МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ НІЖЕМІСЬКОЇ ОБЛАСТІ

Державне бюджетне освітня установа

середньої професійної освіти

«ПЕРЕВЕЗЬКИЙ БУДІВЕЛЬНИЙ КОЛЕДЖ»

Методична розробка навчального заняття

тема «Побудова епюр поздовжніх сил, нормальних напружень та переміщень»

Організація-розробник: ДБОУ СПО «Перевізський будівельний коледж»

Розробник: М.М. Кокіна

Методична розробка навчального заняття на тему «Побудова епюр поздовжніх сил, нормальних напружень та переміщень» з дисципліни «Технічна механіка»/ Перевозський будує. коледж; Розр.: М.М. Кокіна. - Перевіз, 2014. -18 с .

У роботі зазначені мета навчального заняття, завдання. Детально розглянуто хід заняття, у додатку представлено демонстраційний та роздатковий матеріал. Методична розробка написана з метою систематизації навчального матеріалу.

Методична розробка призначена для викладачів та студентів, які навчаються за спеціальністю 270802, 08.02.01 «Будівництво та експлуатація будівель та споруд».

Робота може бути використана під час проведення, занять, відкритого заняття, олімпіади. Студентам може бути корисна під час підготовки до заліку, екзамену.

Вступ

Методична розробка навчального заняття на тему «Побудова епюр поздовжніх сил, нормальних напружень та переміщень» з дисципліни «Технічна механіка» призначена для студентів 2 курсу, спеціальності 270802, 08.02.01 «Будівництво та експлуатація будівель та споруд».

Вибір зазначеної теми зумовлений тим, що дані поняття та методи є опорною базою для цілого ряду технічних дисциплін.

У ході навчального заняття використовувалися:

комп'ютерні та мультимедійні технології;

Інтерактивна дошка;

• пояснювально-ілюстративний, репродуктивний, частково-пошуковий методи навчання;

  роздаткові матеріали.

У ході вивчення теми «Побудова епюр поздовжніх сил, нормальних напружень та переміщень» у учнів формуються такі компетенції:

ПК 1.3.Виконувати нескладні розрахунки та конструювання будівельних конструкцій .

ОК 1 Розуміти сутність та соціальну значимість своєї майбутньої професіївиявляти до неї стійкий інтерес.

ОК 2 Організовувати власну діяльність, визначати методи та способи виконання професійних завдань, оцінювати їх ефективність та якість.

ОК 3 Приймати рішення у стандартних та нестандартних ситуаціях та нести за них відповідальність.

ОК 4 Здійснювати пошук, аналіз та оцінку інформації, необхідної для постановки та вирішення професійних завдань, професійного та особистісного розвитку.

ОК 5 Використання інформаційно-комунікаційних технологій для вдосконалення професійної діяльності.

ОК 6 Працювати в колективі та команді, забезпечувати її згуртування, ефективно спілкуватися з колегами, керівництвом, споживачами.

ОК 7 Брати він відповідальність за роботу членів команди (підлеглих), результат виконання завдань.

План-конспект відкритого навчального заняття з дисципліни «Технічна механіка»

Викладач:Кокіна Марина Миколаївна

Група: 2-131, спеціальність 270802 «Будівництво та експлуатація будівель та споруд».

Тема заняття:Побудова епюр поздовжніх сил, напружень та переміщень

Вид заняття:практичне .

Тип заняття:комбінований урок з використанням комп'ютерних та мультимедійних технологій з елементами гри.

Форма проведення:робота у групах, самостійна робота.

Міжпредметний зв'язок:"Математика", "Матеріалознавство", "Фізика".

Основна мета навчального заняття:Навчитися будувати епюри поздовжніх сил, напруги та визначати переміщення для бруса при розтягуванні або стисканні.

Завдання навчального заняття:

Навчальна:

– розглянути алгоритм знаходження поздовжньої сили методом перерізів та побудови її епюри;

Навчитися обчислювати нормальну напругу для розтягування або стиснення у поперечному перерізі для ступінчастого бруса та будувати епюру для даної напруги;

Навчитися визначати рух вільного кінця бруса.

Розвиваюча:

Розвиток інтелектуальних якостей учнів, пізнавального інтересу та здібностей;

Розвиток уміння використовувати набуті знання.

Виховна:

– формування свідомого ставлення до матеріалу, що вивчається;

- Виховання культури праці, формування навичок самостійної роботи.

Методи навчання:

Пояснювально-ілюстративний.

Репродуктивний.

Частково-пошуковий.

Засоби навчання:

- Інтерактивна дошка;

- Ноутбук.

Роздатковий матеріал:

Картки-завдання;

Учбова література:

Олофінська, В.П. Технічна механіка. - М.: ФОРУМ-ІНФРА-М, 2011

Олофінська, В.П. Технічна механіка. Збірник тестових завдань. - М.: ФОРУМ, 2011

Підготовка до заняття

1.Розбити групу на дві рівносильні команди.

2.Видати завдання командам:

a) Вибрати капітана;

b) придумати назву команди та її девіз;

c) Скласти кросворд на тему «Розтягування та стиск» (10 слів);

План навчального заняття

Організаційний момент (3 хвилини);

Актуалізація раніше здобутих знань. (12 хвилин);

Актуалізація матеріалу на прикладі розв'язання задач (15 хвилин);

закріплення матеріалу (55 хвилин);

Підбиття підсумків та результатів занять (5 хвилин);

Хід заняття

Організаційний момент. (3 хвилини)

1. 1. Перевірка присутніх. Оголошення теми та цілей заняття. (Слайд 1)

      Подання журі. До складу журі входять запрошені викладачі. (Під час заняття члени журі вносять бали у підсумкову відомість – додаток 1).

      Ознайомлення з командами. Візитна картка. (5 балів)

Актуалізація раніше здобутих знань. (12 хвилин)

Ми вивчили тему «Розтягування та стиснення прямого бруса» у розділі «Опір матеріалів». Познайомилися з основними поняттями та визначеннями. Вивчили методику знаходження величини внутрішніх зусиль. Розглянули принципи побудови епюр. Сьогодні ми протягом заняття повторимо цю тему, узагальнимо та систематизуємо отримані знання, відпрацюємо навички обчислення внутрішніх зусиль і напружень та побудови їх епюр. Працюватимемо у командах. Але, перш ніж приступити до рішення, давайте повторимо теоретичний матеріал.

Розминка (фронтальне опитування).

Зараз ми з вами проведемо невелике бліц-опитування на тему «Розтягування та стиснення прямого бруса». Кожна команда по черзі має відповісти на запитання. Право першої відповіді ми розіграємо за допомогою інтерактивного грального кубика. Якщо випадає парне число, першою відповідає друга команда, якщо непарне – перша.

Правильна відповідь – 10 балів.

Дайте визначення поняття Опір матеріалів (Слайд 2)

Встановіть відповідність між поняттями та визначеннями (Слайд 3).

Покажіть на схемі положення внутрішніх зусиль. (Слайд 4)

Який внутрішній силовий фактор виникає при розтягуванні чи стисканні? (Слайд 5)

Який метод використовується визначення поздовжньої сили? (Слайд 6).

Встановіть порядок виконання процесів методу перерізів? (Слайд 7).

Як називається діаграма, графік, що показує зміну будь-якої величини за довжиною бруса. (Слайд 8).

Хто вивів цю експериментальну формулу? (Слайд 9).

Що розуміється під напругою? (Слайд 10)

Скласти формулу визначення нормальної напруги при розтягуванні чи стисканні. (Слайд 11)

3. Актуалізація матеріалу на прикладі розв'язання задач (15 хвилин)

Ознайомитись з прикладом побудови епюр поздовжніх сил, напружень та переміщень. (Слайд 12)

Завдання 1.Двоступінчастий сталевий брус навантажений силами F1=30 кН F2=40 кН.

lвільного кінця бруса, прийнявши Е = 2 10 5 МПа. Площі поперечних перерізів А 1 = 1,5 см 2; А 2 = 2 см 2 .

Розбити брус на ділянки, починаючи з вільного кінця. Межами ділянок є перерізи, в яких прикладені зовнішні сили, а для напруг також місце зміни розмірів поперечного перерізу.

Визначити за методом перерізів поздовжню силу кожної ділянки (ординати епюри N ) і побудувати епюри поздовжніх сил N . Провівши – паралельно осі бруса базову (нульову) лінію епюри, відкласти перпендикулярно їй у довільному масштабі отримані значення ординат. Через кінці ординат провести лінії, проставити знаки та заштрихувати епюру лініями, паралельними ординатам.

Для побудови епюри нормальних напруг визначаємо напруги у поперечних перерізах кожної з ділянок. У межах кожної ділянки напруги постійні, тобто. епюра на цій ділянці зображується прямою, паралельною осі бруса.

Переміщення вільного кінця бруса визначаємо як суму подовження (укорочення) ділянок бруса, обчислених за формулою Гука.

