての fi は領域 G Rn + 1 の値であることが伝わります。システム (3.1) をベクトル形式で手動で書き留めます: y_ = f (t, y)、ここで y (t) y1 (t)。。。、Ｙｎ（ｔ）、ｆ（ｔ、ｙ）、ｆ１（ｔ、ｙ）。。。、Ｆｎ（ｔ、ｙ）；書体指定のベクトルには矢印を書きません。このようなエントリは、(3.1) によっても示されます。点を t0、y10、とします。。。、Yn0 は G にあります。(3.1) に対するコーシーの仮定は、心を満足させる系 (3.1) の既知の解 φ (t) にあります: φ1 (t0) = y10, φ2 (t0) = y20, ..., φn (t0) = yn0, (3.2) またはベクトル形式の場合は φ (t0) = y 0 です。セクション 1 で述べたように、区間 ha、bi に対する系 (3.1) の解では、ベクトル関数 φ ( t) = φ1 (t)、. 。。、Φn (t)、これは心を満足させます: 1) 8 t 2 ha、bi point t、Φ (t) は G にあります。 2) 8 t 2 ha、bi 9 d dt φ (t); 38 3) 8 t 2 ha、bi φ (t) は (3.1) を満たす。この解はさらに (3.2) (t0 2 ha, bi) を満たすため、コーシー問題の解と呼ばれます。 Umovi (3.2) は、穂軸 umovy または umovy Cauchy、および数値 t0、y10 で呼び出されます。。。 , Yn0 - コーシーダニミ（コブダニミ）。また、ベクトル関数 f (t, y) (n + 1) が y1, に変化すると、. 。。 , Yn は線形であるため、次のようになります: f (t, y) = A (t) y + g (t)、ここで A (t) = aij (t) - n n 行列、システム (3.1) は線形と呼ばれます。ベクトル関数の力を利用する必要がありますが、参照しやすくするためにここに送信する必要があります。線形代数コースでのベクトルの数値の加算と乗算に関するルール。主な演算が調整されています。 n R にはスカラー式 x, y = x1 y1 + を入力できます。。。 + Xn yn の場合、ベクトル jxj = x, x = x2k (またはユークリッドノルム) の 2 倍の s q n P を使用して、Rn とも表すようにユークリッド空間が削除されます。スカラー k = 1 create と dovzhin Justice の場合、2 つの主な不等式があります: 1) 8 x, y 2 Rn 2) 8 x, y 2 Rn skogo)。 x + y 6 x + y x、y 6 x (トリキュールの凹凸); y (コーシャ・アウニャコフの不均一性 - 先学期の数学的解析の過程から、ユークリッド空間 (スキンワールド) における点 (ベクトル) 列の類似性は、座標列の類似性に等しいことが明らかです。これらのベクトルは、座標の近接性という点では同様に強いように見えますが、不規則性の影響を受けやすいです。 qp max x 6 x21 +... + x2n = jxj 6 n max xk.16k6n 16k6n スカラーベクトルと同様に、ベクトルの積分です。関数が計算され、追加の遷移を使用してパワーが座標に簡単に与えられます。ベクトル関数に特定の不等式を導入しましょう。これについては後で説明します。 1. 任意のベクトル関数 y (t) = y1 (t) について。。。、Yn (t)、積分 (たとえば中断なしで)、不等式 Zb Zb y (t) dt 6 ay (t) dt a -39- (3.3) または座標形式 0 Zb Zb y1 (t) dt 、@y2(t)dt、。。。 , A 1 Zb a Zb q yn (t) dt A 6 y12 (t) +。。。 yn2(t)dt。証明。謹んでまずムラの場合はb相がオフになりません< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – i-я строка матрицы A, тогда: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 по неравенству Коши-Áуняковского 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 суммируя эти неравенства по i = 1, n, имеем: 0 1 n X 2 2 2 aik A x = A y [メールが保護されています] 2 + 2 l = 1 2 x、k、i = 1 つ星 (3.5)。値 3. 1. ベクトル関数 f (t, y) が、多くの 1 グループの G 変数 (t, y) に対するベクトル変数 y に従ってリプシットの心を満足させるとします。9 L> 0 であるため、任意の t 、 y 、 2 t、 y 2 G 凹凸 ft、 y 2 ft、 y 1 6 L y 2 y 1 は歪んでいます。 yu by y" エリア G є 個人訪問者の相互接続。ダモの方が正確です。意味 3. 2. 変数 (t, y) の面積 G を y に沿った凸 1 2 といい、G 内にある任意の 2 点 t, y と t, y について、それらが完全に重なり、接続する部分が存在します。 2 点、すなわち非人称 n o t, y y = y 1 + τ y 2 y 1, de τ 2. 確認 3. 1. 変数 (t, y) の領域 G は y に沿って丸められており、∂fi private は連続的ではなく、すべての i、j = 1、n の ∂yj に対して G の定数 l で囲まれている場合、ベクトル関数 ft, y は、定数 L = n l を持つ y に関する G の Lipshits の心を満足させます。 1 2 証明。セクションの G と 1 2 からの追加点 t、y と t、y を見てみましょう。次に、それらが接続され、次に t、y、ここで y = y + τ y y1、t - は固定され、τ になります。 2. -41- 1 つのスカラー引数 g (τ) = ft, y (τ), 2 1 のベクトル関数を入力し、次に g (1) g (0) = ft, yft, y、そして反対側では - Z1 g (1) g (0) = dg (τ) dτ = dτ Z1 A (τ) dy (τ) dτ = dτ 0 0 h = y = y 1 + τ y 2 yi 1 による Z1 = A (τ) ) y 2 y 1 dτ , 0 de A ( τ) は要素 ∂fi を持つ行列で、∂yj y2 y 1 は部分集合です。ここでは、折り畳み関数の微分規則を使用しており、それ自体、すべての i = 1, n, t - 固定に対して次のことができます。 gi0 (τ) = ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y2 ∂fi ∂yn d fi t, y (τ) = + + ... + = dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi, ..., y2 y1。 = ∂y1 ∂yn 行列形式で記録すると、n n 行列 A (τ) = aij (τ) ∂fi ∂yj を使用して、0 2- 1 g (τ) = A (τ) y y と推定されます。積分 (3.3) と不等式 (3.5) の Vikorist 推定。代入後、以下を削除します。 ft, y 2 ft, y 1 Z1 = g 0 (τ) dτ = 0 Z1 6 A (τ) y 2 Z1 y1 A (τ ) y 2 0 Z1 dτ 6 0 A (τ) A (τ) dτ y2 y1 6 y2 y1 6 nl 0 6 max A (τ) フラグメント 2 y 1 dτ 6 2 2 n P ∂fi = i, j = 1 ∂ yj 2 y2 y1, 2 6 n2 l2 at 8 τ 2. 確認完了。 -42- 3. 2. 正規系のコーシー問題の解の正体定理 3. 1 (2 つの解の差の推定について)。 G を領域 Rn + 1 として機能させ、ベクトル関数 f (x, y) は G 内で連続であり、定数 L を持つ顔のない G 上のベクトル変数 y に従ってリプシットの心を満足させます。 2 はセクションごとの正規システム (3.1) y_ = f (x, y) の 2 つの解であり、推定値 y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (t0) y 1 (t0) exp L (t t0) はすべての t 2 に対して有効です。この証明は、明白な再表記を伴って、条項 2.1 から定理 2.1 の証明を逐語的に繰り返します。 2 cob データから解の単一性と安定性の定理を導き出すのは簡単です。帰結 3.1. ベクトル関数 f (t, y) が領域 G で非連続であり、y でリプシッツの心を満たし、関数 y 1 (t) と y 2 (t) が上の正規系 (3.1) の 2 つの解であるとします。同項また、t0 2。y 1 (t0) = y 2 (t0) の場合、y 1 (t) y 2 (t) となります。帰結 3.2. （初期データの無停止保存について）。ベクトル関数 f (t, y) が領域 G で連続で、定数 L> 0 で y のリプシッツの心を満たし、ベクトル関数 y 1 (t) と y 2 (t) が正規系を解くものとします。 (3.1) 、曲オン。次に、8 t 2 で、δ = y 1 (t0) y 2 (t0)、および l = t1 y 2 (t) 6 δ eL l, t0 である場合、不等式 y 1 (t) が真になります。継承の証明は、明らかな再指定を伴って逐語的に、2.1 と 2.2 の継承の証明を繰り返します。 2 コーシー問題 (3.1)、(3.2) の解決可能性の探求は、一次元位相と同様に、積分方程式 (ベクトル) を解くことに帰着します。 Lema 3. 1. f (t, y) 2 C G とします。 Rn 1. 次のステップが迫っているとき: 1) 区間 ha, bi の解 φ (t) レベル (3.1) であり、(3.2) t0 2 ha, bi, є を中断なしで満たす ha, bi 1 Through C G ; H は、空間 H 内の値を持つ関数の領域 G 内のすべての非永続関数の意味を指定するのが通例です。たとえば、 f (t, y) 2 C G; - すべての非人称ベクトル関数の非人称 (n -43- 整数レベル y (t) = y 0 + Zt f τ, y (τ) dτ; (3.6) t0 2) としてベクトル関数 φ (t) 2 C ha, bi は、ha, bi に関する積分方程式 (3.6) の無中断解です。ここで、t0 2 ha, bi の場合、φ (t) は次の無中断解です。 ha、bi および解 (3.1)、(3.2)。終了した。 1. 8 τ 2 ha, bi が熱意 dφ (τ) = f τ, φ (τ) を等しくするとします。次に、式 (3.2) で t0 から t まで積分すると、半分の dτ Rt 0 よりも φ (t) = y + f τ、φ (τ) dτ となり、φ (t) は式 (3.6) を満たします。 t0 2. 連続ベクトル関数 φ (t) が、ha、bi、ft 上で式 (3.6) を満たすとします。φ (t) は、折り畳み可能な関数の連続連続性に関する定理により、ha、bi 上で連続です。右側の部分 (3.6) (そして、左側の部分) は t に沿って、ha、bi まで連続的に移動します。 (3.6) φ (t0) = y 0 より t = t0 の場合、φ (t) はコーシー問題 (3.1)、(3.2) の解になります。おっしゃるとおり、セクションの最後に行くということは (当然のことですが) 一方向の機能を意味します。レマは終わった。 3. 1 を尊重します。 1 次元のフォールアウト (セクション 2) と完了した固化のアナロジーを使用して、コーシー問題の起源と継続に関するトピックを導入し、積分レベルまで収束し続ける反復シーケンスを作成できます。 (3.6) は次のセクション t0 h 、t0 + h で最大になります。ここでは、圧縮振動の原理を中心とした起源定理 (および統一) の解の別の証明を示します。積分方程式と数理物理学のコースで後ほど説明する、より現代的な理論方法に読者を慣れさせることが重要です。私たちの計画を完了するには、多くの新しい理解と追加の原則が必要になりますが、それについてはこれから検討していきます。 3. 3. 計量空間を理解する。圧縮振動の原理数学における境界の最も重要な概念は、点の間に立つことができるように、点の「近さ」という概念を中心に展開されています。数値軸上では、比率は 2 つの数値間の差の係数であり、平面上では、ユークリッド比の式が適切です。などです。分析における豊富な事実は、要素の代数的能力と矛盾するものではなく、むしろ要素間の理解を中心に展開します。このアプローチの発展は、境界の理解に「真実」のビジョンをもたらし、計量空間の理解につながります。 -44- 意味 3. 3. X を非個人的な満足した性質とし、ρ (x, y) を 2 つの変数 x, y 2 X の能動関数とし、次の 3 つの公理を満たします。 1) ρ (x, y)> 0 8 x , y 2 X、および ρ (x, y) = 0 であり、x = y の場合はさらになります。 2) ρ (x, y) = ρ (y, x) (対称公理)。 3) ρ (x, z) 6 ρ (x, y) + ρ (y, z) (トライカットの凹凸)。与えられた関数 ρ (x, y) を持つこのタイプの匿名性 X は計量空間 (MP) と呼ばれ、関数 ρ (x, y): X X 7! 1) ～ 3) を満たす R、 - 計量または置換。計量空間の応用を見てみましょう。例 3. 1. MP R から取り出した拡張 ρ (x, y) = x y から X = R とします。 n o n xi 2 R, i = 1, n є 例 3. 2. X = R = x1 とします。。。。 , Xn 個の n 個の実数の順序のない集合 s n 2 P x = x1,。。。。 R - a、b に境界を持たずに Rn の値を持つ関数、次に境界を持たないベクトル関数、式 ρ (f, g) = max f (t) g (t)、ここで f = f (t) ) = f1 ( t)、。。。、Fn (t)、t2 s n 2 P g = g (t) g1 (t)、。。。、Gn (t)、f g = fk (t) gk (t)。 k = 1 応用例 3. 1 -3. の場合 MP の 3 つの公理は、混乱した読者にとっては正しいことですが、あらゆる理由を超えて、疑いの余地なく検証されます。先ほどと同様に、スキンナチュラル n は要素 xn 2 X の出現を配置するため、点列 xn MP X が与えられるように見えます。値は 3. 4. 点列 xn MP X を収束するといいます。点 x 2 X, I は ρ xn, x = 0.n を制限します。 1 値 3. 5. シーケンス xn は基本と呼ばれます。これは、任意の ε> 0 に対して自然数 N (ε) が存在し、すべての n> N および m> N に対して不等式 ρ xn, xm が決定されるためです。< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε >0 9 N (ε) 2 N: 8m、n> N =) max fm (t) fn (t)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε >0 すべての n> N およびすべての t 2 a、b について、不等式 fn (t) f (t) が対応するような数 N (ε) があります。< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m >1. B = Am、B: X 7 を見てみましょう。 