Вписані та описані багатогранники у сферу циліндр. Урок з геометрії

Опис презентації з окремих слайдів:

1 слайд

Опис слайду:

муніципальний автономний загальноосвітній заклад середня загальноосвітня школа № 45 Методичний посібник для учнів 11 класів Склав вчитель математики вищої категорії Гавінська Олена В'ячеславівна. м.Калінінград 2016-2017 навчальний рік

2 слайд

Опис слайду:

Багатогранники, вписані у сферу. Тема, аналогічна темі курсу планіметрії, де говорилося, що кола можна описати навколо трикутників і правильних n-кутників. Аналогом кола у просторі є сфера, багатокутника – багатогранник. У цьому аналогом трикутника є трикутна призма, а аналогом правильних багатокутників – правильні багатогранники. Визначення. Багатогранник називається вписаним у сферу, якщо всі його вершини належать цій сфері. Сама сфера називається описаною у багатогранника.

3 слайд

Опис слайду:

«Біля прямої призми можна описати сферу тоді й лише тоді, коли біля заснування цієї призми можна описати коло». Доказ Якщо біля прямої призми описана сфера, то всі вершини основи призми належать сфері і, отже, колу, що є лінією перетину сфери та площини основи. Назад, нехай біля основи прямої призми описано коло з центром у точці О1 і радіуса r. Тоді і близько другої підстави призми можна описати коло з центром у точці О2 і тим самим радіусом. Нехай О1О2=d, О – середина O1O2. Тоді сфера з центром Про і радіуса R= буде описаною сферою. Теорема 1.

4 слайд

Опис слайду:

«Біля будь-якої трикутної піраміди можна описати сферу, причому лише одну». Доведення. Звернемося до доказу, аналогічного з курсу планіметрії. Насамперед треба знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від двох вершин трикутника. Наприклад, А та В. Таким геометричним місцем є серединний перпендикуляр, проведений до відрізку АВ. Потім знаходимо геометричне місце точок, рівновіддалених від А і С. Це серединний перпендикуляр до відрізка АС. Точка перетину цих серединних перпендикулярів і буде шуканим центром О описаного біля трикутника АВС кола. Теорема 2.

5 слайд

Опис слайду:

Тепер розглянемо просторову ситуацію та зробимо аналогічні побудови. Нехай дана трикутна піраміда DABC, причому точки А, В і визначають площину α. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від точок А, В і С є пряма а, перпендикулярна площині і проходить через центр О1 описаної біля трикутника АВС кола. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від точок А і D, є площина β, перпендикулярна відрізку АD і проходить через його вершину - точку Е. Площина β і пряма перетинаються в точці О, яка і буде шуканим центром описаної біля трикутної піраміди DABC сфери. Дійсно, в силу побудови точка однаково віддалена від усіх вершин піраміди DABC. Причому така точка буде єдиною, тому що пряма і площина, що перетинаються, мають єдину загальну точку.

6 слайд

Опис слайду:

Куля, описана при правильній піраміди. Кулю можна описати біля будь-якої правильної піраміди. Центр кулі лежить на прямій, що проходить через висоту піраміди, і збігається з центром кола, описаного біля рівнобедреного трикутника, бічним боком якого є бічне ребро піраміди, а висотою – висота піраміди. Радіус кулі дорівнює радіусу цього кола. Радіус кулі R, висота піраміди H і радіус кола r, описаної біля основи піраміди, пов'язані співвідношенням: R2=(H-R)2+r2 Це співвідношення справедливе і в тому випадку, коли H< R.

7 слайд

Опис слайду:

Завдання для повітря, описаний при правильній піраміди. «Біля правильної піраміди РABC описана куля з центром у точці Про та радіусом 9√3м. Пряма РВ, що містить у собі висоту піраміди, перетинає основу піраміди в точці Н так, що РН: ОН = 2:1. Знайти обсяг піраміди, якщо кожне її бічне ребро утворює з площиною основи кут 45 градусів».

