Особливі види матриць. Види матриць

Визначення 1.Матрицею розміруназивають таблицю чисел

що складається з строкистолбців При цьому числа 1 називаються елементами матриціМатрицу називають квадратною матрицею розмірностіякщо число її рядків збігається з числом стовпців

Часто матрицю позначають так: Бажаючи вказати розміри матриці, будемо писати і саму матрицю називатимемо матрицею.

Дії додавання та віднімання над матрицями однакового розмірувизначаються рівностями:

(тобто при складанні або відніманні матриць складаються (відповідно віднімаються) їх елементи, що знаходяться на однакових місцях).

Розмноження матриці на число визначається рівністю

(Тобто при множенні матриці на число треба кожен елемент цієї помножити на це число).

Матриці можна множити одна на одну тільки в тому випадку, коли їх розміри узгоджені , тобто, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці:

Спочатку визначають твір вектор-рядки на

вектор-стовпець(мають однакове число компонентів):

Потім визначають

в) твором матриць з узгодженими розмірами і називається матрицею елемент якої отриманий множенням рядка матриці

Наприклад,

Часто зустрічаються матриці наступного спеціального виду:

1. Одинична матриця:

2. Діагональна матриця: (Тут і в матриці всі елементи поза головною діагоналі рівні нулю).

3.Трикутна матриця:

4. Матриця трапецієподібної форми:

При вирішенні лінійних систем рівнянь зустрічатимуться матриці ступінчастого вигляду.Щоб описати їх, введемо поняття опорний елемент рядка. Це не дорівнює нулю перший ліворуч елемент рядка.Наприклад, у рядку елемент (-5) є опорним (тут і нижче у рамці зазначений опорний елемент).

Визначення 2.Матриця називається матрицею ступінчастого вигляду,якщо в ній:

а) опорний елемент кожного рядка знаходиться правішеопорного елемента попереднього рядка;

б) якщо в матриці є нульовий рядок, то всі наступні її рядки також нульові.

Зрозуміло, що діагональна, верхньо-трикутна та трапецієподібна матриці є ступінчастими. Інший приклад матриці східчастого вигляду:

2. Визначники матриці та їх властивості

Ми вже мали справу з визначниками другого та третього порядків на попередніх лекціях. Дамо тепер загальне поняття визначника порядку щодо індукції. Будь-якій квадратній матриці виду

ставиться у відповідність число

що визначається нижче (див. визначення 5) і зване визначником (або детермінантом) матриціТепер введемо поняття міноруматриці.

Визначення 3.У матриці на перетині будь-яких рядків істовбців стоїть матриця порядку. Визначник матриці називається мінором го порядку матриці

Зрозуміло, таких мінорів може бути кілька. Нехай тепер матриця є квадратною.

Визначення 4.Мінор порядку, отриманий з матриці після викреслення її рядка ярмо стовпця, називається додатковим мінором елементацієї матриці (позначення:). Число називається алгебраїчним доповненням елементаматриці.

Визначення 5. Нехай у квадратній матриці виділено довільний рядок Визначником матриці називається число

(Тобто сума творів елементів рядка на їх алгебраїчні доповнення). Часто визначник матриці позначають так:

Як ми вже зазначили вище, визначник порядку обчислюється за індукцією: якщо відомо правило обчислення визначників порядку, то визначник порядку обчислюється за формулою (1). Раніше було дано правила обчислення визначників другого та третього порядків, тому за формулою (1) можна обчислити визначники четвертого порядку та вище. Наприклад,

Перерахуємо основні властивості визначників. Спочатку зауважимо, що матриця отримана з матриці заміною рядків на стовпці з тими ж номерами, називається тран-

спонірованоюдо матриці. Позначення:

1) При транспонуванні матриці її визначник не змінюється:

2) При перестановці будь-яких двох рядків (або двох стовпців) матриці її визначник змінює знак на протилежний.

3) Визначник, який має нульовий рядок (або нульовий стовпець) дорівнює нулю.

4) Визначник, у якого елементи одного рядка (або стовпця) пропорційні елементам іншого рядка (або стовпця) дорівнює нулю.