Розбиваємо брус на ділянки.

Визначаємо ординати епюри N на ділянках бруса:

N 1 = - F 1 = -30кН

N 2 = - F 2 = -30кН

N 3 = -F 1 + F 2 = -30 +40 = 10 кН

Будуємо епюру поздовжніх сил

Обчислюємо ординати епюри нормальних напруг

σ 1 = =
= -200МПа

σ 2 = =
= -150МПа

σ 3 ==
= 50МПа

Будуємо епюри нормальних напруг.

4. Перевіряємо міцність бруса, якщо напруга [σ ] = 160 МПа.

Вибираємо максимальну за модулем розрахункову напругу. Iσ max I = 200 МПа

Підставляємо за умови міцності Iσ max I ≤ [σ ]

200 МПа ≤ 160 МПа. Робимо висновок, що міцність не забезпечена.

5. Визначаємо рух вільного кінця бруса Е = 2∙10 5 МПа.

∆l =∆l 1 +∆l 2 +∆l 3

∆l 1 =
=
= - 0,5 мм

∆l 2 =
=
= - 0,225мм

∆l 3 =
=
= 0,05мм

∆l= - 0,5 - 0,225 + 0,05 = - 0,675мм

Брус укоротився на 0,675 мм

Закріплення матеріалу. (55 хвилин) (Слайд 13, Слайд 14)

Завдання – естафета (25 хвилин)

Двоступінчастий сталевий брус навантажений силами F1, F2.

Побудувати епюри поздовжніх сил та нормальних напруг по довжині бруса. Перевірити міцність бруса, якщо напруга [σ ] = 160 МПа. Визначити переміщення ∆ lвільного кінця бруса, прийнявши Е = 2 10 5 МПа. Площі поперечних перерізів А 1 = 5 см 2; А 2 = 10 см 2 . Довжина l= 0,5 м. Перша команда F1 = 50 кН, F2 = 30 кН. Друга команда F1 = 30 кН, F2 = 50 кН.

F 1

l l l

l l l

Завдання кожного етапу естафети – 5 балів

1 етап естафети (по 1 особі від команди)

Розбити брус на ділянки. Пронумерувати ці ділянки.

2 етап естафети (по 1 особі від команди)

Знайти величину поздовжньої сили першому ділянці.

3 етап естафети (по 1 особі від команди)

Знайти величину поздовжньої сили другою ділянці.

4 етап естафети (по 1 особі від команди)

Знайти величину поздовжньої сили третьому ділянці.

5 етап естафети (по 1 особі від команди)

Побудувати епюру для поздовжньої сили.

6 етап естафети (по 1 особі від команди)

Знайти величину нормальної напруги першому ділянці.

7 етап естафети (по 1 особі від команди)

Знайти величину нормальної напруги другою ділянці.

8 етап естафети (по 1 особі від команди)

Знайти величину нормальної напруги третьому ділянці.

9 етап естафети (по 1 особі від команди)

Побудувати епюру для нормальної напруги.

10 етап естафети (по 1 особі від команди)

Перевірити міцність бруса. Допустима напруга [σ] = 160 МПа.

11 етап естафети (конкурс капітанів) – 10 балів

Визначити рух вільного кінця бруса.

1. Робота в групах (Картки із завданнями) (10 хвилин) (Слайд 15)

Кожній команді потрібно виконати завдання. Завдання ми розіграємо за допомогою інтерактивного грального кубика. Якщо випадає непарне число, перше завдання дістається першій команді, якщо парне – то другий. Друге завдання автоматично переходить до іншої команди. Час виконання – 10 хвилин встановлено на інтерактивному таймері. (Картки – завдання додаток 2)

1. Розгадування кросвордів. (10 хвилин) (Слайд 16)

Команди відгадують кросворд, складений суперниками. Час розгадування – 10 хвилин встановлено на інтерактивному таймері.

Кожна правильна відповідь 5 балів.

1. Творче завдання. (10 хвилин) (Слайд 17)

Скласти вірш зі словами:

Розтягування

Стиснення

Епюра

Сила

Міцність

Виконання цього завдання – 10 балів.

Підбиття підсумків (5 хвилин) (Слайд 18)

Заповнити таблицю:

Я знав

Я впізнав

Я хочу дізнатися

Поки студенти заповнюють таблицю, журі підраховує кількість балів, набрану кожною командою.

Оголошення переможців. Виставлення оцінок.

Дякую за роботу на занятті! (Слайд 19)

Програми

Додаток 1.

Підсумкова відомість

Вид завдання

1 команда

Назва

Капітан

2 команда

Назва

Капітан

Візитна картка команди

Максимальна кількість балів – 5

Фронтальне опитування

За кожну правильну відповідь

Естафета

1 етап естафети

Максимальна кількість балів – 5

2 етап естафети

Максимальна кількість балів – 5

3 етап естафети

Максимальна кількість балів – 5

4 етап естафети

Максимальна кількість балів – 5

5 етап естафети

Максимальна кількість балів – 5

6 етап естафети

Максимальна кількість балів – 5

7 етап естафети

Максимальна кількість балів – 5

8 етап естафети

Максимальна кількість балів – 5

9 етап естафети

Максимальна кількість балів – 5

10 етап естафети

Максимальна кількість балів – 5

11 етап естафети (конкурс капітанів)

Робота в групах (картки із завданнями)

Максимальна кількість балів – 10

Розгадування кросвордів

Рішення.

1. Побудова епюри N.

На брус діють три сили, отже, поздовжня сила за його довжиною змінюватиметься. Розбиваємо брус на ділянки, в межах яких поздовжня сила буде постійною. У разі кордонами ділянок є перерізи, у яких прикладені сили. Позначимо перерізи літерами А, В, З, D,починаючи з вільного кінця, у разі правого.

Для визначення поздовжньої сили кожному ділянці розглядаємо довільний поперечний переріз, сила у якому визначається за правилом, наведеному раніше. Щоб не визначати попередньо реакцію в закладенні D, починаємо розрахунки з вільного кінця бруса А.

Ділянка АВ, переріз 1-1 . Праворуч від перерізу діє розтягуюча сила P 1 (рис. 15, а). Відповідно до згаданого раніше правила, отримуємо

N AB = P 1 = 40 кН.

Ділянка НД, переріз 2-2 . Праворуч від нього розташовані дві сили, спрямовані у різні боки. З урахуванням правила знаків, отримаємо

N B З = + P 1 -P 2 = 40-90 = -50 кН.

Ділянка СD, перетин 3-3: аналогічно отримуємо

N D =+P 1 -P 2 -P 3 =40-90-110=-160 кН.

За знайденими значеннями Nу вибраному масштабі будуємо епюру, враховуючи, що в межах кожної ділянки поздовжня сила стала (рис.15, б)

Позитивні значення Nвідкладаємо вгору від осі епюри, негативні – вниз.

2. Побудова епюри напругσ .

Обчислюємо напруги в поперечному перерізі для кожної ділянки бруса:

При обчисленні нормальних напруг значення поздовжніх сил Nберуться по епюрі з урахуванням їхніх знаків. Знак плюс відповідає розтягуванню, мінус – стиску. Епюра напруги показана на рис. 15, в.

3. Побудова епюри поздовжніх переміщень.

Для побудови епюри переміщень обчислюємо абсолютні подовження окремих ділянок бруса, використовуючи закон Гука:

Визначаємо переміщення перерізів, починаючи з закріпленого нерухомого кінця. Переріз Dрозташоване в закладенні, воно не може зміщуватися і його переміщення дорівнює нулю:

Переріз Зпереміститься внаслідок зміни довжини ділянки CD.Переміщення перерізу Звизначається за формулою

∆ C =∆ l CD =-6,7∙10 -4 м.

При негативній (стискаючій) силі точка Ззміститься вліво.

Переміщення перерізу Ує результатом зміни довжин DCі CB. Складаючи їх подовження, отримуємо

∆ B =∆ l CD +∆ l BC =-6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 = -8,8∙10 -4 м.

Розмірковуючи аналогічно, обчислюємо переміщення перерізу А:

∆ A =∆ l CD +∆ l BC +∆ l AB =-6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 +0,57∙10 -4 = -8,23∙10 -4 м.

У вибраному масштабі відкладаємо від вихідної осі значення обчислених переміщень. З'єднавши отримані точки прямими лініями, будуємо епюру переміщень (рис.15, г).

4. Перевірка міцності бруса.

Умова міцності записується у такому вигляді:

Максимальна напруга σ max знаходимо по епюрі напруг, вибираючи максимальну напругу абсолютної величини:

σ max =267 МПа.

Ця напруга діє на ділянці DC, всі перерізи якого є небезпечним.

Допустиму напругу обчислюємо за формулою:

Порівнюючи σ max і [σ], бачимо, що умова міцності не виконується, оскільки максимальна напруга перевищує допустиме.

