Розв'язання рівнянь третього та четвертого ступеня. Історія вирішення рівнянь третього та четвертого ступеня

Завдання №1

Розв'язати рівняння третього ступеня за формулою Кардано:

x 3 -3x 2 -3x-1 = 0.

Рішення: Наведемо рівняння до виду, що не містить другого ступеня невідомого. Для цього скористаємося формулою

x = y – , де коефіцієнт при x 2 .

Маємо: x=y+1.

(y+1) 3 -3(y+1) 2 -3(y+1)-1=0.

Розкривши дужки та привівши подібні члени, отримаємо:

Для коріння кубічного рівняння y 3 +py+q=0 є формула Кардано:

yi = (i = 1,2,3,), де значення радикала

, = .

Нехай α1 –одне /будь-яке/ значення радикала α. Тоді два інші значення знаходяться наступним чином:

α 2 = α 1 ε 1 , α 3 = α 1 ε 2, де ε 1 = + i , ε 2 = – i - корінь третього ступеня з одиниці.

Якщо покласти β 1 = – , то отримаємо β 2 = β 1 ε 2, β 3 = β 1 ε 1

Підставляючи отримані значення формулу yi = αi+βi, знайдемо коріння рівняння

y 1 = α 1 +β 1 ,

y 2 = -1/2(α 1 +β 1) + i (α 1 -β 1),

y 3 = -1/2(α 1 +β 1) – i (α 1 -β 1),

У разі p = -6, q= - 6.

α= =

Одне зі значень цього радикала рівне. Тому покладемо α1 = . Тоді β 1 = – = – = ,

y 2 = ) - i).

Зрештою, знаходимо значення x за формулою x = y+1.

x 2 = ) + i) + 1,

x 3 = ) - i) + 1.

Завдання№2

Вирішити способом Феррарі рівняння четвертого ступеня:

x 4 -4x3+2x2-4x+1=0.

Рішення: Перенесемо три останні члени в праву частину і два члени, що залишилися, доповнимо до повного квадрата.

x 4 -4x 3 =-2x 2 +4x-1,

x 4 -4x 3 +4x 2 =4x 2 -2x 2 +4x-1,

(x 2 -2x) 2 = 2x 2 +4x-1.

Введемо нове невідоме таким чином:

(x 2 -2x+ ) 2 =2x 2 +4x-1+(x 2 -2x)y+ ,

(x 2 -2x+ ) 2 =(2+y)x 2 +(4-2y)x+() /1/.

Підберемо у так, щоб і права частинарівності була повним квадратом.

Маємо:B 2 -4AC=16-16y+4y 2 -y 3 -2y 2 +4y+8=0

Або y 3 -2y 2 +12y-24 = 0.

Ми отримали кубічну резольвенту, однією з коренів якої є y=2. Підставимо отримане значення y=2 /1/,

Отримаємо (x 2 -2x+1) 2 =4x 2 .Звідки (x 2 -2x+1) 2 -(2x) 2 =0 або (x 2 -2x+1-2x) (x 2 -2x+1+ 2x) = 0.

Ми отримаємо два квадратні рівняння:

x 2 -4x+1=0 та x 2 +1=0.

Вирішуючи їх, знаходимо коріння початкового рівняння:

x 1 = 2-, x 2 = 2+, x 3 = -I, x 4 = i.

6.Раціональне коріння багаточлена

Завдання №1

Знайти раціональне коріння багаточлена

f(x)=8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x2+45x-18.

Рішення:Для того, щоб знайти раціональне коріння багаточлена, користуємося наступними теоремами.

Теорема 1.Якщо нескоротний дріб є коренем багаточлена f(x) з цілими коефіцієнтами, то є дільник вільного члена, а q- дільник старшого коефіцієнта многочлена f(x).

Примітка:Теорема 1 дає необхідна умовадля того, щоб раціональне число . Було коренем многочлена, але цього умови недостатньо, тобто. умова теореми 1 може виконуватися і для такого дробу, який не є коренем багаточлена.

Теорема 2:Якщо нескоротний дріб є коренем многочлена f(x) з цілими коефіцієнтами, то за будь-якого цілому m ,відмінному від , число f(m) ділиться число p-qm, тобто ціле число.

Зокрема, вважаючи m=1, а потім m=-1, отримаємо:

якщо корінь многочлена, не дорівнює ±1, то f(x) (p-q) та f(-x):.(p+q) , тобто. - цілі числа.

