Bir tetrahedronun eşit kenarları vardır. dörtyüzlü

Menelaus teoremi stereometrik düzenlemeye izin verir.

Dörtyüzlü için Menelaus teoremi.

alan nedir μ kaburgaları birbirine karıştırıyor AB, BC, CDі D.A. dörtyüzlü ABCD noktalarda A 1, B 1, C 1, D 1, O (2).

Geri döndüm, chotirioh noktası için yakscho A 1, B 1, C 1, D 1 Kaburgalarınızın üzerine düz olarak ne yatmalısınız? AB, BC, CD, DA tetrahedron, viskozite (2), o zaman bu noktalar aynı düzlemde yer alır.

Bitti.

Merhaba saat 1, saat 2, saat 3, saat 4- noktada durmak A,B,C,D düzlüğe kadar μ , Todi; ; ; .

Tepsileri çoğaltırken kayboldum.

Dönme teoremini kanıtlamak için A 1, B 1, C 1 düzlemini kullanacağız. Bu düzlem DA kenarını T noktasında geçer.

Size bilgi vereceğiz , Ve tuvaletin arkasında , Tom (ve Lemi tarafından) puanları Tі 1 Onay iletildi.

§2. Chevy teoremi

Trikütanöz için Chevy teoremi.

puanları bir kenara bırak A 1, B 1, C 1 yan tarafınıza düz yatın Güneş, ACі VA trikütane ABC(Böl. Şekil). Kesim yapmak için AA1, BB 1, SS 1 Bir noktada iç içe geçmiş olması ilişkinin tamamlanması için gerekli ve yeterlidir: (3) (keser AA 1, BB 1, SS 1 Bazen onlara Chevianami denir).

Bitti.

Gereklilik. kesintileri unutma AA 1 , BB 1, SS 1 noktaya kadar karıştır M trikübitülün ortasında ABC .

anlamlı bir şekilde S 1, S 2, S 3 kare trikutniki AMC, SMV, AMV, Ve aracılığıyla saat 1, saat 2- noktada durmak Aі İÇİNDE düz çizgiye HANIM. Daha sonra benzer. Soyutlanmış oranları çarparak teoremin geçerliliğini yeniden oluşturuyoruz.

Yeterlilik. puanları bir kenara bırak A 1, B 1, C 1 yan yatmak BC, SA, AS trikutnik ve vikonno spivvіdnosheniya (3), M- kesit noktası AA 1і BB 1, Bir video SANTİMETRE yana kayar AB Kesinlikle Q. Todi, sana haber vereceğiz ,. Yolu yenileyeceğim ve noktayı koşacağım S = C1. Yeterlilik sağlandı.

Şimdi Chevy teoreminin geniş kapsamlı formülasyonuna geçelim.

Dörtyüzlü için Chevy teoremi.

Merhaba M- tetrahedronun ortasındaki nokta ABCD, A A 1, B 1, C 1 ve D 1- dairelerin çapraz çubuğunun noktaları SMD , AMD, AMBі SMV kaburgalı AB, B C , CDі D.A. açıkça. Daha sonra (4). Zvorotno: puanlar için bir yer , Daha sonra alan ABC , BCD1і DAB1 bir noktadan geçin.

Bitti.

Bu noktaya saygı duyarsanız ihtiyaç kolaylıkla göz ardı edilebilir A 1, B 1, C 1, D 1 aynı düzlemde yer alır (bu düzlem düz bir şekilde geçer) bir 1 C 1і B 1 D 1, Kavşak tam olarak M) ve Menelaus teoremini belirtin. Dönme teoremi, Menelaus'un uzayda dönme teoremi ile aynı şekilde kanıtlanabilir: noktalardan bir düzlem çizmek gerekir. A 1, B 1, C 1 ve Lemi'nin yardımına bunun kenarın düzlüğü olduğunu söyleyin D.A. Kesinlikle 1 .

§3. Tetrahedron'un medyanlarının ve bimedyanlarının gücü

Bir tetrahedronun medyanı, tetrahedronun tepe noktasını yakın yüzün ağırlık merkezi (medyanların çapraz noktası) ile birleştiren bölümdür.

Teorem (Menelaus'un Zastosuvannya teoremi).

Dört yüzlünün medyanları aynı noktada hareket eder. Bu noktada cilt medyanını üst tarafa doğru yayarak 3:1 oranında bölün.

Bitti.

İki medyan gerçekleştireceğiz: GG 1 і CC 1 dörtyüzlü ABCD. Bu medyanlar birbirleriyle çarpışacak F . C.L.- ortanca sınır ABC , D.L.- ortanca sınır ABD, A D 1 , C 1 - sınırlar arasındaki ağırlık merkezleri ABCі ABD. Menelaus'un teoremine göre: i. Trikutnik teoremini yazalım DLD 1 : ; => İspat diğer medyan çiftleri için de benzer şekilde gerçekleştirilir.

Teorem (Chevy teoreminin Zastosuvannya'sı).

Başlangıç ​​olarak tetrahedronun çeşitli unsurlarını belirledik. Tetrahedronun kesişen kenarlarının ortasını birleştiren bölüme bimedyen denir. Bivisotlara (benzetme yoluyla) kesişme kaburgalarının eğik dikleri denir.

Teorem.

Tetrahedronun bimedyenleri tetrahedronun medyanları ile aynı noktada hareket eder.

Bitti.

Trikütanöz bölgede az gelişmiş DC kesikler DCі LF yerinde karışmak k. Bu tricut için Chevy teoremine göre: , Tobto, CK = KD, LK - bimedyen.

Saygı 1.

FL = FK. Menelaus'un trikutit teoremi DLK : , , zvidsi LF = FK .

2. saygı

Krapka F Ağırlık merkezi tetrahedrondur. , , Demek istediğim.

1.2 Tetrahedra türlerinin katliamı

§1. Pisagor tetraedronları

Trikutnik'e Pisagor denir çünkü tek bir düz kesimi vardır ve bazı kenarların yerleşimi rasyoneldir (durağanlık benzeri bir şekilde, düz kesimli bir trikutnik'i tüm kenarlarıyla birlikte kaldırabilirsiniz).

Buna benzetme yaparak, dörtyüzlüye Pisagor denir, çünkü köşelerden birindeki düz kenarları düzdür ve iki kenarın yerleşimi rasyoneldir (aynı nedenden dolayı buradan, köşelerden birinde düz düz kenarları olan bir tetrahedron seçebilirsiniz). kaburgaların köşelerinden biri ve tüm vadileri).

"Pisagor tetrahedra çalışması" yazmaya çalışalım, böylece üç bilinmeyenin (ξ, η, ζ) incelenmesi, böylece herhangi bir Pisagor tetrahedronun bu çalışmaya rasyonel bir çözüm vermesi ve ancak rasyonel olarak çözülmüş bir denklem Pisagor tetrahedrasını verir.

Şimdi tüm Pisagor trikütanöz dokularını anlatayım.

Küçük olan için trikutnik OAV- düz kesimli, dozhni yogo bacakları belirgindir Aі B, Ve Dina hipotenüs - boyunca R. Sayı (1) rektum trikütanöz parametresi tarafından çağrılır OAV(Daha doğrusu "hangi bacak" parametresiyle A"). Vikorist ve spivvіdnosheniya p 2 = a 2 + b 2, Maemo:

Bu açıdan bakıldığında rektikütanöz trikuputumun yanlarını parametresi üzerinden ifade eden formülleri hemen reddedebiliriz:

і (2).

Formül (1) ve (2)'den net bir sonuç çıkar: Dikdörtgensel trikübitusun Pisagor olabilmesi için ξ sayısının rasyonel olması gerekli ve yeterlidir. Doğru, Pisagor trikübitülünden bu yana, (1)'den bunun rasyonel olduğunu görüyoruz. Geriye dönersek, eğer rasyonel ise, o zaman (2) Pisagor üçlüsü gibi kenarların kenarları da rasyoneldir.

Hadi şimdi gidelim OABC- üstte düz kenarları olan tetrahedron Hakkında dümdüz. O'nun köşelerinden uzanan Dovzhini kaburgaları, önemli a, b, h Ve dovzhini kaburgalarını kaybetti p, q, r .

Üç düz kesimli trikutletin parametrelerine bir göz atalım OAV, OVS, OSA:

Formül (2)'yi takip ederek, bu düz pirzolaların görünümlerini parametreleri aracılığıyla ifade edebilirsiniz:

Z (4) parametresi olan ortanın dışına doğru titreşir ξ, η, ζ , İlişkiden memnun (6). Bu ben є galle rivnyannya Pisagor tetrahedra.

Formül (3) - (5)'ten tetrahedronun sağlamlığı OABC Pisagor'un tepesinde düz düz kenarlar bulunan parametreler için gerekli ve yeterlidir ξ, η, ζ (Kıskançlıktan memnundular (6)) akılcıydılar.

Pisagor trikutusunun Pisagor tetrahedra ile benzetmesine devam ederek, Pisagor teoreminin kapsamını doğrusal tetrahedra için formüle etmeye ve genişletmeye çalışacağız, ki bu açıkça Pisagor tetrahedra için doğru olacaktır. Lema konusunda bize kim yardım edebilir?

Lemma 1.

Zengin çalılık alanı eski olduğundan S, O zaman π alanına izdüşümü alanı eşittir φ - π düzlemi ile zengin kesim düzlemi arasında.

Bitti.

Lemi'nin sertleşmesi, bir tarafı zengin pirzola düzlemi ile çapraz düzlem π çizgisine paralel olan trikütanöz için açıktır. Doğru, projeksiyon sırasında bu tarafın dengesi değişmez, ancak projeksiyon sırasında üzerine indirilen yüksekliğin dengesi değişir. çünkü bir kere.

Şimdi herhangi bir polihedronun, belirlenen türdeki trikübitüllere bölünebileceğini kanıtlayalım.

Bu amaçla meyve bahçesinin tüm tepelerine düzlemlerin kesit çizgisine paralel düz çizgiler çiziyoruz; Deri yamuğunu deri köşegenleri boyunca kesmeyin.

Teorem 1(Pisagor'un Pisagor teoremi).

Doğrusal bir tetrahedronda ABCD, Üstte düz kenarlı D, Üç düz yüzün alanının karelerinin toplamı düz yüzlerin karesine eşittir ABC .

Bitti.

Ovalar arasında α - kut olsun ABCі DBC, D"- nokta projeksiyonu D daireye ABC. Daha sonra S ΔDBC = СosαS ΔАBCі S ΔD "BC = C osαS ΔDBC(Lemі 1'e göre), yani C osα = . S Δ D " M.Ö. = .

Benzer eşitlikler trikütanöz bölgeye de uygulanabilir. D "ABі D "AC. Onları katlamak ve trikutniki alanının toplamına bakmak D "güneş , D "ACі D "AB antik trikütanöz bölge ABC, Kesinlikle gereksiz.

Zavdannya.

Üstteki tüm düz noktaları durdurun D dümdüz; A , B , C- üstten çıkmak için daha fazla kaburga ekleyin D daireye ABC. Daha sonra

Bitti.

Dikdörtgen bir tetrahedron için Pisagor teoremine göre

Diğer tarafta

1= ) => .

§2. ortosentrik tetradragon

Yükseklikleri her zaman bir noktada (ortomerkez) değişen tricut'a ek olarak, suyun her tetrahedronu güce benzer değildir. Yükseklikleri bir noktada kesişen tetrahedronlara ortosentrik denir. Ortosentrik tetrahedronun anlamı olarak alınabilecek ortosentrikliğin gerekli ve yeterli anlayışından en sonunda ortosentrik tetrahedronu geliştirdik.

(1) Dört yüzlünün yükseklikleri bir noktada değişir.

(2) Yüzlerin diklik merkezi olarak tetrahedronun yüksekliğini değiştirin.

(3) Tetrahedronun iki dış yüzeyi birbirine diktir.

(4) Bölgenin tetrahedronun ön yan kenarlarının karelerinin toplamı.

(5) Tetrahedron kaburgalarının yakın kenarlarının ortalarını birleştirmek için kesikler.

(6) Eşit parçalara sahip protilgal dihedral kesimlerin kosinüslerini oluşturun.

(7) Yüzlerin alanlarının karelerinin toplamı, ön kaburgaların yaratımlarının karelerinin toplamından dört kat daha azdır.

Size ne yaptıklarını anlatalım.

Kanıt (3).

Tetrahedronun iki ön kenarını cilde dik olacak şekilde yerleştirin.

Dört yüzlünün yükseklikleri çiftler halinde değişiyor. Birkaç düz çizgi çiftler halinde yıpranıyorsa, koku aynı düzlemde yatıyor veya bir noktadan geçiyor demektir. Dört yüzlünün yükseklikleri aynı düzlemde olamaz, aksi halde tüm köşeler aynı düzlemde yer alırdı, dolayısıyla koku bir noktada kayardı.

Görünüşe göre tetrahedronun yüksekliklerinin bir noktada kesişmesi için yalnızca iki çift yakın kenarın dikliğini korumak gerekiyor. Bu önermenin kanıtı doğrudan mevcut düzenden ortaya çıkar.

Zavdannya 1.

Tam bir tetrahedron verildiğinde ABCD. Ne olduğunu bana bildirin.

Karar.

Merhaba bir = , b = , z =. Daha sonra , Ve sonuç olarak adalet kesinlikle gereklidir.

Merhaba bir = , B = ben =. kıskançlık 2 + 2 = 2 + 2 , Ne yapıyorsun? (A, c) = 0. Algoritmanın diğer secde kaburga çiftlerine uygulanmasından herhangi bir sertleşme olmadan kaçınılabileceği açıktır.

Gücün tezahürlerine bakalım (6).

Aşağıdaki teoremi kanıtlamak için:

Sinüs teoremi. "Tetrahedronun iki ön gelgit kenarının katısı, sinüslerin katısına ve bu kaburgalardaki dihedral kesitlere bölünmüştür; tetrahedronun üç çift ön gelgit kenarının tümü için aynıdır."

Bertschneider teoremi. "Yaksho Aі B- tetrahedronun kesişen iki kenarı dovzhin ve - bu kenarlardaki dihedral kenarlar, o zaman değer bir çift kesişen kenar seçiminde yatmaz.

Dörtyüzlü için sinüs teoremini ve Bertschneider teoremini kullandıktan sonra, gelgit dihedral kenarlarının kosinüslerinin eşit olduğu sonucuna varırız ve ancak o zaman, gelgit kenarlarının karelerinin toplamı eşitse ve dolayısıyla Id adalet gücü (6) ortosentrik tetrahedron.

Ortosentrik tetrahedron ile ilgili noktanın sonunda, muhtemelen bu konu üzerinde çok fazla çalışma var.

Zavdannya 2.

Ortosentrik tetrahedronun bitişik olduğunu gösterin ВІН 2 = 4R 2 -3d 2, de Hakkında- açıklanan kürenin merkezi, H- nokta yükseklikleri geçecek, R- açıklanan kürenin yarıçapı, d - proksimal kaburgaların merkezleri arasında durun.

Karar.

Merhaba Önceі L- kaburgaların ortası ABі CD açıkça. Krapka N içinden geçilebilecek bir ovada yer alıyor CD dik AB, Bir nokta Hakkında- geçilecek bir ovada Önce dik AB.

Bu düzlemler tetrahedronun merkezine (kesitin ortası) simetriktir. KL. Tüm kenarlar için bu tür düzlemlere bakıldığında noktaların olduğu açıktır. Nі Hakkında simetrik tarz M, yani KLMO- paralelkenar. Kenarlarının kareleri buna eşittir. Noktadan geçmek için enine çubuğa bakmak M paralel ABі CD, Hadi götürelim onu AB 2 + CD 2 = 4d 2 .

Burada noktaların tam olarak ne olması gerektiğini ekleyebilirsiniz. Ah, Mі N Ortosentrik bir tetrahedronun Euler düz çizgisine diyelim.

Saygı.

Euler düz çizgisinin sırası, gelecekte tartışılacak olan ortosentrik terahedron için Euler kürelerinin kökeni olarak görülebilir.

Zavdannya 3.

Bunu bir dairenin ortosentrik tetrahedron'u için deri yüzünün 9 noktasının aynı küre üzerinde (küre 24 noktası) bulunduğunu getirin. Bu görevin başarılı olması için, yaklaşan görevin yürütülmesinin tamamlanması gerekir.

Zavdannya 4.

Üçgenin kenarlarının ortasını, köşelerin yüksekliklerini ve kesme yüksekliklerinin ortasını çapraz ayaklarının noktasına getirerek tek bir daire - 9 noktalı bir daire (Euler) üzerinde duracak şekilde getirin.

Bitti.