X、B - 絞る。定理 3.2 により、演算子 B は単一の非回転点 x を持ちます。 A と B は順列 AB = BA であり、Bx = x であるため、B Ax = A Bx = Ax ができます。その場合、y = Ax は整数点 B であり、この点は定理 3.2 によれば同じであるため、次のようになります。 y = x または Ax = x。星 x は演算子 A の途切れることのない点です。統一性を証明しましょう。 x ~ 2 X і A ~ x = x ~ である場合、mm 1 B x ~ = A x ~ = A x ~ = であることは許容されます。。。 = X ~ の場合、x ~ は B の非ルコマ点でもあり、星 x ~ = x になります。定理は証明されました。計量空間と線形正規化空間でフレーム化してみましょう。もっと正確に見てみましょう。値 3. 9. X を線形空間 (より複素数またはより複素数のいずれか) とし、その上に数値関数 x が割り当てられ、R の X から作用し、次の公理を満たします: 1) 8 x 2 X、x> 0、そして、x = θ であっても x = 0。 2) 8 x 2 X と 8 λ 2 の場合、R (または C) を加算します。 3) 8 x、y 2 X を加算します)。 x + y 6 x + y λx = jλj x; (三角形の不均一性 - Todi X は、1) - 3) を満たす正規化空間、x: X 7! R と呼ばれます)、 - ノルム。正規化空間では、式 ρ x, y = x y を使用して要素間の距離を入力できます。 MP 公理は簡単に検証できます。計量空間を完全に取り除いた場合、標準化された空間はバナナ空間と呼ばれます。多くの場合、同じことと同じこと線形空間さまざまな方法で標準を導入できます。このつながりは、この理解によるものです。意味 3. 10. X を線形空間、y を新しいノルムに導入された 2 つの 1 2 ノルムとします。 9 C1> 0 і C2> 0: 8 x 2 X C1 x 1 6 x 2 6 C2 x 1 であるため、規範は等価 1 2 規範と呼ばれます。 3. 3. і - X 上の 2 つの等価規範、 1 2 を尊重してください。スペース X がそれらの一方の上にある場合、それはもう一方の標準の上にあります。これは、xn X のシーケンスが基本的であり、同様に基本的であり、同じ要素 x 2 X の 1 2 に収束するという事実から容易に導き出されます。 -47- 3. 4 を尊重します。多くの場合、定理 3. 2 (または 3. 3）yakostіの完全なn空間にある場合、zastosuєtsyaは閉じた空間を取るo Br（a）= x 2 X ρ x、a 6 r、der> 0 i a 2 X固定。 PMP 内のクローズドフレーム自体が同じステーションの PMP であることが重要です。この事実の証明は読者の権利を剥奪されます。 3. 5 を尊重します。n 世界 3. 3 でより多くの空間が確立されました。線形空間 X = C 0, T, R にノルム kxk = max x (t) を導入できることを尊重します。バナッハになります。空間 0, T における途切れのないものの非個人性に基づいて、ベクトル関数を使用して、任意の α 2 R に対して式 kxkα = max e αt x (t) を使用して等価ノルムを導入できます。 α> 0 の場合、すべての t 2 0、T、星 e αT kxk 6 kxkα 6 kxk について、等価性は不等式 e αT x (t) 6 e αt x (t) 6 x (t) から得られます。等価ノルムの力を利用すると、線形 (正規) システムのコーシー問題の一義的な解に関する定理にすぐに到達します。 3. 4. 正規系のコーシー問題の解の起源定理と統一性初期データ t0, y 0 2 G, G Rn + 1 が定義域であるコーシー問題 (3.1) ～ (3.2) を考えてみましょう。ベクトル関数 f (t, y ) の値。このセクションでは、G が G = a, b o, de area Rn および BR (y 0) = May place 定理の形式 n である可能性があると仮定します。 y 2 Rn y y0 6 R は完全に内側にあります。定理 3. 4. ベクトル関数を f (t, y) 2 C G とします。 Rn、9 M> 0、L> 0 であるため、心は 1) 8 (t, y) 2 G = a, b f (t, y) 6 M; 2) 8 (t, y 1), (t, y 2) 2 G f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1. 数値 δ 2 (0, 1) を固定し、t0 2 (a, b）。 R 1 δ 9 h = 分の場合、 ; t0a; b t0> 0 ML であるため、これは真であり、さらに、セクションごとにコーシャ問題 (3.1)、(3.2) y (t) に対する単一の解が存在します。 Jh = t0 h、t0 + h、および y (t)すべての t 2 Jh に対して y 0 6 R。 -48- 証明。 Lemі 3.1 Cauchy 問題 (3.1) の場合、(3.2) はカット上の積分方程式 (3.6) に相当し、次に Jh に相当します。ここで、h はより高い値が選択されます。バナッハ空間 X = C (Jh; Rn) を見てみましょう - ノルム kxk = max x (t) を持つベクトル関数 x (t) によるセクション Jh の閉じた非人称要素であり、X に閉じた非人称要素が導入されます。要素: t2Jh SR y 0 n 8 t 2 Jh = y (t) 2 X y (t) n = y (t) 2 X yy (t) o 0 6R = o 0 y 6R X のクロージャ。演算子 A、ルールに従う値: Ay = y 0 + Zt f τ , y (τ) dτ, t 2 Jh, t0 は、y 0 = max Ay Zt t2Jh f τ, y ( であるため、SR y 0 をそれ自体に変換します。 τ) dτ 6 h M 6 R t0 精神的な 1 の定理と値 h。スクイーズ演算子を使用して、A が SR 上にあることを証明しましょう。十分に 0 1 2 および推定可能な値: no y (t), y (t) 2 SR y Ay 2 Ay 1 = max Zt h t2Jh f τ, y 2 (τ) if τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 Zt 6 max t2Jh f τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 6h L y2 y1 = q y2 y1, de q = h L 6 1 δ< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 は、式 h = min M によって R に従って選択されます。 1Lδ; b a、そして穴 Jh のどこでも -49- Jh = t0, t0 + h = a, a + h を取る必要があります。他のすべての精神的定理は変更されず、証明は再指定されても保存されます。 t0 = b の場合、同様に、h = min M; 1Lδ; b a、および Jh = b h、b。 n 尊重 3. 7. 定理 3. 4 Umov f (t, y) 2 C G; G = a, b D である R は、マインド 1 と 2 を節約しながら、スキン y 2 で t を変更することにより、f (t, y) を最も定数な f (t, y) に置き換えることによって弱めることができます。証明は次のようになります。変わらない。 3. 8. Dosit、1 と 2 の定理を理解できるようにするR. より強力な場合定理 2.4 と同様にベクトル関数 ft, y に適用すると、コーシー問題の基礎と解の統一の定理 (3.1)、(3.2) はすべてのセクション a、b に対して有効です。 