Примітка:Теорема 2 дає ще одну необхідну умову для раціонального коріння багаточлена. Ця умова зручна тим, що вона легко перевіряється практично. Знаходимо спочатку f(1) і f(-1), а потім для кожного дробу, що випробовується, перевіряємо зазначену умову. Якщо хоча б одне із чисел дробове, то коренем багаточлена f(x) не є.

Рішення:По теоремі 1 коріння даного многочлена слід шукати серед нескоротних дробів, чисельники яких є дільниками 18, а знаменниками 8. Отже, якщо нескоротний дріб є корінь f(x), то p одно одному з чисел: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18; q одно одному з чисел

±1, ±2,±4, ±8.

Враховуючи що = , = , знаменники дробів братимемо лише позитивними.

Отже, раціональним корінням даного многочлена можуть бути наступні числа: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± .

Скористайтеся другим необхідним.

Оскільки f(1)=72, f(-1)=120,звідси зокрема, що 1 і -1 є корінням f(x). Тепер для кожного можливого дробу перевірятимемо умови теореми 2 при m=1 і m=-1, тобто встановлюватимемо, цілими або дробовими є числа: = і =

Результати зведемо в таблицю, де літери "ц" і "д" означають відповідно, цілим або дробовим є число або

З отриманої таблиці видно, що є цілими лише у випадках, коли одно одному з чисел: 2, -2, 3, -3, , , , .

За наслідком з теореми Безу число α- корінь f(x) і тоді, коли f(x) (x-α). Отже, для перевірки решти дев'яти цілих чисел можна застосувати схему Горнера поділ багаточлена на двочлен.

2 – корінь.

Звідси маємо: x=2 – простий корінь f(x). Інші коріння даного багаточлена збігаються з корінням багаточлена.

F 1 (x) = 8x4 +2x3-73x2-18x+9.

Аналогічно перевіримо інші числа.

2 – не корінь, 3 – корінь, -3 – корінь, 9 – не корінь, ½ – не корінь, -1/2 – корінь, 3/2 – не корінь, ¼ – корінь.

Отже, многочлен f(x)= 8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x 2 +45x-18 має п'ять раціональних коренів: (2, 3, -3, -1/2, ¼).

Рівняння різних ступенів

Ровесник Леонардо да Вінчі, професор Сципіон дель Ферро з Болоньї (пом.1526) присвятив все життя рішенню різних алгебраїчних рівнянь. Труднощі, пов'язані з незручними позначеннями невідомих величин, були величезні.

Як ми показали вище, найважливіші досягнення математиків середньовічної Європи належали до галузі алгебри, до вдосконалення її апарату та символіки. Регіомонтан збагатив поняття числа, ввівши радикали та операції з них. Це дозволяло ставити проблему вирішення можливо ширшого класу рівнянь у радикалах. І в цій саме області було досягнуто перших успіхів – вирішено в радикалах рівняння 3-го та 4-го ступеня.

Хід подій, пов'язаних із цим відкриттям, висвітлюється в літературі суперечливо. Здебільшого він такий. Професор університету в Болоньї Сципіон дель Ферро вивів формулу для знаходження позитивного кореня конкретних рівнянь виду х 3 + рх = q (p›0, q›0). Він тримав її в таємниці, приберігаючи як зброю проти своїх супротивників у наукових диспутах, але перед смертю повідомив цю таємницю своєму родичу та наступнику за посадою Анібалу делла Наве та учневі своєму – Фіоре.

На початку 1535 мав відбутися науковий поєдинок між Фіоре з Ніколо Тарталья (1500-1557). Останній був талановитим вченим, вихідцем із бідної родини, який заробляв собі на життя викладанням математики та механіки у містах Північної Італії. Дізнавшись, що Фіоре володіє формулою Ферро і готує своєму противнику завдання вирішення кубічних рівнянь, Тарталья зумів заново відкрити цю формулу.

На диспуті Фіоре запропонував Тартальє кілька питань, які потребують уміння вирішувати рівняння третього ступеня. Але Тарталья вже знайшов раніше сам розв'язання таких рівнянь і, мало того, не лише одного того окремого випадку, який було вирішено Ферро, а й двох інших окремих випадків. Тарталья прийняв виклик і запропонував Фіоре свої завдання. Результатом змагання була повна поразка останнього. Тарталья вирішив запропоновані йому завдання протягом двох годин, тим часом як Фіоре не міг вирішити жодного завдання, запропонованого йому (з обох сторін було 30 завдань).