Merhaba ABC- Danimarka trikutnik'i, N- çarpının noktası yogo yüksekliğidir, A 1, B 1, C 1- kesintilerin ortası AN, VN, SN; AA 2- yükseklik, bir 3- orta Güneş. Açıklık sağlamak için dikkate alacağız ABC- devlet trikutnik. parça B 1 A 1 Z 1 = SİZі ΔB 1 A 2 Z 1 = ΔB 1 NS 1, O B 1 A 2 Z 1 = B 1 NS = 180 ° - B 1 A 1 Z 1, Tobto puanları A 1, B 1, A 2, C 1 tek kazığa yat. Ulaşmak da kolaydır B 1 A 3 Z 1 = B 1 NS = 180 ° - B 1 A 1 Z 1, Tobto puanları A 1, B 1, A 3, C 1 aynı zamanda (ve bu aynı çember üzerinde) de bulunabilir. Yıldız, akıldaki 9 noktanın tamamının tek bir kazıkta olduğunu gösteriyor. Geniş açılı trikütanyumun viphacusu ABC benzer görünüyor.

Saygılarımla, 9 noktalı daire, H'de bir merkez ve bir katsayı (örgü üçgenlerin kendileri olarak adlandırılan) ile açıklanan kazığa homotetiktir. ABCі bir 1 B 1 C 1). Diğer tarafta, 9 noktalı daire, tarif edilen kazığa homotetik olup, merkezi trikutellumun ortancaları arasındaki çapraz noktadadır. ABC ve bir katsayı (ABC üçgenleri ve kenarlarının ortasında köşeleri olan üçgen).

Şimdi 9 puan işaretledikten sonra 3. görevi tamamlamaya geçebilirsiniz.

Bitti.

Ortosentrik tetrahedronun enine çubuğu, protidal kaburgalara paralel bir düzlem olmalı ve bu kaburgalardan aynı mesafede geçmeli ve köşegenleri tetrahedronun protidal kaburgalarının merkezleri arasında uzanan bir rektum olmalıdır (bunların hepsi eşit olur) Gerekli ve yeterli zihinsel ortosentriklik (5)'e bakınız. Ortosentrik bir tetrahedronun tüm kenarlarının merkezlerinin, merkezi bu tetrahedronun merkezine yakın olan bir kürenin yüzeyinde yer aldığı ve çap, tetrahedronun ön yan kenarlarının merkezleri arasındadır, bu, hepsinin bu kürenin yüzeyinde uzanan 9 nokta olduğu anlamına gelir.

Zavdannya 5.

Ortosentrik bir tetrahedronun ağırlık merkezini ve yüzlerin yüksekliklerinin ağ örgüsünün yanı sıra, tetrahedronun deri yüksekliği bölümlerini tepe noktasından yüzlerin ağ örgüsü noktasına kadar bölen noktaları da getirin. 2: 1 oranındaki yükseklikler bir küre üzerinde yer alır (küre 12 nokta).

Bitti.

puanları bir kenara bırak Ah, Mі N- görünüşe göre tarif edilen çekirdeğin merkezi, ağırlık merkezi ve ortosentrik tetrahedronun Ortosantr'ı; M- kesimin ortası Şasi(Böl. Sorun 2). Tetrahedronun yüzlerinin merkezleri, homotetik bir tetrahedronun köşeleri olarak hizmet eder ve homotetiğin merkezi bu noktadadır. M ve bu homojenlik noktasına sahip bir katsayı Hakkında asıl noktaya gitmek Yaklaşık 1, Roztashovanu bir ikram için MN ne olmuş , Yaklaşık 1 kürenin merkezi yüzlerin ağırlık merkezlerinden geçecektir.

Öte yandan, tetrahedronun yüksekliğini köşelerden ortomerkeze 2:1 bölen noktalar, homotetik merkezi olan buna homotetik bir tetrahedronun köşeleri olarak hizmet eder. N ve bir katsayı. Bu homojenlikle, mesele Hakkında, Yak kolay bachiti, aynı noktaya git Yaklaşık 1. Bu şekilde, on iki noktanın tümü, merkezi merkezde olacak şekilde kürenin yüzeyinde yer alır. Yaklaşık 1 ve bir tetrahedrona yakın olarak tanımlanan bir kürenin yarıçapından üç kat daha küçük bir yarıçap.

Deri kenarının yükseklik noktalarının bu kürenin yüzeyinde bulunduğunu görelim.

Merhaba O`, N'і M'- açıklanan kazıkların merkezi, yüksekliklerin enine çubuğunun noktası ve herhangi bir sınırın merkezi. O'і N'є noktaların projeksiyonları Hakkındaі N sınırın kalınlığına ve kesime M' bölümü böl Açık birlikte 1: 2, gürültülü bir şekilde O'(Bu planimetrik bir gerçektir). Artık döndürmek kolaydır (böl. Şekil), bu nedenle projeksiyon Yaklaşık 1 sınır noktası alanına O'1 kesimin ortasından kaçınır M'N', Tobto Yaklaşık 1 Tam olarak kaldırıldı M'і N', Ne gerekiyorsa.

§3. Çerçeve tetraedrikleri

Çerçeveye, tetrahedronun altı kenarının hepsinden oluşan bir kürenin bulunduğu tetrahedron denir. Her tetrahedron çerçeveli değildir. Örneğin, "uzun" paralel yüzlü olarak tanımlanan eş yüzlü bir tetrahedronun tüm kenarlarını içeren bir küre yaratmanın imkansız olduğunu anlamak kolaydır.

Çerçeve tetrahedronun gücünü geçersiz kılıyoruz.

(1) Dört yüzlünün tüm kenarlarından oluşan bir küre vardır.

(2) Nehrin çapraz kaburgalarından Sumi dovzhin.

(3) Kaburgaların protidal kaburgalarında Sumi dihedral kesimler.

(4) Sınırlarda yazılı olan kola çiftler halinde toplanmıştır.

(5) Dört yüzlünün rozetlerinde görünen tüm kütiküller anlatılmıştır.

(6) İçlerine yazılan çizgilerin merkezlerinden yüzlere uzanan dikler bir noktada kesişir.

Terahedron çerçevesinin üs sayısını ortaya çıkaralım.

Kanıt (2).

Merhaba Hakkında- iç noktalarda dört kenarı bulunan kürenin merkezi. Sevgili şimdi, ne anlamı var X daha fazlasını gerçekleştirmek XPі xq merkezi olan küreye Hakkında, Sonra noktalar Rі Q düz geçecek simetrik su taşıyan düzlemler XO ve kesimin ortası Güç kalitesi, Bu alan anlamına gelir ROHі QOX yüzeyin arkasında yarat XPQ Rivne Kuti.

O noktasından geçen 4 düzlem çiziyoruz ve tetrahedronun kenarlarını görebiliyoruz. Koku, dihedral kuti'ye bakmaktan cildi iki dihedral kuti'ye böler. Yukarıda dihedral kenarların kesildiği ve tetrahedronun bir yüzüne birbirine eşit şekilde yerleştirildiği gösterilmiştir. İki yüzlü demetlerin hem birinde hem de diğerinde, tetrahedronun dış kenarı için kesilmiş bir demet girin. Diğer kesişen kenar çiftleri için de benzer birleştirmeler yaparak gücün (2) geçerliliğini inkar ederiz.

Tarif edilen chotirukutnik'in gücünün rakamlarını tahmin edelim:

a) Düz chorikutnik ancak o zaman ve ancak bölgenin tüm tarafını özetlersek tanımlanacaktır;

b) Çapraz köşegen iki üçgene bölündüğü anlatıldığına göre, bu durumda üç kutupluların içine yazılan daireler kesişir.

Bu güce bakıldığında diğer güçleri çerçeve tetrahedron'a getirmek kolaydır. Dört yüzlünün gücü (3) doğrudan güç (b)'den, güç (4) ise tetrahedronun gücünden (a) ve gücünden (1) kaynaklanır. Yetki (5) ile yetki (3). Dairelerin tetrahedron arasına yazılı olduğu ve yüzlerinin ağlarının küreye bağlandığı, böylece kenarların buluştuğu doğrudur, dairelerin arasındaki yazıların merkezlerinde bulunan dik çizgilerin kaçınılmaz olarak üst üste bineceği açıktır. bu kürenin merkezinde.

Zavdannya 1.

Kaburga ile küre AB, BC, CDі D.A. dörtyüzlü ABCD noktalarda L, E, N, K,є karenin köşeleri. Bu kürenin kenarları olduğunu gösterin AC, Sonra telaşlanıyor ve kaburgalanıyor BD .

Karar.

Bu arada KLMN- kare. Hadi noktaları çizelim K, L, M, N kürelerin birbirine uyduğu düzlemler. Çünkü tüm bu düzlemler düzleme indirgenmiştir. KLMN, Sonra koku bir noktada değişir S, Düz döndürülmüş 1'e git, De kürenin merkezidir ve Yaklaşık 1- meydanın merkezi. Kareler karenin yüzeyi üzerinde hareket eder KLMN kareye göre TUVW, Kenarların merkezleri noktalardır K, L, M, N. S köşeli yönlü vugilla STUVW'de tüm düz kenarlar eşittir ve noktalar K, L, M, N düz yüzeylerinin açıortayları üzerinde uzanır ve SK = SL = SM = SN. Oh iyi,

SA = SCі SD = SB, yani AK = AL = CM = CNі ВL = BM = DN = DK. Tuvaletin arkasında AC ayrıca çok fazla yaygara var, bu yüzden A C = AK + CN = 2AK. Ve böylece yak SK.-ortay kuta DSA, O DK: KA = DS: SA = DB: AC. şevkle AC = 2AKşimdi sırada ne var DB = 2DK. Merhaba R- kesimin ortası DB, Daha sonra R düz bir çizgide yatmak BU YÜZDEN. tricutnikler DOKі DOP eşittir, bu yüzden DK = DPі DKO = DPO = 90°. Tom KB = Tamam = R, de R- kürenin yarıçapı, yani D.B. Küre de kargaşa içinde.

§4. izohedral tetradragon

Eşkenar tetrahedron'a tetrahedron denir; tüm yüzler eşittir. İzohedral tetrahedronun kimliğini ortaya çıkarmak için kağıttan yeterince yuvarlak bir triket alacağız ve onu orta çizginin arkasından çıkaracağız. Daha sonra üç köşe bir noktada birleşecek ve kenarların yarıları kapanarak tetrahedronun yan kenarlarını oluşturacak.

(0) Yüzler uyumludur.

(1) Çiftler halinde kesişen kaburgalar.

(2) Üçgen çıkıntılar.

(3) Protidal dihedral kesimler eşittir.

(4) Bir kenarı spiral şeklinde olan iki düz kuta, düzlükler.

(5) Düz kesiklerin deri apeksi ile toplamı 180°'dir.

(6) Rozgorka tetrahedron - trikütanöz veya paralelkenar.

(7) Paralepiped Orectum'un Açıklamaları.

(8) Dört yüzlünün üç simetri ekseni vardır.

(9) Çiftler halinde kesişme kaburgalarının transgal dikleri

dik.

(10) Orta çizgiler çiftler halinde diktir.

(11) Düzlemin yüzlerinin çevreleri.

(12) Düzlemin yüzlerinin alanları.

(13) Bölgedeki tetrahedronun yükseklikleri.

(14) Köşeleri, uzayan yüzlerin, yani çizgilerin ağırlık merkezlerine bağlamak için yapılan kesikler.

(15) Nehrin yakın yüzlerinin açıklamalarının yarıçapları.

(16) Dört yüzlünün ağırlık merkezi tanımlanan kürenin merkezine yaklaşmaktadır.

(17) Ağırlık merkezi yazılı kürenin merkezine yaklaşmaktadır.

(18) Tanımlanan kürenin merkezi, yazılı kürenin merkezine yaklaşmaktadır.

(19) Açıklamaların merkezinde 100 yüz bulunan bir küre yazılıdır.

öldürücü yüzler.

(20) Dış tek normallerin toplamı (tek vektörler,

yüzlere dik), sıfıra.

(21) Tüm dihedrallerin toplamı sıfıra eşittir.

İzohedral tetrahedronun hemen hemen tüm güçleri ondan akar

yani onların yalnızca birkaç eylemi gün ışığına çıkacak.

Kanıt (16).

Tetrahedron parçaları ABCD eşkenar, o zaman kuvvete göre (1) AB = CD. hadi tam duralım Önce video AB, Bir nokta L kesimin ortası DC, Videodan videolar KL bimedyen tetrahedron ABCD, Tetrahedron izinin medyanlarının yetkililerinin işaretleri, anlamı nedir Hakkında- kesimin ortası KL, tetrahedronun ağırlık merkezi ABCD .

O zamana kadar, tetrahedronun medyanları vaganın merkezinde tam olarak kayar. Hakkında, Ve bu noktayı üstten başlayarak 3: 1 oranında bölün. Ayrıca söylenenlere ve izohedral tetrahedronun gücüne (14) bakıldığında, bölümlerdeki kıskançlığın başlangıcı açıktır. AT = VO = CO = DO, İz nedir, amaç nedir Hakkındaє açıklanan kürenin merkezi (tanımlanan kürenin sınırlarının ötesinde).

Geri. Merhaba Önceі L- kaburgaların ortası ABі CD belli ki dönem Hakkında- bölümün ortası olan tetrahedronun tarif edilen küresinin merkezi KL. Oskolki Hakkında- tetrahedronun tarif edilen küresinin merkezi, ardından trikütanöz AOBі MORİNA.- kenarları ve kenarortayları eşit olan ikizkenarlar TAMAMі OL. Tom ΔAOB =ΔCOD. Bunun anlamı AB = CD. Diğer secde kaburga çiftlerinin eşitliği de benzer şekilde belirlenir; (1) izohedral tetrahedronun gücüne göre şukane takip edecektir.

Kanıt (17).

Kenardaki dihedral kesimin açıortayına bir göz atalım AB, DC bölümlerini kenarların alanına göre bölün ABDі ABC .

Tetrahedron parçaları ABCD eşkenar, sonra güç için (12) S ΔABD = S ΔABD => DL = LC, Yıldızlar açıortay olarak parlıyor ABL Bimedian'dan intikam almak KL. Aynı şey diğer dihedral kesimler için de geçerlidir ve tetrahedronun açıortaylarının yazılı kürenin merkezi olan bir noktada kesiştiği gerçeği dikkate alındığında, bu noktanın kaçınılmaz olarak bu kürenin ağırlık merkezi olacağı açıktır. izohedral tetrahedron.

Geri. Çünkü vaganın merkezi ve yazılı kürenin merkezi saldırıyla önlenir: DL = LC => SABD = SADC. Tüm yüzlerin eşit boyutunu ve eş yüzlü bir tetrahedronun durgunluğunu ve gücünü (12) benzer şekilde göstererek verileri kaldırıyoruz.

Şimdi gücü getireceğiz (20). Bunun için yeterli bir tetrahedronun güçlerinden birinin getirilmesi gerekmektedir.

tetrahedron teoremi okul el kitabı

Lemma 1.

Dört yüzlünün yüzlerine dik olan vektörlerin çoğunluğu sayısal olarak aynı yüzlerin alanlarına eşit olduğundan, bu vektörlerin toplamı sıfıra eşittir.

Bitti.

Merhaba X- zenginhedronun iç i noktası, h ben (i = 1,2,3,4)- onun önünde aynı seviyeye kadar durun Ben- ah sınırlar.

Zengin yüzlüyü tepe noktası olan bir piramit şeklinde keselim X, Bu sınıra hizmet eden üsler. dörtyüzlü V bu piramitlerin en yüksek sorumluluk miktarı, ardından 3 V = Σh ben S ben, de ben alan Ben- ah sınırlar. Bırak, n ben- i'inci sınırın dış normalinin tek bir vektörü, M i - bu sınırın yeterli noktası. Daha sonra h ben = (Хm ben, S ben n ben), O 3V = Σh ben S ben = Σ (Хm ben, S ben n ben) = (ХО, S ben n ben) + (ОМ ben, S ben n ben) = (ХО, ΣS ben n ben) + 3V, de Hakkında- tetrahedronun noktası sabittir, o halde, ΣS ben n ben = 0 .

Ayrıca izohedral tetrahedronun gücünün (20), belirtilen leminin görünümüyle yuvarlandığı da açıktır. S 1 = S 2 = S 3 = S 4 => n 1 = n 2 = n 3 = n 4, Ve yüzlerin düzlemleri sıfıra eşit olmadığından doğru eşitlik çıkarılır n 1 + n 2 + n 3 + n 4 = 0 .

İzohedral tetrahedron hakkındaki konuşmamızın sonunda biraz bu konuya değinelim.

Zavdannya 1.

Tetrahedron'un merkezinden ve tarif edilen yuvarlak kürenin merkezinden geçen düz çizgi, kenarları iç içe geçirir. ABі CD. Ne olduğunu bana bildirin AC = BDі MS = M.Ö. .