8 слайд

Опис слайду:

Дано: РABC - правильна піраміда; шар(O;R=9√3 м) описаний біля піраміди; РО∩(АВС)=Н; РН: ОН = 2:1; ∟РАН = ∟ РВН = ∟ РСН = 45о. Знайти: Vпір. Рішення: Оскільки РН:ОН=2:1 (за умовою), то РН:ОР=2:3 РН:9√3 =2:3 РН=6√3 (м) 2. РН _ (АВС) (як висота піраміди) => => РН _ АН (за визначенням) => РАН - прямокутний. 3. У РАН:

9 слайд

Опис слайду:

4. Оскільки за умовою РАВС – правильна піраміда і РН – її висота, то, за визначенням АВС – правильний; Н – центр описаного біля АВС кола, отже, 5. Відповідь: 486 м3.

10 слайд

Опис слайду:

Куля, описана біля призми. Кулю можна описати біля призми, якщо вона пряма, та її основи є багатокутниками, вписаними в коло. Центр кулі лежить на середині висоти призми, що з'єднує центри кіл, описаних біля підстав призми. Радіус кулі R, висота призми H і радіус кола r, описаних біля основи призми, пов'язані співвідношенням:

11 слайд

Опис слайду:

Завдання для повітря, описаний у призми. «Правильна призма АВСDA1B1C1D1 з висотою, що дорівнює 6 см, вписана в кулю (т.О;R=5см). Знайти площу перерізу призми площиною, паралельною площинам основи і через точку О – центр кулі».

12 слайд

Опис слайду:

Дано: ABCDA1B1C1D1 – правильна призма; шар(O;R=5 см) описаний біля призми; висота призми h дорівнює 6 см; α║(АВС); Про с α. Знайти: Sсіч α, Рішення: Так як за умовою призму вписана в кулю, то (r-радіус кола, описаного біля основи призми) Але за умовою дана правильна призма, значить,

13 слайд

Опис слайду:

а) (АВВ1) ║(СС1D1) (за властивістю прямої призми) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (за властивістю паралельних площин) Ho (BCC1) ║(ADD1) (по властивості прямої призми) => КМ = НР (за властивістю паралельних площин). Значить, КМНР – паралелограм (за ознакою) => МН = КР і МН ║ КР б) α ║ (АВС) (за побудовою) α ∩ (АВВ1) = КМ (АВС) ∩ (АВВ1) = АВ => KM ║ АВ (за властивістю паралельних площин) 2. 3. Так як за умовою АВСDA1B1C1D1 – правильна призма, і переріз площиною α паралельно до основ, то утворена перетином фігура – ​​квадрат. Доведемо це: => => =>

14 слайд

Опис слайду:

KMH=ABC=90o (як кути з відповідно сонаправленными сторонами) Отже, ромб КМНР – квадрат (за визначенням), як і вимагалося довести. До того ж, квадрати КМНР і АВСD рівні. Отже, за властивістю їхньої площі рівні, отже, Sсіч α.=SABCD=32 (см2) Відповідь: 32 см2. в) KM ║ АВ (довели) (BCC1) ║(ADD1) (за властивістю прямої призми) => КМ=АВ=4√2 см (за властивістю паралельних площин). г) Аналогічно доводиться, що МН ВС і МН=ВС=4√2 см. Значить, МН=КМ => паралелограм МНРК – ромб (за визначенням). д) МН ║ ВС (довели) КМ ║ АВ (довели) => =>

15 слайд

Опис слайду:

Циліндр, описаний біля призми. Циліндр можна описати біля прямої призми, якщо її основа – багатокутник, вписаний у коло. Радіус циліндра R дорівнює радіусу цього кола. Вісь циліндра лежить на одній прямій з висотою H призми, що з'єднує центри кіл, описаних біля підстав призми. У випадку з чотирикутною призмою (якщо в основі прямокутник), вісь циліндра проходить через точку перетину діагоналей основ призми.

16 слайд

Опис слайду:

Завдання для циліндр, описаний у призми. Пряма призма АВСDA1B1C1D1 , основа якої – прямокутник, вписана в циліндр, що утворює якого дорівнює 7 см, а радіус – 3 см. Знайти площу бічної поверхні призми, якщо кут між діагоналями АВСD дорівнює 60 градусів. ОО1 – вісь циліндра.