n 定理 3. 5. ベクトル関数を fx, y 2 CG, R, de G = a, b Rn、L> 0 とすると、心 8 t, y 1, t, y 2 2 G ft , y 2 フィート、y 1 6 L y 2 y 1。そして、a、b 上の任意の t0 2 および y 0 2 Rn についても、モシャ問題 (3.1)、(3.2) に対する単一の解が存在します。終了した。かなり多くの t0 2 i y 0 2 Rn と固定例。非個人的な G = a, b Rn は、次の形式で表現できます。 G = G [G +, de Rn, a G + = t0, b Rn、t0 2 a, b であることが重要です。そうでない場合は、1 G = a, t0証明の段階から毎日行われます。褐色肌G+のシェーディングを行っていきます。セクション t0,b では、コーシーの式 (3.1)、(3.2) は式 (3.6) と等価です。整数演算子 n A: X 7 を導入しましょう! X、de X = C t0、b; R、式 Ay = y 0 + Zt f τ、y (τ) dτ による。 t0 すると積分方程式 (3.6) は演算方程式 Ay = y の形で書くことができます。 (3.8) 演算子方程式 (3.8) が PMP X で解けることが証明されると、G の t0, b または a, t0 でコーシー問題を解く可能性は排除されます。等価性により、コーシーの問題の解決策も同じになります。方程式 (3.8) 間の明確な関係の 2 つの証明を提供しましょう。証明 1. ベクトル関数をさらに見てみましょう 1 2 n y, y 2 X = C t0, b; R、その後、誰にとっても公平な推定値 -50- t 2 t0, b Ay 2: Ay 1 Zt hf τ, y 2 (τ) = 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 Zt y 2 (τ) 6L y 1 (τ) dτ 6 L t t0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 t0 6L t t0 y2 y1。 X のノルムが次のように導入されることは明らかです: kxk = max x (τ)。不等式の除去から次を使用します: 2 2 Ay 2 1 Ay Zt hf τ, Ay 2 (τ) = 1 i τ t0 dτ f τ, Ay (τ) dτ 6 t0 6 L2 Zt Ay 2 (τ) Ay 1 (τ ) dτ 6 L2 t0 Zt y2 y1 6 t0 6 L2 t t0 2! 2 y2 y1。このプロセスを継続すると、帰納法により 8 k 2 N Ak y 2 Ak y 1 6 L t t0 k! を達成することができます。 k y2 y1。したがって、星は推定値 Ak y 2 Ak y 1 = max Ak y 2 L b t0 Ak y 1 6 L b t0 k! を除外します。 k y2 y1。 k シャード α (k) =! kで0！ 1 の場合、k0、k があります。何α(k0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α >式: x α = max e αt x (t) に従って、0 (除算 3.5)。 -51- α > L のノルムを持つ空間 X の演算子 A が圧縮されるように α を選択できることを示しましょう。動作時、α Ay 2 Ay 1 α Zt hf τ, y 2 (τ) αt = max e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt Zt y 2 (τ) L y 1 (τ) dτ = t0 = L max e Zt αt e ατ y 2 (τ) eατ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 L max e αt Zt eατ dτ max e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) = y2 α t0 = L max e αt α> L なので、q = L α 1 1 αt e α e eαt0 L = α α b t0 y 2 y1 y 1 α = 1 e α b t0 となります。< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об 戻り関数 , この等式 (4.3) により、y を許容して式 y (x) = F2 1 F1 (x) + C を削除できます。(4.4) は点 x0 の周囲で有効です。等式 (4.4) が点 x0 の周りで方程式 (4.1) の解を与えることを示しましょう。効果的な、微分戻り関数に関するヴィコリスタの定理と関係 F10 (x) = f1 (x) を見ると、y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z = F1 (x) + C F10 (x) = が削除されます。 1 F20 ( y) y = y (x) F10 (x) = f2 y (x) f1 (x)、星は、(4.4) の関数 y (x) が解 (4.1) に等しいことを示します。ここで、穂軸 y (x0) = y0 を使用した式 (4.1) のコーシー問題を見てみましょう。 (4.5) 式 (4.2) は次の形式で書くことができます。 Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 ここに Cob (4.5) を挿入すると、C = 0 であることがわかり、コーシー問題は spivvіdnoshenya Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx によって決定されます。 x0 -56- (4.6) 明らかに、この値は一意です。また、式 (4.1) の最終的な解は式 (4.4) で与えられ、コーシー問題 (4.4)、(4.5) の解は (4.6) と関連して求められます。 4. 1. アクション y = yj, (j = 1, 2,..., S) に対して f2 (y) = 0 であるため、明らかに、解 (4.1) も関数 y (x) yj, j です。 = 1、2、. 。。、Ｓであり、これは式（４．１）におけるこれらの関数の非中央値置換によって達成される。 4. 2. 皮膚 (4.1) の場合、完全な解は皮膚の解 F2 (y) F1 (x) = C によって決定されます。 (4.7) したがって、関係 (4.7) の左側の部分は皮膚と一致します。ソリューションナニー (4.1)。タイプ (4.7) の関係は、他の最上位の ODE を使用して作成できます。このような関係は通常、一貫した ODE の積分 (代替積分) と呼ばれます。ダモの方が正確です。値 4. 1. 値 y 0 (x) = f (x, y) を見てみましょう。 (4.8) 比較 (x, y) = C, (4.9) de (x, y) - クラス C 1 の関数。この関係は同じものに対応しないため、方程式 (4.8) のハラール積分と呼ばれます。ということではなく、むしろお互いの公称解決イコライゼーション (4.8 )。 C 2 R の特定のスキン値を使用して、プライベート積分を削除します。積分解 (4.8) は、陰関数に関するビコリスタンの定理を使用した積分 (4.9) から得られます。応用 4. 1. x (4.10) y 0 (x) = y と cob y (2) = 4 の水準を見てみましょう。 (4.11) 最も効果的な記述 (4.10) の場合、部分変数の方法は次のとおりです。優れていますが、 y dy = x dx を削除できるので、方程式 (4.10) y 2 x2 = C の積分が分かります。