Karar.

Tetrahedronun merkezi, kaburgaların ortasını birleştiren düz çizgi üzerinde yer alır. ABі CD .

Bu nedenle, bu düz çizgi üzerinde tetrahedronun açıklanan küresinin merkezi yer alır; bu, kenarlara dik bir düz çizginin belirlendiği anlamına gelir. ABі CD. Merhaba C'і D'- projeksiyon noktaları Cі D düz geçilebilen bir daireye AB paralel CD. Oskolki AC'BD'- paralelkenar (z pobudovi), o zaman AC = BDі AD = BC .

Zavdannya 2.

Merhaba H- eş yüzlü bir tetrahedronun yüksekliği, saat 1і saat 2- sınırın yüksekliklerinden birinin o sınırın yüksekliğinin kesişme noktasına bölündüğü kesikler. Onu getirmek sa 2 = 4 sa 1 sa 2; Ayrıca, tetrahedronun yüksekliğinin tabanının ve sınırların yüksekliklerinin çapraz çubuğunun noktasının, bu yüksekliğin alçaltıldığı noktanın, bu sınır etrafında tanımlanan kazık merkezine simetrik olduğundan emin olun.

Bitti.

Merhaba ABCD- Danyum tetrahedron, D.H.- yoga yüksekliği, DA 1, DB 1, DC 1- üstten indirilen yüzlerin yükseklikleri D yanda BC, SA ve AB .

Kaburga dizginlerinin tetrahedronun yüzeyini keselim DA, DB, DC, rozeti eziyorum. Açıkça Nє trikütanöz yüksekliğin çapraz bacağının noktası D 1 D 2 D 3. Merhaba F- trikütanöz yüksekliğin çapraz bacağının noktası ABC, AK- bu üçlü kesimin yüksekliği, АF = h 1, FК = h 2. Daha sonra D 1 H = 2h 1, D 1 A 1 = h 1 -h 2 .

Yani parçalar H- tetrahedronumuzun yüksekliği, sa 2 = DN 2 = DA 2 - NA 1 2 = (sa 1 ​​+ sa 2) 2 - (sa 1 ​​- sa 2) 2 = 4 sa 1 sa 2. Hadi şimdi gidelim M- vaga trikütanyumun merkezi ABC(Bu trikütanöz venin merkezidir D 1 D 2 D 3), Hakkında- açıklanan hissenin merkezi. Vidomo F, Mі Hakkında aynı düz çizgide (Euler'in düz çizgisi) yer alır ve M- arasında Fі Hakkında , FM =2MO, Öte yandan trikutnik D 1 D 2 D 3 trikutite homotetik ABC merkezli M ve katsayı (-2), yani MH = 2FM. Neden dışarı çıkıyorsun? VIN = FO .

Zavdannya 3.

Yüksekliklerin, yüksekliklerin orta noktalarının ve yüzlerin yüksekliklerinin çapraz çubuğunun noktalarının bir kürenin (küre 12 nokta) yüzeyinde yer aldığını eş kenarlı bir tetrahedron haline getirin.

Bitti.

Ana görev 2'de, tetrahedron üzerinde tanımlanan kürenin merkezinin, kesimin ortasındaki deri kenarına yansıtıldığı, yüksekliğin uçlarının bu kenara indirildiği ve çapraz yüksekliğin noktasının bu kenara indirildiği sonucuna vardık. bu kenar. Ve parçalar tetrahedronun etrafında tanımlanan kürenin merkezinden sınıra doğru yükseliyor; burada H- tetrahedronun yüksekliği, açıklanan kürenin merkezi, bu noktalardan mesafeye kadar olan mesafelerde, burada A- yüksekliklerin enine çubuğunun noktası ile sınır etrafında tanımlanan kazıkların merkezi arasında durun.

§5. Merkezli tetradry

Tetrahedronun yüzlerinin ağırlık merkezlerini yakın köşelere (tetrahedronun ortancaları) bağlayan kesikler her zaman bir noktada kesişir; bu nokta tetrahedronun merkezidir. Eğer zihninizde yüzlerin ağırlık merkezlerini yüzlerin dik merkezleriyle değiştirirseniz, o zaman ortosentrik tetrahedronun yeni bir anlamına dönüşeceksiniz. Bunları, bazen iç merkezler olarak adlandırılan, daireler arasındaki yazıtların merkezleriyle değiştirirsek, yeni bir tetrahedra merkezli olanlar sınıfı atarız.

Merkezli tetrahedra sınıfının işaretlerini de burada bulabilirsiniz.

(1) Dört yüzlünün köşelerini yakın yüzlere yazılan noktaların merkezlerine bağlayan kesikler bir noktada kesişir.

(2) iki kenarın açıortayları, bu yüzlerin karşı kenarına çekilir, karşı kenarı çizilir.

(3) Nehrin protilegnal kaburgalarından bir dovzhin yapın.

(4) Trikutnik, diğer noktalarla bir tepe noktasından çıkan üç kaburgadan oluşan çapraz çubuğu oluşturur ve bu kaburgaların üç ucundan geçen bir tür küre ile çift taraflıdır.

Kanıt (2).

(1) kuvvetine göre, çünkü DF, BE, CF, AM- trikütanöz bölgelerdeki alt kesilerin ikiye bölünmesi ABCі FBD, Daha sonra kesintiler KSі LD anne olacağım Ben olay yerine varacağım BEN(Böl. Şekil). Düzlüğe ne dersin Bilmiyorumі CL tam olarak karıştırmayın F, O halde açıkçası, KSі D.L. karıştırmayın, bunu yapamazsınız (merkezli tetrahedronun anlamının ötesinde).

Kanıt (3).

Güç (2) ile sektör dışının gücüne bakıldığında açık bir ilişki görülmektedir:

; .

§6. spor tetraedrileri

Tetralara orantılı denir;

(1) Bivisoty rivni.

(2) Bir tetrahedronun bimedyan veya eşkenar dörtgene dik bir düzlem üzerine izdüşümü.

(3) Tanımlanan paralel borunun yüzleri eşit boyuttadır.

(4) 4a 2 a 1 2 - (b 2 + b 1 2 -c 2 -c 1 2) 2 = 4b 2 b 1 2 - (c 2 + c 1 2 -a 2 -a 1 2) 2 = 4c 2 c 1 2 - (a 2 + a 1 2 -b 2 -b 1 2) 2, de Aі 1 , Bі B 1 , Hі z1- çıkıntılı kaburgaları doldurun.

(1) - (4) değerlerinin denkliğini tamamlamak için, tetrahedronun yüksekliklerinin, yetkililer (2) tarafından tahmin edilen projeksiyon olan paralelkenarın yüksekliklerine ve açıklananların yüksekliklerine eşit olduğuna dikkat edin. paralelyüzlüdür ve kare, örneğin bir kenarı barındırmak için paralelyüzlüden daha düzdür İle, daha moderndir ve skaler katı, formül (4)'ü takip ederek tetrahedronun kenarları aracılığıyla ifade edilir.

Buraya iki orantılılık duygusu daha ekliyoruz:

(5) Bir çift protidal kaburga deri çifti için, bunlardan birinin içinden ve diğerinin ortasından çizilen düzlemin tetrahedron'u diktir.

(6) Orantılı bir tetrahedronun paralelyüzünün açıklamalarında bir küre yazabilirsiniz.

§7. doğru tetralar

Bir tetrahedronun kenarları birbirine eşit olduğundan, tetrahedronun kenarları üçgen, dihedral ve düz olacaktır. Bu durumda tetrahedrona düzenli denir. Böyle bir tetrahedronun ortosentrik, çerçeveli, eşkenar, merkezli veya benzeri olması da önemlidir.

Saygı 1.

Tetrahedron izohedral ise ve aşağıdaki tetrahedra türlerinden birine aitse: ortosentrik, çerçeve, merkezli, simetrik, o zaman doğru olacaktır.

2. saygı

Dörtyüzlü doğrudur çünkü en fazla iki tür tetrahedron içerir: ortosentrik, çerçeve, merkezli, simetrik, eşkenar dörtgen.

Düzenli bir tetrahedronun gücü:

Kutanöz apeks, üç trikütanöz dokunun tepesidir. Bu, cilt apeksindeki düz kesilerin toplamının 180 dereceye eşit olacağı anlamına gelir.

(0) Ü düzenli tetrahedron Ayrıca bir oktahedron yazabilirsiniz, ayrıca oktahedronun sekiz sınırı tetrahedronun yüzleriyle birleştirilse de, oktahedronun altı köşesinin tümü tetrahedronun altı kenarının merkezleriyle birleştirilecektir.

(1) Düzenli bir tetrahedron, yazılı bir oktahedron (merkezde) ve dört tetrahedradan (köşelerde) oluşur ve bu tetrahedra ve oktahedronların kenarları, normal tetrahedronun kenarlarının iki katı kadar küçüktür.

(2) Düzenli bir tetrahedron bir küpün içine iki şekilde yazılabilir, ayrıca tetrahedronun birkaç köşesi küpün birkaç köşesiyle birleştirilecektir.

(3) Bir ikosahedron içine düzenli bir tetrahedron yazılabilir, ayrıca tetrahedronun köşeleri ikosahedronun aynı köşeleriyle birleştirilecektir.

Zavdannya 1.

Düzenli bir tetrahedronun kesişen kenarlarının karşılıklı olarak dik olduğundan emin olun.

Karar:

Merhaba DH... düzgün bir tetrahedronun yüksekliği, H noktası düzgün bir tetrahedronun merkezidir Δ ABC . Daha sonra AD bölümünün ABC tabanının alanına izdüşümü bölüm olacaktır. B.H. . Oskolki B.H. AC. , o zaman teoreme göre yaklaşık üç dik BD AC. .

Zavdannya 2.

Düzenli bir tetrahedron verildiğinde MAV'lar kenardan 1. düz çizgiler arasındaki konumu bulun ALі MO, de L yaprak orta damarı HANIM , Hakkında- merkez sınırı ABC.

Karar:

1. Kesişen iki düz çizgi arasında durun - dik olanı ikiye katlayın, bir düz çizgiden bu düz çizgiye paralel bir düzleme indirin ve birbirinin önüne düz bir çizgi yerleştirin.

2. Bir projeksiyon olacağız AK video AL daireye ABC. pürüzsüzlük AKL düzleme dik ABC, Düz çizgiye paralel M.O. ve doğrudan intikam al AL. Bu, Shukana Dovzhina'nın dikeyin dovzhina'sı olduğu anlamına gelir. AÇIK, Noktadan çıkarılmış Öönce AK .

3. Biliyoruz S Δ KHA iki şekilde.

SΔ = .

Diğer taraftan: S Δ KHA =

buna ρ.

biliyoruz AÇIK : ρ= .

Zavdannya 3.

Trikütanöz piramidin kutanöz kaburgası PABC eski 1; BD- trikütanöz yükseklik ABC. Çift taraflı tricutnik BDE köşeyi oluşturan dairede uzanmak ϕ kenarın arkasında AC., Üstelik, noktalar Pі e uçağın bir tarafında yatmak ABC. Noktalar arasındaki mesafeyi bulun Pі e .

Karar. Piramidin tüm kenarlarının parçaları PABC Rivni, bu düzenli bir dörtyüzlü. Merhaba M- standın merkezi ABC , N- tepe noktasının ortogonal projeksiyonu e eşkenar trikübitus BDE daireye ABC ,k- orta BD ,F- bir noktadan bırakılan bir dikmenin tabanı e yükseğe ÖĞLEDEN SONRA. dörtyüzlü PABC. yani yak E.K. BD, O zaman teoreme göre yaklaşık üç dik N.K. BD, O EKN- düz yüzeylerle dolu dihedral bir sırtın doğrusal sırtı ABCі BDE, Ve buna NK || AC., O EKN = ϕ . İşte şunu söyleyebiliriz:

BD = , MD = , KD = , BD = , ÖĞLEDEN SONRA. = ,

K.M. = KD - MD = - = , E.K. = BD · = , TR = E.K. günah ϕ = günah ϕ ,

NK = EKcos ϕ = çünkü ϕ , Minnesota 2= NK 2+KM 2 = çünkü 2ϕ + ,

P.E. 2= EF 2+PF 2= MN 2 + (Başbakan - MF)2= MN 2 + (PM - TR)2 =

= çünkü 2ϕ + + ( - günah ϕ )2 = çünkü 2ϕ + + - günah ϕ + günah 2ϕ == + + - günah ϕ = - günah ϕ = - günah ϕ .

Oh iyi,

PE = = .

Zavdannya 4.

Dört yüzlünün bitişik yüzlerinin kesişen yükseklikleri arasındaki yolları bulun.

Karar.

Vipadok No.1.

Merhaba B.K.і DF- kenarların yüksekliği ABCі BCD. BK, FD = α . Tetrahedron yak'ın önemli ölçüde dovzhinu kenarı A. gerçekleştirilecek FL || B.K., Daha sonra α = DFL . , KL = LC.

Δ DLF :

; ; ; .

Düşme No. 2 (yükseklik farklı şekilde ayarlanır).

B.K.і CN- kenarların yüksekliği ABCі BCD. gerçekleştirilecek FP || CNі FL || B.K. . ; . biliyoruz LP .YAPMAK- düzenli bir tetrahedronun yüksekliği, YAPMAK = , Q- projeksiyon P daireye ABC , . ,

için kosinüs teoremini yazalım. Δ İşgücüne katılım :

Peki varış noktalarının arkasındaki düz çizgiler arasında nasıl gideceğiz?

Bölüm II. Ortaokul matematik dersinde tetrahedron

§1. Okul el kitaplarında bu “dörtyüzlülerin” sunumunun eşit bir özelliği

Bir okul geometri dersinde Tetrahedron'un temellerini öğrenmek çok zaman alacaktır. Bu görevi yerine getirirken neredeyse hiçbir metodolojik problem yoktur, çünkü matematiğin başlangıcındaki geçmiş kayaların ön hazırlık kurslarından böyle bir piramidin (trikütanöz dahil) öğrenildiği için, hayatın tanıklığı. Düzenli bir tetrahedron, düz analogu - düzenli bir trikübitül ile ilişkilidir ve kenarların eşitliği, kenarların veya yüzlerin eşitliği ile ilişkilidir.

Ancak öğrencilerin anlayabileceği sorunlar ortaya çıkar ve farklı öğretmenler bunları farklı şekillerde (teorik materyalin sırasına göre, görevin karmaşıklığına göre vb.) çözmeye çalışırlar. Dörtyüzlü bükülme açısından geometrinin genişlemesinin kısa bir tanımını verelim.

Atanasyan L.S. ve 10-11.sınıflar için “Geometri” el kitabındaki “Tetrahedron” konularının katkısı.

İÇİNDE temel Ortaokul 10-11. sınıflar için “Geometri” öğretmeni Atanasyan L. S. ve içinde. Tetrahedronlarla ilgili bilgi 7 noktada bulunabilir (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).

El kitabının yazarları tetrahedronu dört kolla katlanmış bir yüzey olarak tanımlıyor. 10. sınıf el kitabının teorik temelinden, tetrahedronun yüzleri, kenarları ve köşeleri, tetrahedronun yüzey alanı, tetrahedronun hesaplanan yüzey alanı hakkında bilgi edinebilirsiniz. ve kesilmiştir (Bölüm III, § 2 “Piramit”).

El kitabının teorik materyali kompakt ve biçimsel olarak tekdüze bir şekilde sunulmaktadır. Bazı teorik materyaller el kitabının pratik kısmına genişletildi (bazı teoremlerin ispatları problemlerde gerçekleştirildi). Tutma yerinin pratik malzemesi iki katlanabilirlik düzeyine bölünmüştür ("özel katlanabilirlik" olarak adlandırılan, özel "*" simgesiyle işaretlenmiştir). Ek olarak, el kitabının sonunda tetrahedronların birbirine uyduğu, yüksek karmaşıklıktaki görevlerin yer aldığı bir problem kitabı bulunmaktadır. Asistan ofisinin faaliyetlerine bir göz atalım.

Görevlerin sürümü.

Zavdannya 1 (No. 300). Doğru haraç piramidinde DABC puan E, F iP- kenarların ortası M.Ö. , AB ve AD. Piramidin tabanının yan tarafı eski olduğundan, çapraz çubuğun görünümünü kontrol edin ve alanını bulun. A, Yan kaburga eskidir B.

Karar.

Noktalardan geçebilecek kadar düz olacak bir çapraz çubuğumuz olacak E, F, P. Trikübitusun orta çizgisini çizelim ABC , E.F. || AC. ,

E.F. || AC, A A C geç saate kadar yatmak pl. D CA., demek E.F. || pl. DCA. Sınırın karşısındaki kesim boyunca alan DCA Düz bir çizgide P.K.