17 слайд

Опис слайду:

Дано: ABCDA1B1C1D1 – пряма призма; циліндр описаний біля призми; утворює циліндра АА1 = 7 см; радіус основи циліндра дорівнює 3 см; кут між діагоналями АВСД дорівнює 60о; ОО1 – вісь циліндра. Знайти: Sбок.прізм. Рішення: Оскільки за умовою чотирикутна призма, на основі якої прямокутник, вписана в кулю, то за властивістю АС∩ВD=О. Отже, АОВ=60о і АТ=ОВ=3см. 2. В АОВ з теореми косінусів.

Багатогранники, вписані у сферу Багатогранник називається вписаним у сферу, якщо всі його вершини належать цій сфері. Сама сфера при цьому називається описаною у багатогранника. Теорема. Біля піраміди можна описати сферу тоді і лише тоді, коли біля основи цієї піраміди можна описати коло.

Багатогранники, вписані у сферу Теорему. Біля прямої призми можна описати сферу тоді й тільки тоді, коли в основі цієї призми можна описати коло. Її центром буде точка O, що є серединою відрізка, що з'єднує центри кіл, описаних біля підстав призми. Радіус сфери R обчислюється за формулою де h – висота призми, r – радіус кола, описаного біля основи призми.

Вправа 3 Основою піраміди служить правильний трикутник, сторона якого дорівнює 3. Одне з бічних ребер дорівнює 2 і перпендикулярно площині основи. Знайдіть радіус описаної галузі. Рішення. Нехай O – центр описаної сфери, Q – центр кола, описаного біля основи, E – середина SC. Чотирьохкутник CEOQ – прямокутник, у якому CE = 1, CQ = Отже, R=OC=2. Відповідь: R = 2.

Вправа 4 На малюнку зображено піраміду SABC, для якої ребро SC дорівнює 2 і перпендикулярно до площини основи ABC, кут ACB дорівнює 90 о, AC = BC = 1. Побудуйте центр сфери, описаної біля цієї піраміди і знайдіть її радіус. Рішення. Через середину D ребра AB проведемо пряму, паралельну SC. Через середину ребра SC проведемо пряму паралельну CD. Їх точка перетину O буде центром описаної сфери. У прямокутному трикутнику OCD маємо: OD = CD = За теоремою Піфагора, знаходимо

Вправа 5 Знайдіть радіус сфери, описаної біля правильної трикутної піраміди, бічні ребра якої дорівнюють 1, і плоскі кути при вершині дорівнюють 90 о. Рішення. У тетраедрі SABC маємо: AB = AE = SE = У прямокутному трикутнику OAE маємо: Вирішуючи це рівняння щодо R, знаходимо

Вправа 4 Знайдіть радіус сфери, описаної біля прямої трикутної призми, на основі якої прямокутний трикутник з катетами, рівними 1, і висота призми дорівнює 2. Відповідь: Рішення. Радіус сфери дорівнює половині діагоналі A 1 C прямокутника ACC 1 A 1. Маємо: AA 1 = 2, AC = Отже, R =

Вправа Знайдіть радіус сфери, описаної біля правильної 6-кутової піраміди, ребра основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра - 2. Розв'язання. Трикутник SAD – рівносторонній зі стороною 2. Радіус R описаної сфери дорівнює радіусу кола, описаного біля трикутника SAD. Отже,

Вправа Знайдіть радіус сфери, описаної у окремого ікосаедра. Рішення. У прямокутнику ABCD AB = CD = 1, BC і AD – діагоналі правильних п'ятикутників зі сторонами 1. Отже, BC = AD = По теоремі Піфагора AC = радіус, що шукається дорівнює половині цієї діагоналі, тобто.

Вправа Знайдіть радіус сфери, описаної у окремого додекаедра. Рішення. ABCDE – правильний п'ятикутник зі стороною У прямокутнику ACGF AF = CG = 1, AC і FG – діагоналі п'ятикутника ABCDE і, отже, AC = FG = По теоремі Піфагора FC = Шуканий радіус дорівнює половині цієї діагоналі, тобто.

Вправа На малюнку зображено усічений тетраедр, що отримується відсіканням від кутів правильного тетраедра трикутних пірамід, гранями якого є правильні шестикутники та трикутники. Знайдіть радіус сфери, описаної у зрізаного тетраедра, ребра якого дорівнюють 1.