方程式 (4.10) の元の解は、式 py = C + x2 を使用して書くことができます。コーシー問題 (4.10)、(4.11) の解法 - 式 py = 12 + x2 を使用します。 -57- 4. 2. 1 次の線形 ODE 1 次の線形 ODE は等しいと呼ばれます y 0 (x) + p (x) y (x) = q (x), Box q (x) 6 Box q (x) x 2 ヘクタール、bi。 (4.12) 0 の場合、方程式は異種混合と呼ばれます。 0 の場合、方程式は均一と呼ばれます: y 0 (x) + p (x) y (x) = 0. (4.120) 定理 4. 1. 1) y1 (x) であるため、y2 (x) は次の解になります。同次方程式 (4.120) 、α、β が補数である場合、関数 y (x) αy1 (x) + βy2 (x) も解 (4.120) と等しくなります。 2) 不均質方程式 (4.12) のハラール解の場合、公式 yоn = yоо + yчн が適しています。 (4.13)。終了した。定理の最初の主張は、完全な逆転によって実行する必要があります: maєmo y 0 αy10 + βy20 = αp (x) y1 βp (x) y2 = p (x) αy1 + βy2 = p (x) y。このことを友達に伝えましょう。 y0 を十分解 (4.120) とすると、y00 = p (x) y0 となります。一方、0 ychn = p (x) ychn + q (x) です。そうですね、0 y0 + ychn = p (x) y0 + ychn + q (x)、つまり y y0 + ychn є の解は (4.12) に等しいことを意味します。したがって、式 (4.13) は不均一方程式 (4.12) の解を与えます。この公式を使用して、方程式 (4.12) のすべての解を差し引くことができることを示しましょう。それは良いことです、y ^ (x) - 決定 (4.12) を許可しないでください。 y ~ (x) = y ^ (x) ychn としましょう。 Maєmo y ~ 0 (x) = y ^ 0 (x) 0 ychn (x) = p (x) ^ y (x) + q (x) + p (x) ychn (x) = p (x) y ^ (x) q (x) = ychn (x) = p (x) ~ y (x)。したがって、 y ~ (x) は同次方程式 (4.120) の解であり、式 (4.13) と一致する y ^ (x) = y ~ (x) + ychn が得られます。定理は証明されました。 -58- 以下では、穂軸 y (x0) = y0, x0 2 ha, bi を使用したランク (4.12) と (4.120) のコーシー問題を見ていきます。 (4.14) (4.12) の関数 p (x) および q (x) について、p (x), q (x) 2 C (ha, bi) と仮定します。 4 を尊重します。 3. F (x, y) = p (x) y + q (x) を置きます。次に、p (x) と q (x) の考えが重なっているため、F (x, y)、∂F (x, y) 2 CG、∂y G = ha、bi R1 と仮定できます。、コーシー問題 (4.12)、(4.14) の場合、セクション 2 で提示した有効な起源定理と解の単一性。以下の定理 4.2、4.3 には方程式 (4.120) と (4.12) の解に対する明示的な公式があり、解決策が何かを見せてくださいどこにでも現れてください、ハ、ビ。同じもの (4.120) を見てみましょう。定理 4. 2. 大空: p (x) 2 C (ha, bi) とします。攻撃が公平な場合、 1) 決定が下されたかどうか (4.120) は、区間全体の ha、bi に割り当てられます。２）同レベルの舞台裏の決断（４． 120) は式 y (x) = C e de C R p (x) dx で与えられ、(4.15) 十分な定数です。 3) モシャ問題 (4.120)、(4.14) の解は、式 Rx y (x) = y0 e x0 p (ξ) dξ によって与えられます。 (4.16) 証明。この章の冒頭で示した方法に従って、式 (4.15) を導き出します。まず、関数 y 0 が解 (4.120) に等しいことが重要です。 y (x) - 決定 rivnyannya (4.120) とし、ha、bi について y 6 0 とします。次に、9 x1 2 ha, bi となり、y (x1) = y0 6 = 0 となります。点 x1 付近のレベル (4.120) を見てみましょう。この方程式は変数に基づいており、点 x1 付近では y (x) 6 = 0 になります。次に、前の段落の結果に従って、過剰 Z dy = p (x) dx, ln y = p (x) dx + C, y -59- スター R y (x) = C の明示的な式を導き出します。 ep (x) dx, c 6 = 0、これは式 (4.15) と一致します。さらに、C = 0 の場合、解 y 0 も式 (4.15) で与えられます。解 y 0 を式 (4.120) に代入することにより、関数 y (x) が再構成され、式 (4.15) で次のようになります。 any C, е р 私はあなたに嫉妬しています ( 4.120)、そしてあらゆる点で、ハ、ビ。式 (4.15) が式 (4.120) の最終的な関係を定義することを示しましょう。効率的には、 y ^ (x) で十分な解 (4.120) とします。 ha、bi で y ^ (x) 6 = 0 である場合、前方結合を繰り返し、 y ^ (x0) = y ^ である場合、この関数が同じ C: 自体を使用して式 (4.15) で与えられることを否定します。 0、次に Rx p ( ξ) dξ。 y ^ (x) = y ^ 0 e x0 9x1 2 ha、y ^ (x1) = 0 となるような bi の場合、穂軸 y (x1) = 0 の式 (4.120) のコーシー問題は 2 つの解 y を持つ可能性があります。 ^ (x) と y (x) 0。尊敬の力により 4. コーシー問題の 3 つの解は同じであるため、y ^ (x) 0 となり、C = 0 で式 (4.15) で与えられます。解がより複雑であることも明らかです。レベル (4.120) はすべての ha、bi に対して決定され、式 (4.15) で与えられます。式 (4.16) は、関数 y (x) と (4.120) に等しい解を定義しているため、式 (4.15) を追加することで明らかに短縮できます。さらに、x R0 p (ξ) dξ y (x0) = y0 e x0 = y0 であるため、式 (4.16) はコーシー問題 (4.120)、(4.14) の解決策を効果的に定義します。定理 4.2 が完成しました。次に、異種対立 (4.12) を見てみましょう。定理 4. 3. p (x)、q (x) 2 C (ha、bi) とします。決定が有効な場合: 1) 決定 (4.12) が行われたかどうかが、ha、bi の区間全体にわたって示されます。 2) 不均一方程式 (4.12) の最終解は次の式で与えられます。 Z R R R p (x) dx p (x) dx q (x) e p (x) dx dx, (4.17) y (x) = Ce + e de C は十分な定数です。 3) モシャ問題 (4.12)、(4.14) の解は次の式で与えられます。 Rx y (x) = y0 e x0 Zx p (ξ) dξ + q (ξ) e x0 -60- Rx ξ p (θ ) dθ dξ。 (4.18) 証明。これは定理 4.1 によって確認され、式 (4.13) yon = yоо + yчн によって式 (4.12) の私的解を知る必要があります。この目的のため、いわゆる変動方法は本質的に同じです。この方法の本質は次のとおりです。式 (4.15) を使用し、その中の定数 C を未知の関数 C (x) に置き換え、ychn (x) = C (x) の形式でプライベート解 (4.12) を見つけます。 ) e R p (x) dx。 (4.19) (4.19) の式 (x) を式 (4.12) に代入し、式全体が満たされる C (x) を求めてみましょう。 Maєmo R R 0 ychn (x) = C 0 (x) e p (x) dx + C (x) e p (x) dx p (x)。 (4.12) に代入して、C 0 (x) e R p (x) dx + C (x) e R p (x) dx p (x) + C (x) p (x) e R p (x) を削除します。 ) dx = q (x)、星 RC 0 (x) = q (x) ep (x) dx。残りの関係を統合し、C (x) を式 (4.19) に代入すると、Z R R p (x) dx ychn (x) = e q (x) e p (x) dx dx が否定されます。さらに、定理 4.2 により、R yоо = C e p (x) dx となります。したがって、定理 4.1 の Vikorist 式 (4.13) を使用すると、ZRRR p (x) dx p (x) dx y (x) = yоо + yчн = Ce + eq (x) ep (x) dx dx を削除できます。これは式 (4.17) で回避されます。式 (4.17) が各区間 ha、bi の解を指定していることは明らかです。最後に、コーシー問題 (4.12)、(4.14) の解は、式 Rx y (x) = y0 e Rx p (ξ) dξ x0 + e p (θ) dθ Zx Rξ p (θ) dθ q ( ξ) ex0 x0 dξ。 (4.20) x0 明らかに、式 (4.20) は、式 (4.12) によって決定される C = y0 で式 (4.17) を追加することによって短縮できます。さらに、 x R0 y (x0) = y0 e x0 x R0 p (ξ) dξ + ep (θ) dθ Zx0 Rξ q (ξ) e x0 x0 x0 -61- p (θ) dθ dξ = y0 が成立します。この穂軸の賛辞とともに（4.14）。式 (4.20) を式 (4.18) に当てはめてみましょう。実際、(4.20) から、 Rx y (x) = y0 e Zx p (ξ) dξ + x0 Rξ q (ξ) exp (θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p (ξ) dξ + x0 x0 Rx q となります。 ( ξ) ep (θ) dθ dξ, ξ x0 これは、式 (4.18) を使用して回避できます。定理 4.3 が完成しました。結果 (線形システムのコーシー問題の解の評価について)。 x0 2 ha、bi、p (x)、q (x) 2 C (ha、bi)、および p (x) 6 K、q (x) 6 M ねえ 8 x 2 ha、bi。次に、次の推定は最大モシャ問題 (4.12)、(4.14) M Kjx x0 j Kjx x0 j y (x) 6 y0 e + e 1. K (4.21) の証明に対して有効です。 x> x0 を放します。 (4.18) により、 Rx Zx K dξ y (x) 6 y0 ex0 Rx K dθ M eξ + dξ = y0 eK (x x0) Zx + M x0 = y0 e K (x x0) eK (x ξ ) dξ = x0 M + K e K (x ξ) ξ = x ξ = x0 = y0 e Kjx x0 j M Kjx + e K x0 j 1. ここで x を考えます< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем линейное уравнение, которое было рассмотрено в п. 4.2. Áудем предполагать, что a(x), b(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 4. Если α > 0 の場合、明らかに、関数 y (x) 0 は解 (4.24) に等しくなります。ベルヌーイ (4.24) α 6 = 0、α 6 = 1 の最高レベルでは、金額の問題部分を y α で分離します。 α> 0 の場合、関数 y (x) 0 を考慮して、そのような除算で消費される決定 (4.24) に等しい値を設定する必要があります。そうですね、将来的には、この需要は地下ソリューションで提供されるでしょう。この後、y α y 0 = a (x) y 1 α + b (x) という関係が決まります。新しい関数 z = y 1 α を導入し、次に z 0 = (1 すると、z z 0 = (1 α) a (x) z + (1 α) y α) b (x) のレベルに到達します。 α y 0、および (4.25) 式 (4.25) は一次方程式です。このような方程式はセクション 4.2 で検討され、文字通りの解の公式が回復されます。どの解 z (x) により、方程式 (4.25) は z (x) = Ce R (α 1) a (x) の形式で書かれます。 ) dx + + (1 α ) e R (α 1) a (x) dx 1 Z b (x) e R (α 1) a (x) dx dx。 (4.26) 次に、関数 y (x) = z 1 α (x) です。ここで、z (x) は (4.26) で定義され、解は Bernoull (4.24) に等しくなります。 -64- さらに、上で述べたように、α> 0 の場合、同じ関数 y (x) 0 が解かれます。例 4. 4. 方程式 y 0 + 2y = y 2 を解きます。 (4.27) レベル (4.27) を y 2 で除算し、z = 線形異種レベル 1 を代入すると、y が得られます。結果として、z 0 + 2z = ex. (4.28) おそらく、方程式は同じです: z 0 + 2z = 0、dz = 2dx、z ln jzj = 2x + c、z = Ce2x、C 2 R1。不均一方程式 (4.28) の解は、定数値を変化させる方法で解きます。 zchn = C (x) e2x, C 0 e2x 2Ce2x + 2Ce2x = ex, C 0 = ex, C (x) = ex,stars zchn = ex、そして間接的に解決されます I'm嫉妬しています (4.28) z (x) = Ce2x + ex。また、方程式 (4.24) の解は、y (x) = 1 の形式で記述されます。 ex + Ce2x また、方程式 (4.24) の解は、y 2 上の y (x) івняня の関数でもあります。 0. 4. 5. 完全微分における等化微分における等化を見てみましょう M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, (x, y) 2 G, (4.29) G はR2 のドメイン。主関数 F (x, y) 2 C 1 (G) はポテンシャルと呼ばれ、 dF (x, y) = M (x, y) dx + N ( x, y ) dy, (x, y) 2 G。簡単にするために、M (x, y), N (x, y) 2 C 1 (G) と領域 G が単結合であると仮定します。数学的分析（除算、計数）のコースへの許容範囲の中で、rivnyannnya (4.29) іsnu (Tobto (4.29) - 合金の RIVNYANNA) の可能性 f (x, y) を求めます。 y) = Nx (x, y) -65- 8 (x, y) 2 G. (x, Z y) F (x, y) = M (x, y) dx + N (x, y )dy のとき、（4. 30) (x0, y0) de 点 (x0, y0) - G の固定点、(x, y) - G の正確な点、曲線積分は点 (x0, y0) を結ぶ任意の曲線に沿って計算されます。 ) および (x, y) であり、完全に領域 G 内にあります。レベル (4.29) が等しいため、