Çubuğun parçaları doğrudan geçmelidir E.F. düzleme paralel DCA ve yüzey üzerinde hareket eder DCA, o zaman çizgiyi geçeceğim PK düz çizgiye paralel E.F.

Arada kalalım BDA video FP, ve arasında BDC- video E.K. Chotiricutnik EFOK Ve є shukane peratin. E.F. || AC, PK || E.F. || AC, , , demek.

Oskolki PK || EF ve PK = E.F. O EFPK- paralelkenar. Böyle bir şekilde ek || EP, EP- trikütanöz orta çizgi BCD .

Düz çizgiler arasında kesin D.B.і CA. daha eski 90 °. Bunu karşıya geçirelim. Piramidin yüksekliğini belirleyelim YAPMAK. Krapka Ö- düzenli trikuputumun merkezi ABC. kalıcı video BÖ. bu taraftaki pervaza AC. Kesinlikle M. Sağ trikutnikte ABC: BM- yükseklik, ortanca ve açıortay vb. O halde bir düz çizgi ile bir düzlemin diklik işaretine göre bu mümkündür. , Todi.

Oskolki, PK || CA.і E.K. || BD, Bu kadar EFPK- dik.

.

Zavdannya 2 (No. 692).

Piramidin tabanı bacakları olan doğrusal bir üçlüdür Aі B. Yan kaburganın derisi kesiğin altındaki taban düzlemine kadar inceltilir φ . Piramidin hacmini bulun

Karar:

ABCD- piramit, kut ABC- düz kesim , AC = b, BC = a, tatlım DAO, DBO, DCO Rivni. biliyoruz VDABC0.

1) ΔDAO = ΔADC = ΔDBO yan ve sıcak taraf boyunca, bu şu anlama gelir: AO = OC = OB = R yukarıda açıklanan kola ΔABC.Çünkü . ΔABC- o zaman net .

2)Z ∆ DOC : ; .

3) ; ; .

Pogorelova A.V. 7-11. Sınıflar için “Geometri” el kitabına “Tetrahedron” konularının katkısı.

Başka bir temel asistanda A.V. Pogorelov ve bu ve diğer dünyalardaki diğer teorik materyaller, 176-180, 186, 192, 199, 200 paragraflarında yer alan “Tetrahedron” a tabidir.

Paragraf 180 "Düzenli çokyüzlüler", "düzenli tetrahedron" kavramının anlamını içerir ("Bir tetrahedron, tüm kenarların eşit olduğu bir bağımlı piramittir"), piramit hakkındaki çeşitli otoritelerin ve teoremlerin kanıtı koltuklarla gösterilmektedir. Traedra. Ancak bu ilk referans kitabında kazınmış figürlere vurgu yapılmamıştır ve bu anlamda bilgi içeriği (tetrahedron gibi) düşük olarak değerlendirilebilir. El aletinin pratik malzemesi yeterli sayıda görev içerir, böylece genişletilmiş trikuputa (özünde bir tetrahedron olan) dayanan piramitler vardır. Liderlerin eylemlerini mutlaka çözelim.

Görevlerin sürümü.

Zavdannya 1 (“Bagatogranniki” noktasından No. 41).

Piramit tabanı - eş ahlaklı tricut Taban uzunluğu 12 cm, yan tarafı 10 cm olan yan kenarlar tabanın arkasında eşit dihedral kesimlerle oluşturularak 45°'ye yerleştirilecektir. Piramidin yüksekliğini bulun.

Karar:

hadi bir dik çizelim BU YÜZDEN tabanın karesine ve diklere S.K., S.M.і SN yanlara ΔABC. Todi'nin üç dikle ilgili teoremi üzerine TAMAM BC, OM AC ve AÇIK AB.

todi, SKO = SMO = SNO = 45° - doğrusal kesimler ve dihedral kesimler gibi. Ve sonra düz kesimli trikutnikler SKO, SMO ISNO bacak arkası ve sıcak kesime eşittir . Ne olmuş Tamam = OM = AÇIK, mesele bu Hakkında kazık merkezinin yazılı olduğu ΔABC.

Dikdörtgen bitkinin Vislovimo karesi ABC:

Diğer tarafta , . Ne olmuş ; OK = r = 3 cm. Yani düz kesimli trikutnikte yak ŞOK gostrium kut 45°'ye eşittir , O ΔSOKє ikizkenar Yani=Tamam= 3 (cm) .

Zavdannya 2 (“Zengin Yüzlülerin Obsyagi” paragrafından No. 43).

Trikübitusun tabanı olan piramidin iki parçasının hacmini bulunuz. a ben β; açıklanan kazık yarıçapı R. Piramidin yan kaburgaları kesimin altındaki taban düzlemine kadar istiflenir γ.

Karar.

Piramidin tüm yan kaburgaları taban düzlemine kadar tek ve aynı kazık altında inşa edildiğinden piramidin yüksekliği Ç 1 Ç yukarıda açıklanan dairenin merkezinden geçin. Ne olmuş

ΔABC'de. Bu sinüs teoremi ile doğru

Ne olmuş , , =

=.

Trikütanöz bölge :

Daha sonra .

Aleksandrov A.D. 10-11. Sınıflar için “Geometri” el kitabına “Tetrahedron” konularının katkısı.

Baş asistan Alexandrova A.D.'ye bir göz atalım. İçeri gir. “Geometri: 11. sınıf öğrencileri için el kitabı. H hadi kendimizi gömelim matematik." Bu el kitabında tetrahedron'a ayrılmış başka paragraf yoktur, ancak tema diğer paragrafların parçalarının görünümünde mevcuttur.

Dört yüzlünün ilk fikri §21.3'tür. Bu bölümdeki materyal, dışbükey bir piramidin üçgenlenmesi durumunda olduğu gibi, çokyüzlülerin üçgenlenmesine ilişkin teoremi incelemektedir. El kitabındaki “zengintahedron” kavramı iki şekilde yorumlanıyor, kavramın diğer anlamı doğrudan tetrahedronla ilgili: “Zenginhedron, tetrahedronların uç sayılarını birleştiren bir rakamdır…”. Doğru piramidin bilgisi ve tetrahedronun simetrisinin belirli yönleri §23'te bulunabilir.

§26.2, düzgün çokyüzlüler (tetrahedron dahil) için Euler teoreminin (“düzenli ölçüler hakkında”) tanımını açıklar ve §26.4, bu şekillerin karakteristik simetri türlerini inceler.

Ayrıca el kitabında bir tetrahedronun orta çizgisi, kütle merkezi (§35.5) ve izohedral tetrahedranın sınıfı hakkında bilgi bulabilirsiniz. Tetrahedra ile ilgili en önemli öğreti sırasında 1. ve 2. cinsin Rukh'ları gösterilir.

Kılavuzun dikkate değer bir özelliği, yazarların raporun erişilebilir ve net yapısıyla aktarmayı başardıkları yüksek düzeydeki bilimselliğidir. Liderlerin eylemlerini mutlaka çözelim.

Görevlerin sürümü.

Zavdannya 1.

O zamana kadar doğru triquat kesik piramit Yan kenar a ile tüm kenarları kaplayan bir küre ve tüm kenarları kaplayan bir küre yerleştirebilirsiniz. Piramidin kenarlarını bulun.

Karar.

Koltuğun üzerinde hayal edilebilecek bir piramit var. Verilen piramit, - "yenilenen" piramidin yüksekliği - kısmı üst tabana kadar kesilmiştir. Tasarım planimetrik hale getirilir, bu durumda bu kürelerin üzerini boyamaya gerek kalmaz. Sonuç olarak, kesik piramidin içine tüm kenarlar dahil edilecek şekilde bir küre yazılabilir, ardından yan yüzüne bir daire yazılabilir. Önemli bir şekilde (alt bölümün netliği adına) ve tarif edilen chotirikutnik için işaretleri kaldırıyoruz

Temelde yuvarlak olan yazılı yolun tabanı, yamuk şeklinde (“yenilenen” piramidin özü) yayılır, böylece merkezi ortada yer alır ve kendisi de diğerlerinin yanında durur. üç taraf yamuk.

Merkez kuli, i - dotik noktaları. Daha sonra . Miktarın ta ile ifade edildiği açıktır. Z:. Z:. Yamuktan: . Kaldırılabilir kıskançlık:

.(2)

Eşitlik sistemi (1) ve (2) kurulduğunda tarafların eşit olduğu açıktır.

zavdannya 2 .

Düzenli bir tetrahedronun kenarı olan ortası A Eşit küreler genişletilerek deri kürenin diğer üç küreyle ve tetrahedronun üç yüzüyle birleştirilmesi sağlanır. Bu kürelerin yarıçapını bulun.

Karar .

Danimarka tetrahedron, - yüksekliği, - kürelerin merkezi, - bir düzlemle düz bir çizginin enine çubuğunun noktası. Buna göre, düzlemlerin buluştuğu eşit kürelerin merkezleri, kendisinden eşit mesafelerde, Culi'nin yarıçapı ile deriyle ilişkilidir (ortalama X). Bu, düzlemlerin paralel olduğu anlamına gelir.

Ale yak, bir kenarın arkasındaki düzenli bir tetrahedronun yüksekliğidir; kenarı 2 olan düzgün bir tetrahedronun yüksekliği nedir X ; .

Vislovity'yi kaybettik. Noktanın üçgen kesimin ortasında yer alması ve yüzeydeki yüzlerinden uzak olması ve üçgen kesimin düz kesimlerinin hizalanması önemlidir. Bu şeylerden kurtulmak kolay değil. Şu seviyeye geliyoruz:

, Yıldızlar vedalaştıktan sonra kaldırılabilir.

10-11. Sınıf Smirnova I.M. için “Geometri” el kitabına “Tetrahedron” konularının katkısı.

Smirnova I.M.'nin beşeri bilimler profilinin 10-11. sınıfları için el kitabına "Tetrahedron" konularını dahil edeceğim. Yaklaşan etkinliklere adanmıştır: 18, 19, 21, 22, 28-30, 35.

“Herhangi bir dışbükey çokyüzlü, tabanları çokyüzlünün yüzeyini oluşturan, yanal tepe noktasına sahip bir piramit ile katlanabilir” teoremini tamamladıktan sonra Euler teoremini bu tür zengin birkaç hedra, zokrema, vykonannaya teoremi için ele aldık. bu, özünde tetrahedron olan üç parçalı piramit için.

Bunun avantajı, Euler teoremi ile aynı teoriye dayanan topolojiyi ve topolojik olarak düzenli zenginyüzlüyü (tetrahedron, oktahedron, ikosahedron, küp, dodekahedron) görebilmenizdir.

El kitabında önemli bir kavram olan “doğru piramit” tanıtıldı; Tetrahedron'un yazılı ve tanımlanmış kürelerinin yaratılması, tetrahedronu bir arada tutan simetrinin gücü hakkındaki teoremler ele alınmaktadır. Son derste (35) trikütanöz piramidi bulma formülü özetlenmiştir.

bunun için ilk yardımcı Karakteristik, açıklayıcı ve tarihsel materyale büyük bir bağlılık, aynı zamanda pratik materyale küçük bir bağlılık ve ustanın doğrudanlığı anlayışıdır. Smirnova'nın asistanı I.M.'ye de bakalım. İçeri gir. 10-11 doğa bilimleri sınıfı için.

10-11. Sınıf Smirnova I.M. için “Geometri” el kitabına “Tetrahedron” konularının katkısı. İçeri gir.

İlk yardımdan itibaren kompozisyonlar ve düzenlemelerin eşit karmaşıklığı en yüksek spesifikasyona kadar genişletilir. Olağanüstü uzmanlık Materyalin özeti el kitabında yer alan “dönemlere” bölünmüştür. Dörtyüzlü ilk paragrafta ("Sterometriye Giriş") tanıtılmış, "piramit" kavramı ise §3'te tanıtılmıştır.

Bir dizi stereometrik şekil ile görevleri tamamlamak için ilk elden pratik materyal olarak. §26'daki materyalde bir tetrahedron içine yazılmış bir küreyle ilgili bir teorem bulabilirsiniz. Bir tetrahedron olan Reshta teorik malzemesi aslında daha yüksek kalite ile karakterize edilen, elde taşınabilen bir malzemenin malzemeleriyle birleştirilmiştir.

Görevlerin sürümü.

Zavdannya 1.

Düzenli bir tetrahedronun yüzeyi boyunca en kısa yolu bulun ABCD noktaları birleştirir eі F, Tetrahedron'un üst köşelerinden yan yüzlerin 7 cm yüksekliğinde döndürülür. Tetrahedronun kenarı 20 cm uzunluğundadır.

Karar.

Bir tetrahedronun üç yüzünden oluşan gruba bakalım. En kısa yol noktaları birleştiren bir kesim olacaktır eі F. Yogo dovzhina'nın boyu 20 cm'dir.

Zavdannya 2.

Piramidin tabanında düz kesimli bir tricut bulunur, bacaklardan biri yaklaşık 3 cm, diğer tarafı ise yaklaşık 30 derecedir. Piramidin tüm yan kaburgaları taban düzlemine 60 derecelik bir kesimle döşenir. Piramidin hacmini bulun.

Karar.

ABC alanı daha eskidir. Orta kısım yükseklik tabanı görevi görür. Tricutnik SAC - çift taraflı. .

O halde antik piramitleri kullandık.

Visnovok.

Asistan Atanasyan L.S.'nin özelliği ile. öyle. Dört yüzlünün dönüşümü erken bitmeye başlar, materyal kurs boyunca dağılır ve farklı karmaşıklık seviyelerinde sunumlar vardır. Pogorelov'un asistanı A.V. Materyal kompakt bir şekilde geliştirildi, "dörtyüzlü" kavramı ve diğer geniş figürler kavramı tam anlamıyla tanıtıldı (10. sınıfın sonunda), pratik materyal, eldeki sunumlar, küçük bir takıntı. Asistan Smirnova I.M. İçeri gir. Teorik materyalin yanı sıra pratik materyal de küçük hacimlidir, pratiktir ve düşük düzeyde karmaşıktır; el kitabı matematik tarihinden çok sayıda materyalle ilgilidir. Asistan Alexandrov A.D. İçeri gir. Malzemenin katlanabilirlik seviyesi daha yüksektir, malzemenin kendisi daha çeşitlidir, kişisel değildir pratik siparişler Teorinin bu kısmını ortaya koymak gerekirse, beslenmenin görünümünde aşırı problemler ve problemler var, bu da onu başkalarının yaprak bitlerinde açıkça gösteriyor.

§2. Ortaokullarda ferah tasarımın gelişiminin test edilmesi

Zeka, tüm insanlarda ortak olan bilgi ve anlayışın özüdür. Bazı insanlar bundan büyük dünyada, bazıları ise daha küçük dünyadan keyif alır, ancak her insan hayatı boyunca onu neredeyse hiç değişmeden korur. Aklın kendisi doğru hareket etmeli ve faydasına dikkat etmelidir.

Psikolojide zeka, bilgiyi özümseme ve onu temelde yeni olan diğer durumlarda kullanma yeteneği olarak tanımlanır. Genel olarak test, bir kişinin acil durumlara ne kadar başarılı bir şekilde uyum sağladığını belirleyebilir. Bu test için entelektüel gelişimin önemi, bir saatlik çalışmanın önemini ve önemini tamamlamaktır, bu nedenle bu çalışmanın metninde geniş bir zihnin gelişimini gösteren zeka testi metodolojisinin bir kısmı yer alacaktır. Evrenin alanı, en yüksek düzeyde bir yere sahip olan, pratik ve teorik alanda (hem görünür hem de hayali) bir yönelim yaratan belirli bir zihinsel aktivite türüdür. En gelişmiş biçimleriyle, gücün ve otoritenin enginliğini yakalayan görüntüler vardır. Farklı bir temelde oluşturulan çıktı görüntüleri ile çalışan zihin, bunların değiştirilmesini, dönüştürülmesini ve çıktının yerine yeni görüntülerin yaratılmasını sağlayacaktır.

Test ("Uzamsal zekanın gelişimi için mini test", F. Carter, K. Russell'ın "Zeka gelişimi için ilk test" kitabından) tüm yaş grupları için evrenseldir ve az bir zaman alır (30 dakika) ). Sınav metni ve anahtarları diplomanın önündeki “Ek No. 1”de mevcuttur.

Düzenli bir tetrahedron, kenarlarda tüm dihedral kenarlara ve köşelerde tüm üçgen kenarlara sahiptir.

Bir tetrahedronun 4 yüzü, 4 köşesi ve 6 ayrıtı vardır.