Приклад 4

Підібрати з умов міцності та жорсткості розміри прямокутного поперечного перерізу чавунного стрижня (див. рис. 16, а).

Дано: F = 40 кН; l=0,4 м; [σ p] = 350 МПа; [σ с] = 800 МПа; Е=1,2∙10 5 МПа; [∆l]=l/200; h/b=2 де h – висота, b – ширина поперечного перерізу.

Рис.16

Рішення.

1. Побудова епюри внутрішніх зусильN

Стрижень розділений на 3 ділянки залежно від зміни зовнішнього навантаження та площі поперечного перерізу. Застосовуючи метод перерізів, визначаємо поздовжню силу кожному ділянці.

На ділянці 1: N 1 = F = -40 кН.

На ділянці 2: N 2 = -F + 3F = 2F = 80 кН.

На ділянці 3: N 3 =-F+3F-2F=F=40 кН.

Епюра Nнаведено на рис. 16, б.

2. Побудова епюри нормальних напруг

Знайдемо напруги на ділянках стрижня.

На ділянці 1:

На ділянці 2:

На ділянці 3:

Епюра σ наведена на рис. 16, в.

3. Знаходження площі поперечного перерізу за умови міцності

Найбільші напруги, що розтягують, виникають на ділянці 2, найбільші стискаючі напруги – на ділянці 1. Для обчислення площі поперечного перерізу використовуємо умови міцності σ max . p ≤[σ p ] та σ max .с ≤[σ с ].

Напруження на ділянці 1 рівні

Отже,

Напруження на ділянці 2 рівні

За умовою міцності

Напруження на ділянці 3 рівні

Отже,

Необхідну площу перерізу слід прийняти з умови міцності при розтягуванні:

При заданому співвідношенні h/b=2 площа поперечного перерізу можна записати, як A=h∙b=2b 2 . Розміри поперечного перерізу дорівнюватимуть:

4. Знаходження площі поперечного перерізу за умови жорсткості

При розрахунку жорсткість слід враховувати, що переміщення у точці d дорівнюватиме сумі деформацій всіх ділянок стрижня. Величину абсолютної деформації для кожної ділянки знайдемо за формулою

або

На ділянці 1:

На ділянці 2:

На ділянці 3:

Абсолютна деформація всього стрижня:

Із умови жорсткості ∆ l≤[∆l], знайдемо

, звідки

Розміри поперечного перерізу дорівнюватимуть:

Зіставляючи результати розрахунку міцність і жорсткість, приймаємо більше значення площі поперечного перерізу A=2,65 см 2 .

5. Побудова епюри переміщень𝜆

Для визначення переміщення будь-якого перерізу стрижня будують епюру переміщень 𝜆 . За початок відліку приймаємо переріз у закладенні, оскільки переміщення цього перерізу дорівнює нулю. При побудові епюри послідовно визначаємо переміщення характерних перерізів стрижня, які дорівнюють сумі алгебри змін довжин всіх ділянок від початку відліку до аналізованого перерізу.

Перетин а:

Переріз b:

Перетин з:

Перетин d:

Епюра переміщень представлена ​​на рис.16, г.

Приклад 5

Для ступінчастого бруса (рис. 17, а) при Е=2∙10 5 Мпа, σ Т = 240 МПа, потрібно визначити:

1. Внутрішні поздовжні сили за його довжиною та побудувати епюру поздовжніх сил.

2. Нормальні напруги в поперечних перерізах і побудувати епюру нормальних напруг.

3. Запас міцності для небезпечного перерізу.

4. Переміщення перерізів та побудувати епюру переміщень.

Дано: F 1 = 30кН; F 2 = 20кН; F3 = 60 кН; l 1 = 0,5 м; l 2 = 1,5 м; l 3 = 1м; l 4 = 1м; l 5 = l 6 = 1м; d 1 = 4см; d 2 = 2см.

Рис.17

Рішення.

1. Визначення поздовжніх сил у характерних перерізах бруса, та побудова епюри поздовжніх сил.

Зображаємо розрахункову схему (рис. 17, а) і визначаємо реакцію опори в закладенні, яку направляємо із зовнішнього боку закладення вліво. Якщо в результаті визначення реакції R Увиявиться негативною, це вказує на те, що її напрямок протилежний. Ступінчастий брус під дією сил F 1 , F 2 , F 3 та реакції R Узнаходяться в рівновазі, тому для визначення R Удостатньо скласти одне рівняння проекцій усіх сил на вісь х, що збігається з віссю бруса.

ΣF ix =-F 1 -F 2 +F 3 -R B =0

Звідки R B = -F 1 -F 2 + F 3 = -30-20 +60 = 10 кН

Розмежуємо брус на ділянки. Межами ділянок є перерізи, у яких прикладені зовнішні сили, а напруг також місця зміни розмірів поперечного перерізу (рис. 17,а)

Користуючись методом перерізів, визначаємо для кожної ділянки величину та знак поздовжньої сили. Проведемо переріз 1–1 і ​​розглянемо рівновагу правої відсіченої частини бруса (рис. 17, б). Внутрішні сили у кожному перерізі умовно спрямовуємо убік відкинутої частини. Якщо внутрішня поздовжня сила позитивна дільниці, має місце деформація розтягування; негативна – стиск.

Розглядаючи праву відсічену частину, знаходимо

∑F ix =-N 1 -R B =0; N 1 =-R B =-10 кН (стиск)

Значення поздовжньої сили в межах першої ділянки не залежить від того, яку із відсічених частин ми розглядали. Доцільніше завжди розглядати ту частину бруса, до якої прикладено менше сил. Провівши перерізи в межах другої, третьої та четвертої ділянок, аналогічно знайдемо:

для перерізу 2-2 (рис. 17, в)

∑F ix =-N 2 +F 3 -R B =0; N 2 = F 3 -R B = 60-10 = 50 кН (розтяг).

для перерізу 3-3, розглядаємо ліву частину бруса (рис. 17, г)

ΣF ix =-F 1 -N 3 =0; N 3 = F 1 = 30 кН (розтяг).

для перерізу 4-4 (рис. 17, д)

ΣF ix =N 4 =0; N 4 =0 ця частина бруса не відчуває деформації.

Після визначення внутрішніх поздовжніх сил у характерних перерізах будують графік їх розподілу по довжині бруса. Графік, що показує, як змінюються поздовжні сили ( N) під час переходу від одного перерізу до іншого, тобто. графік, що зображує закон зміни Nвздовж осі бруса, називається епюрою поздовжніх сил.

Епюра поздовжньої сили будується у наступній послідовності. У розмежованому на ділянки брусі провести через точки докладання зовнішніх сил лінії перпендикулярні його осі. На деякій відстані від осі бруса провести лінію паралельну осі: на перпендикулярі до цієї лінії відкласти в обраному масштабі відрізок, що відповідає поздовжній силі для кожної ділянки: позитивні вгору від осі епюри, негативні - вниз. Через кінці відрізків провести лінії, паралельні осі. Вісь епюри проводять тонкою лінією, а саму епюру окреслюють товстими лініями, епюру штрихують тонкими лініями, перпендикулярними до її осі. У масштабі кожна лінія дорівнює поздовжній силі у відповідному перерізі бруса. На епюрі вказують знаки плюс і мінус і в характерних точках, де змінюється сила, проставляють її значення. У перерізах, в яких прикладені зосереджені сили, на епюрі є стрибки - різка зміна поздовжньої сили "Стрибок" поздовжньої сили дорівнює зовнішній силі, прикладеній у цьому перерізі, що є перевіркою правильності побудованої епюри. На (рис. 18,б) побудована епюра поздовжніх сил заданого ступеневого бруса.

2. Визначення нормальних напруг у поперечних перерізах бруса та побудова епюри нормальних напруг.

Нормальну напругу на кожній ділянці визначаємо за формулою σ=N/A, підставляючи її значення сил (у Н) та площ (у мм 2 ). Площа поперечних перерізів бруса визначаємо за формулою A=πd 2 /4

Нормальна напруга на ділянках I–VI дорівнює відповідно:

I. т.к. N 4 = 0

У межах кожної ділянки напруга однакова, оскільки однакові у всіх перерізах значення поздовжньої сили та площі поперечного перерізу. Епюра окреслена прямими, паралельними її осі. Побудова за обчисленими значеннями епюри представлена ​​(рис. 18, в).

3. Визначення запасу міцності для небезпечного перерізу.

З епюри нормальних напруг, побудованої по довжині бруса видно, що найбільша напруга виникає в межах четвертої ділянки max = 159,2 Н/мм 2 , отже, запас міцності

4. Визначення переміщень перерізів та побудова епюри переміщень.

Для побудови епюри переміщень достатньо визначити переміщення крайніх перерізів кожної ділянки. Переміщення перерізу визначимо як суму алгебри деформацій ділянок стрижня, розташованих між цим перетином і закладенням, тобто. нерухомим перетином.