アレクサンダー・ヴィクトロヴィチ・アブロシモフ生年月日：1948年16葉秋（1948 11 16）出生地：クビシェフ死亡日... Wikipedia

I 検索された関数、類似した異なる順序、および独立した変更を置き換える差分等化。 D.u.の理論 17世紀末のヴィニクラ。力学やその他の自然分野のニーズが流入する中で、 ... ... ラディアンスカ大百科事典

一次微分方程式（ODE）は、未知の関数のタイプの微分方程式です（おそらくベクトル関数、その後、原則として、空間と次元の値を持つ同じベクトル関数です。ああ... ... Wikipedia

ウィキペディアには、このニックネーム div を持つ他の人物に関する記事があります。ユドビッチ。ヴィクトル・ヨシポビッチ・ユドビッチ生年月日：1934年6月4日（1934 10 04）出生地：トビリシ、SRSR 死亡日... ウィキペディア

差動- (差動) 差動、差動機能、差動ロックの重要性差動、差動機能、差動ロックの意味に関する情報は数学的な非公式な説明です ... ... 投資家の百科事典

私的な差異を伴う微分平等の理論で理解すべき主な事柄の 1 つ。 X の役割は、ローカルな決定権、さまざまな命令を解く能力、その正しさなど、これらのレベルの実際の権限に現れます。さあ行こう...... 数学百科事典

これまで未知の関数であるイコライゼーションは 1 つの独立した変更であり、評価には未知の関数自体だけでなく、次数の異なる同様の関数も含まれます。差動等化という用語は G によって造られました。 ... ... 数学百科事典

トレノギン・ウラディレン・オレクサンドロヴィッチ・V・A・トレノギン、MISiSでの講義にて生年月日 ... ウィキペディア

トレノギン、ウラジレン・オレクサンドロヴィッチトレノギンウラジレン・オレクサンドロヴィッチ V. A. トレノギン、MISiS での講義にて生年月日: 1931 (1931) ... ウィキペディア

ガウス方程式、2 次の線形一次微分方程式、または自己共役形式では、形式的な方法での変数とパラメーターは任意の複素数値を取ることができます。置換後終了するとフォームが作成されます…… 数学百科事典

マカルスカ E. V. 本の中で: 学生科学の日々。春 - 2011 年。M.: モスクワ国立経済統計情報大学、2011 年。P. 135-139。

著者らは、経済システムの研究のための線形微分方程式理論の実際的な応用を検討します。この研究は、経済システムの等しい部分の変化を伴うケインズとサミュエルソン-ヒックスの動的モデルの分析を提供します。

Ivanov A. I.、Isakov I.、Dyomin A. V.、および in. パート 5. M.: スロボ、2012 年。

著者は、ロシア連邦国家科学センター-IMBP RASで発表された、一定量の身体運動を伴うテスト中に人間の酸性度を追跡するためのいくつかの方法をレビューしました。航空宇宙、水中、スポーツ医学の分野で働く科学者、生理学者、医師のための参考書。

Mikheev A.V. SPb.: NDU HSE の運用印刷発行 - サンクトペテルブルク、2012 年。

このコレクションには微分方程式の過程に関する研究が含まれており、著者はサンクトペテルブルクの NDU HSE 経済学部で読んでいます。トピックの表面では、主要な理論的事実の短い概要が示され、典型的な問題を解決するための応用が検討されます。学生および補聴器の職業教育プログラム向け。

コナコフ V.D. STI。 WPBRP。 MDUの力学および数学学部のためのオピクンスカヤの教育、2012年。No. 2012。

この最初の教科書は、モスクワ国立院機械数学学部で著者が読んだ、学生が選択した特別コースに基づいています。 MV 2010～2012年のロモノーソフ初期の岩。読者は、parameterix メソッドとその離散類似物を紹介する必要があります。これについては、ガイドの著者とその仲間の著者が最後の時間に謝罪します。これまでいくつかの雑誌記事にのみ掲載されていた資料がまとめられています。著者は、その寄与を最大限に高めることなく、マルコフランツーグスの拡散過程への広がりに関する局所境界定理の証明と、能動的導出に対するアロンソン型の両側推定値の導出において、この方法の実現可能性を実証することを目的としています。拡散。

イッス。 20. ニューヨーク：スプリンガー、2012年。

この出版物は、2011 年 6 月 16 ～ 18 日にフロリダ大学で開催された「第 3 回情報システムのダイナミクスに関する国際会議」の他の記事を集めたものです。情報システムのダイナミクスの理論と実践に対応する栄養学における新たな発見や成果を交換できるよう、産業界、学部、科学チームからの多数のエンジニアが参加し、大学院生および大学院生も対象としています。他の分野も、その研究分野における新たな開発の停滞により、勢いを失う可能性があります。