Незабаром Тарталья зміг вирішувати рівняння виду х 3 = рх + q (p›0, q›0). Нарешті він повідомив, що рівняння виду х 3 + q = pxзводяться до попереднього вигляду, але не дав способу зведення. Тарталья довго не публікував свого результату. Причин тому було дві: по-перше, та сама причина, яка зупиняла і Ферро. По-друге, неможливість впоратися з ненаведеним випадком. Останній полягає в тому, що є рівняння х 3 = рх + qякі мають дійсний позитивний корінь. Однак формула Тартальї не давала рішення в тому випадку, коли треба було видобувати корінь з негативних чисел, тому що не було можливості правильно трактувати уявні числа, що виходять при цьому. Ненавмисний випадок з'являвся у Тартальї і в рівняннях виду х 3 + q = px.

Однак його праця не пропала даремно. З 1539 кубічними рівняннями починає займатися Кардано (1501-1576). Почувши про відкриття Тартальї, він доклав багато зусиль, щоб виманити таємницю в обережного та недовірливого вченого для публікації у своїй книзі «Велике мистецтво, або правила алгебри». Тільки коли Кардано поклявся над Євангелієм і дав слово честі дворянина, що не відкриє способу Тартальї для вирішення рівнянь і навіть запише його у вигляді незрозумілої анаграми, Тарталья погодився розкрити свою таємницю. Він показав правила розв'язання кубічних рівнянь, виклавши їх у віршах, причому досить туманно.

Однак Кардано не тільки зрозумів ці правила, а й знайшов докази для них. Незважаючи на дану їм обіцянку, він опублікував метод Тартальї, і цей спосіб відомий досі під ім'ям «правила Кардана». А книга з'явилася 1545 року.

Незабаром було відкрито рішення рівнянь 4-го ступеня. Італійський математик Д. Колла запропонував завдання, на вирішення якої відомих до того часу правил були недостатньо, а вимагалося вміння вирішувати біквадратні рівняння. Більшість математиків вважало це завдання нерозв'язним. Але Кардано запропонував її своєму учневі Луїджі Феррарі, який вирішив завдання, і навіть знайшов спосіб вирішувати рівняння 4-го ступеня взагалі, зводячи їх до рівнянь 3-го ступеня.

Такі швидкі та разючі успіхи в знаходженні формули розв'язання рівнянь 3-го та 4-го ступеня поставили перед математиками проблему відшукання розв'язків рівнянь будь-яких ступенів. Величезна кількість спроб, зусилля найвидатніших учених не приносили успіху. У пошуках протікало близько 300 років. Лише у ХІХ столітті Абель (1802–1829) довів, що рівняння ступеня п›4,взагалі кажучи, у радикалах не наважуються.

На шляху створення загальної теоріїалгебраїчних рівнянь та способів їх вирішення стояли ще дві перешкоди: складність, незручність одержуваних формул та нероз'ясненість ненаведеного випадку. Перше становило суто практичну незручність. Його Кардано усуває, пропонуючи знаходити коріння рівнянь приблизно за допомогою правила двох помилкових положень, що по суті застосовується і в наші дні у вигляді простої або лінійної інтерполяції. Друга перешкода має глибше коріння, а спроби її подолання призвели до дуже важливих наслідків.

Плідна і смілива спроба впоратися з неналежною нагодою належить італійському математику та інженеру Р. Бомбеллі з Болоньї. У творі "Алгебра" (1572) він ввів формально правила дій над уявними та комплексними числами.

Натиснувши на кнопку "Завантажити архів", ви завантажуєте потрібний вам файл безкоштовно.
Перед скачуванням даного файлу згадайте про ті хороші реферати, контрольні, курсові, дипломні роботи, статті та інші документи, які лежать незатребуваними у вашому комп'ютері. Це ваша праця, вона повинна брати участь у розвитку суспільства та приносити користь людям. Знайдіть ці роботи та відправте в базу знань.
Ми та всі студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будемо вам дуже вдячні.