5) Загальний множник елементів будь-якого рядка (або стовпця) можна виносити за знак визначника:

6) Якщо до якогось рядка визначника додати інший рядок, помножений на будь-яке число, то визначник не зміниться. Теж вірно і для стовпців визначника.

7) (сума визначників)

8) Визначник добутку двох квадратних матриць однієї й тієї ж розмірності дорівнює добутку визначників цих матриць:

Доведеннявсіх цих властивостей проводиться з використанням визначення 5. Доведемо, наприклад, властивість 5. Маємо

Властивість 5 доведено.

Квиток 17:

Запитання 1: Визначення параболи. Висновок рівняння:

Визначення. Параболою називається безліч точок площини, кожна з яких знаходиться на однаковій відстані від даної точки, яка називається фокусом, і від даної прямої, званої директрисою і не проходить через фокус.

Розташуємо початок координат посередині між фокусом та директрисою.

Розмір р (відстань від фокусу до директриси) називається параметром параболи. Виведемо канонічне рівняння параболи.

З геометричних співвідношень: AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x - p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 - xp + p2/4

Рівняння директриси: x = -p/2.

Запитання 2: Теорема Коші:

Теорема: Нехай функції і диференційовані на інтервалі і безперервні при, причому при всіх. Тоді в інтервалі знайдеться така точка, що

Геометричний зміст : Дані теореми полягають у тому, що всередині є точка t 0 , кутові коефіцієнти в якій обчислюються за рівністю:

Доведення. Доведемо спочатку, що , тобто що дріб у лівій частині формули має сенс. Справді, для цієї різниці можна записати формулу кінцевих прирощень:

при деякому. Але в правій частині цієї формули обидва множники відмінні від нуля.

Для доказу теореми введемо допоміжну функцію

Функція , очевидно, є диференційованою при всіх і безперервною в точках і , оскільки ці властивості мають функції і . Крім того, очевидно, що при виході . Покажемо, що і :

Отже, функція задовольняє на відрізку умов теореми Роля. Тому існує така точка, що.

Обчислимо тепер похідну функції:

Отримуємо, що

звідки отримуємо затвердження теореми:

Примітка: Можна вважати функції і координатами точки, що рухається на площині, яка описує лінію , що з'єднує початкову точку з кінцевою точкою .(Тоді рівняння і параметрично задають деяку залежність , графіком якої служить лінія .)

Хорда паралельна деякій дотичній до кривої Рис.5.6.

Відношення , як неважко бачити з креслення, ставить тоді кутовий коефіцієнт хорди, що з'єднує точки і . У той же час, за формулою похідної функції, заданої параметрично, маємо: . Значить, дріб - це кутовий коефіцієнт дотичної лінії в деякій точці . Тим самим твердження теореми означає, з геометричної точки зору, що на лінії знайдеться точка така, що проведена в цій точці, що стосується паралельна хорді, що з'єднує крайні точки лінії. Але це - те саме твердження, яке становило геометричний змісттеореми Лагранжа. Тільки теоремі Лагранжа лінія була задана явної залежністю , а теоремі Коші - залежністю, заданої у параметричної формі.

Квиток 18:

Запитання 1: Поняття матриці. Класифікація матриць:

Визначення. Матрицею розміру mn, де m-число рядків, n-число стовпців, називається таблиця чисел, розташованих у певному порядку. Ці числа називають елементами матриці. Місце кожного елемента однозначно визначається номером рядка та шпальти, на перетині яких він знаходиться. Елементи матриці позначаються aij, де i номер рядка, а j номер стовпця. А =

Класифікація матриць.

Матриця може складатися з одного рядка, і з одного стовпця. Взагалі, матриця може складатися навіть з одного елемента.

Визначення . Якщо число стовпців матриці дорівнює кількості рядків (m=n), то матриця називається квадратний.

Визначення . Матриця виду: = E називається одиничною матрицею.

Визначення. Якщо amn = anm, то матриця називається симетричною. приклад. - симетрична матриця

Визначення . Квадратна матриця виду називається діагональною матрицею .