Düzenli bir tetrahedronun temel formülleri tabloda verilmiştir.

de:
S - Düzenli bir tetrahedronun yüzey alanı
V - hacim
h - yükseklik, tabana indirildi
r - tetrahedronda yazılı dairenin yarıçapı
R - açıklanan kazık yarıçapı
a - dovzhina kaburga

pratik izmarit

Karar.
Tricut piramidinin tüm kaburgalarının parçaları eşittir - doğru olan. Düzenli trikütanöz piramidin yüzey alanı S = a 2 √3'tür.
Daha sonra
S = 3√3

Onayla: 3√3

zavdannya.
Düzenli trikütanöz piramidin tüm kaburgalarının uzunluğu 4 cm'ye eşittir. Piramidin hacmini bulun

Karar.
Doğru üç parçalı piramitteki parçalar, piramidin yüksekliği aynı zamanda tarif edilen kazıkların da merkezi olan standın merkezine yansıtılır, ardından

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Bu şekilde, piramidin OM yüksekliği doğrusal trikütanöz AOM'dan bulunabilir.

AO2 + OM2 = AM2
OM 2 = AM 2 - AO 2
ÖM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
ÖM 2 = 16 - 16/3
ÖM = √ (32/3)
ÖM = 4√2 / √3

Piramidin formülü V = 1/3 Sh
Bunun için ikame alanı S = √3 / 4 a 2 formülü kullanılarak bulunabilir.

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

Onayla: 16√2 / 3cm

Işık modeli - ışığın iki yakınsak tetrahedron'u

Dersin en karmaşık ve belki de en önemli konusuna başlayalım: yakınsak iki ışık tetrahedronunun modelleri. Bu modelin büyük gidişata katkısı her zaman önemli olduğundan bu noktalara çok sık ve hatta kısaca değiniyoruz. Burada ayrıca Yaratılışın 7. Gününden 8. Güne, ardından 9. Güne ve 10. Güne geçiş süreçlerini anlamak için gerekli temel konuşmaları anlatacağız.

Tetrahedronların yakınsama modeli:

• metafiziksel , Dünyanın en büyük ölçekli modeli kutsal ilkeler dünyamızda bir tür gerçekliği uyandırmak;
• tsilova hepsinin etkileşimini açıklayan bir model elementler yaratılış açısından temel ilkeler;
• evrensel sisteme göre çalışan bir model benzer: her şey bu şekilde yönetilir - bir kişi, bir aile çifti, ister bir grup ister bir ortaklık.

İbrahim'in Birliği

Bu model, atası İbrahim'in Tanrısı tarafından döşemeden önce yaratılmıştır. farklı parçalar arasındaki birlik:

Ve ona (İbrahim'e) şöyle dedi: Volodin ülkesini sana vermek için seni Keldanilerin Ur şehrinden doğuran Rab benim. Dedi ki: Tanrım, Tanrım! Ona aşık olacağıma neden inanıyorum? Rab daha önce şöyle demişti: Üç yaşında bir düve, üç yaşında bir keçi, üç yaşında bir koç, bir kumru ve bir güvercin yavrusu alın. Bunları alıp kesip deri kısmını diğerine benzer şekilde vererek, aksi takdirde ürün kesilmez. І kuşlar cesetlerin üzerine çullandı; bira Avram vidganyav ich. Güneş battığında Avram'ın üzerine büyük bir uyku çöktü ve üzerine büyük bir karanlık çöktü. Ve Rab Abram'a şöyle dedi: İyi bil ki, senin soyundan gelenler kendilerinin olmayan bir ülkeye göç edecekler ve pis kokuya hizmet edecekler ve yüzlerce yıl azap görecekler, yoksa pis kokunun kime gideceğini ben yargılayacağım. hizmet et, yargılayacağım; Bu pis koku büyük bir alametle ortaya çıktıktan sonra, gününüzden önce dünyaya geleceksiniz, güzel yaşlılığınızda ağıt yakılacak ve dördüncü nesilde buraya döneceksiniz, çünkü Amoritlerin kanunsuzluğunun dünyası henüz doldurulmamıştır. Güneş battığında ve hava karardığında, sanki fırından ve ateşin yarısından gelen duman ekseni kurbanın bu parçalarının arasından geçti. O gün Rab, Avram'la birlikte bu emri yüceltti...
(Butya 15:7-18)

Bu Ogienko'nun çevirisidir ve burada düve, keçi ve koç (koç) hakkında kokunun "tririk" olduğu söyleniyor. Ancak bu önem, nesiller boyu çevirmenleri kör bir köşeye sokan İbranice metinden çok uzaktır. İbranice'de מְשֻׁלֶּשֶׁת diye yazılır ( meşuleşet), Kelimenin tam anlamıyla "tricutna" veya "trikutnik" (bir düve ve bir keçi, bir kadının sırası hakkında) ve מְשֻׁלָּשׁ ( ağustos), “Trikutny” veya “tricutnik” (bir koç, bir insan ırkı hakkında). Prensip olarak bu kelimeler “üçlü”, “üçlü”, “üçlü” ile aynı şekilde çevrilebilir; Rusçaya yapılan Yahudi çevirilerinde “üçlü” seçeneğini kullanabilirsiniz. Ancak asıl anlam hala trikütanöz ile bağlantılıdır: bu bir trikütanöz veya trikütanöz şekle sahip bir şeydir.

Aksi takdirde, İncil'in metni kelimesi kelimesine şöyle görünür:

... Trikutnik-tel'i alın(Oldukça okuyun trikutna düve), Tricutnik keçisi(veya trikutna keçisi), Trikutnik-koç(veya triküta koçu), Kaplumbağa güvercini ve genç güvercin.

Bu metni doğru anlamak için İbrahim'in Sümer'den geldiğini ve Sümer matematiğinin büyük önem taşıdığını hatırlamak gerekir. Öte yandan sığır kültürünün temsilcisiydi. Bu sayede İbrahim, sığır terminolojisinin yakın olduğu geometrik görüntüleri tam olarak anlayabildi.

עֶגְלָה מְשֻׁלֶּשֶׁת formülüne bir kez daha hayret edelim, düve. Mantıksal olarak bu bir değil iki şekilde anlaşılabilir. Birincisi, nisenetnitsa gibi trikütanöz bir şekle sahip olan, trikütanöze benzeyen bir düvedir. Diğer yol - düve benzeri trikutnik. Bilgilerimize göre diğer seçenek doğrudur. Görünüşe göre bir kumru ve bir güvercin - Ayrıca bir kumru ve bir güvercine benzer figürleri de anlatacağım. Tanrı görünüyor:

...düve gibi bir triket, keçi gibi bir keçi ve koç gibi bir kuzu, ayrıca bir güvercin ve bir güvercin yavrusu alın.

Trikutnik neden düveye, keçiye veya koça benzeyebilir? Genel olarak tek bir şey dışında hiçbir şey yok: boyut. Düve (inek) daha da büyüktür, keçi çok daha küçüktür ve koç (koç) daha da küçüktür. Kumru ve mavi kulplu da onlarla birlikte daha da küçük, neredeyse noktalar halinde. Böylece Tanrı'nın İbrahim'e gösterdiği tahta ulaştık:

Artık “birdenbire parçalara ayırmanın” ne demek olduğunu anlamak gerekiyor. Elbette trikutnik'i ayırmanın bir önemi yok, onu bu kadar düz bir çizgide "kesmek" yeterli. Örneğin yükseklik trikübitini iki küçük parçaya böler. Ortokütanöz trikütane. Bu durumda kaçınılmaz olarak tamamen çift taraflı formunu kaybeder. Bununla birlikte, trikutnikinizi sonsuz derecede ince bir figür olarak değil, bir tür çok yönlülüğe sahip maddi bir plaka olarak gördüğünüzde (bu, bu çağın matematiksel zekası için çok doğaldır), o zaman farklılaştırmanın başka bir yolu vardır: plaka bölme. Çift kenarlı triküta plakasını yüzeyi boyunca bölersek onu yırtarız. iki eşit taraflı forma iki küçük bağ:

Bilgilerimize göre bu “parçalama” İbrahim'e gösterildi.

... Ve onları alıyorum[Üç forma ve iki puan] Rozsik yogo yarısı[Trikütanöz ağaçları yüzeylerine bölmek] ve bir parçayı diğerine ardı ardına yerleştirerek sadece benekler ayrılmıyor[Ve biri diğerinin karşısına iki nokta koymak].

Ve diseksiyonun parçaları "aynı hizada", düz bir çizgide, triküs düzlemine dikti, o zaman "birinin tersini" aynı yöne yerleştirmek mantıklıdır. Mevcut konfigürasyona ulaşıyoruz:

Tarayıcı güncellemesi

Bilgilerimize göre, bu projede Tanrı, İbrahim'le birlikte meşhur "farklı parçalar arasındaki birliği" oluştururken ona gösterdi. Bir "düvenin" iki yarısı - alt tetrahedronun alt kısmı ve üsttekinin üst kısmı, "keçinin" yarısı ve "koç" un yarısı - alt tetrahedronun üst kısmı, ağda tutulur bu tetrahedronlardan, narchlardan, bir “güvercin” ve bir “güvercin” drası ve üsttekinin alt zirvesi birbirine karşı.

İki tetrahedra modelinin yapısı

bu model iki tetrahedron birleşiyor, Dünyanın yapısını ve Yaratılış Günlerini değiştirme sürecindeki değişikliklerini anlatıyor. Biraz sonra tetrayların neden "birleştiğini" anlıyoruz, ancak şimdilik konfigürasyonun simetrik olması, ancak ayna simetrisi değil, merkezi olması önemlidir. Siz canavara hayran kalırken, üstteki tetrahedron alttakine göre 180° dönmüş görünecek ve bunların ayakları altıgenin doğru yıldızına, heksagramlara veya Davut yıldızına yansıtılacak (iki "kuş" noktası görünecek) merkezi):

Tarayıcı güncellemesi

Aynı modelde iki tetrahedron ışık katlanmış olup, alt kılavuz koltuktan daha yüksektir. Modeli bir bütün olarak bitirmek için sandalyeyi katlamalıyız:

• iki tetrahedron gözetleme bir tarafta ve kesit alanını oluşturun;
• tetrahedronların kenarlarına ve birkaç trikübitülün yanlarına dokuma eklenir 38 anahtar nokta veya unsur;
• İki tetrahedra arasındaki haç oluşur Shekhini'nin varlık alanı.

Eksen, Yaradılışın 7. Günü için bu konfigürasyona benziyor (bu tasarıma önden ve canavarın küçük bir kısmından bakın):

Tarayıcı güncellemesi

Alttaki konfigürasyon, önemli noktaları birleştirmek için ek çizgilerle renkli olarak gösterilmiştir. Ön sandalyenin önünde merkezi bir çıkıntı vardır: bakan kişi merkezde, tetrahedronun ayakları arasında yer alır, böylece üst tetrahedronun üst standı onun üstünde ve alt tetrahedronun alt kısmı aşağıda olur. BT:

dörtyüzlü
שמיים
(Şaman)
gökyüzü

dörtyüzlü
ארץ (Yeretz)
Toprak

יצר (yetzer):
yaratım, yaratıcılık

אב ולב (Av ve Lev):
bireysel seçim noktası

שלום (Şalom):
denge,
bütünlük

דין (Dekan):
hukuk, ideal,
ne olabilir
ama ben

אמת (sahip olmak):
gerçek,
gerçeklik,
olanlar

נשמה (neşeme):
tarih
kafa karışıklığı noktasına kadar
misyon

גוף (Guf):
materyalizasyon, infüzyon

עוז (ons):
m_ts, enerji

38 önemli nokta(Bebek kokusu renkli çantalarla tasvir edilmiştir) öneri tüm ana kategoriler veya öğeler. cilt noktası elemanİbranice ismim ve eşsiz duygum var. Anlam çizgileri ve noktaları da görünür. noktalar- elementler bir araya gelmek modüller, Bebeğiniz için yapabilecekleriniz:

• üzerinde iki veya daha fazla nokta bulunan düz çizgiler - birinci dereceden modüller;
• doğru trikübitüller - farklı düzendeki modüller;
• düzenli tetrahedralar üçüncü dereceden modüllerdir (son iki büyük tetrahedra dahil).

Destekleyebilirsiniz: Üçüncü dereceden modüller olan tetrahedronların sayısı, İsrail'deki kabilelerin sayısı olan 12'ye eşittir. Bunlar, üst/alt köşeler ve trikütanöz çapraz parçalar tarafından oluşturulan 2 büyük tetrahedra, bunların 4'ü alt tetrahedra ve ayrıca tetrahedronun tabanının köşelerinden biri tarafından oluşturulan büyük tetrahedranın "düğümlerinde" 3 küçük tetrahedradır ( kırmızı alt tetrahedron), iki tanesi standın yanlarında bitişik noktalarla (chervona'nın alt tetrahedronunda) ve büyük trituniğin üst çubuğa en yakın tepe noktası (turuncunun alt tetrahedronunda).

Tüm bu modüller ve nokta öğeleri derin bir anlam taşır; Elementlerin etkileşiminin temel ilkelerini tanımlarlar. Yazık ki, burada sıkışıp kalamayız; Bu dersin konusu.

Bu yapılandırma şunları açıklamanıza olanak tanır: bir süreç mi, yoksa bir gerçeklik mi? Yaratıcının planı açısından dünyada hem statik hem de dinamik olarak.

Önemli ölçüde kısaca:

• üst tetrahedrona שמיים denir ( Şaman), İncil'in ilk ayetinden itibaren “cennet” ne anlama geliyor ( “Tanrı göğü ve yeri koçanın üzerinde yarattı”, Buttya 1: 1);
• alt tetrahedrona ארץ denir ( Yeretz), Tobto aynı tepe noktasından “dünya”;
• alt tetrahedronun üst köşesine יצר denir ( yetzer);
• üst tetrahedronun alt köşesine אב ולב denir ( Av ve Lev).

Belirlenen iki tepe noktası sonraki hesaplama için önemli olacaktır. (İbrahim’in kehanetinde de aynı “Kuşlar bölünmez.”)

Bu konfigürasyonda, üzerinde İbrahim'in üç yaratığının parçalara ayrılmış kısımlarını temsil eden 6 yatay triküpün yer aldığı 6 yatay düzlemin bulunması da önemlidir: alt tetrahedronun alt kısmı, üst tetrahedronun üst kısmı ve 4 örgülü. haçlar. Bu 6 düzlem tüm alanı 7 bölgeye böler veya Rivniv- alt tabanın altındaki alan, düzlemler arasındaki 5 alan ve üst tabanın üzerindeki alan. 7 alan alanı vardır - daha fazlası değil 7 seviyeli ışık, "Menora veya dünyanın yedi seviyeli resmi" giriş makalesindeki açıklamalar.

Resimde, örnekleme amacıyla 6 noktayı daha etiketledik - üst ve alt tetrahedronun köşeleri. Onları zaten sıklıkla alt üçten tanıyoruz. neşeme, Gufі ons Alt tabanın üst kısımları Menori ile aynı olan üç destekten oluşuyor. Orada onlara aydınlatma armatürünün üç sütunu deniyor ve koltukta tüm konfigürasyonu - ışık modelini etkili bir şekilde "kendileri üzerinde tutuyorlar". Bu üç noktanın “her şey tesadüf değildir” formülüyle anlatıldığı açıktır ( neşeme), “Her şey gerçekleşiyor” ( Guf) І “her şey gelişiyor” ( ons).

Koltukta triküb, üst tepesi adı verilen alt tetrahedronun tabanıdır. yetzer, "Yaratıcılık, yaratıcılık" anlamına gelir. Bu tetrahedron bize kısmen tanıdık geliyor. Nuh tetrahedron, Ayrı bir ders olan “Nuh ve Blues”daki açıklamalar. Nuh ya da uyum, Köşeleri temsil eder yetzer- Yaratılışın mümkün olan doğru süreci yalnızca uyum içinde mümkündür. Şem, etik- bu neşeme, Anlaşılmadan inşa edilecek; Yaphet, estetik- bu Guf, Böylece form malzemeye emilir ve Ham, enerji- bu ons Kelimenin tam anlamıyla enerji, enerji anlamına gelir. Bu etkileşimler önemsiz değildir ve derin bir anlam ifade etmektedir, ancak bu geziyi sonlandıralım. Bir bütün olarak tetrahedranın tanımına dönelim.

Shekhini'nin varlık alanı insanın dünyanın hangi öğelerinde ve hangi dünyada Yaratıcının varlığını tanıyabildiğini ve hissedebildiğini gösterir. Bu küre, iki tetrahedraya yetecek kadar geniş bir iç alanı temsil eder. Koltuktaki deftere şarkı söyleyen dünyaya birer birer “girin”; Küre, gizli alanlarının tamamından intikam alacak. Matematiksel olarak küre, çap olarak iki tetrahedranın köşelerini birleştiren bir bölüm halinde oluşturulmuştur. yetzerі Av ve Lev; Sandalyelerin üst kısımları yeşil renkte gösterilmiştir (tarayıcıyı yenile).