Щоб завантажити архів з документом, введіть п'ятизначне число в поле, розташоване нижче, і натисніть кнопку "Завантажити архів"

Подібні документи

Опис життя Італії та світу того часу, коли жив та творив Джироламо Кардано. Наукова діяльність математика, огляд його математичних праць та пошук розв'язання кубічних рівнянь у радикалах. Способи розв'язування рівнянь третього та четвертого ступенів.

курсова робота , доданий 26.08.2011


Історія розвитку математичної науки в Європі VI-XIV ст., її представники та досягнення. Розвиток математики доби Відродження. Створення літерного числення, діяльність Франсуа Вієта. Удосконалення обчислень наприкінці XVI – на початку XVI ст.

презентація , доданий 20.09.2015


Європейська математика доби Відродження. Створення літерного обчислення Франсуа Вієт та методу розв'язання рівнянь. Удосконалення обчислень наприкінці XVI – на початку XVII століть: десяткові дроби, логарифми. Встановлення зв'язку тригонометрії та алгебри.

презентація , доданий 20.09.2015


З історії десяткових та звичайних дробів. Дії над десятковими дробами. Додавання (віднімання) десяткових дробів. Примноження десяткових дробів. Розподіл десяткових дробів.

реферат, доданий 29.05.2006


Грецька математика та її філософія. Взаємозв'язок та спільний шлях філософії та математики від початку епохи відродження до кінця XVII століття. Філософія та математика в епосі Просвітництва. Аналіз природи математичного пізнання німецької класичної філософії.

дипломна робота , доданий 07.09.2009


Рівняння в дробах кількості знаків після коми, виконання додавання та віднімання, не звертаючи уваги на кому. Практична значущість теорії десяткових дробів. Самостійна робота з подальшою перевіркою результатів, виконання обчислень.

презентація, додано 02.07.2010


Вивчення виникнення математики та використання математичних методів Стародавньому Китаї. Особливості завдань китайців за чисельним розв'язанням рівнянь та геометричних завдань, що призводять до рівнянь третього ступеня. Видатні математики Стародавнього Китаю.

ІСТОРІЇ ТРЕТІЙ І ЧЕТВЕРТОЮ СТІПЕНЬ

Кінець XV – початок XVI ст. були періодом бурхливого розвитку в Італії математики та особливо алгебри. Було знайдено загальне рішення квадратного рівняння, а також багато приватних розв'язків рівнянь третього та четвертого ступенів. Стало звичайним явищем проведення турнірів у вирішенні рівнянь різних ступенів. На початку XVI століття у Болоньї професором математики Сципіоном дель Ферро було знайдено рішення наступного кубічного рівняння:

Ю. С. Антонов,

кандидат фізико-математичних наук

Звідки 3АВ(А + В) + р(А + В) = 0. Зменшуючи на

(А + В), отримаємо: АВ = -Р або Я + г 3-Я - г = -Р. Звідки -(РТ = ^-г2.

З цього виразу знаходимо, що г = ±Л[Р+Р.

z3 + az2 + Ьх + с = 0.

Заміною х = г - це рівняння зводиться до вигляду: 3

х3 + рх = q = 0.

Ферро вирішив шукати розв'язання цього рівняння у вигляді х = А + В,

де а=3 - 2+г, =3 - 2 - р.

Підставляючи цей вираз у рівняння (1), отримаємо:

1 + г + 3А2В + 3АВ2 г + р(А + В) + I = 0 .

Сципіон дель Ферро (1465 – 1526 рр.) – італійський математик, який відкрив загальний

метод розв'язання неповного кубічного рівняння

На фото угорі - математики XVI століття (середньовічна мініатюра)

Таким чином, вихідне рівняння має розв'язок х = А + В, де:

*=Гр? ■ в=■ ®

Ферро передав секрет вирішення рівняння (1) своєму учневі Маріо Фіоре. Останній, користуючись цим секретом, став переможцем у одному з математичних турнірів. У цьому турнірі не брав участі переможець багатьох турнірів Нікколо Тарталья. Звісно, ​​постало питання поєдинку між Тарталією та Маріо Фіоре. Тарталья вірив словам авторитетного математика Піч-чолі, який стверджував, що кубічне рівняння у радикалах вирішити неможливо, тому він був упевнений у своїй перемозі. Однак за два тижні до початку поєдинку він дізнався, що Ферро знайшов рішення кубічного рівняння та передав свій секрет Маріо Фіоре. Приклавши буквально титанічні зусилля, він за кілька днів до відкриття турніру отримав своє рішення кубічного рівняння (1). 12 лютого 1535 р. турнір відбувся. Кожен учасник запропонував своєму противнику 30 завдань. Той, хто програв, повинен був пригостити переможця та його друзів урочистим обідом, причому кількість запрошених друзів мала збігатися з кількістю вирішених переможцем завдань. Тарталья за дві години вирішив усі завдання. Його противник – жодної. Історики науки пояснюють це в такий спосіб. Розглянемо рівняння:

х3 + 3 х - 4 = 0.