Запитання 2: Теорема Лагранжа:

Теорема: Нехай функція диференційована на інтервалі та безперервна в точках і . Тоді знайдеться така точка, що

Геометричний зміст: Дамо спочатку геометричну ілюстрацію теореми. З'єднаємо кінцеві точки графіка на відрізку хордою. Кінцеві прирощення та - це величини катетів трикутника, гіпотенузою якого є проведена хорда.

Рис.5.5.Дотальна в деякій точці паралельна хорді

Відношення кінцевих прирощень - це тангенс кута нахилу хорди. Теорема стверджує, що до графіку диференційованої функції можна провести в деякій дотичній точці, яка буде паралельна хорді, тобто кут нахилу дотичної () буде дорівнює куту нахилу хорди (). Але наявність такої дотичної геометрично очевидна.

Зауважимо, що проведена хорда, що з'єднує точки і це графік лінійної функції . Оскільки кутовий коефіцієнт цієї лінійної функції дорівнює, очевидно, , то

Доказ теореми Лагранжа. Зведемо доказ застосування теореми Ролля. Для цього введемо допоміжну функцію, тобто

Зауважимо, що і (по побудові функції). Так як лінійна функціядиференційована за всіх , то функція задовольняє, тим самим, усім властивостям, переліченим за умови теореми Ролля. Тому знайдеться така точка, що Шпаргалка пофілософії: відповіді на екзаменаційні квитки Шпаргалка >> Філософія

Шпаргалка пофілософії: відповіді на екзаменаційні квитки... живопису, скульптури та архітектури, роботи по математики, біології, геології, анатомії присвячені людині... самодисциплінуватися, орієнтувати себе на вищіцілі. Основні думки давньосхідної...

ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ОСВІТИ

«ОРЕНБУРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

Кафедра "Інформатика та прикладна математика »

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДЛЯ НАВЧАЛЬНИХ

З ОСВОЄННЯ ДИСЦИПЛІНИ

Математика

Напрямок підготовки (спеціальність): 040400 Соціальна робота (рівень бакалаврату)

Профіль освітньої програмиСоціальна робота

Форма навчання:заочна

Оренбург 2016 р.

1. Конспект лекцій……………………………………………………...

1.1 Лекція №1……………………....................................

1.2 Лекція №2…………………………………….

1.3 Лекція №3………………………………………

1.4 Лекція №4………………………………………………….

1.5 Лекція №5……………………

1.6 Лекція №6………………………………………..

1.7 Лекція №7 ……………………………………………………………………..….

1.8 Лекція №8.……………………...…………………………….

Лекція №9

2. Методичні вказівки щодо проведення практичних занять………

2.1 Практичне заняття №ПЗ -1………………….

2.2 Практичне заняття №ПЗ -2 ……………………

2.3 Практичне заняття №ПЗ -3……………………...

2.4 Практичне заняття №ПЗ -4……………………...

2.5 Практичне заняття №ПЗ -5……………………..

2.6 Практичне заняття №ПЗ -6 ………………………………………………….

2.7 Практичне заняття №ПЗ -7…………………………………………………….

2.8 Практичне заняття №ПЗ -8…………………………………………………...

2.9 Практичне заняття №ПЗ -9……………………………………………………...

2.10 Практичне заняття №ПЗ -10…………………..

2.11 Практичне заняття №ПЗ -11……………………..

2.12 Практичне заняття №ПЗ -12………………………………………………..

2.13 Практичне заняття №ПЗ -13………………………………………………….

2.14 Практичне заняття №ПЗ -14-15………………………………………………

2.15 Практичне заняття №ПЗ – 16………………

2.16Практичне заняття №ПЗ – 17………………

2.17Практичне заняття №ПЗ – 18 ………………

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

1.1Лекція 1(2 год.)

Тема: Елементи теорії матиць та визначників. Елементи лінійної алгебри. Елементи аналітичної геометрії

1.1.1 Питання лекції:

1.Матриці, їхня класифікація, арифметичні дії над матрицями.

2. Визначники 2-го та 3-го порядку, способи обчислення.

3. Системи лінійних рівнянь, методи розв'язання.

4. Рівняння прямої на площині, способи завдання прямої на площині.

1.1.2. Короткий змістпитань:

Матриці, їхня класифікація, арифметичні дії над матрицями.