Вправа На малюнку зображено усічений октаедр, що отримується відсіканням від кутів октаедра трикутних пірамід, гранями якого є правильні шестикутники та трикутники. Знайдіть радіус сфери, описаної біля усіченого октаедра, ребра якого рівні 1. Вправа На малюнку зображено усічений ікосаедр, що отримується відсіканням від кутів ікосаедра п'ятикутних пірамід, гранями якого є правильні шестикутники та п'ятикутники. Знайдіть радіус сфери, описаної біля усіченого ікосаедра, ребра якого дорівнюють 1.
Вправа На малюнку зображено усічений додекаедр, що отримується відсіканням від кутів додекаедра трикутних пірамід, гранями якого є правильні десятикутники та трикутники. Знайдіть радіус сфери, описаної у зрізаного додекаедра, ребра якого дорівнюють 1.
Вправа Знайдіть радіус сфери, описаної у окремого кубооктаедра. Рішення. Нагадаємо, що кубооктаедр виходить із куба відсіканням правильних трикутних пірамід з вершинами у вершинах куба та бічними ребрами, рівними половині ребра куба. Якщо ребро октаедра дорівнює 1, то ребро відповідного куба дорівнює Радіус описаної сфери дорівнює відстані від центру куба до середини ребра, тобто. дорівнює 1. Відповідь: R = 1.

Багатогранники, вписані в шар Випуклий багатогранник називається вписаним, якщо всі його вершини лежать на деякій сфері. Ця сфера називається описаною для даного багатогранника. Центр цієї сфери є точкою, рівновіддаленою від вершин багатогранника. Вона є точкою перетину площин, кожна з яких проходить через середину ребра багатогранника перпендикулярно до нього.

Формула для знаходження радіусу описаної сфери Нехай SABC - піраміда з рівними бічними ребрами, h - її висота, R - радіус кола, описаного біля основи. Знайдемо радіус описаної галузі. Зауважимо подобу прямокутних трикутників SKO1 та SAO. Тоді SO1/SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Але KS = SA/2. Тоді R1 = SA2/(2SO); R 1 = (h 2 +R 2)/(2h); R 1 = b 2 /(2h), де b - бічне ребро.

Паралелепіпед, вписаний у кулю Теорема: Сфера може бути описана біля паралелепіпеда тоді і тільки тоді, коли паралелепіпед прямокутний, тому що в даному випадку він є прямим і біля його основи - паралелограма - може бути описана коло (т. к. основа - прямокутник) .

Завдання 1 Знайти радіус кулі, описаної біля правильного тетраедра з ребром а. Рішення: SO1 = SA2/(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Відповідь: SO 1 = a /4. Попередньо побудуємо зображення правильного тетраедра SABC зображення центру описаної кулі. Проведемо апофеми SD та AD (SD = AD). У рівнобедреному трикутнику ASD кожна точка медіани DN рівновіддалена від кінців відрізка AS. Тому точка O 1 є перетин висоти SO та відрізка DN. Використовуючи формулу з R 1 = b 2 /(2h), отримаємо:

Завдання 2 Рішення: За формулою R 1 =b 2 /(2h) для знаходження радіусу описаної кулі знайдемо SC та SO. SC = a/(2sin(α/2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 – (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) – 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює а, а плоский кут при вершині дорівнює α Знайти радіус описаної кулі R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · 1/(2a/(2sin(α /2))) =a/(4sin(α /2) ·) : R 1 = a/(4sin(α /2) ·).

Багатогранники, описані біля кулі Випуклий багатогранник називається описаним, якщо всі його грані стосуються певної сфери. Ця сфера називається вписаною для цього багатогранника. Центром вписаної сфери є точка, що рівно віддалена від усіх граней багатогранника.

Положення центру вписаної сфери Поняття бісекторної площини двогранного кута. Бісекторною називається площина, що ділить двогранний кут на два рівні двогранні кути. Кожна точка цієї площини рівновіддалена від граней двогранного кута. У випадку центр вписаної в багатогранник сфери є точкою перетину бісекторних площин всіх двогранних кутів багатогранника. Він завжди лежить усередині багатогранника.