Це рівняння має єдиний речовий корінь х = 1. Тоді за формулою Ферро ми отримаємо:

х = 3/2+/5+-л/5.

Вираз, що стоїть ліворуч від знака рівності, повинен дорівнювати 1. Тарталья, як досвідчений турнірний боєць, заплутав свого супротивника такого роду ірраціо-нальності. Слід зазначити, що Тарталья розглядав лише такі кубічні рівняння, які А і В були речовими.

Формулою Тартальї зацікавився відомий вчений Джероламо Кардано. Тартальї передав йому своє рішення за умови, що Кардано може його опублікувати лише після публікації Тартальї. Кардано у своїх дослідженнях пішов далі Тартальї. Він зацікавився випадком, коли і В є комплексними числами. Розглянемо рівняння:

х3 - 15х-4 = 0. (3)

За формулою (2) отримаємо:

А = + 7 4 -125 = ^2 + 11л/-1 = ^2 +111

Послідовник Кардано, Рафаель Бомбеллі, здогадався, як із таких виразів отримувати рішення кубічних рівнянь. Він побачив, що з даного кубічного рівняння А = 2 +1, В = 2 -1. Тоді х = А + В = 4,

Нікколо Фонтану

Тарталья (1499 – 1557 рр.) – італійський математик

тобто. буде коренем рівняння (3). Вважається, що Кардано теж отримав такі рішення деяких кубічних рівнянь.

Через деякий час після отримання формули Тартальї Кардано дізнався рішення Ферро. Він був здивований повним збігом рішень Тартальї та Ферро. Чи то тому, що Кардано дізнався про рішення Ферро, чи то з якоїсь іншої причини, але у своїй книзі «Велике мистецтво» він опублікував формулу Тартальї, щоправда, вказавши авторство Тартальї та Ферро. Дізнавшись про вихід книги Кардано, Тарталья був смертельно скривджений. І, можливо, недарма. Навіть сьогодні формулу (2) найчастіше називають формулою Кардано. Тарталья викликав Кардано на математичний поєдинок, але останній відмовився. Замість нього виклик прийняв учень Кардано, Феррарі, який не лише вмів розв'язувати кубічні рівняння, а й рівняння четвертого ступеня. У сучасних позначеннях розв'язання рівнянь четвертого ступеня має такий вигляд:

Нехай маємо рівняння z4+pzi+qz2+sz+г=0.

Зробимо заміну т = х + р. Тоді рівняння набуде вигляду х4 + ах2 + Ьх + с = 0. Введемо допоміжну змінну t і шукатимемо рішення у вигляді:

Джероламо Кардано (1501 – 1576 рр.) -італійський математик, інженер, філософ, медик та астролог

Лодовіко (Луїджі) Феррарі (1522 - 1565 рр.) -італійський математик, який знайшов загальне рішення рівняння четвертого ступеня

x2 + ti = 2tx2 - bx + 1 t2 + at + c

Змінною t надамо таке значення, щоб дискримінант квадратного рівняння у правій частині дорівнював нулю:

Ь2 – 2t (2 + 4at + а2 – 4с) = 0.

Наведемо цей вислів до вигляду:

8t3 + 8at2 + 2(а2 - 4су - Ь = 0. (5)

Щоб зазначений дискримінант дорівнював нулю, треба знайти розв'язок кубічного рівняння (5). Нехай ^ - Корінь рівняння (5), знайдений методом Тарта-льї-Кардано. Підставляючи його в рівняння (4), отримаємо:

(х2 + 2 +)" = * (X + ±

Перепишемо це рівняння у вигляді:

a+t0\=±^2T0x+-ь

Таким чином, рішення рівняння четвертого ступеня методом Феррарі звелося до розв'язання двох квадратних рівнянь (6) та кубічного рівняння (5).