Абсолютні переміщення перерізів обчислимо за формулами:

Епюра поздовжніх переміщень представлена ​​(рис. 18, г). У разі перевірки жорсткості слід порівняти отримане максимальне значення ∆ l = 1,55 ммз допустимим [∆ l] для цього бруса.

Рис.18

Приклад 6

Для ступінчастого бруса (мал.19) потрібно:

1. Побудувати епюру поздовжніх сил

2. Визначити нормальну напругу в поперечних перерізах і побудувати епюру

3. Побудувати епюру переміщень поперечних перерізів.

Дано:

Рис.19

Рішення.

1. Визначимо нормальні зусилля

Ділянка AB:

Ділянка BC:

Ділянка CD:

Епюра поздовжніх сил показано на рис.20.

2. Визначимо нормальну напругу

Ділянка AB:

Ділянка BC:

Ділянка CD:

Епюра нормальних напруг показана на рис.20.

3. Визначимо переміщення поперечних перерізів

Епюра переміщень показана на рис.20.

Рис.20

Приклад 7

Для ступінчастого сталевого стрижня (мал.21) потрібно:

1. Побудувати епюри поздовжніх сил N та нормальних напруг σ.

2. Визначити поздовжню деформацію стрижня ∆ l.

Е = 2∙10 5 МПа; А 1 = 120 мм 2; А 2 = 80 мм 2; А 3 = 80 мм 2; а 1 = 0,1 м; а 2 = 0,2 м; а 3 = 0,2 м; F1 = 12 кН; F2 = 18 кН; F3 = -12 кН.

Рішення.

1. Побудова епюрNіσ

Застосовуємо метод перерізів.

Ділянка 1.

ΣХ = 0 → -N 1 + F 1 = 0; N 1 = F 1 = 12 кН;

Ділянка 2

ΣХ = 0 → -N 2 + F 2 + F 1 = 0;

N 2 = F 2 + F 1 = 18 + 12 = 30 кН;

Ділянка 3

ΣХ = 0 → - N 3 - F 3 + F 2 + F 1 = 0;

N 3 = - F 3 + F 2 + F 1 = -12 + 18 + 12 = 18 кН;

2. Розрахункова схема із справжнім напрямом зовнішнього навантаження та розрахунковими епюрами.

Рис.21

3. Визначення поздовжньої деформації стрижня

Приклад 8

Для бруса, жорстко забитого обома кінцями і навантаженого вздовж осі силами F 1 і F 2 прикладеними в його проміжних перерізах (рис. 22, а), потрібно

1) Побудувати епюри поздовжніх сил,

2) Побудувати епюри нормальних напруг

3) Побудувати епюри переміщень поперечних перерізів

4) Перевірити міцність бруса.

Дано: якщо матеріал – сталь ст.3, F = 80 кН, т = 240 МПа, А = 4 см 2 , а = 1 м, необхідний коефіцієнт запасу [ n] = 1,4, Е= 2∙10 5 МПа.

Рис.22

Рішення.

1. Статичний бік завдання.

Оскільки сили F 1 і F 2 діють вздовж осі стрижня з його кінцях, під впливом сил F 1 і F 2 у закладенні можуть виникнути тільки горизонтальні опорні реакції R Аі R У. В даному випадку маємо систему сил, спрямованих по одній прямій (рис. 22, а), на яку статика дає лише одне рівняння рівноваги.

ΣF ix = -R А + F 1 + F 2 - R В = 0; R А + R В = F 1 + F 2 = 3F (1)

Невідомих реактивних сил дві R Аі R У, Отже, система один раз статично невизначена, тобто. необхідно скласти одне додаткове рівняння переміщень.

2. Геометрична сторона задачі.

Для розкриття статичної невизначеності, тобто. складання рівняння переміщень, відкинемо одну із закладень, наприклад праву (рис. 22, б). Отримуємо статично визначний брус, закріплений одним кінцем. Такий брус називають основною системою. Дію відкинутої опори замінюємо реакцією R У = Х. В результаті маємо статично визначний брус, навантажений, крім заданих сил. F 1 і F 2 невідомою реактивною силою R У = Х. Цей статично визначний брус навантажений як і заданий статично невизначений, тобто. еквівалентний йому. Еквівалентність цих двох брусів дозволяє стверджувати, що другий брус деформується як і, як перший, тобто. переміщення ∆ У– перерізи Удорівнює нулю, тому що фактично (в заданому брусі) воно жорстко закріплено: ∆ У = 0.

На основі принципу незалежності дії сил (результатом дії на тіло системи сил не залежить від послідовності їх застосування та дорівнює сумі результатів дії кожної сили окремо) переміщення перерізу Упредставимо як алгебраїчну суму переміщень від сил F 1 , F 2 і Х, тобто. рівняння спільності деформацій набуде вигляду:

∆ B =∆ BF1 +∆ BF2 +∆ BX =0 (2)

У позначеннях переміщень перша літера індексу вказує про переміщення якого перетину йдеться; друга – причину, що викликає це переміщення (сили F 1 , F 2 і Х).

3. Фізична сторона завдання.

На підставі закону Гука виражаємо переміщення перерізу В,через чинні сили F 1 , F 2 та невідому реакцію Х.

На (рис. 22, в, г, д), показані схеми навантаження бруса кожної із сил окремо та переміщення перерізу Увід цих сил.

Користуючись цими схемами, визначаємо переміщення:

одно подовження ділянки АС;

одно подовження ділянок АТі ДЕ;

дорівнює сумі укорочень ділянок АТ, ДК, КВ.

4. Синтез.

Підставимо значення , у рівняння (2), маємо

Отже:

Підставляючи R Ув рівняння (1), отримаємо:

R А + 66,7 = 3∙80 = 240

звідси R А =240-66,7=173,3 кН, R А = 173,3 кН, таким чином, статична невизначеність розкрита - маємо статично визначний брус, зароблений одним кінцем, навантажений відомими силами F 1 , F 2 і Х = 66,7 кн.

Епюру поздовжніх сил будуємо як для статично визначеного бруса. На підставі методу перерізів внутрішні поздовжні сили у характерних ділянках рівні:

N АС = R А = 173,3 кН;

N РЄ = R А - 2F = 173,3 - 80∙2 = 13,3 кН;

N ЕВ = -R А = - 66,7 кН.

Епюра поздовжніх сил представлена ​​(рис. 22, е). Значення нормальних напруг у характерних перерізах визначаємо за формулою

Для ділянки АС

для ділянки ЦД

для ділянки ДЕ

для ділянки ЄК

для ділянки КВ

У межах кожного учасника напруги постійні, тобто. епюра "σ" - пряма, паралельна осі бруса (рис.22, ж).

При розрахунку на міцність інтерес становлять перерізи, в яких виникають найбільші напруги. У розглянутому прикладі вони не збігаються з тими перерізами, в яких максимальні поздовжні сили, найбільша напруга виникає на ділянці ЄКде σ мах = - 166,8 МПа.

З умови завдання випливає, що гранична напруга для бруса

σ перед = σ т = 240 МПа, тому допустима напруга

Звідси випливає, що розрахункова напруга = 166,8 МПа< 171,4 МПа, т.е. условие прочности выполняется. Разница между расчетным напряжением и допускаемым составляет:

Перевантаження або недовантаження допускається не більше ±5%.

При побудові епюри переміщень достатньо визначити переміщення перерізів ділянок, що збігаються з межами, оскільки між зазначеними перерізами епюра ∆ lмає лінійний характер. Починаємо будувати епюру переміщень від лівого защемленого кінця бруса, в якому А = 0; тому що воно нерухоме.

Отже, на правому кінці бруса у перерізі У, ордината епюри ∆ lдорівнює нулю, так як у заданому брусі цей переріз жорстко защемлено, за обчисленими значеннями побудована епюра ∆ l(Рис.22, з).

Приклад 9

Для складеного ступінчастого бруса, що складається з міді та сталі та навантаженого зосередженою силою F (рис. 23, а), визначити внутрішні поздовжні сили та побудувати їх епюри, якщо відомі модулі пружності матеріалу: для сталі E c , для міді E M .

Рис.23

Рішення.

1. Складають рівняння статичної рівноваги:

ΣZ=0;R B -F+R D =0. (1)

Завдання один раз статично невизначена, оскільки обидві реакції можуть бути визначені лише з одного рівняння.

2. Умова спільності переміщень має висловити те що, що загальна довжина бруса не змінюється, тобто. переміщення, наприклад, перерізу

Використовуючи закон Гука σ=Eε, з урахуванням того факту, що переміщення будь-якого поперечного перерізу бруса чисельно рівні подовженню або укороченню його ділянок, розташованих між закладенням Bі переміщенням перерізом D, перетворять рівняння (2) на вигляд:

Звідси R D = 0,33F. (4)

Підставивши (4) до (1), визначають

R B = F-R D = F-0,33 F = 0,67 F. (5)

Тоді, застосувавши метод перерізів, згідно з виразом N i = F i , отримують:

N DC = -R D; NBC = R B .