数学研究所のパルヴェレフ R.、セルギエフ A. G. プラツィ。 VA ステクロフ RAS。 2012. T. 277. pp. 199-214。

双曲線ランダウ・ギンツブルグ方程式には断熱境界があります。示された境界を越えると、ギンツブルグ・ランダウ方程式の解と、渦と呼ばれる静的解のモジュールの空間における断熱軌道との間に類似性が確立されます。ヒューリスティックな断熱原理を提唱したマントンは、運動エネルギーが低い場合のギンツブルク-ランダウ方程式の決定が嵐のような断熱軌道として取り去られる可能性があると仮定しています。スヴォレ、この事実の証拠は最近最初の著者によって発見されました

オペランド Hycomm (安定種数 0 曲線のモジュライ空間の相同性) と BV / Δ (BV 演算子によってオペランドされる Batalin-Vilkovisky のホモトピー商) の間の準同型性の明示的な公式を与えます。言い換えれば、BV 演算子を矮小化するホモトピーで強化された Hycomm 代数と BV 代数の等価性を導き出します。これらの式はギメンタルグラフで与えられます。そして、 2つの異なる方法で証明されました。 1 つの証明は Givental グループアクションを使用し、もう 1 つの証明は Hycomm と BV の解決に関する一連の明示的な式を通過します。 2 番目のアプローチは、特に、Hycomm-algebras 上のギメンタル群作用のホモロジー的説明を与えます。

ペド科学。編集者：A.ミハイロフ・ヴィップ。 14. M.: モスクワ州立大学社会学部、2012 年。

このコレクションの記事は、モスクワ州立大学社会学部で 2011 年に収集された証拠に基づいて書かれています。 MV XIV学際的科学セミナー「社会プロセスの数学的モデリング」にちなんで名付けられた会議でのロモノーソフ。社会党の英雄、学者A.A. サマルスキー。

この出版物は、社会プロセスの数学的モデリングの問題、開発および方法論の進歩に興味のある科学者、学者、大学およびロシア科学アカデミーの科学機関の学生を対象としています。

この講義コースは、ダーレコショドニの理論数学と応用数学の学生に 10 回以上読まれています州立大学。 II世代規格およびその他の特殊規格に準拠しています。数学の専門分野の学生および修士向けの推奨事項。

コーシー問題の解の起源と統一性に関するコーシーの定理は、第一に重要です。
誰の段落に曲を載せたのかシェアの権利 1 次の微分方程式を解くと、解の基礎と統一性が明らかになり、それは粗いデータ (x0, y0) によって示されます。微分等式の決定の基礎の最初の証明はコーシーに属します。以下に示す証明はピカードによって与えられます。連続的なアプローチの追加の方法に従う必要があります。

ズミスト
1. ライバル第一命令
1.0。入力
1.1. 水で強化された代替品を備えたリブニャニャ
1.2. 同じレベル
1.3. 定期的な1年間のランキング
1.4. 一次の線形等式とそれに帰着される線形等式
1.5. ベルヌーイの属州
1.6. リヴネ・リカティ
1.7. 新しいディファレンシャルのレベリング
1.8. 積分乗算器。可積分乗数を求める最も単純なタイプ
1.9. 行進前に競争は許されない
1.10. コーシー問題の解の起源と統一性に関するコーシーの定理は第一に重要です
1.11. 特別なポイント
1.12. 特別なソリューション
2. 上位の競争
2.1. 基本的な概念と意味
2.2. n 次の等式の種類、求積における不一致
2.3. 中間積分。 Rivnyannya、より低い次数を許可します
3. 2次の線形微分方程式
3.1. 基本概念
3.2. 2次の線形一次微分方程式
3.3. リニアホモジニアスアライメントの低次化
3.4. 異種線形アライメント
3.5. 線形異種次数での次数の削減
4. 線形整列永久係数
4.1. 一定の係数による一様な線形比較
4.2. 定係数による異種線形比較
4.3. 隠れた解決策による異なる秩序の直線的な対立
4.4. 静的シリーズを利用した統合
5. 線形システム
5.1. 異種システムと同種システム。権力者が線形システムを決定する
5.2. 線形均質系を解く前に線形独立性について必要かつ十分な知識があること
5.3. 基本的なマトリックスの基礎。線形均質システムに対するポブドバのソリューション
5.4. ポブドフは線形均質系の基本行列の多重度をすべて計算しました。
5.5. 異種システム。追加鋼のバリエーションによるポブドワ・ザガルニの解決策
5.6. 係数が一定の線形単線システム
5.7. 行列の関数理論に関するいくつかの情報
5.8. 氷河形態の鋼鉄係数をもつ線形均質準位系の基本行列のポブドワ
5.9. 基礎定理と一階微分レベルの正規系の解に対する関数的検出力に関する定理
6. レジリエンス理論の要素
6.1
6.2. 最もシンプルなタイプと落ち着きのポイント
7. リウネの第一次私事
7.1. 1 次のプライベート類似性における線形同次比較
7.2. 1 次のプライベート類似性における不均一な線形アライメント
7.3. プライベートアカウントの2レベルシステムと1つの未知の機能
7.4. プファフのライバル
8. 制御オプション
8.1. ロボット制御 №1
8.2. ロボット制御2号機
8.3. ロボット制御No.3
8.4. ロボット制御No.4
8.5。ロボット制御No.5
8.6. ロボット制御No.6
8.7. ロボット制御No.7
8.8。ロボット制御No.8。

マニュアル形式の電子書籍を簡単にダウンロードして、驚嘆して読んでください。
基本微分方程式講義コース、Shepeleva R.P.、2006 - fileskachat.com、スウェーデン語の本をダウンロードして無料でダウンロードします。

エンチャントPDF
この本は以下から購入できます最高価格でロシア全土に配送すると割引価格でご利用いただけます。

ボロフスキーの一次微分レベルに関する講義。 基本的な微分方程式の講義

「重要な微分実現に関する講義 パート 1. 偉大な理論の要素 最初の教科書には、極微分理論の基礎を形成する規定が配置されています。...」

最初にヤクを講義する

差動レベル

ザガール理論の要素

ボロフスキーの一次微分レベルに関する講義。基本的な微分方程式の講義

「重要な微分実現に関する講義パート 1. 偉大な理論の要素最初の教科書には、極微分理論の基礎を形成する規定が配置されています。...」