Поєдинок Тарталья – Феррарі відбувся 10 серпня 1548 р. у Мілані. Розглядалися рівняння третього та четвертого ступенів. Дивно, але Тарталья кілька завдань все-таки вирішив (у Феррарі, напевно, всі завдання були на розв'язання кубічних рівнянь із комплексними А, В та на розв'язання рівнянь четвертого ступеня). Феррарі вирішив більшість із запропонованих йому завдань. У результаті Тарталья зазнав нищівної поразки.

Практичне застосування одержаних рішень дуже невелике. Чисельними методами ці рівняння вирішуються з якоюсь великою точністю. Однак ці формули зробили великий внесок у розвиток алгебри і, зокрема, у розвиток способів розв'язання рівнянь високих ступенів. Досить сказати, що наступний крок у вирішенні рівнянь було зроблено лише у ХІХ ст. Абель встановив, що рівняння п-ого ступеня при п > 5, у випадку, неможливо висловити в радикалах. Зокрема, він показав, що рівняння х5 + х4 + х3 + х2 + х +1 = 0 можна розв'язати в радикалах, а простіше, на перший погляд, рівняння х5 + 2х = 2 = 0 в радикалах нерозв'язне. Галуа повністю вичерпало питання про розв'язання рівнянь у радикалах. Як приклад рівняння, завжди вирішуваного в радикалах, можна навести таке рівняння:

Все це стало можливим через появу нової глибокої теорії, а саме теорії груп.

Список літератури

1. Віленкін, Н. Я. За сторінками підручника математики / Н. Я. Віленкін, Л. П. Шибасов, Е. Ф. Шибасова. - М.: Просвітництво: АТ «Навчальна література», 1996. – 320 с.

2. Гіндікін, С. Г. Розповіді про фізиків і математиків / С. Г. Гіндікін. - 2-ге вид. - М: Наука, 1985. - 182 с.

ЛФХШ му&р'їс думок

Наука лише тоді благотворна, коли ми її приймаємо не лише розумом, а й серцем.

Д. І. Менделєєв

Всесвіт не можна зводити до рівня людського розуміння, але слід розширювати і розвивати людське розуміння, щоб сприймати образ Всесвіту в міру його відкриття.

Френсіс Бекон

Примітка. У статті використані ілюстрації із сайту http://lesequations.net

Цілі:

1. Систематизувати та узагальнити знання та вміння на тему: Рішення рівнянь третього та четвертого ступеня.
2. Поглибити знання, виконавши ряд завдань, частина з яких не знайома або за своїм типом, або способом вирішення.
3. Формування інтересу до математики через вивчення нових розділів математики, виховання графічної культури через побудову графіків рівнянь.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання:графопроектор.

Наочність:таблиця "Теорема Вієта".



Хід уроку

1. Усний рахунок

а) Чому дорівнює залишок від розподілу многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + ... + а 1 х 1 + a 0 на двочлен х-а?

б) Скільки коренів може мати кубічне рівняння?

в) За допомогою чого ми вирішуємо рівняння третього та четвертого ступеня?

г) Якщо b парне число в квадратне рівняння, то чому дорівнює Д і х 1; х 2

2. Самостійна робота (у групах)

Скласти рівняння, якщо відоме коріння (відповіді до завдань закодовано) Використовується «Теорема Вієта»

1 група

Коріння: х1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6

Скласти рівняння:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

з = -2-3 +6 +6-12-18 = -23; з = -23

d=6-12+36-18=12; d=-12

е=1(-2)(-3)6=36

х 4 -2 х 3 - 23х 2 - 12 х + 36 = 0(Це рівняння вирішує потім 2 група на дошці)

Рішення . Цілі коріння шукаємо серед дільників числа 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 задовольняє рівняння, отже =1 корінь рівняння. За схемою Горнера

р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36

р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, х 2 =-2

р 2 (x) = х 2 -3х -18 = 0



х 3 =-3, х 4 = 6

Відповідь: 1;-2;-3;6 сума коренів 2 (П)

2 група

Коріння: х1 = -1; х 2 = х 3 = 2; х 4 =5

Скласти рівняння:

B=-1+2+2+5-8; b = -8

с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; з = 15

D=-4-10+20-10=-4; d=4

е=2(-1)2*5=-20;е=-20

8+15+4х-20=0 (це рівняння вирішує на дошці 3 група)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