Bu modelde kişi ile Yaratıcı arasındaki etkileşim aşağıdaki şifreli kurallarla bile açıklanabilir.

1. İnsanlar, Şekina küresinde yer alan dünyanın unsurlarını oluşturan kilit noktalarda Yaratıcının varlığını algılayamaz ve algılayamazlar.
2. Bir kişi, gerekirse, bilinçli bir seçim ve Yaradan ile diyalogun bir sonucu olarak, Yaradan'ın anahtar noktalardaki varlığını - Shekina küresinin yüzeyinde yer alan dünyanın unsurlarını - anlayabilir ve algılayabilir.
3. İnsanlar her zaman kilit noktalarda - Shekina küresinin ortasında yer alan ışık dünyasının unsurları - Yaratıcı'nın varlığını inceler ve hissederler.

Sevgili: Yaratıcı ile hiçbir etkileşim yoktur ve 2. ve 3. aşamalarda Lightbudova'ya akış vardır. hayret, Bu normal, sadece sıradan bir robot! Mucize (İbranice נס, NES) - bu Vinyatkov'un durumu değil, Tanrı'nın doğrudan bir armağanı, verilen şemayla sınırlı değil.

Dinamikte iki tetrahedra modeli

Şimdi modele neden model denildiğini açıklamanın zamanı geldi yakınlaşmak tetrahedronlar. Sağda Yaratılışın 7. Gününden 8. Güne, 8. Günden 9. Güne ve 9. Günden 10. Güne deri geçişi sırasında iki tetraed Birer birer birbirlerine küfrediyorlar: Yeretz(Dünya) ben Şaman(Gökyüzü) yaklaşıyor, gittikçe eğriliyor. Hangi noktada yetzerі Av ve Lev o zaman aynı fikirde olmamak, gittikçe daha fazla hale gelmek Shekhini'nin varlık alanları .

Tetrahedri Svitobudovy: 0. Gün

İki tetrahedronun modelinin en başından beri, Yaratılış'ın 1. Gününden bu yana nasıl değiştiğine bakalım. Daha doğrusu 1. günden değil 0. günden (Sıfırıncı Gün) itibarendir. Bu merhamet değil. Edindiğimiz bilgilere göre İncil'in en büyük ayeti, ilk gün ile ilgili değil, yedi gün öncesindeki, örneğin Sıfır Günü'ne kadar olan durumla ilgilidir. Bu tepe noktasının ekseni:

Tanrı göğü ve yeri koçanın üzerinde yarattı.

Zaman-saat akışları (böl. Büyük bölüm “Dünya”) ile ilgili bilgilerde, köşelerin belirtildiği “yer” ve “gökyüzünün” bizim gezegenimiz ve onların gökleri olmadığını belirtmiştik. Tanrı'nın “cennet” ve “yer” kavramlarını yeniden tanıtması ve onlara anlam vermesi için biraz zaman verdiği açıktır: “Ve Tanrı yıldızlara “cennet” adını verdi…” (Buttya 1: 8), “Ve Tanrı kuru toprağa toprak denir..." (Buttya 1:10). gökyüzü(İbranice Şaman) і Toprak (Yeretz) İlk baştan itibaren her şey farklı. Burada neler olduğundan eminiz dünyanın yaratıcı iki metafizik tetrahedra'sı. Aksi takdirde, görünüşe göre, Buttya kitabının 1. ayetinin anlamı saldırgan:

Koçan üzerinde (Yaratılışın 1. Gününden önce), Tanrı ışık tomurcuğu Şaman'ın tetrahedronunu ve ışık tomurcuğu Erets'in tetrahedronunu yarattı.

Eksen ve tetrahedronlar hala kötü yönlendirilmiş ve birbirine bağlı değil:

Güncellenmiş tarayıcı Güncellenmiş tarayıcı

Bu genişleme şu durumu göstermektedir: proje On gün henüz başlamamıştır ve iç düzeni henüz ortaya çıkmamıştır; tarihe göre proje Kaosa dönüşeceğim: “ Dünya [Eretz] kaos ve ıssızlık içindeydi, uçurumun yüzü karanlıktı ve ölü Tanrı suların yüzü üzerinde geziniyordu..."(Buttya 1: 2, Freeman Gurfinkely'nin çevirisi).

Tetrahedri Svitobudovy: 1. Gün

Yaratılışın 1. Gününde kaosun yerine düzen gelir:

Ve Tanrı şöyle dedi: Böylece ışık olacak. Ve hafifti. Ve Tanrı karanlıktan ışık getirdi ve Tanrı karanlıktan ışık çıkardı. Ve Tanrı gündüzün ışığı çağırdı ve karanlığa Nich adını verdi. Akşam oldu, sabah oldu, ilk gün.
(Kitap 1: 3-5; burada ve aşağıda İncil'in Sinodal Versiyonuna dönüyoruz)

Açıkçası, bu metin bizim bildiğimiz Evrenin gerçekliğine karşılık geliyor. Açıkçası, mevcut kozmolojimizde şu şekilde tanımlanabilir: Büyük Vibukh oldu ve yeni doğan Evren, iyi bilinen fizik yasalarına göre gelişmeye başladı. Işık (viprominyuvanya) madde (kütleyi yıkayan kısım) tarafından emildi ve Evren aydınlık ve karanlık bölgelere (birincil galaksiler ve aralarındaki genişlik) bölündü. Ancak bizim yöntemimiz fiziksel değil, İncil'deki gelişimin, kozmolojik süreçler gibi derin metafiziksel süreçlerin ve gezegenimizin daha ileri evriminin metafiziksel anlaşılmasıdır. Beslenmenin metafizik yönüne odaklanacağız; Daha önce "Koçanın Kulağı" bölümünde bahsedildiği gibi, fiziksel açıdan bakıldığında Kutsal Kitabın tamamı acil olmayan araştırmalara ayrılmıştır.

Işık tetrahedra modelinin metafizik kategorilerin bir alt kümesi vardır ışıkі karanlıkta Bu, tetrahedronların kesinlikle bire karşı, bir "üstte" konumlandırıldığı gerçeğinde yansıtılmaktadır ( Şaman, “Gökyüzü”), diğeri “aşağıda” ( Yeretz, “Dünya”) ve kenarları paraleldir (ve bire bir oranda 180 ° döndürülmüştür) ve üst tetrahedronun alt tepe noktası, alt tetrahedronun üst tepe noktasının kesinlikle üzerinde yer alır:

Tarayıcı güncellemesi

etek ışıkі karanlıkta koçanı anıldı proje Bu derste tartışacağımız konu: Yaratılışın On Günü projesi.

Tetrahedri Svitobudovy: 2. Gün

Yaratılışın 2. Gününde farklı seviyelerin bulunduğu ışık yapısı oluşur:

Ve Allah buyurdu: O halde suyun ortasında bir yıldız olacak ve o, sudan su çıkarsın. Ve Tanrı yıldızları yarattı ve suyu mezarların altına, suyu da mezarların üstüne döktü. Ve öyle oldu. Tanrıyı gökyüzünün yıldızı olarak adlandırdım. Akşam olacak, sabah olacak, başka bir gün olacak.
(Butya 1:6-8)

Tetrahedron modeli vardır ayrı alanlar, Tetrahedronların alt ve üst tabanlarının yüzeyleriyle birlikte tüm genişlik 7 seviyeye veya "üstte" bölünmüştür:

Tarayıcı güncellemesi

Tetrahedri Svitobudovy: 3. Gün

Yaratılışın 3. Gününde Tanrı, yeni unsurları tanıtarak dünyayı oluşturur: kara ve deniz, dallar, her çeşit ve türden “ağaçlar”:

Ve Allah buyurdu: Gökten gelen su bir yere kadar çıksın, uzaklaşsın ve görünsün. Ve öyle oldu. Ve Tanrı'yı ​​çağırmak kurudu: Dünya ve toplanan suların yerini denizler olarak adlandırmak. Tanrıya neyin iyi olduğunu sordum. Ve Tanrı şöyle dedi: Yeryüzünün, bu yaşamın filizlenmesi için ot yetiştirmesini ve onun yeryüzündeki yeni yaşamında olan, kendi nesli için meyve verecek olan meyve veren bir ağacı yasakla. Ve öyle oldu. Ve dünya yeşildir, büyüyen otlar kendi türündendir ve meyve veren ağaç da kendi türündendir. Tanrıya neyin iyi olduğunu sordum. Akşam ve sabah oldu, üçüncü gün.
(Butya 1:9-13)

Düşük bütçeli modelde 38 temel temel nokta var, aksi takdirde hepsi görünüyor bakış açıları Svetobudovi:

Tarayıcı güncellemesi

Tetrahedri Svitobudovy: 4. Gün

Yaratılışın 4. Günündeki ana değişiklik, proje saatinin "açılması", tüm süreçlerin sürekli şarkı söyleyen ritimlere göre başlatılmasıdır: gündüz ve gecenin, ayların ve kaderlerin değişimi. Şu anda saatin ilk akışı başlıyor derlerdi nefes.

Ve Allah dedi: Gökyüzünde gündüzü geceden ayıracak ışıklar olsun ve bunlar saatlerin, günlerin ve kaderin alametleri olsun; Ve kokunun gökyüzünde durmasına ve yeryüzünde parlamasına izin verin. Ve öyle oldu. Ve Tanrı iki büyük ışık yarattı, gündüzleri parlayacak kadar büyük bir ışık ve hiçlikten parlayacak şekilde küçük bir ışık ve şafaklar da öyle yarattı ve Tanrı onları parlasınlar diye göklerin kubbesine yerleştirdi. yeryüzünü aydınlatsın, gece gündüz parlasın ve karanlıktan ışık çıkarsın. Tanrıya neyin iyi olduğunu sordum. İlk akşam, sabahın erken saatleri, dördüncü gün.
(Butya 1:14-19)

Yaratılışın 3. Gününden 4. Gününe Geçiş - bu tetrahedrayı hareket ettirmeden önce. Koku birer birer çöküyor ve üst direğin alanı düşmeye başlıyor. 2. Günde ortaya çıkan ışık dünyasının 7 “zirvesinden” bu merkezi olan, yedi seviyeli ışık resminde diyaloğu ve saati temsil eden dördüncü seviyedir.

Tarayıcı güncellemesi

Tetrahedri Svitobudovy: 5. Gün

5. Günde modelin yaratıcı yapısı değişmez ancak dünyanın bazı unsurları veya yönleri kaldırılır. isimler, akın kavramlar.

Ve Tanrı şöyle dedi: Sürüngenleri bırakın, ruhumu yaşıyorum; Ve cennetin mahzeninin altında yeryüzünün üzerinde uçan kuş. Ve Allah, büyük balıkları, cinslerine göre su olan her canlıyı ve cinslerine göre her kanatlı kuşu yarattı. Tanrıya neyin iyi olduğunu sordum. Ve Tanrı şöyle diyerek onları kutsadı: Verimli olun ve çoğalın, denizlerdeki suları doldurun ve sürüler yeryüzünde çoğalsın. Akşam oldu, sabah oldu, cuma oldu.
(Butya 1:20-23)

Hafif dörtyüzlülerin adları en büyük 8 temel elemente verilmiştir: üstteki 4 köşe ve alt tetrahedronun 4 köşesi. Bunlar 7. Gün modelinin renkli görselinde imzalanan 8 ismin aynısı. Köşelerin isimlerini sandalye üzerinde tekrar etmeyeceğiz ancak noktaları renklerle ayıralım:

Tarayıcı güncellemesi

Tetrahedri Svitobudovy: 6. Gün

Yaratılışın 6. Gününde isimler kaldırılır ve ayakta kalır. kavramlar, Zaten tüm önemli noktalar.

Ve Tanrı şöyle dedi: Dünya yaşayan ruhu kendi türü olarak, ince ve yüzen olarak ve dünyevi canavarı kendi türü olarak görsün. Ve öyle oldu. Ve Allah, yerdeki hayvanları cinslerine göre, zayıfları cinslerine göre ve yeryüzünde yüzen her şeyi cinslerine göre yarattı. Tanrıya neyin iyi olduğunu sordum. Ve Tanrı şöyle dedi: İnsanlığı kendi suretimize, benzeyişimize göre yaratalım ve denizdeki balıklar, gökteki kuşlar, zayıflık, tüm bu dünya ve tüm sürünen hayvanlar konusunda paniğe kapılmayalım. yeryüzünde sürünen şeyler. Ve Tanrı insanlığı Kendi benzerliğinde yarattı, hem erkek hem de kadın olarak onları Tanrı'nın benzerliğinde yarattı. Ve Tanrı onları kutsadı ve Tanrı onlara şöyle dedi: Verimli olun ve çoğalın, toprağı doldurun ve sulayın ve denizdeki balıklara, gökteki kuşlara ve denizde yaşayan her canlıya egemen olun. toprak. Ve Tanrı şöyle dedi: Bütün dünyada yetişen tüm baharları ve köylerin yeni ekoselerinde yetişen, güneş ışığında yetişen deri ağacını sana verdim - ona sahip olacaksın; Ve dünyevi canavarları ve tüm gök kuşlarını ve yeryüzünde sürünen deriyi, içindeki ruh canlı olsun diye, tüm yeşil otları kirpiye verdim. Ve öyle oldu. Ve Tanrı, yarattığı her şeye ekledi ve bu daha da iyiydi. Akşam oldu, sabah erken oldu, altı gün oldu.
(Butya 1:24-31)

6. Gündeki ışık tetrahedronlarının düzeni bölünmüştür çünkü bu sefer tüm köşeler isimlendirilmiştir. Lütfen bu dersin kapsamının dışına çıkalım; Tüm önemli noktaları renklendirerek durumu önemli ölçüde değiştireceğiz:

Tarayıcı güncellemesi

Tetrahedri Svitobudovy: 7. Gün

7. Günde, yaratılan tetrahedra sistemi tamamlanmış bir görünüme kavuşur ve Allah, Kendi referanslarına “güvenir”.

Cennet ve dünya gitti ve her şey gitti. Ve Tanrı, yapmış olduğu tüm işlerden bu günü sonlandırdı ve yapmış olduğu tüm işlerden bu günde istirahat etti. Ve Tanrı bu günü kutsadı ve kutsadı, çünkü Tanrı'nın yarattığı tüm işini o günde onayladı.
(Butya 2:1-3)

Bugünün ışık dostu tetrahedron modeli geriye kalan temel unsura sahiptir: Shekhini'nin varlık alanı. 7. Günü daha önce ayrıntılı olarak aktarmış ve analiz etmiştik. Detaya girmeden bir kez daha tekrarlayalım:

Tarayıcı güncellemesi

Burada hala Şekina küresinin ortasında yer alan hiçbir unsur (kilit noktalar) yoktur. Tüm elemanlar ya sınırlarının arkasında ya da yüzeylerinde bulunur. (Sandalyelerin arkasında 3 karanlık ve 3 karanlık noktanın kürenin ortasında yer aldığını ve dolayısıyla yalnızca projeksiyonda göründüğünü görebilirsiniz: aslında kürenin yüzeyinde yer alırlar.)

İbrahimi dinlerde bu durum, İlahi varlığın insanlardan alındığı düşüncesiyle ifade edilir: yalnızca çok az kişi Tanrı ile iletişim halindedir ve O'nunla bilinçli olarak etkileşime girebilir.

Tetrahedri Svitobudovy: 8. Gün

8. Günde, tetrahedronların yaratıcı konfigürasyonu teker teker birleşir, böylece küçük kollar aynı düzlemde görünür ve tepe noktaları da aynı düzlemde görünür. yetzerі Av ve Lev; (Yeşil noktalar tarayıcıyı yeniden başlatır) proksimal tetrahedronların tabanlarına "kıçın":

Tarayıcı güncellemesi

Şekina varlık küresinin tetrahedral yarıçapının yakınlaşması sonucu 7. Güne eşit olarak 4/3 ≈1.33 kat artar ve hayatımızdaki “Allah’ın varlığının büyüklüğünü” sembolize eder. , - 64/27 ≈2,37 kez.

Burada ilk olarak Shekina küresinin ortasında yer alan noktalar ortaya çıkıyor. Bu "gözden kaçma" kategorileri tamamen doğal bir şekilde, bir nefes gibi ortaya çıkıyor. Bu unsurlar Yaradanla olan sürekli ilişkinin görünmez bir parçasıdır. Artık bu şekilde deriİnsanlar sonsuza kadar Tanrı ile diyalog ve paydaşlık içinde olacaklardır.

Bu durumda, kürenin duruşunun insanlarla yatmayan ve böyle bir diyalog sonucunda değişiklikleri teşvik etmeyen, örneğin Evrenin fiziksel yasaları gibi unsurları kaybolur. Bu aşamada, "On Günlük Yaratılış'ın Korunması" bölümünde de belirtildiği gibi, tek bir ahlaki insanlık oluşur.