Піраміда, описана біля кулі Куля, називається вписаною в (довільну) піраміду, якщо вона стосується всіх граней піраміди (як бічних, так і основи). Теорема: Якщо бічні граніоднаково нахилені до основи, то таку піраміду можна вписати кулю. Так як двогранні кути при підставі рівні, їх половинки теж рівні бісектриси перетинаються в одній точці на висоті піраміди. Ця точка належить всім бісекторним площинам при основі піраміди і рівновіддалена від усіх граней піраміди – центр вписаної кулі.

Формула для знаходження радіусу вписаної сфери Нехай SABC - піраміда з рівними бічними ребрами, h - її висота, r - радіус вписаного кола. Знайдемо радіус описаної галузі. Нехай SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Тоді за властивістю бісектриси внутрішнього кута трикутника O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h - r 1) /; r 1 · = rh - rr 1; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Відповідь: r 1 = rh/(+r).

Паралелепіпед і куб, описані біля кулі Теорема: У паралелепіпед можна вписати сферу тоді і тільки тоді, коли паралелепіпед прямий і його основа - ромб, причому висота цього ромба є діаметр вписаної сфери, який, у свою чергу, дорівнює висоті паралелепіпеда. (Зі всіх паралелограмів тільки в ромб можна вписати коло) Теорема: У куб завжди можна вписати сферу. Центр цієї сфери – точка перетину діагоналей куба, а радіус дорівнює половині довжини ребра куба.

Комбінації фігур Вписана та описана призми Призма, описана біля циліндра – призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічні грані стосуються циліндра. Призма, вписана в циліндр – призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами – циліндри, що утворюють. Дотична площина до циліндра – площина, що проходить через утворюючу циліндра і перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю утворювальну.

Піраміда, вписана в конус - піраміда, основа якої є багатокутник, вписаний в коло основи конуса, а вершиною є вершина конуса. Бічні ребра піраміди, вписаної в конус – утворюють конуси. Піраміда, описана біля конуса - піраміда, у якої основою є багатокутник, описаний біля основи конуса, а вершина збігається з вершиною конуса. Площини бічних граней описаної піраміди – дотичні поверхні конуса. Дотична площина до конуса – площина, що проходить через утворюючу та перпендикулярну площині осьового перерізу, що містить цю утворювальну.

Інші види конфігурацій Циліндр вписаний у піраміду, якщо коло однієї його основи стосується всіх бічних граней піраміди, а інше його основа лежить на підставі піраміди. Конус вписаний у призму, якщо його вершина лежить на верхньому підставі призми, яке основа – коло, вписаний у багатокутник – нижнє основу призми. Призма вписана в конус, якщо всі вершини верхньої основи призми лежать на бічній поверхні конуса, а нижня основа призми лежить на підставі конуса.

Задача 1 У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює а, а плоский кут при вершині дорівнює α. Знайдіть радіус вписаної в піраміду кулі. Рішення: Виразимо сторони SOK через а та α. OK = a/2. SK = KC · ctg(α/2); SK = (a · ctg(α/2))/2. SO = = (a/2) Використовую формулу r 1 = rh/(+ r), знайдемо радіус вписаної кулі: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Відповідь: r 1 = (a/2)

Висновок Тема «Многогранники» вивчається учнями у 10 та 11 класах, але у навчальній програмідуже мало матеріалу на тему «Вписані та описані багатогранники», хоча вона викликає дуже великий інтерес у учнів, оскільки вивчення властивостей багатогранників сприяє розвитку абстрактного та логічного мислення, що згодом знадобиться нам у навчанні, роботі, житті. Працюючи над даним рефератом, ми вивчили весь теоретичний матеріал на тему «Вписані та описані багатогранники», розглянули можливі комбінації фігур та навчилися застосовувати весь вивчений матеріал на практиці. Завдання на комбінацію тіл – найважче питання курсу стереометрії 11 класу. Але тепер ми з упевненістю можемо сказати, що у нас не виникне проблем при вирішенні подібних завдань, оскільки під час нашої дослідницької роботими встановили та довели властивості вписаних та описаних багатогранників. Найчастіше в учнів виникають проблеми при побудові креслення до завдання дану тему. Але, дізнавшись, що для вирішення завдань на комбінацію кулі з багатогранником зображення кулі буває зайвим і достатньо вказати його центр і радіус, ми можемо бути впевнені, що цих труднощів у нас не виникне. Завдяки цьому реферату ми змогли розібратися у цій важкій, але дуже цікавій темі. Ми сподіваємось, що тепер у нас не виникне труднощів при застосуванні вивченого матеріалу на практиці.