Прийнявши для наочності рішення

l M = l; l c =2 l; A M = 4A C; E C = 2E M.

з урахуванням (4) одержують N DC =-R D = -0,33F,

a з урахуванням (5) одержують N BC =R B =0,67F.

Епюра поздовжніх сил показана на рис. 16, б.

Розрахунок на міцність після цього виконують згідно з умовою міцності

Приклад 10

Брус ступінчасто-змінного перерізу, розрахункова схема якого показана на малюнку 24, знаходиться в умовах центрального (осьового) розтягування-стискання під дією заданого навантаження.

Потрібно:

1) Розкрити статичну невизначеність;

2) Побудувати епюри нормальних сил і нормальних напруг (у буквальному вираженні величин);

3) Підібрати переріз бруса за умовою міцності;

4) Побудувати епюру поздовжніх переміщень поперечних перерізів.

Вплив своєї ваги бруса знехтувати, опорні пристрої вважати абсолютно жорсткими.

матеріал – чавун, допустимі напруги (розрахункові опори):

Прийняти:для чавуну

Параметр F підлягає визначенню з умов міцності, а параметр P при виконанні п.3 завдання прийняти.

Рішення.

1. Побудова епюри N.

На брус діють три сили, отже, поздовжня сила за його довжиною змінюватиметься. Розбиваємо брус на ділянки, в межах яких поздовжня сила буде постійною. У разі кордонами ділянок є перерізи, у яких прикладені сили. Позначимо перерізи літерами А, В, З, D,починаючи з вільного кінця, у разі правого.

Для визначення поздовжньої сили кожному ділянці розглядаємо довільний поперечний переріз, сила у якому визначається за правилом, наведеному раніше. Щоб не визначати попередньо реакцію в закладенні D, починаємо розрахунки з вільного кінця бруса А.

Ділянка АВ, переріз 1-1 . Праворуч від перерізу діє розтягуюча сила P 1 (рис. 15, а). Відповідно до згаданого раніше правила, отримуємо

N AB = P 1 = 40 кН.

Ділянка НД, переріз 2-2 . Праворуч від нього розташовані дві сили, спрямовані у різні боки. З урахуванням правила знаків, отримаємо

N B З = + P 1 -P 2 = 40-90 = -50 кН.

Ділянка СD, перетин 3-3: аналогічно отримуємо

N D =+P 1 -P 2 -P 3 =40-90-110=-160 кН.

За знайденими значеннями Nу вибраному масштабі будуємо епюру, враховуючи, що в межах кожної ділянки поздовжня сила стала (рис.15, б)

Позитивні значення Nвідкладаємо вгору від осі епюри, негативні – вниз.

2. Побудова епюри напругσ .

Обчислюємо напруги в поперечному перерізі для кожної ділянки бруса:

При обчисленні нормальних напруг значення поздовжніх сил Nберуться по епюрі з урахуванням їхніх знаків. Знак плюс відповідає розтягуванню, мінус – стиску. Епюра напруги показана на рис. 15, в.

3. Побудова епюри поздовжніх переміщень.

Для побудови епюри переміщень обчислюємо абсолютні подовження окремих ділянок бруса, використовуючи закон Гука:

Визначаємо переміщення перерізів, починаючи з закріпленого нерухомого кінця. Переріз Dрозташоване в закладенні, воно не може зміщуватися і його переміщення дорівнює нулю:

Переріз Зпереміститься внаслідок зміни довжини ділянки CD.Переміщення перерізу Звизначається за формулою

∆ C =∆ l CD =-6,7∙10 -4 м.

При негативній (стискаючій) силі точка Ззміститься вліво.

Переміщення перерізу Ує результатом зміни довжин DCі CB. Складаючи їх подовження, отримуємо

∆ B =∆ l CD +∆ l BC =-6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 = -8,8∙10 -4 м.

Розмірковуючи аналогічно, обчислюємо переміщення перерізу А:

∆ A =∆ l CD +∆ l BC +∆ l AB =-6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 +0,57∙10 -4 = -8,23∙10 -4 м.

У вибраному масштабі відкладаємо від вихідної осі значення обчислених переміщень. З'єднавши отримані точки прямими лініями, будуємо епюру переміщень (рис.15, г).

4. Перевірка міцності бруса.

Умова міцності записується у такому вигляді:

Максимальну напругу σ max знаходимо по епюрі напруги, вибираючи максимальну за абсолютною величиною:

σ max =267 МПа.

Ця напруга діє на ділянці DC, всі перерізи якого є небезпечним.

Допустиму напругу обчислюємо за формулою:

Порівнюючи σ max і [σ], бачимо, що умова міцності не виконується, оскільки максимальна напруга перевищує допустиме.

Приклад 4

Підібрати з умов міцності та жорсткості розміри прямокутного поперечного перерізу чавунного стрижня (див. рис. 16, а).

Дано: F = 40 кН; l=0,4 м; [σ p] = 350 МПа; [σ с] = 800 МПа; Е=1,2∙10 5 МПа; [∆l]=l/200; h/b=2 де h – висота, b – ширина поперечного перерізу.

Рис.16

Рішення.

1. Побудова епюри внутрішніх зусильN

Стрижень розділений на 3 ділянки залежно від зміни зовнішнього навантаження та площі поперечного перерізу. Застосовуючи метод перерізів, визначаємо поздовжню силу кожному ділянці.

На ділянці 1: N 1 = F = -40 кН.

На ділянці 2: N 2 = -F + 3F = 2F = 80 кН.

На ділянці 3: N 3 =-F+3F-2F=F=40 кН.

Епюра Nнаведено на рис. 16, б.

2. Побудова епюри нормальних напруг

Знайдемо напруги на ділянках стрижня.

На ділянці 1:

На ділянці 2:

На ділянці 3:

Епюра σ наведена на рис. 16, в.

3. Знаходження площі поперечного перерізу за умови міцності

Найбільші напруги, що розтягують, виникають на ділянці 2, найбільші стискаючі напруги – на ділянці 1. Для обчислення площі поперечного перерізу використовуємо умови міцності σ max . p ≤[σ p ] та σ max .с ≤[σ с ].

Напруження на ділянці 1 рівні

Отже,

Напруження на ділянці 2 рівні

За умовою міцності

Напруження на ділянці 3 рівні

Отже,

Необхідну площу перерізу слід прийняти з умови міцності при розтягуванні:

При заданому співвідношенні h/b=2 площа поперечного перерізу можна записати, як A=h∙b=2b 2 . Розміри поперечного перерізу дорівнюватимуть:

4. Знаходження площі поперечного перерізу за умови жорсткості

При розрахунку жорсткість слід враховувати, що переміщення у точці d дорівнюватиме сумі деформацій всіх ділянок стрижня. Величину абсолютної деформації для кожної ділянки знайдемо за формулою

або

На ділянці 1:

На ділянці 2:

На ділянці 3:

Абсолютна деформація всього стрижня:

Із умови жорсткості ∆ l≤[∆l], знайдемо

, звідки

Розміри поперечного перерізу дорівнюватимуть:

Зіставляючи результати розрахунку міцність і жорсткість, приймаємо більше значення площі поперечного перерізу A=2,65 см 2 .

5. Побудова епюри переміщень𝜆

Для визначення переміщення будь-якого перерізу стрижня будують епюру переміщень 𝜆 . За початок відліку приймаємо переріз у закладенні, оскільки переміщення цього перерізу дорівнює нулю. При побудові епюри послідовно визначаємо переміщення характерних перерізів стрижня, які дорівнюють сумі алгебри змін довжин всіх ділянок від початку відліку до аналізованого перерізу.

Перетин а:

Переріз b:

Перетин з:

Перетин d:

Епюра переміщень представлена ​​на рис.16, г.

Приклад 5

Для ступінчастого бруса (рис. 17, а) при Е=2∙10 5 Мпа, σ Т = 240 МПа, потрібно визначити:

1. Внутрішні поздовжні сили за його довжиною та побудувати епюру поздовжніх сил.

2. Нормальні напруги в поперечних перерізах і побудувати епюру нормальних напруг.

3. Запас міцності для небезпечного перерізу.

4. Переміщення перерізів та побудувати епюру переміщень.

Дано: F 1 = 30кН; F 2 = 20кН; F3 = 60 кН; l 1 = 0,5 м; l 2 = 1,5 м; l 3 = 1м; l 4 = 1м; l 5 = l 6 = 1м; d 1 = 4см; d 2 = 2см.

Рис.17

Рішення.

1. Визначення поздовжніх сил у характерних перерізах бруса, та побудова епюри поздовжніх сил.