Матрицеюназивають таблицю, що складається з n рядків та m стовпців. Елементами матриці може бути числа чи інші математичні об'єкти.

A= B= C=

Прямокутна таблиця, що містить трядки пстовпців дійсних чисел називається числовий матрицею.

А m n =
.

Числа а ij , що становлять матрицю, називаються її елементами, де i = 1,2, ... m номер рядка, j = 1,2, ... n номер стовпця.

Матриці позначається великими літерамилатинського алфавіту А, В, С…, елементи малими літерами.

Якщо число рядків та стовпців однієї матриці дорівнює числу рядків та стовпців іншої матриці, то вони називаються однорозмірними матрицями.

Матриця, у якої число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною матрицею. Квадратну матрицю розміром n'n називають матрицею n-ого порядку.

А 2 ´ 2 = - квадратна матриця 2-го порядку

а 11 , а 22 елементи головної діагоналі

а 12, а 21 елементи побічної діагоналі

А 3 ´ 3 = квадратна матриця 3-го порядку

а 11, а 22, а 33 елементи головної діагоналі

а 13 а 22 а 31 елементи побічної діагоналі

Квадратна матриця, всі елементи якої, що стоять вище (нижче) головної діагоналі дорівнюють нулю, називається трикутною матрицею.

Квадратна матриця, всі елементи якої, окрім елементів головної діагоналі дорівнюють нулю, називається діагональною матрицею.

В=

Діагональна матриця, усі ненульові елементи якої рівні між собою, називається скалярною матрицею.

Діагональна матриця, всі ненульові елементи якої дорівнюють 1, називається одиничною матрицею.

Е= одинична матриця 3-го порядку

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою матрицею (0).

А = ; В=

Матриця розміру 1'1, що складається з одного числа, ототожнюється з цим числом, тобто (5) 1 ' 1 є 5.

Однорозмірні матриці рівні між собоюякщо рівні всі відповідні елементи цих матриць.

Квадратна матриця А-1 називається зворотнійпо відношенню до матриці А. тоді і тільки тоді, коли А * А -1 = А -1 * А = Е

Хоча зазвичай дослідники звертаються до класифікації як до засобу передбачення приналежності до класу «невідомих» об'єктів, ми можемо використовувати її для перевірки точності процедур класифікації. Для цього візьмемо «відомі» об'єкти (якими ми користувалися при виведенні функцій, що класифікують) і застосуємо до них правила класифікації. Частка правильно класифікованих об'єктів говорить про точність процедури та опосередковано підтверджує ступінь поділу класів. Можна скласти таблицю, або класифікаційну матрицю, що описує результати. Це допоможе нам побачити, які помилки трапляються частіше.

Таблиця 12. Класифікаційна матриця

Таблиця 12 є класифікаційною матрицею для даних про голосування в сенаті. Шість змінних Бардес правильно передбачають розподіл за фракціями всіх сенаторів (крім Кейпхарта), чия фракційна приналежність відома. Точність передбачення у разі - 94,7% (сума правильних передбачень - 18, поділена на загальне число"відомих" об'єктів). Ми також бачимо, що помилки у цьому прикладі пов'язані з поганим поділом груп 1 та 4. У нижньому рядку табл. 12 дано розподіл за групами «невідомих» об'єктів. Це ті сенатори, чию фракційну приналежність Бардес не змогла визначити за наявними у неї даними. Її головною метою було використати дискримінантний аналіз для класифікації позицій цих сенаторів за результатами їх голосування, після чого вона продовжила дослідження ставлення сенату до різним варіантамдопомоги іноземним державам

Відсоток «відомих» об'єктів, які були класифіковані правильно, є додатковою мірою відмінностей між групами. Ним ми скористаємося поряд із загальною Л-статистикою Вілкса та канонічними кореляціями для вказівки кількості дискримінантної інформації, що міститься у змінних. Як безпосередній захід точності передбачення цей відсотковий зміст є найбільш підходящою мірою дискримінантної інформації. Однак про величину процентного змісту можна судити лише щодо очікуваного відсотка правильних класифікацій, коли розподіл за класами здійснювався випадковим чином. Якщо є два класи, то при випадкової класифікаціїочікується 50% правильних передбачень. Для чотирьох класів очікувана точність становитиме лише 25%. Якщо для двох класів процедура класифікації дає 60% правильних пророцтв, то її ефективність задоволена мала, але для чотирьох класів такий же результат говорить про значну ефективність, тому що випадкова класифікація дала б лише 25% правильних пророцтв. Це призводить до статистики помилок, яка буде стандартизованим заходом ефективності для будь-якої кількості класів:

де - Число правильно класифікованих об'єктів, а - апріорна ймовірність приналежності до класу.