Tetrahedri Svitobudovy: 9. Gün

Yaratılışın 9. Gününde, tetralar birbirlerine daha da fazla “hareket ederler”:

Tarayıcı güncellemesi

Shekhina'nın varlığının küresinin yarıçapı, 7. Gün'e eşit olarak 14/9 ≈1,56 kat ve (14/9) 3 ≈3,76 kat artacaktır.

Şimdi en unsurlar ya Shekhini küresinin ortasında bulunur ya da onu açar. Aksi halde, görünen o ki, ışık varlıkları kategorilerinin büyük bir kısmı, insan ile Yaradan arasındaki etkileşimin görünmez bir parçası haline geliyor. Anlaşılması gereken en temel şeylerden sadece altısı - dünyanın temel dayanağı olan üç bilmece neşeme, Gufі ons ve üst tetrahedronun karşılık gelen üç kategorisi Şaman- Değişmez olandan mahrum kalmak: İnsan ile Tanrı arasındaki diyaloga “içeri akan küre” pozu. Bu, daha önce "On Günlük Yaratılış Ülkesi" bölümünde söylendiği gibi, günlük yaşamımıza "süper güçler" ile liderlik edecek yeni bir insan türünün, dünyanın Levililerinin ortaya çıkmasına yol açmaktadır.

Tetrahedri Svitobudovy: 10. Gün

Yaratılışın 10. Gününde tetraedrilerin maksimum seviyede birbirlerine “hareket ettiği” açıktır. Merkezleri birleşir ve yıldız oktahedronuna benzeyen mucizevi bir konfigürasyon ortaya çıkar:

Tarayıcı güncellemesi

Düzenli simetrik bir zengin yüzlü olduğundan, Shekhini küresinin (çap olarak iki protilateral köşeye dayalı olduğu) açıktır. yetzerі Av ve Lev) Basitçe parlak bir oktahedron küresi ile tanımlanır. Bu, şu anda zaten olduğu anlamına gelir kesinlikle her şey Işık kategorileri ya Shekhini küresinin yüzeyinde (oktahedronun köşeleri) ya da ortasında (diğer tüm noktalar) görünür. 7. Gün ile aynı anda Şekini küresinin yarıçapı 2 kat, yarıçapı ise 8 kat artar. Bu, İlahi varlığın maksimum açığa çıkışıdır. maksimum raventİnsan ve Tanrı arasındaki ilişki, bilgilendirildiğinde, Tanrı ile seçim ve diyalog, kişinin dünyanın en temel temellerine ulaşmasını sağlar. bu insanlar Yaratılışın Onuncu Gününün Yaratıcı Halkı.

Yaratıcı Lyudina, Adam Bore, Yüce ile işbirliği içinde ışık yaratıyoruz, yeni seçenekler oluşturuyoruz Yeretz(Gökyüzü) ben Şaman(Dünya) artık bu Tüm Dünyalar için bozulan yasaların farkındadır. Grafiksel olarak şu şekilde ifade edilir: noktalar yetzerі Av ve Lev"daraltılmış" tetrahedranın sınırlarının çok ötesine geçti, tetrahedronun köşeleri birbirinin tabanlarını "kesti" ve iki yeni "küçük" tetrahedra oluşturdu - potansiyel Şamanі Yeretz yeni Dünya:

Dört Yaratılış Günü 7, 8, 9 ve 10 için tetrahedronların düzenine bir kez daha dikkat çekelim, ancak bu sefer anahtar unsurların Şekina küresine göre genişletilmiş olması anlamlıdır:

• kırmızı renk, Şekina küresinin duruşunda yer alan unsurları belirtir (kişi bu noktalarda Yaradan'ın varlığını göremez ve hissedemez);
• Aynı renk, Şekina küresinin yüzeyinde yer alan unsurları ifade eder (burada insanlar, eğer gerekliyse, bilinçli bir seçim ve Yaradan ile diyalog sonucunda, Yaradan'ın varlığını takdir edebilir ve hissedebilirler);
• Yeşil renk, Şekina küresinin ortasında yer alan unsurları ifade eder (insan bu noktalarda Yaratıcının varlığını algılamaya ve hissetmeye başlar).

Yaradılışın 7. Günü:

Tarayıcı güncellemesi

Yaradılışın 8. Günü:

Tarayıcı güncellemesi

Yaratılışın 9. Günü:

Tarayıcı güncellemesi

Yaratılışın 10. Günü:

Tarayıcı güncellemesi

Sonunda, Lightbud tetrahedranın ilerleyici yaklaşımını ve Shekhini küresinin açılışını gösteren bir video sunuyoruz:

Modelin geometrisini doğru anlamak isteyenler için bazı matematiksel bağlantıları tanıtacağız.

Her şeyin olduğu Kartezyen koordinat sistemini tanıtalım. z Av ve Levі yetzer, Ve alan xy alt tetrahedronun alt tabanının düzlüğüyle eşleşir. önemli H cilt tetralarının yüksekliği Yeretzі Şaman. todi:

1. iki puan - eleman tetrahedronun alt tabanının üç tarafındaki deride Yeretz bu tarafı üç eşit parçaya bölün; Bu şekilde çemberin çevresinde yer alan toplam 9 nokta (köşeler dahil) vardır;
2. Zerre- eleman Tetraede boyunca tutulan trikuputinin üç tarafındaki deride Yeretz iki dairenin tabanı (İbrahim'in kehanetindeki “kesilmiş keçinin” iki yarısından biri), bu tarafı iki eşit parçaya böler; aynı anda trikübitülün çevresinde (tepeler dahil) 6 nokta vardır;
3. alt düzlem, bir tetrahedron gibi kesişiyor Yeretz ve düzlükte yer alan ağda, çevre çevresinde 6 elementten oluşan bir tritunik (İbrahim'in kehanetindeki "kesilmiş keçinin" iki yarısından biri) oluşturur. z= 1 / 3 H(Tetrahedronun toplam yüksekliğinin üçte biri);
4. tetrahedron gibi başka bir düzlem geçiyor Yeretz ve düzlükte yer alan dokumanın içinde tepelerinde 3 element bulunan bir süs (İbrahim'in kehanetindeki "kesilmiş koç"un iki yarısından biri) yaratır. z= 1 / 2 H(Dört yüzlünün tam yüksekliğinin yarısı kadar);
5. üst tepe yetzer dörtyüzlü Yeretz(İbrahim'in kehanetindeki iki “Bölünmemiş kuş”tan biri) aynı seviyede bulunur. z=H(Bu sadece tetrahedronun yüksekliğidir ve tabana yükseklik 0 olarak atanmıştır);
6. iki puan - eleman yan kaburgaların derisinde tetraede Yeretz Bu tarafı 3: 1: 2 oranında üç eşit olmayan parçaya bölün.

puan olarak Bі C Trikübitüllerin, alt tabanda ve tetrahedronun yan yüzlerinin alt kısmında eşkenar konfigürasyonda oldukları için küçük oldukları açıktır.

üst tetrahedron Şaman Budova'nın tamamen aynısıdır ve Erets tetrahedron'u gibi merkezi olarak simetrik olarak büyür. Deri tetrahedronun iç geometrisi sabittir ve Yaratılışın 7., 8., 9. ve 10. Günleri boyunca değişmez. Karşılıklı eksen konumları değişir z. 7. ve 8. Günler için sizleri bilgilendireceğiz.

Yaratılışın 7. Günü:

1. alt tepe Av ve Levüst tetrahedron Şaman zirvede olmak z= 1 / 4 H;
2. Üst tetrahedronun üst tabanı Şaman zirvede olmak z= 5 / 4 H(Tetrahedronun yüksekliğini şuna eşit olarak eklemek gerekir: H) - tetrahedronların tabanları arasında 5/4'e kadar durun H;
3. Üst tetrahedronun yan kaburgaları, tetraeder boyunca tutulan 3 elementli trikuputinin yanlarıyla örtüşür. Yeretz diğeri (üst) iki düzlemlidir (İbrahim'in kehanetindeki "kesik koç"un alt yarısı) ve benzer şekilde alt tetrahedronun yan kaburgaları ve tetrahedrondaki simetrik trikübitus ("kesik koç") için Şaman;
4. bu durumda - tahmin edin ne oldu - en üst zirve yetzer alt tetrahedron Yeretz zirvede olmak z=H;
5. Hadi, noktaların arasında dur yetzerі Av ve Lev daha pahalı 3/4 H;
6. Ayrıca Shekhini küresinin yarıçapı 3/8'e eşittir. H, A її 9/128 π olmak zorunda H 3 ;
7. Görünüşe göre düzenli bir tetrahedronun merkezi, yüksekliğinin 1/4'ü kadar uzaklıkta yer alıyor H uykudan, bu da cildin iki zirvesi olduğu anlamına gelir Av ve Levі yetzer protil tetrahedronun tam merkezinde yer alır; Bu şekilde tetrahedronların merkezleri arasında 3/4 ile aynı seviyede durun. H.

paragraf A mantıksal olarak noktadan türetilebilir C, Koltuktan da belli oluyor. Doğru, diğer yatay düzlem tetrahedronun ağda sahip olduğu düzlemdir. Yeretz 3 elementli trikutnik (İbrahim'in kehanetindeki "gül koç"un alt yarısı), üst tetrahedronlu bir şerit halinde Şamanön trikübitülün orta trikübitülünü oluşturur ve bu da alttakinin iki katı kadar küçüktür. Ve 3 elementli trikübün parçaları tetrahedrondan iki kat daha azdır, o zaman orta triküb 4 kat daha azdır, bu da üst kısım anlamına gelir Av ve Levüst tetrahedronun yüksekliği tetrahedronun 1/4'ü, ardından 1/2'sidir H− 1 / 4 H= 1 / 4 H.

Yaratılışın 8. Günü:

1. alt tepe Av ve Levüst tetrahedron Şaman zirvede olmak z= 0 - tetrahedronun tabanına kazanılan “izmaritler” Yeretz; benzer şekilde tetrahedron Yeretz zirveye ulaşır yetzer tetrahedronun üst tabanı Şaman;
2. görünüşe göre, üst tetrahedronun üst tabanı Şaman zirvede olmak z=H- tetrahedronların tabanları arasında yüksekliklerinden birinde durun (yani H);
3. altta dört yüzlü bir kiriş veren başka bir düz kiriş Yeretz 3 elementli bir triko ("parçalanmış koç"), düz ağlı başka bir hayvanla birlikte çalışır, bu da tetrahedronlu bir ağda benzer bir triküb verir Şaman(“Kesilmiş koçun” diğer yarısı) - suç kokusu doruğa ulaştı z= 1 / 2 H(İbrahim'in kehanetindeki "kesilmiş koç"un iki yarısı birleşecek);
4. Sonuç olarak, iki adet 3 elementli tritüp alt ve üst tetrahedronlarla üst üste gelecek şekilde üst üste binerek 6 elementli bir heksagram (Davut yıldızı) oluşturur;
5. noktalar arasında durmak yetzerі Av ve Lev bir H;
6. Ayrıca Shekhini küresinin yarıçapı 1/2'ye eşittir. H, A її 1/6 π olmak zorunda H 3 - o zaman “İlahi huzura sahip olma” 7. Gün ile karşılaştırıldığında 64/27 ≈2,37 kat artar;
7. tetrahedronların merkezleri artık yüksekliklerde yer alıyor z= 1 / 4 Hі z= 3 / 4 H, Ve aralarında durun 1/2 H- 7. Gün ile aynı gün ikinci kez (3/2) hızlanacaktır.

Yaratılışın 9. ve 10. Günleri için işaret edilen sandalyeden noktaların arasında durmanızı sağlamak da kolaydır. yetzerі Av ve Lev(Shekhini küresinin çapına eşit) 7/6'ya eşit H 9. Gün ve 3/2 H 10. Günde. Açıkçası, 7. Gün hizasında kürenin alanının artması, açıkça (14/9) 3 ≈3.76 ve 2 3 = 8 katı olur.

Tetrahedronların merkezleri arasında durur ve köşeler arasındaki mesafe arttıkça yüzeyler değişir. yetzerі Av ve Lev, I 1/3'e eşit olur H(9. Gün) ve 0 (10. Gün). 7. Günden 8. Güne geçişte ve 8. Günden 9. Güne geçişte merkezler arasındaki mesafenin tam olarak ikinci kez hızlandığı, 10. Günde kalan yakın tetrahedra ile birlikte sıfıra şerit benzeri değişiklikler - "sayılamayan" sayıda. Bu gerçeğin önemli sonuçları vardır ancak bu incelemenin kapsamını aşmamaktadır.

Yaratılışın 7. Gününde Shekhini küresinin yüzeyinde Kırım'ın olduğunu gösterelim. yetzerі Av ve Lev(Kürenin çapını ayarlarlar), İbrahim'in kehanetindeki "kesilmiş koç"un yarısına benzer iki "iç" trikutnik'in 6 köşesi ve iki büyük kürenin kenarlarının 6 orta noktası vardır. trikutnikler, “rossi” "Chenoy keçisinin" yarısına benzer. Görünüşe göre diğer tüm noktalar kürenin sınırlarının dışında bulunuyor.

Önceki yorumda olduğu gibi Kartezyen koordinat sistemini tanıtıyoruz; z tetrahedronların köşelerinden aşağıdan yukarıya doğru geçecek Av ve Levі yetzer A Yeretzі Şaman H=(2 / 3) 0,5 A

Tarayıcı güncellemesi

Merhaba Ö- Shekhini küresinin merkezi, J yetzer ABC- üst (daha küçük) trikutnik retinadır. Ayağa kalkmak için vites değiştirmemiz gerekiyor | O.J.| eski binalar | O.A.| (Açıkçası | O.A.|=|O.B.|=|OC|).

Merhaba D- zirveye çıkmak A ABC, Aksi takdirde görünüşte, eksene z; Merhaba w- noktanın önünde durmak Ö Merkez ne kadar uzakta? todi | O.A.| 2 = D 2 + w 2 .

Trikutum tarafı ABC daha eski A/ 2, ne olmuş yani D = A√3 / 6. Önceki yorumdan bu alanın olduğunu biliyoruz. ABC tetrahedronun yüksekliğini tam olarak bölün ve ayağa kalkın | O.J.| = 3 / 8 H(Kürenin yarıçapı). demek ki, w = 1 / 8 H.

Böyle bir şekilde

|O.A.| 2 = D 2 + w 2 = 3 / 36 A 2 + 1/64 2/3 A 2 = (1 / 12 + 1 / 96) A 2 = 3 / 32 A 2 .

Öte yandan | O.J.| 2 = 9/64 2/3 A 2 = 3 / 32 A 2. Otje, | O.A. = |O.B.| = |OC| = |O.J.|.

Merhaba L, M, N- alt (büyük) örgü parçanın kenarlarının ortasında, D"- herhangi birinin önünde bu trikutnik'in merkezine (aynı merkez) durun LMN), Tobto'dan eksene z, Hadi gidelim "- noktanın önünde durmak Ö hangi merkeze? todi | OL| 2 = D" 2 + " 2. Bu trikütikül, üsttekinin yüksekliğinin 1/6'sı kadar aşağıda yer alır, böylece " = w + 1 / 6 H= 7/3 8 H. Bunu bilmek de kolaydır D" = A√3 /9.

Destek:

|OL| 2 = D" 2 + " 2 = 1 / 27 A 2 + 49 / 3² 64 2/3 A 2 = (1/27 + 49/27 32) A 2 = 81/27 32 A 2 = 3 / 32 A 2 .

Aynı, aynı şey, | OL = |OM| = |AÇIK| = |O.J.|.

Yaratılışın 8. Gününde Shekhini küresinin yüzeyinde Kırım'ın olduğunu gösterelim. yetzerі Av ve Lev(Kürenin çapını ayarlarlar), İbrahim'in kehanetindeki “kesilmiş keçinin” yarısına benzer iki büyük üç parçalı pantolonun 6 tepesi vardır. Görünüşe göre, noktanın bir kısmı (sandalyenin alt kısmında, yeşil renkle işaretlenmiştir) kürenin ortasında yer almaktadır ve bir kısmı da Shekhina küresinin sınırlarının dışındadır.

Önceki yorumlarda olduğu gibi, Kartezyen koordinat sistemini tanıtıyoruz; z tetrahedronların köşelerinden aşağıdan yukarıya doğru geçecek Av ve Levі yetzer(Ben açıkçası üslerinin merkezlerinden geçiyorum). önemli A dovzhinu kaburga derisi z tetralar Yeretzі Şaman; O zaman boyları aynı olacak H=(2 / 3) 0,5 A. Alt tetrahedronun merkezindeyiz (üstteki tetrahedron için de durum tamamen aynı).