Зображаємо розрахункову схему (рис. 17, а) і визначаємо реакцію опори в закладенні, яку направляємо із зовнішнього боку закладення вліво. Якщо в результаті визначення реакції R Увиявиться негативною, це вказує на те, що її напрямок протилежний. Ступінчастий брус під дією сил F 1 , F 2 , F 3 та реакції R Узнаходяться в рівновазі, тому для визначення R Удостатньо скласти одне рівняння проекцій усіх сил на вісь х, що збігається з віссю бруса.

ΣF ix =-F 1 -F 2 +F 3 -R B =0

Звідки R B = -F 1 -F 2 + F 3 = -30-20 +60 = 10 кН

Розмежуємо брус на ділянки. Межами ділянок є перерізи, у яких прикладені зовнішні сили, а напруг також місця зміни розмірів поперечного перерізу (рис. 17,а)

Користуючись методом перерізів, визначаємо для кожної ділянки величину та знак поздовжньої сили. Проведемо переріз 1–1 і ​​розглянемо рівновагу правої відсіченої частини бруса (рис. 17, б). Внутрішні сили у кожному перерізі умовно спрямовуємо убік відкинутої частини. Якщо внутрішня поздовжня сила позитивна дільниці, має місце деформація розтягування; негативна – стиск.

Розглядаючи праву відсічену частину, знаходимо

∑F ix =-N 1 -R B =0; N 1 =-R B =-10 кН (стиск)

Значення поздовжньої сили в межах першої ділянки не залежить від того, яку із відсічених частин ми розглядали. Доцільніше завжди розглядати ту частину бруса, до якої прикладено менше сил. Провівши перерізи в межах другої, третьої та четвертої ділянок, аналогічно знайдемо:

для перерізу 2-2 (рис. 17, в)

∑F ix =-N 2 +F 3 -R B =0; N 2 = F 3 -R B = 60-10 = 50 кН (розтяг).

для перерізу 3-3, розглядаємо ліву частину бруса (рис. 17, г)

ΣF ix =-F 1 -N 3 =0; N 3 = F 1 = 30 кН (розтяг).

для перерізу 4-4 (рис. 17, д)

ΣF ix =N 4 =0; N 4 =0 ця частина бруса не відчуває деформації.

Після визначення внутрішніх поздовжніх сил у характерних перерізах будують графік їх розподілу по довжині бруса. Графік, що показує, як змінюються поздовжні сили ( N) під час переходу від одного перерізу до іншого, тобто. графік, що зображує закон зміни Nвздовж осі бруса, називається епюрою поздовжніх сил.

Епюра поздовжньої сили будується у наступній послідовності. У розмежованому на ділянки брусі провести через точки докладання зовнішніх сил лінії перпендикулярні його осі. На деякій відстані від осі бруса провести лінію паралельну осі: на перпендикулярі до цієї лінії відкласти в обраному масштабі відрізок, що відповідає поздовжній силі для кожної ділянки: позитивні вгору від осі епюри, негативні - вниз. Через кінці відрізків провести лінії, паралельні осі. Вісь епюри проводять тонкою лінією, а саму епюру окреслюють товстими лініями, епюру штрихують тонкими лініями, перпендикулярними до її осі. У масштабі кожна лінія дорівнює поздовжній силі у відповідному перерізі бруса. На епюрі вказують знаки плюс і мінус і в характерних точках, де змінюється сила, проставляють її значення. У перерізах, в яких прикладені зосереджені сили, на епюрі є стрибки - різка зміна поздовжньої сили "Стрибок" поздовжньої сили дорівнює зовнішній силі, прикладеній у цьому перерізі, що є перевіркою правильності побудованої епюри. На (рис. 18,б) побудована епюра поздовжніх сил заданого ступеневого бруса.

2. Визначення нормальних напруг у поперечних перерізах бруса та побудова епюри нормальних напруг.

Нормальну напругу на кожній ділянці визначаємо за формулою σ=N/A, підставляючи її значення сил (у Н) та площ (у мм 2 ). Площа поперечних перерізів бруса визначаємо за формулою A=πd 2 /4

Нормальна напруга на ділянках I–VI дорівнює відповідно:

I. т.к. N 4 = 0

У межах кожної ділянки напруга однакова, оскільки однакові у всіх перерізах значення поздовжньої сили та площі поперечного перерізу. Епюра окреслена прямими, паралельними її осі. Побудова за обчисленими значеннями епюри представлена ​​(рис. 18, в).

3. Визначення запасу міцності для небезпечного перерізу.

З епюри нормальних напруг, побудованої по довжині бруса видно, що найбільша напруга виникає в межах четвертої ділянки max = 159,2 Н/мм 2 , отже, запас міцності

4. Визначення переміщень перерізів та побудова епюри переміщень.

Для побудови епюри переміщень достатньо визначити переміщення крайніх перерізів кожної ділянки. Переміщення перерізу визначимо як суму алгебри деформацій ділянок стрижня, розташованих між цим перетином і закладенням, тобто. нерухомим перетином.

Абсолютні переміщення перерізів обчислимо за формулами:

Епюра поздовжніх переміщень представлена ​​(рис. 18, г). У разі перевірки жорсткості слід порівняти отримане максимальне значення ∆ l = 1,55 ммз допустимим [∆ l] для цього бруса.

Рис.18

Приклад 6

Для ступінчастого бруса (мал.19) потрібно:

1. Побудувати епюру поздовжніх сил

2. Визначити нормальну напругу в поперечних перерізах і побудувати епюру

3. Побудувати епюру переміщень поперечних перерізів.

Дано:

Рис.19

Рішення.

1. Визначимо нормальні зусилля

Ділянка AB:

Ділянка BC:

Ділянка CD:

Епюра поздовжніх сил показано на рис.20.

2. Визначимо нормальну напругу

Ділянка AB:

Ділянка BC:

Ділянка CD:

Епюра нормальних напруг показана на рис.20.

3. Визначимо переміщення поперечних перерізів

Епюра переміщень показана на рис.20.

Рис.20

Приклад 7

Для ступінчастого сталевого стрижня (мал.21) потрібно:

1. Побудувати епюри поздовжніх сил N та нормальних напруг σ.

2. Визначити поздовжню деформацію стрижня ∆ l.

Е = 2∙10 5 МПа; А 1 = 120 мм 2; А 2 = 80 мм 2; А 3 = 80 мм 2; а 1 = 0,1 м; а 2 = 0,2 м; а 3 = 0,2 м; F1 = 12 кН; F2 = 18 кН; F3 = -12 кН.

Рішення.

1. Побудова епюрNіσ

Застосовуємо метод перерізів.

Ділянка 1.

ΣХ = 0 → -N 1 + F 1 = 0; N 1 = F 1 = 12 кН;

Ділянка 2

ΣХ = 0 → -N 2 + F 2 + F 1 = 0;

N 2 = F 2 + F 1 = 18 + 12 = 30 кН;

Ділянка 3

ΣХ = 0 → - N 3 - F 3 + F 2 + F 1 = 0;

N 3 = - F 3 + F 2 + F 1 = -12 + 18 + 12 = 18 кН;

2. Розрахункова схема із справжнім напрямом зовнішнього навантаження та розрахунковими епюрами.

Рис.21

3. Визначення поздовжньої деформації стрижня

Приклад 8

Для бруса, жорстко забитого обома кінцями і навантаженого вздовж осі силами F 1 і F 2 прикладеними в його проміжних перерізах (рис. 22, а), потрібно

1) Побудувати епюри поздовжніх сил,

2) Побудувати епюри нормальних напруг

3) Побудувати епюри переміщень поперечних перерізів

4) Перевірити міцність бруса.

Дано: якщо матеріал – сталь ст.3, F = 80 кН, т = 240 МПа, А = 4 см 2 , а = 1 м, необхідний коефіцієнт запасу [ n] = 1,4, Е= 2∙10 5 МПа.

Рис.22

Рішення.

1. Статичний бік завдання.

Оскільки сили F 1 і F 2 діють вздовж осі стрижня з його кінцях, під впливом сил F 1 і F 2 у закладенні можуть виникнути тільки горизонтальні опорні реакції R Аі R У. В даному випадку маємо систему сил, спрямованих по одній прямій (рис. 22, а), на яку статика дає лише одне рівняння рівноваги.

ΣF ix = -R А + F 1 + F 2 - R В = 0; R А + R В = F 1 + F 2 = 3F (1)

Невідомих реактивних сил дві R Аі R У, Отже, система один раз статично невизначена, тобто. необхідно скласти одне додаткове рівняння переміщень.

2. Геометрична сторона задачі.

Для розкриття статичної невизначеності, тобто. складання рівняння переміщень, відкинемо одну із закладень, наприклад праву (рис. 22, б). Отримуємо статично визначний брус, закріплений одним кінцем. Такий брус називають основною системою. Дію відкинутої опори замінюємо реакцією R У = Х. В результаті маємо статично визначний брус, навантажений, крім заданих сил. F 1 і F 2 невідомою реактивною силою R У = Х. Цей статично визначний брус навантажений як і заданий статично невизначений, тобто. еквівалентний йому. Еквівалентність цих двох брусів дозволяє стверджувати, що другий брус деформується як і, як перший, тобто. переміщення ∆ У– перерізи Удорівнює нулю, тому що фактично (в заданому брусі) воно жорстко закріплено: ∆ У = 0.