Вираз є число об'єктів, які будуть правильно передбачені при випадковій класифікації їх за класами пропорційно апріорним ймовірностям. Якщо всі класи вважаються рівноправними, то апріорні ймовірності вважаються рівними одиниці, поділеній на число класів. Максимальне значення-статистики дорівнює 1 і воно досягається у разі безпомилкового передбачення. Нульове значення вказує на неефективність процедури, статистика може набувати і негативні значення, що свідчить про погане розрізнення або вироджений випадок. Оскільки має бути цілим числом, чисельник може стати негативним суто випадково, коли немає різниці між класами.

Матриця – це особливий об'єкт у математиці. Зображується у формі прямокутної або квадратної таблиці, що складається з певного числа рядків і стовпців. У математиці є велика різноманітність видів матриць, що різняться за розмірами чи змістом. Числа її рядків та стовпців називаються порядками. Ці об'єкти використовуються в математиці для впорядкування запису систем лінійних рівнянь та зручного пошуку їх результатів. Рівняння з використанням матриці вирішуються за допомогою методу Карла Гауса, Габріеля Крамера, мінорів та додатків алгебри, а також багатьма іншими способами. Базовим умінням під час роботи з матрицями є приведення до Однак спочатку давайте розберемося, які види матриць виділяють математики.

Нульовий тип

Усі компоненти цього виду матриці – нулі. Тим часом кількість її рядків і стовпців абсолютно різна.

Квадратний тип

Кількість стовпців та рядків цього виду матриці збігається. Інакше кажучи, вона є таблицею форми "квадрат". Число її стовпців (або рядків) називаються порядком. Приватними випадками вважають існування матриці другого порядку (матриця 2x2), четвертого порядку (4x4), десятого (10x10), сімнадцятого (17x17) і так далі.

Вектор-стобіць

Це один з найпростіших видів матриць, що містить тільки один стовпець, який включає три чисельних значення. Вона представляє низку вільних членів (чисел, незалежних від змінних) у системах лінійних рівнянь.

Вигляд, аналогічний попередньому. Складається із трьох чисельних елементів, у свою чергу організованих в один рядок.

Діагональний тип

Числові значення в діагональному вигляді матриці набувають лише компоненти головної діагоналі (виділена зеленим кольором). Основна діагональ починається з елемента, що у лівому верхньому кутку, а закінчується елементом у правому нижньому відповідно. Інші компоненти дорівнюють нулю. Діагональний тип є лише квадратною матрицею будь-якого порядку. Серед матриць діагонального вигляду можна назвати скалярну. Усі її компоненти набувають однакових значень.

Підвид діагональної матриці. Усі її числові значення є одиницями. Використовуючи одиничний тип матричних таблиць, виконують її базові перетворення або знаходять матрицю, обернену до вихідної.

Канонічний тип

Канонічний вид матриці вважається одним із основних; приведення до нього часто необхідне роботи. Число рядків і стовпців у канонічній матриці по-різному, вона необов'язково належить до квадратного типу. Вона трохи схожа на одиничну матрицю, проте в її випадку не всі компоненти основної діагоналі набувають значення, що дорівнює одиниці. Головнодіагональних одиниць може бути дві, чотири (все залежить від довжини та ширини матриці). Або одиниці можуть бути зовсім (тоді вона вважається нульовою). Інші компоненти канонічного типу, як і елементи діагонального та одиничного, дорівнюють нулю.