"Обсяг кулі" - Об'єм параболічного сегмента. Знайдіть об'єм кулі, вписаної в правильний тетраедр з ребром 1. У конус, радіус основи якого дорівнює 1, а твірна дорівнює 2, вписана куля. Перетин кулі площиною, що віддаляється від центру кулі на відстані 8 см, має радіус 6 см. Об'єм кульового сегмента висоти h, що відсікається від кулі радіуса R, виражається формулою.

«Коло коло сфера куля» - Колесо. Діти, ви всі зараз стаєте членами обчислювального центру. За аналогією з колом поясніть, що таке: а) радіус; б) хорда; в) діаметр сфери. Знайдіть площу поверхні кулі радіусом 3м. Діаметр. Центр кулі (сфери). Куля та сфера. Куля. Згадайте, як визначається коло. Спробуйте визначити визначення сфери, використовуючи поняття відстані між точками.

«Правильні багатогранники» - Сума плоских кутів ікосаедра при кожній вершині дорівнює 300?. Правильні багатогранники – «найвигідніші» постаті. Сума плоских кутів куба за кожної вершини дорівнює 270?. Правильний октаедр. Ікосаедро-додекаедрова структура Землі. Куб - найстійкіша з фігур. Правильний додекаедр. Правильні опуклі багатогранники.

«Куля» - Дослідницька діяльністьу позаурочний час. Завдання №1. Конус. Повторення теоретичних положень. У правильну чотирикутну піраміду вписана куля. Поверхня кулі називається сферою. піраміда. У своїй роботі ми: Дослідницька практика, процес роботи над темою. Робота в гуртках, на факультативах.

«Вписане та описане коло» - АРХІМЕД (287-212 ДО Н.Е.) - давньогрецький математик і механік. Описана та вписана кола. Ми можемо відповісти на проблемні питання. Коло. У разі збільшення числа сторін правильного багатокутника кут багатокутника збільшується. Стародавні математики не володіли поняттями математичного аналізу.

"Сфера і куля" - Перетин, що проходить через центр кулі, - велике коло. (Діаметральний переріз). Астрономічні спостереження над небесним склепінням незмінно викликали образ сфери. Сфера завжди широко застосовувалося у різних галузях науки та техніки. Дотична площина до сфери. Загальні поняття. На поверхні кулі дано три точки.

Відкритий урок на тему «Вписані та описані багатогранники»

Тема уроку: Сфера вписана в піраміду. Сфера описана біля піраміди.

запровадити поняття сфери, вписаної в багатогранник; сфери, описаної у багатогранника. Порівняти описане коло та описану сферу, вписане коло та вписану сферу. Проаналізувати умови існування вписаної сфери та описаної сфери. Сформувати навички розв'язання задач на тему. Розвиток у учнів навичок самостійної роботи.

Розвиток логічного мислення, алгоритмічної культури, просторової уяви, розвиток математичного мислення та інтуїції, творчих здібностейна рівні, необхідному для продовження освіти та для самостійної діяльності в галузі математики та її додатків у майбутній професійній діяльності;

Інтерактивна дошка

Презентація «Вписана та описана сфера»

Умови завдань у малюнках на дошці. Роздатковий матеріал (опорні конспекти).

Планіметрія. Вписане та описане коло. Стереометрія. Вписана сфера стереометрії. Описана сфера

Постановка цілей уроку (2 хвилини). Підготовка до вивчення нового матеріалу повторенням (фронтальне опитування) (6 хвилин). Пояснення нового матеріалу (15 хвилин) Осмислення теми при самостійному складанні конспекту на тему «Стереометрія. Описана сфера» та застосування теми під час вирішення завдань (15 хвилин). Підбиття підсумків уроку перевіркою знання та розуміння вивченої теми (фронтальне опитування). Оцінка відповідей учнів (5 хвилин). Постановка домашнього завдання(2 хвилини). Резервні завдання.