На основі принципу незалежності дії сил (результатом дії на тіло системи сил не залежить від послідовності їх застосування та дорівнює сумі результатів дії кожної сили окремо) переміщення перерізу Упредставимо як алгебраїчну суму переміщень від сил F 1 , F 2 і Х, тобто. рівняння спільності деформацій набуде вигляду:

∆ B =∆ BF1 +∆ BF2 +∆ BX =0 (2)

У позначеннях переміщень перша літера індексу вказує про переміщення якого перетину йдеться; друга – причину, що викликає це переміщення (сили F 1 , F 2 і Х).

3. Фізична сторона завдання.

На підставі закону Гука виражаємо переміщення перерізу В,через чинні сили F 1 , F 2 та невідому реакцію Х.

На (рис. 22, в, г, д), показані схеми навантаження бруса кожної із сил окремо та переміщення перерізу Увід цих сил.

Користуючись цими схемами, визначаємо переміщення:

одно подовження ділянки АС;

одно подовження ділянок АТі ДЕ;

дорівнює сумі укорочень ділянок АТ, ДК, КВ.

4. Синтез.

Підставимо значення , у рівняння (2), маємо

Отже:

Підставляючи R Ув рівняння (1), отримаємо:

R А + 66,7 = 3∙80 = 240

звідси R А =240-66,7=173,3 кН, R А = 173,3 кН, таким чином, статична невизначеність розкрита - маємо статично визначний брус, зароблений одним кінцем, навантажений відомими силами F 1 , F 2 і Х = 66,7 кн.

Епюру поздовжніх сил будуємо як для статично визначеного бруса. На підставі методу перерізів внутрішні поздовжні сили у характерних ділянках рівні:

N АС = R А = 173,3 кН;

N РЄ = R А - 2F = 173,3 - 80∙2 = 13,3 кН;

N ЕВ = -R А = - 66,7 кН.

Епюра поздовжніх сил представлена ​​(рис. 22, е). Значення нормальних напруг у характерних перерізах визначаємо за формулою

Для ділянки АС

для ділянки ЦД

для ділянки ДЕ

для ділянки ЄК

для ділянки КВ

У межах кожного учасника напруги постійні, тобто. епюра "σ" - пряма, паралельна осі бруса (рис.22, ж).

При розрахунку на міцність інтерес становлять перерізи, в яких виникають найбільші напруги. У розглянутому прикладі вони не збігаються з тими перерізами, в яких максимальні поздовжні сили, найбільша напруга виникає на ділянці ЄКде σ мах = - 166,8 МПа.

З умови завдання випливає, що гранична напруга для бруса

σ перед = σ т = 240 МПа, тому допустима напруга

Звідси випливає, що розрахункова напруга = 166,8 МПа< 171,4 МПа, т.е. условие прочности выполняется. Разница между расчетным напряжением и допускаемым составляет:

Перевантаження або недовантаження допускається не більше ±5%.

При побудові епюри переміщень достатньо визначити переміщення перерізів ділянок, що збігаються з межами, оскільки між зазначеними перерізами епюра ∆ lмає лінійний характер. Починаємо будувати епюру переміщень від лівого защемленого кінця бруса, в якому А = 0; тому що воно нерухоме.

Отже, на правому кінці бруса у перерізі У, ордината епюри ∆ lдорівнює нулю, так як у заданому брусі цей переріз жорстко защемлено, за обчисленими значеннями побудована епюра ∆ l(Рис.22, з).

Приклад 9

Для складеного ступінчастого бруса, що складається з міді та сталі та навантаженого зосередженою силою F (рис. 23, а), визначити внутрішні поздовжні сили та побудувати їх епюри, якщо відомі модулі пружності матеріалу: для сталі E c , для міді E M .

Рис.23

Рішення.

1. Складають рівняння статичної рівноваги:

ΣZ=0;R B -F+R D =0. (1)

Завдання один раз статично невизначена, оскільки обидві реакції можуть бути визначені лише з одного рівняння.

2. Умова спільності переміщень має висловити те що, що загальна довжина бруса не змінюється, тобто. переміщення, наприклад, перерізу

Використовуючи закон Гука σ=Eε, з урахуванням того факту, що переміщення будь-якого поперечного перерізу бруса чисельно рівні подовженню або укороченню його ділянок, розташованих між закладенням Bі переміщенням перерізом D, перетворять рівняння (2) на вигляд:

Звідси R D = 0,33F. (4)

Підставивши (4) до (1), визначають

R B = F-R D = F-0,33 F = 0,67 F. (5)

Тоді, застосувавши метод перерізів, згідно з виразом N i = F i , отримують:

N DC = -R D; NBC = R B .

Прийнявши для наочності рішення

l M = l; l c =2 l; A M = 4A C; E C = 2E M.

з урахуванням (4) одержують N DC =-R D = -0,33F,

a з урахуванням (5) одержують N BC =R B =0,67F.

Епюра поздовжніх сил показана на рис. 16, б.

Розрахунок на міцність після цього виконують згідно з умовою міцності

Приклад 10

Брус ступінчасто-змінного перерізу, розрахункова схема якого показана на малюнку 24, знаходиться в умовах центрального (осьового) розтягування-стискання під дією заданого навантаження.

Потрібно:

1) Розкрити статичну невизначеність;

2) Побудувати епюри нормальних сил і нормальних напруг (у буквальному вираженні величин);

3) Підібрати переріз бруса за умовою міцності;

4) Побудувати епюру поздовжніх переміщень поперечних перерізів.

Вплив своєї ваги бруса знехтувати, опорні пристрої вважати абсолютно жорсткими.

матеріал – чавун, допустимі напруги (розрахункові опори):

Прийняти:для чавуну

Параметр F підлягає визначенню з умов міцності, а параметр P при виконанні п.3 завдання прийняти:

Примітка:

1) У розрахунковій схемі між нижнім торцем бруса і опорою до навантаження бруса є зазор. Коефіцієнт прийняти відповідно рівним 1.

2) За відсутності на розрахунковій схемі однієї із сил P 1 або P 2 відповідний коефіцієнт (α 1 або α 2) вважати рівним нулю

3) При виконанні п.3 завдання слід користуватися методом напруг, що допускаються

Рис.24

Рішення:

1) В результаті навантаження бруса, в його загортання виникають реакції спрямовані вздовж осі (рис.25). Визначаємо реакцію у закладенні. Попередньо спрямовуємо її вгору.

Рис.25

Складаємо рівняння рівноваги:

Це рівняння є єдиним і містить дві невідомі сили. Отже, система один раз статично невизначена.

Розкриваємо статичну невизначеність:

Висловимо подовження через сили:

Підставимо в рівняння рівноваги:

Таким чином, статична невизначеність розкрита.

2) Розіб'ємо брус на 3 ділянки (рис.26), починаючи з його вільного кінця; межами ділянок служать перерізи, де прикладені зовнішні сили, і навіть місця зміни розмірів поперечного перерізу.

Рис.26

Зробимо довільний переріз 1 - 1 на ділянці I, і, відкинувши верхню частину бруса, розглянемо умови рівноваги залишеної нижньої частини, зображеної окремо (рис.27, б).

На залишену частину діє сила R B зусилля, що шукається. Проектуючи на вісь Zсили, що діють решту, отримуємо.

Проведемо довільний переріз 2 – 2 на ділянці II, і, відкинувши верхню частину бруса, розглянемо умови рівноваги залишеної нижньої частини, зображеної окремо (рис.27, в).

.

Проведемо довільний переріз 3 – 3 на ділянці III і, відкинувши верхню частину бруса, розглянемо умови рівноваги залишеної нижньої частини, зображеної окремо (рис.27, г).

.

Побудуємо графік (епюру), що показує, як змінюється N за довжиною бруса (рис.27, д).

Епюру нормальних напруг отримаємо, розділивши значення Nна відповідні площі поперечних перерізів бруса, тобто.

Для I ділянки:

Для II ділянки:

Для III ділянки:

Побудуємо епюру нормальних напруг (рис.27, е).

3) Розрахунок міцності виконується з використанням умов міцності. Умова міцності конструкції записується у вигляді:

де - найбільші розрахункові розтягувальні і стискаючі напруги в конструкції;

-допустима напруга при розтягуванні і стисканні відповідно.

Підбір перерізу бруса у разі здійснюється за умовою міцності третього ділянки, т.к. на цій ділянці виникають найбільші напруги, що розтягують:

Приймаємо

За знайденим значенням параметра F визначаємо площі перерізів ділянок бруса:

Підбір перерізів чавунного бруса за умовою міцності на стиск робити не будемо, т.к. найбільше значення стискаючих напруг менше розтягують, а

4) Побудуємо епюру поздовжніх переміщень поперечних перерізів. Вона будується підсумовуванням пружних подовжень ділянок, починаючи з нерухомого кінця.