Трикутний тип

Один з найважливіших видів матриці, який застосовується при пошуку її детермінанта та при виконанні найпростіших операцій. Трикутний тип походить від діагонального, тому матриця також є квадратною. Трикутний вид матриці поділяють на верхньотрикутний та нижньотрикутний.

У верхньотрикутній матриці (рис. 1) тільки елементи, які знаходяться над головною діагоналлю, набувають значення, що дорівнює нулю. Компоненти самої діагоналі і частини матриці, що знаходиться під нею, містять числові значення.

У нижньотрикутній (рис. 2), навпаки, елементи, що знаходяться в нижній частині матриці, дорівнюють нулю.

Вигляд необхідний знаходження рангу матриці, і навіть елементарних дій з них (поряд із трикутним типом). Ступінчаста матриця названа так, тому що в ній містяться характерні "сходи" з нулів (як показано на малюнку). У ступінчастому типі утворюється діагональ з нулів (необов'язково головна), і всі елементи під даною діагоналлю теж мають значення рівні нулю. Обов'язковою умовоює наступне: якщо в ступінчастій матриці є нульовий рядок, то інші рядки, що знаходяться нижче за неї, також не містять числових значень.

Отже, ми розглянули найважливіші типи матриць, необхідних роботи з ними. Тепер розберемося із завданням перетворення матриці на необхідну форму.

Приведення до трикутного вигляду

Як привести матрицю до трикутного вигляду? Найчастіше в завданнях потрібно перетворити матрицю на трикутний вигляд, щоб знайти її детермінант, по-іншому званий визначником. Виконуючи цю процедуруВкрай важливо "зберегти" головну діагональ матриці, тому що детермінант трикутної матриці дорівнює саме добутку компонентів її головної діагоналі. Нагадаю також альтернативні методи знаходження визначника. Детермінант квадратного типу перебуває з допомогою спеціальних формул. Наприклад, можна скористатися методом трикутника. Для інших матриць використовують метод розкладання по рядку, стовпцю або їх елементам. Також можна застосовувати метод мінорів та алгебраїчних доповнень матриці.

Докладно розберемо процес приведення матриці до трикутного виду прикладах деяких завдань.

Завдання 1

Необхідно знайти детермінант представленої матриці, використовуючи метод його приведення до трикутного вигляду.

Дана нам матриця є квадратною матрицею третього порядку. Отже, для її перетворення на трикутну форму нам знадобиться звернути в нуль два компоненти першого стовпця і один компонент другого.

Щоб привести її до трикутного вигляду, почнемо перетворення з лівого нижнього кута матриці - з числа 6. Щоб повернути його в нуль, помножимо перший рядок на три і віднімемо його з останнього рядка.

Важливо! Верхній рядок не змінюється, а залишається таким самим, як і у вихідній матриці. Записувати рядок, в чотири рази більший за вихідний, не потрібно. Але значення рядків, компоненти яких потрібно обернути на нуль, постійно змінюються.

Залишилося лише останнє значення - елемент третього рядка другого шпальти. Це число (-1). Щоб повернути його в нуль, з першого рядка віднімемо другий.

Виконаємо перевірку:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Отже, відповідь завдання: -22.

Завдання 2

Необхідно визначити детермінант матриці шляхом приведення його до трикутного вигляду.

Подана матриця належить до квадратного типу та є матрицею четвертого порядку. Отже, необхідно звернути в нуль три компоненти першого стовпця, два компоненти другого стовпця та один компонент третього.

Почнемо приведення її з елемента, що знаходиться в нижньому кутку зліва, - з числа 4. Нам потрібно обернути це число в нуль. Найзручніше зробити це, помноживши на чотири верхній рядок, а потім відняти його з четвертого. Запишемо результат першого етапу перетворення.

Отже, компонент четвертого рядка перетворений на нуль. Перейдемо до першого елемента третього рядка, до 3. Виконуємо аналогічну операцію. Помножуємо на три перший рядок, віднімаємо його з третього рядка та записуємо результат.

Нам вдалося звернути у нуль усі компоненти першого стовпця даної квадратної матриці, крім числа 1 - елемента головної діагоналі, не потребує перетворення. Тепер важливо зберегти отримані нулі, тому виконуватимемо перетворення з рядками, а не зі стовпцями. Перейдемо до другого стовпця представленої матриці.