р 4 (1) = 1-8 +15 +4-20 = -8

р 4 (-1) = 1 +8 +15-4-20 = 0

р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20

р 3 (2) = 8 -36 +48 -20 = 0

р 2 (x) = х 2 -7 х +10 = 0 х 1 = 2; х 2 = 5

Відповідь: -1; 2; 2; 5 сума коренів 8 (Р)

3 група

Коріння: х1 = -1; х 2 = 1; х 3 =-2; х 4 =3

Скласти рівняння:

В=-1+1-2+3=1;в=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

е=-1*1*(-2)*3=6

х 4 - х 3- 7х 2 + х + 6 = 0(Це рівняння вирішує потім на дошці 4 група)

Рішення. Цілі коріння шукаємо серед дільників числа 6.

р = ±1;±2;±3;±6

р 4 (1) = 1-1-7 +1 +6 = 0

р 3 (x) = х 3 - 7x -6

р 3 (-1) = -1 +7-6 = 0

р 2 (x) = х 2 -х -6 = 0; х 1 = -2; х 2 =3

Відповідь:-1;1;-2;3 Сума коренів 1(О)

4 група

Коріння: х1 = -2; х 2 =-2; х 3 = -3; х 4 =-3

Скласти рівняння:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36

х 4 +4х 3 - 5х 2 - 36х -36 = 0(Це рівняння вирішує потім 5 група на дошці)

Рішення. Цілі коріння шукаємо серед дільників числа -36

р = ±1;±2;±3…

р(1) = 1 + 4-5-36-36 = -72

р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0

р 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3

Відповідь: -2; -2; -3; 3 Сума коренів-4 (Ф)

5 група

Коріння: х1 = -1; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-4

Скласти рівняння

х 4+ 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0(Це рівняння вирішує потім 6група на дошці)

Рішення . Цілі коріння шукаємо серед дільників числа 24.

р = ±1;±2;±3

р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

р 3 (х) = x-3 + 9х 2 + 26x + 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О

р 2 (х) = x 2 + 7x + 12 = 0



Відповідь:-1;-2;-3;-4 сума-10 (І)

6 група

Коріння: х1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8

Скласти рівняння

B=1+1-3+8=7;b=-7

з = 1 -3 +8-3 +8-24 = -13

D=-3-24+8-24=-43; d=43

х 4 - 7х 3- 13х2+43x - 24 = 0 (Це рівняння вирішує потім 1 група на дошці)

Рішення . Цілі коріння шукаємо серед дільників числа -24.

р 4 (1) = 1-7-13 +43-24 = 0

р 3 (1) = 1-6-19 +24 = 0

р 2 (x) = х 2 -5x - 24 = 0



х 3 =-3, х 4 = 8

Відповідь: 1; 1; -3; 8 сума 7 (Л)

3. Вирішення рівнянь із параметром

1. Розв'язати рівняння х 3 + 3х 2 + mх – 15 = 0; якщо один із коренів дорівнює (-1)

Відповідь записати в порядку зростання

R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0

х 3 + 3х 2 -13х - 15 = 0; -1+3+13-15=0

За умовою х 1 = – 1; Д=1+15=16

Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0

х 2 = -1-4 = -5;

х 3 = -1 + 4 = 3;

Відповідь: - 1; -5; 3

У порядку зростання: -5;-1;3. (Ь Н И)

2. Знайти все коріння багаточлена х 3 - 3х 2 + ах - 2а + 6, якщо залишки від його поділу на двочлени х-1 та х +2 рівні.

Рішення: R = Р 3 (1) = Р 3 (-2)

Р 3 (1) = 1-3 + а-2а + 6 = 4-а

Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а

x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(х-3) (х 2 -6) = 0

3) а = 0, х 2 -0 * х 2 +0 = 0; х 2 = 0; х 4 =0

а=0; х = 0; х = 1

а>0; х = 1; х=а ± √а

2. Скласти рівняння

1 група. Коріння: -4; -2; 1; 7;

2 група. Коріння: -3; -2; 1; 2;

3 група. Коріння: -1; 2; 6; 10;

4 група. Коріння: -3; 2; 2; 5;

5 група. Коріння: -5; -2; 2; 4;

6 група. Коріння: -8; -2; 6; 7.