Визначимо зміну довжин ділянок бруса за формулою:

ДляIIIділянки–

ДляIIділянки–

ДляIділянки–

За умовою в розрахунковій схемі між нижнім торцем бруса та опорою до навантаження бруса (ділянка I) є зазор. Коефіцієнт за умовою дорівнює 1, тоді зазор дорівнюватиме.

Знаходимо осьові переміщення перерізів бруса по межах ділянкою:

Побудуємо епюру поздовжніх переміщень поперечних перерізів (рис.27, ж).

Рис.27

Приклад 11

Для статично невизначеного стрижня (рис.28) потрібно побудувати епюри поздовжніх сил та нормальних напруг.

Дано: l 1 = 1 м; l 2 = 0,8 м; F 2 = 15 см 2 = 15 · 10 -4 м 2; F 2 / F 1 = 2,1; P = 190 кН = 190 · 10 3 Н; ∆t = 30K; δ = 0,006 см = 6 · 10 -5 м; E = 1 · 10 5 МПа = 1 · 10 11 Па; α= 17·10 -6 K.

Центральним розтягуванням (стисненням)називається такий вид деформації, при якому в поперечних перерізах бруса (стрижня) виникає лише поздовжня (нормальна) сила. Вважається, що внутрішня поздовжня сила діє вздовж осі стрижня, перпендикулярно його поперечним перерізам. Чисельні значення поздовжніх сил Nвизначають дільницями, використовуючи метод перерізів, становлячи рівняння рівноваги суми проекцій на вісь бруса (z) всіх сил, що діють на відсічену частину.

Розглянемо (рис. 1.2, а)прямий брус постійної товщини, закріплений одним кінцем і навантажений на іншому кінці силою Р, спрямованої вздовж осі. Під дією закріплення та зовнішньої сили Рбрус розтягується (деформується). При цьому в закріпленні виникає деяке зусилля, завдяки якому верхній край бруса залишається нерухомим. Це зусилля називають реакцією закріплення на зовнішнє навантаження. Замінимо вплив закріплення на стрижень еквівалентно чинною силою. Ця сила дорівнює реакції закріплення R(Рис. 1.2, б).

Рі невідомої поки реакції R-

При побудові рівнянь загальної рівноваги механіки прийнято таке правило знаків: проекція зусилля на вісь позитивна, якщо її напрямок збігається з обраним напрямом цієї осі, проекція негативна, якщо спрямована у протилежний бік.

п-п(Рис. 1.2, б). n-пнормальної сили N(Рис. 1.2, в).Рівняння рівноваги нижньої відсіченої частини бруса:

Графік зміни поздовжньої сили вздовж осі бруса показано на рис. 1.2, м.Графік, що показує зміну поздовжніх сил за довжиною осі бруса, називається епюрою поздовжніх сил (епюрою N ).

приклад.Побудувати епюру внутрішніх нормальних сил, які під дією трьох зовнішніх сил (див. рис. 1.3): Р 1 = 5кН, P 2= 8 кН, Р 3 = 7 кН (див. рис. 1.3, а).

Використовуючи метод перерізів, визначимо значення внутрішньої сили у характерних поперечних перерізах бруса.

Рівняння рівноваги нижньої відлікової частини бруса:

переріз II-II

перетин I-I

перетин III-III

ƩZ = 0; -N + Р 1 - Р 2 + Р 3 = 0або N=Р 1 -Р 2 + Р 3= 4 кН.

Будуємо епюру нормальних сил (див. рис. 1.3, б)

Поздовжня силаN,що виникає в поперечному перерізі бруса, являє собою рівнодіючу внутрішніх нормальних сил, розподілених по площі поперечного перерізу, і пов'язана з нормальними напругами залежністю, що виникають в цьому перерізі

Під дією двох зовнішніх впливів: відомої сили Рі невідомої поки реакції R-брус знаходиться у рівновазі. Рівняння рівноваги бруса

При побудові рівнянь загальної рівноваги механіки прийнято таке правило знаків: проекція зусилля на вісь позитивна, якщо її напрямок збігається з обраним напрямом цієї осі, проекція негативна, якщо спрямована у протилежний бік.

Подумки розріжемо стрижень на дві частини за цікавим для нас перерізом п-п(Рис. 1.2, б).Вплив на нижню частинуверхньої частини представимо дією на нижню частину її верхньому торці п-пнормальної сили N(Рис. 1.2, в).Рівняння рівноваги нижньої відсіченої частини бруса

Поздовжня силаN,що виникає в поперечному перерізі бруса, являє собою рівнодіючу внутрішніх нормальних сил, розподілених по площі поперечного перерізу, і пов'язана з нормальними напругами залежністю, що виникають в цьому перерізі

тут σ - нормальна напруга у довільній точці поперечного перерізу, що належить елементарному майданчику dF; F-площа поперечного перерізу бруса.

твір, добуток σdF=dNє елементарною внутрішню силу, що припадає на майданчик dF.

Значення поздовжньої сили Nу кожному окремому випадку легко можна визначити за допомогою методу перерізів. Для знаходження напруг у кожній точці поперечного перерізу бруса треба знати закон їхнього розподілу за цим перерізом.

Проведемо на бічній поверхні бруса до його навантаження лінії, перпендикулярні до осі бруса (рис. 1.4, а).

Кожну таку лінію можна розглядати як слід площині поперечного перерізу бруса. При навантаженні бруса осьовою силою Рці лінії, як показує досвід, залишаються прямими та паралельними між собою (їх положення після навантаження бруса показані на рис. 1.4, б).

навантаження, залишаються плоскими та при дії навантаження. Такий досвід

Мал. 1.4. Деформування бруса

підтверджує гіпотезу плоских перерізів (гіпотезу Бернуллі).

Згідно з гіпотезою плоских перерізів, всі поздовжні волокна бруса розтягуються однаково, значить їх розтягують однакові за величиною сили про dF = dN,отже, у всіх точках поперечного перерізу нормальна напруга має постійне значення.

У поперечних перерізах бруса при центральному розтягуванні або стиску виникають рівномірно розподілені нормальні напруги, рівні відношенню поздовжньої сили до площі поперечного перерізу .

Для наочного зображення зміни нормальних напруг у поперечних перерізах стрижня (за його довжиною) будується епюра нормальних напруг . Осі цієї епюри є відрізок прямої, рівний довжині стрижня і паралельний його осі. При стрижні постійного перерізу епюра нормальних напруг має такий самий вигляд, як і епюра поздовжніх сил (вона відрізняється від неї лише прийнятим масштабом). При стрижні змінного перерізу вигляд цих двох епюр різний; зокрема, для стрижня зі ступінчастим законом зміни поперечних перерізів епюру нормальних напруг має стрибки не тільки в перерізах, в яких прикладені зосереджені осьові навантаження (де має стрибки епюра поздовжніх сил), а й у місцях зміни розмірів поперечних перерізів.

Виникають у різних поперечних перерізах стрижня, неоднакові, закон їх зміни за довжиною стрижня подається у вигляді графіка N(z), званого епюрою поздовжніх сил. Епюра поздовжніх сил необхідна для оцінки стрижня і будується для того, щоб знайти небезпечний переріз (поперечний переріз, в якому поздовжня сила набуває найбільшого значення).

Як будувати епюру поздовжніх сил?

Для побудови епюри N використовується. Продемонструємо його застосування з прикладу (рис. 2.1).

Визначимо поздовжню силу N, що виникає у наміченому нами поперечному перерізі.

Розріжемо стрижень у цьому місці та подумки відкинемо нижню його частину (рис. 2.1, а). Далі ми маємо замінити дію відкинутої частини на верхню частину стрижня внутрішньою поздовжньою силою N.

Для зручності обчислення її значення закриємо верхню частину стрижня, що розглядається нами, листком паперу. Нагадаємо, що N, що виникає в поперечному перерізі, можна визначити як суму алгебри всіх поздовжніх сил, що діють на відкинуту частину стрижня, тобто на ту частину стрижня, яку ми бачимо.

При цьому застосовуємо наступне: сили, що викликають розтягування залишеної частини стрижня (закритої нами листком паперу) входять у згадану суму алгебри зі знаком «плюс», а сили, що викликають стиск - зі знаком «мінус».

Отже, визначення поздовжньої сили N в наміченому нами поперечному перерізі необхідно просто скласти всі зовнішні сили, які ми бачимо. Оскільки сила кН розтягує верхню частину, а сила кН її стискає, то кН.

Знак «мінус» означає, що в цьому перерізі стрижень зазнає стиснення.

Можна знайти опорну реакцію R (рис. 2.1 б) і скласти рівняння рівноваги для всього стрижня, щоб перевірити результат.