Знову почнемо з нижньої частини – з елемента другого стовпця останнього рядка. Це число (-7). Однак у цьому випадку зручніше почати з числа (-1) - елемента другого стовпця третього рядка. Щоб повернути його в нуль, віднімемо з третього рядка другий. Потім помножимо другий рядок на сім і віднімемо його з четвертого. Ми отримали нуль замість елемента, розташованого у четвертому рядку другого стовпця. Тепер перейдемо до третього стовпця.

У даному стовпці нам потрібно звернути в нуль лише одне число - 4. Зробити це нескладно: просто додаємо до останнього рядка третій і бачимо необхідний нам нуль.

Після всіх вироблених перетворень ми навели запропоновану матрицю до трикутного вигляду. Тепер, щоб знайти її детермінант, потрібно тільки зробити множення елементів головної діагоналі. Отримуємо: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.Отже, рішенням є 160.

Отже, тепер питання приведення матриці до трикутного вигляду вам не ускладнить.

Приведення до східчастого вигляду

При елементарних операціях над матрицями ступінчастий вигляд менш "затребуваним", ніж трикутний. Найчастіше він використовується для знаходження рангу матриці (тобто кількості її ненульових рядків) або визначення лінійно залежних і незалежних рядків. Однак ступінчастий вид матриці є більш універсальним, тому що підходить не тільки для квадратного типу, але і для решти.

Щоб привести матрицю до ступінчастого вигляду, спочатку необхідно знайти її детермінант. Для цього підійдуть названі методи. Мета знаходження детермінанта така: з'ясувати, чи можна перетворити її на ступінчастий вид матриці. Якщо детермінант більше чи менше нуля, можна спокійно приступати до завдання. Якщо ж він дорівнює нулю, виконати приведення матриці до східчастого вигляду не вдасться. У такому випадку потрібно перевірити, чи немає помилок у записі або перетворення матриці. Якщо таких неточностей немає, завдання вирішити неможливо.

Розглянемо, як привести матрицю до ступінчастого вигляду на прикладах кількох завдань.

Завдання 1.Знайти ранг цієї матричної таблиці.

Перед нами є квадратна матриця третього порядку (3x3). Ми знаємо, що для знаходження рангу необхідно привести її до ступінчастого вигляду. Тому спочатку нам потрібно знайти детермінант матриці. Скористаємося методом трикутника: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Детермінант = 12. Він більший за нуль, отже, матрицю можна привести до ступінчастого вигляду. Приступимо до її перетворень.

Почнемо його з елемента лівого стовпця третього рядка - числа 2. Помножуємо верхній рядок на два і віднімаємо його з третього. Завдяки цій операції як потрібний нам елемент, так і число 4 - елемент другого стовпця третього рядка звернулися в нуль.

Ми, що у результаті приведення утворилася трикутна матриця. У нашому випадку продовжити перетворення не можна, оскільки решта компонентів не вдасться навернути в нуль.

Значить, робимо висновок, що кількість рядків, що містять числові значення, у цій матриці (або її ранг) – 3. Відповідь до завдання: 3.

Завдання 2.Визначити кількість лінійно незалежних рядків цієї матриці.

Нам потрібно знайти такі рядки, які не можна будь-якими перетвореннями звернути нанівець. Фактично нам потрібно знайти кількість ненульових рядків або ранг представленої матриці. Для цього виконаємо її спрощення.

Ми бачимо матрицю, яка не належить до квадратного типу. Вона має розміри 3х4. Почнемо приведення також із елемента лівого нижнього кута - числа (-1).

Подальші її перетворення неможливі. Значить, робимо висновок, що кількість лінійно незалежних рядків у ній та відповідь до завдання – 3.

Тепер приведення матриці до ступінчастого вигляду не є для вас нездійсненним завданням.

На прикладах даних завдань ми розібрали приведення матриці до трикутного вигляду та ступінчастого вигляду. Щоб звернути в нуль потрібні значення матричних таблиць, в окремих випадках потрібно проявити фантазію і правильно перетворити стовпці або рядки. Успіхів вам у математиці та в роботі з матрицями!