Tarayıcı güncellemesi

izin ver seni arayayım Ö- Shekhini küresinin merkezi, J- tetrahedronun üst tepe noktası (nokta yetzer, Anlamların ardındaki kürede ne vardır), ABC- alt (daha büyük) trikutnik'in bir kesiti vardır. Ayağa kalkmak için vites değiştirmemiz gerekiyor | O.J.| eski binalar | O.A.|.

Merhaba D- zirveye çıkmak AÇıtayı trikutnik'in ortasına kadar uzatacağım ABC, Aksi takdirde görünüşte, eksene z; Merhaba w- noktanın önünde durmak Ö Merkez ne kadar uzakta? todi | O.A.| 2 = D 2 + w 2 .

Trikutum tarafı ABC daha pahalı 2/3 A, ne olmuş D = 2A√3 / 9. Önceki yorumlardan kalınlığın olduğunu biliyoruz ABC tetrahedronun yüksekliğini 1: 3 oranında bölün ve yükseltin | O.J.| = 1 / 2 H(Kürenin yarıçapı). demek ki, w = 1 / 6 H.

Böyle bir şekilde

|O.A.| 2 = D 2 + w 2 = 4 / 27 A 2 + 1/36 2/3 A 2 = (4 / 27 + 1 / 54) A 2 = 1 / 6 A 2 .

Öte yandan | O.J.| 2 = 1/4 2/3 A 2 = 1 / 6 A 2. Otje, | O.A. = |O.B.| = |OC| = |O.J.|.

Shekhini küresinin yüzeyindeki Yaratılışın 9. Gününde, Kırım yetzerі Av ve Lev(Kürenin çapını ayarlamak için) tetrahedronun kenarlarında 12 adet ara nokta bulunmaktadır. Noktaların çoğu (sandalyenin alt kısmında yeşil renkle işaretlenmiştir) kürenin ortasında yer alır ve tetrahedronun yalnızca 6 köşesi Shekhini küresinin sınırlarının dışında bulunur.

Tarayıcı güncellemesi

Alt tetrahedronun sandalye ekseni. Kanıt, 7. ve 8. Günlerde olduğu gibi tamamen aynı şekilde yapılabilir; Shekhini küresinin yeni çapı 7/6'ya eşittir. H. Bunu sağa doğru okumalıyız.

ABC üçgenine ve D noktasına bir göz atalım ki bu üç küpün düzlüğünde kalmasın. ABC üçgeninin köşe noktalarını keserek birleştiriyoruz. Sonuç olarak ADC, CDB, ABD trikutülleri çıkarılır. Yüzey, tetrahedron adı verilen ve DABC olarak adlandırılan dört trikütanöz yapı ABC, ADC, CDB ve ABD ile çevrilidir.
Tetrahedronların oluşturulduğu trikutullere yüzleri denir.
Bu üçlülerin kenarlarına tetrahedronun kenarları denir. Ve onların köşeleri bir tetrahedronun köşeleridir

dörtyüzlü 4 yüz, 6 kaburgaі 4 zirve.
Yan köşelere değmeyen iki kaburgaya protidal denir.
Çoğu zaman, referans kolaylığı için tetrahedronun yüzlerinden birine denir. bir kurulumla Ve yan yana üç tarafı var.

Bu nedenle, bir tetrahedron, yüzleri trikütanöz olan en basit çokyüzlüdür.

Üçgen piramidin bir tetrahedron olduğu da doğrudur ve kesindir. Ona tetrahedron dedikleri de doğrudur temeli trikübitus olan bir piramit.

dörtyüzlü yüksekliği bir tepe noktasını proksimal yüze çizilen ve ona dik olan bir noktaya birleştiren kesime denir.
tetrahedronun ortancası tepe noktasını uzatma yüzünün kenarortaylarının kesişme noktasına bağlayan kesime denir.
Bimedyen tetrahedron tetrahedronun kesişen kenarlarının ortasını birleştiren bölüme denir.

Bir tetrahedron, tabanı üç parçalı bir piramit olduğundan, herhangi bir tetrahedron aşağıdaki formül kullanılarak açıklanabilir:

• S- herhangi bir kenarın alanı,
• H- yükseklik, qiu kenarına indirildi

Düzenli tetrahedron - özel tip tetrahedron

Tüm yüzleri eşkenar olan tetrahedrona trikübitum denir. doğru.
Düzenli bir tetrahedronun gücü:

• Tüm yönler eşittir.
• Düzenli bir tetrahedronun tüm düz kısımları 60 °'ye eşittir
• Kutanöz apeks üç düzenli trikuputanın tepesi olduğundan, düz kuta ile kutanöz apeksin toplamı 180°'ye eşittir.
• Düzenli bir tetrahedronun tepe noktası, protidal yüzün ortomerkezine (üçkütanöz yüksekliklerin kesişme noktasında) yansıtılırsa.

Bize eşit kenarları olan düzgün bir ABCD tetrahedron verilsin mi? DH - Yogo Visota.
BM - ABC trikübünün yüksekliği ve DM - ACD trikübünün yüksekliği gibi ek ayrıntılar ekleyeceğiz.
Yükseklik BM eski BM ve yaşlı
Dört yüzlünün yüksekliği ve bu dört yüzlünün yüksekliği olan dört yüzlü BDM'ye veya DH'ye bir göz atalım.
MB tarafına indirilen trikütülün yüksekliği formül hesaplanarak bulunabilir.

, de
BM=, DM=, BD=a,
p = 1/2 (BM + BD + DM) =
Yükseklik formülündeki ci değerlerini değiştirin. çıkarılabilir


Vinesemo 1 / 2a. çıkarılabilir

Kareler farkının formülünü oluşturalım

Küçük değişikliklerden sonra iptal edilebilir


Herhangi bir tetrahedronun fikri aşağıdaki formül kullanılarak analiz edilebilir:
,
de ,

Değerleri değiştirdikten sonra bunları kaldırabiliriz

Normal bir tetrahedron için formül bu şekilde çalışır

de A-bir tetrahedronun kenarı

Köşelerinin koordinatlarına göre bir tetrahedronun hesaplanması

Dört yüzlünün köşelerinin koordinatları verilsin mi?

Köşelerden vektörler çiziyoruz.
Bu vektörlerin dış yüzeyinin koordinatlarını bulmak için uçtaki koordinatlardan koçanın koordinatlarına kadar olan koordinatları alırız. çıkarılabilir

Eşkenar tetrahedron'a tetrahedron denir; tüm yüzler eşittir. İzohedral tetrahedronun kimliğini ortaya çıkarmak için kağıttan yeterince yuvarlak bir triket alacağız ve onu orta çizginin arkasından çıkaracağız. Daha sonra üç köşe bir noktada birleşecek ve kenarların yarıları kapanarak tetrahedronun yan kenarlarını oluşturacak.

(0) Yüzler uyumludur.

(1) Çiftler halinde kesişen kaburgalar.

(2) Üçgen çıkıntılar.

(3) Protidal dihedral kesimler eşittir.

(4) Bir kenarı spiral şeklinde olan iki düz kuta, düzlükler.

(5) Düz kesiklerin deri apeksi ile toplamı 180°'dir.

(6) Rozgorka tetrahedron - trikütanöz veya paralelkenar.

(7) Paralepiped Orectum'un Açıklamaları.

(8) Dört yüzlünün üç simetri ekseni vardır.

(9) Çiftler halinde kesişme kaburgalarının transgal dikleri

dik.

(10) Orta çizgiler çiftler halinde diktir.

(11) Düzlemin yüzlerinin çevreleri.

(12) Düzlemin yüzlerinin alanları.

(13) Bölgedeki tetrahedronun yükseklikleri.

(14) Köşeleri, uzayan yüzlerin, yani çizgilerin ağırlık merkezlerine bağlamak için yapılan kesikler.

(15) Nehrin yakın yüzlerinin açıklamalarının yarıçapları.

(16) Dört yüzlünün ağırlık merkezi tanımlanan kürenin merkezine yaklaşmaktadır.

(17) Ağırlık merkezi yazılı kürenin merkezine yaklaşmaktadır.

(18) Tanımlanan kürenin merkezi, yazılı kürenin merkezine yaklaşmaktadır.

(19) Açıklamaların merkezinde 100 yüz bulunan bir küre yazılıdır.

öldürücü yüzler.

(20) Dış tek normallerin toplamı (tek vektörler,

yüzlere dik), sıfıra.

(21) Tüm dihedrallerin toplamı sıfıra eşittir.

İzohedral tetrahedronun hemen hemen tüm güçleri ondan akar

yani onların yalnızca birkaç eylemi gün ışığına çıkacak.

Kanıt (16).

Tetrahedron parçaları ABCD eşkenar, o zaman kuvvete göre (1) AB = CD. hadi tam duralım Önce video AB, Bir nokta L kesimin ortası DC, Videodan videolar KL bimedyen tetrahedron ABCD, Tetrahedron izinin medyanlarının yetkililerinin işaretleri, anlamı nedir Hakkında- kesimin ortası KL, tetrahedronun ağırlık merkezi ABCD.

O zamana kadar, tetrahedronun medyanları vaganın merkezinde tam olarak kayar. Hakkında, Ve bu noktayı üstten başlayarak 3: 1 oranında bölün. Ayrıca söylenenlere ve izohedral tetrahedronun gücüne (14) bakıldığında, bölümlerdeki kıskançlığın başlangıcı açıktır. AT = VO = CO = DO, İz nedir, amaç nedir Hakkındaє açıklanan kürenin merkezi (tanımlanan kürenin sınırlarının ötesinde).

Geri. Merhaba Önceі L- kaburgaların ortası ABі CD belli ki dönem Hakkında- bölümün ortası olan tetrahedronun tarif edilen küresinin merkezi KL. Oskolki Hakkında- tetrahedronun tarif edilen küresinin merkezi, ardından trikütanöz AOBі MORİNA.- kenarları ve kenarortayları eşit olan ikizkenarlar TAMAMі OL. Tom EVET=CODD. Bunun anlamı AB = CD. Diğer secde kaburga çiftlerinin eşitliği de benzer şekilde belirlenir; (1) izohedral tetrahedronun gücüne göre şukane takip edecektir.

Kanıt (17).

Kenardaki dihedral kesimin açıortayına bir göz atalım AB, DC bölümlerini kenarların alanına göre bölün ABDі ABC.

Tetrahedron parçaları ABCD eşkenar, sonra güç için (12) S EvetABD = S EvetABD => DL = LC, Yıldızlar açıortay olarak parlıyor ABL Bimedian'dan intikam almak KL. Aynı şey diğer dihedral kesimler için de geçerlidir ve tetrahedronun açıortaylarının yazılı kürenin merkezi olan bir noktada kesiştiği gerçeği dikkate alındığında, bu noktanın kaçınılmaz olarak bu kürenin ağırlık merkezi olacağı açıktır. izohedral tetrahedron.

Geri. Çünkü vaganın merkezi ve yazılı kürenin merkezi saldırıyla önlenir: DL = LC => SABD = SADC. Tüm yüzlerin eşit boyutunu ve eş yüzlü bir tetrahedronun durgunluğunu ve gücünü (12) benzer şekilde göstererek verileri kaldırıyoruz.

Şimdi gücü getireceğiz (20). Bunun için yeterli bir tetrahedronun güçlerinden birinin getirilmesi gerekmektedir.

tetrahedron teoremi okul el kitabı

Dört yüzlünün yüzlerine dik olan vektörlerin çoğunluğu sayısal olarak aynı yüzlerin alanlarına eşit olduğundan, bu vektörlerin toplamı sıfıra eşittir.

Bitti.

Merhaba X- zenginhedronun iç i noktası, H Ben (I = 1,2,3,4)- onun önünde aynı seviyeye kadar durun Ben- ah sınırlar.

Zengin yüzlüyü tepe noktası olan bir piramit şeklinde keselim X, Bu sınıra hizmet eden üsler. dörtyüzlü V bu piramitlerin en yüksek sorumluluk miktarı, ardından 3 v=? H Ben S Ben, de S Ben alan Ben- ah sınırlar. Bırak, N Ben- i'inci sınırın dış normalinin tek bir vektörü, M i - bu sınırın yeterli noktası. Daha sonra H Ben = (Хm Ben , S Ben N Ben ) , O 3V =? H Ben S Ben =? (Xm Ben , S Ben N Ben ) = (XO, S Ben N Ben ) + (OM Ben , S Ben N Ben ) = (XO,? S Ben N Ben ) + 3V, de Hakkında- tetrahedronun noktası sabittir, o halde, ? S Ben N Ben =0 .

Ayrıca izohedral tetrahedronun gücünün (20), belirtilen leminin görünümüyle yuvarlandığı da açıktır. S 1 = S 2 = S 3 = S 4 => N 1 = n 2 = n 3 = n 4 , Ve yüzlerin düzlemleri sıfıra eşit olmadığından doğru eşitlik çıkarılır N 1 + n 2 + n 3 + n 4 =0 .

İzohedral tetrahedron hakkındaki konuşmamızın sonunda biraz bu konuya değinelim.

Tetrahedron'un merkezinden ve tarif edilen yuvarlak kürenin merkezinden geçen düz çizgi, kenarları iç içe geçirir. ABі CD. Ne olduğunu bana bildirin AC = BDі MS = M.Ö..

Tetrahedronun merkezi, kaburgaların ortasını birleştiren düz çizgi üzerinde yer alır. ABі CD.

Bu nedenle, bu düz çizgi üzerinde tetrahedronun açıklanan küresinin merkezi yer alır; bu, kenarlara dik bir düz çizginin belirlendiği anlamına gelir. ABі CD. Merhaba C'і D'- projeksiyon noktaları Cі D düz geçilebilen bir daireye AB paralel CD. Oskolki AC'BD'- paralelkenar (z pobudovi), o zaman AC = BDі AD = BC.

Merhaba H- eş yüzlü bir tetrahedronun yüksekliği, H 1 і H 2 - sınırın yüksekliklerinden birinin o sınırın yüksekliğinin kesişme noktasına bölündüğü kesikler. Onu getirmek H 2 = 4 saat 1 H 2 ; Ayrıca, tetrahedronun yüksekliğinin tabanının ve sınırların yüksekliklerinin çapraz çubuğunun noktasının, bu yüksekliğin alçaltıldığı noktanın, bu sınır etrafında tanımlanan kazık merkezine simetrik olduğundan emin olun.

Bitti.

Merhaba ABCD- Danyum tetrahedron, D.H.- yoga yüksekliği, D.A. 1 , DV 1 , DC 1 - üstten indirilen yüzlerin yükseklikleri D yanda BC, SA ve AB.

Kaburga dizginlerinin tetrahedronun yüzeyini keselim DA, DB, DC, rozeti eziyorum. Açıkça Nє trikütanöz yüksekliğin çapraz bacağının noktası D 1 D 2 D 3 . Merhaba F- trikütanöz yüksekliğin çapraz bacağının noktası ABC, AK- bu üçlü kesimin yüksekliği, AF = saat 1 , FC = saat 2 . Daha sonra D 1 H = 2 saat 1 ,D 1 A 1 = saat 1 -H 2 .

Yani parçalar H- tetrahedronumuzun yüksekliği, H 2 = DН 2 =DA 2 -NA 1 2 = (H 1+ H 2 ) 2 - (H 1 - H 2 ) 2 = 4 saat 1 H 2. Hadi şimdi gidelim M- vaga trikütanyumun merkezi ABC(Bu trikütanöz venin merkezidir D 1 D 2 D 3 ), Hakkında- açıklanan hissenin merkezi. Vidomo F, Mі Hakkında aynı düz çizgide (Euler'in düz çizgisi) yer alır ve M- arasında Fі Hakkında, FM=2MO, Öte yandan trikutnik D 1 D 2 D 3 trikutite homotetik ABC merkezli M ve katsayı (-2), yani MH = 2FM. Neden dışarı çıkıyorsun? VIN = FO.

Yüksekliklerin, yüksekliklerin orta noktalarının ve yüzlerin yüksekliklerinin çapraz çubuğunun noktalarının bir kürenin (küre 12 nokta) yüzeyinde yer aldığını eş kenarlı bir tetrahedron haline getirin.

Bitti.

Ana görev 2'de, tetrahedron üzerinde tanımlanan kürenin merkezinin, kesimin ortasındaki deri kenarına yansıtıldığı, yüksekliğin uçlarının bu kenara indirildiği ve çapraz yüksekliğin noktasının bu kenara indirildiği sonucuna vardık. bu kenar. Ve parçalar tetrahedronun etrafında tanımlanan kürenin merkezinden sınıra doğru yükseliyor; burada H- tetrahedronun yüksekliği, açıklanan kürenin merkezi, bu noktalardan mesafeye kadar olan mesafelerde, burada A- yüksekliklerin enine çubuğunun noktası ile sınır etrafında tanımlanan kazıkların merkezi arasında durun.