запровадити поняття сфери, вписаної в багатогранник; сфери, описаної у багатогранника. Порівняти описане коло та описану сферу, вписане коло та вписану сферу. Проаналізувати умови існування вписаної сфери та описаної сфери. Сформувати навички розв'язання задач на тему.

Яке коло називається вписаним у багатокутник? Як називається багатокутник, в який вписано коло? Яка точка є центром кола, вписаного в багатокутник? Яку властивість має центр кола, вписаного в багатокутник? Де розташовується центр кола, вписаного в багатокутник? Який багатокутник можна описати біля кола, за яких умов?

Яке коло називається описаним біля багатокутника? Як називається багатокутник, біля якого описано коло? Яка точка є центром кола, описаного біля багатокутника? Яку властивість має центр кола, описаного біля багатокутника? Де може розташовуватися центр кола, описаного біля багатокутника? Який багатокутник можна вписати в коло і за яких умов?

Сформулюйте визначення сфери, вписаної багатогранник. Як називається багатогранник, до якого можна вписати сферу? Яку властивість має центр вписаної в багатогранник сфери? Що являє собою безліч точок простору, рівновіддалених від граней двогранного кута? (Тригранний кут?) Яка точка є центром сфери, вписаної в багатогранник? Який багатогранник можна вписати сферу, за яких умов?

У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює а, висота дорівнює h. Знайдіть радіус сфери, вписаної у піраміду.

D. Учні вирішують завдання.

Завдання.У правильній трикутної пірамідисторона основи дорівнює 4, бічні грані нахилені до основи під кутом 60 0 . Знайдіть радіус, вписаний у цю піраміду сфери.

4. Осмислення теми при самостійному складанні конспекту «Сфера, описана у багатогранника» та застосування під час вирішення завдань.

А. У чащі самостійно заповнюють конспект на тему «Сфера, описана біля багатогранника». Відповідають такі питання:

Сформулюйте визначення сфери, описаної у багатогранника.

Як називається багатогранник, біля якого можна описати сферу?

Якою властивістю має центр описаної у багатогранника сфери?

Що є безліч точок простору, рівновіддалених від двох точок?

Яка точка є центром сфери, що описана біля багатогранника?

Де може бути розташований центр сфери, описаної біля піраміди? (багатогранника?)

Біля якого багатогранника можна описати сферу?

Ст. Учні самостійно вирішують завдання.

Завдання.У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює 3 а бічні ребра нахилені до основи під кутом 60 0 . Знайдіть радіус описаної біля піраміди сфери.

З. Перевірка складеного конспекту та аналіз розв'язання задачі.

5. Підбиття підсумків уроку перевіркою знання та розуміння вивченої теми (фронтальне опитування). Оцінка відповідей учнів.

А. Учні самостійно підбивають підсумки уроку.

Ст. Відповідають на додаткові запитання.

Чи можна описати сферу близько чотирикутної піраміди, в основі якої лежить ромб, який не є квадратом?

Чи можна описати сферу біля прямокутного паралелепіпеда? Якщо так, то де його центр?

Де у житті застосовується вивчена під час уроку теорія (архітектура, стільниковий телефонний зв'язок, геостаціонарні супутники, система виявлення GPS).

6. Постановка домашнього завдання.

А. Скласти конспект на тему «Сфера, описана біля призми. Сфера, вписана у призму». (Розглянути за підручником завдання: №632,637,638)

В. Розв'язати із підручника завдання № 640.

З. З методики Б.Г. Зив « Дидактичні матеріализ геометрії 10 клас» розв'язати задачі: Варіант №3 С12(1), Варіант №4 С12(1).

D. Додаткове завдання: Варіант №5 С12(1).

7. Резервні завдання.

З методики Б.Г. Зів «Дидактичні матеріали з геометрії 10 клас» розв'язати задачі: Варіант №3 С12(1), Варіант №4 С12(1).

Навчально – методичний комплект

Геометрія, 10-11: Підручник для загальноосвітніх закладів. Базовий та профільний рівні/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін, М.: Просвітництво, 2010р.

Б.Г. Зів «Дидактичні матеріали з геометрії 10 клас», М.: Просвітництво.

Учитель математики

ДБОУ ліцей-інтернат «ЦОД»

м Нижній Новгород